辽宁省丹东市凤城赛马镇中学高三数学文联考试题含解析

辽宁省丹东市凤城赛马镇中学高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知方程kx+3﹣2k=有两个不同的解，则实数k的取值范围是(

)A． B． C． D．参考答案：C【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；直线与圆．【分析】如图，当直线在AC位置时，斜率k==，当直线和半圆相切时，由半径2=解得k值，即得实数k的取值范围．【解答】解：由题意得，半圆y=和直线y=kx﹣2k+3有两个交点，又直线y=kx﹣2k+3过定点C（2，3），如图：当直线在AC位置时，斜率k==．当直线和半圆相切时，由半径2=，解得k=，故实数k的取值范围是（，]，故选：C．【点评】本题考查方程有两个实数解的条件，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，求出直线在AC位置时的斜率k值及切线CD的斜率，是解题的关键．2.若向量，且，则锐角等于（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C3.已知球的球面上有、、、四点，其中、、、四点共面，是边长为的正三角形，平面平面，则棱锥的体积的最大值为

A.

B.

C.

D.参考答案：A略4.若直角坐标平面内两点满足条件：①点都在的图象上；②点关于原点对称，则对称点对是函数的一个“兄弟点对”(点对与可看作一个“兄弟点对”).已知函数,则的“兄弟点对”的个数为A．2

B．3

C．4

D．5参考答案：D5.甲、乙、丙、丁四位同学参加朗读比赛，其中只有一位获奖，有同学走访这四位同学，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”。若四位同学中只有两人说的话是对的，则获奖的同学是(

)A.甲 B.乙 C.丙 D.丁参考答案：C6.在等差数列中，满足，且是数列的前n项的和，若取得最大值，则A．7

B．8

C．9

D．10

参考答案：C7.若是R上的单调递增函数，则实数的取值范围为（

）A．

B．（4，8）

C．D．（1，8）参考答案：C8.在抽查某产品尺寸过程中，将其尺寸分成若干组，[a，b]是其中一组，已知该组上的直方图高为h，则该组频率为（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：答案：D9.已知球O与棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的各面都相切，则平面截球O所得的截面圆与球心O所构成的圆锥的体积为（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】内切球的球心为正方体的体对角线交点，根据三棱锥为正三棱锥及各棱长，可求得点O到平面的距离；根据内切圆半径和圆心到平面的距离可求得切面的圆心半径，进而求得圆锥的体积。【详解】因为球与棱长为的正方体的各面都相切所以球O为正方体的内切球，则球O的半径球心O到A的距离为底面为等边三角形，所以球心O到平面的距离为所以平面截球所得的截面圆的半径为所以圆锥的体积为所以选C【点睛】本题考查了正方体的内切球性质，平面截球所得截面的性质，属于中档题。10.正六棱锥P—ABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥D—GAC与三棱锥P—GAC体积之比为()A．1∶1

B．1∶2C．2∶1

D．3∶2参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，，点E是线段CD上异于点C，D的动点，EF⊥AD于点F，将△DEF沿EF折起到△PEF的位置，并使PF⊥AF，则五棱锥P-ABCEF的体积的取值范围为______．参考答案：（0，）【分析】先由题易证PF⊥平面ABCEF，设，然后利用体积公式求得五棱锥的体积，再利用导函数的应用求得范围.【详解】因为PF⊥AF，PF⊥EF，且AF交EF与点F，所以PF⊥平面ABCEF设,则所以五棱锥的体积为或（舍）当递增，故所以的取值范围是（0，）故答案为（0，）【点睛】本题考查了立体几何的体积求法以及利用导函数求范围的应用，属于小综合题，属于较难题.12.在平面直角坐标系中，若动点到两直线和的距离之和为，则的最大值是________.参考答案：18略13.在中，若向量，且，则角B

。参考答案：略14.已知，，则

．

参考答案：略15.已知||=1，||=6，?（﹣）=2，则向量与的夹角为

．参考答案：【考点】数量积表示两个向量的夹角．【专题】计算题；平面向量及应用．【分析】由?（﹣）=2，得，利用向量夹角公式可求得＜＞．【解答】解：由?（﹣）=2，得﹣=2，即=3，cos＜，＞==，所以＜＞=，故答案为：．【点评】本题考查利用向量的数量积求两向量的夹角，属基础题．16.如图是200辆汽车经过某一雷达地区运行时速的频率直方图，则时速超过60km/h的汽车约为________________辆。

参考答案：答案：5617.展开式中的系数是

。（用数字作答）参考答案：【标准答案】84

【试题解析】，令,

【高考考点】二项展开式的特定项的求法.【易错提醒】公式记不清楚导致计算错误.【备考提示】牢记公式.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设数列{an}的前n项和为Sn，点的图象上．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设对所有n∈N*都成立的最小正整数m．参考答案：考点：数列与函数的综合；等差数列的通项公式；数列的求和．专题：计算题．分析：（1）由点在y=3x﹣2的图象上，得=3n﹣2，即sn=3n2﹣2n；由an=Sn﹣Sn﹣1可得通项公式，须验证n=1时，an也成立．（2）由（1）知，bn==…=；求和Tn=，可得；令；即，解得m即可．解答： 解：（1）依题意，点在y=3x﹣2的图象上，得=3n﹣2，∴sn=3n2﹣2n；当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（3n2﹣2n）﹣=6n﹣5

①；当n=1时，a1=S1=3×12﹣2=1，适合①式，所以，an=6n﹣5（n∈N*）（2）由（1）知，bn===；故Tn===；因此，使成立的m，必须且仅须满足，即m≥10；所以，满足要求的最小正整数m为10．点评：本题考查了数列与函数的综合应用，用拆项法求数列前n项和以及数列与不等式综合应用问题，属于中档题．19.（本小题满分12分）已知角α的终边经过点P.(1)求sinα的值．(2)求·的值．参考答案：解析：(1)∵|OP|＝1，∴点P在单位圆上．由正弦函数的定义得sinα＝－.(4分)(2)原式＝·＝＝，（8分）由余弦函数的定义得cosα＝.故所求式子的值为.（12分）

略20.对于任意的n∈N*，记集合En={1，2，3，…，n}，Pn=．若集合A满足下列条件：①A?Pn；②?x1，x2∈A，且x1≠x2，不存在k∈N*，使x1+x2=k2，则称A具有性质Ω．如当n=2时，E2={1，2}，P2=．?x1，x2∈P2，且x1≠x2，不存在k∈N*，使x1+x2=k2，所以P2具有性质Ω．（Ⅰ）写出集合P3，P5中的元素个数，并判断P3是否具有性质Ω．（Ⅱ）证明：不存在A，B具有性质Ω，且A∩B=?，使E15=A∪B．（Ⅲ）若存在A，B具有性质Ω，且A∩B=?，使Pn=A∪B，求n的最大值．参考答案：【考点】元素与集合关系的判断；集合的含义．【专题】证明题；新定义；分类讨论；综合法；集合．【分析】（Ⅰ）由已知条件能求出集合P3，P5中的元素个数，并判断出P3不具有性质Ω．（Ⅱ）假设存在A，B具有性质Ω，且A∩B=?，使E15=A∪B．其中E15={1，2，3，…，15}，从而1∈A∪B，由此推导出与A具有性质Ω矛盾．从而假设不成立，即不存在A，B具有性质Ω，且A∩B=?，使E15=A∪B．（Ⅲ）当n≥15时，不存在A，B具有性质Ω，且A∩B=?，使Pn=A∪B．n=14，根据b=1、b=4、b=9分类讨论，能求出n的最大值为14．【解答】解：（Ⅰ）∵对于任意的n∈N*，记集合En={1，2，3，…，n}，Pn=．∴集合P3，P5中的元素个数分别为9，23，∵集合A满足下列条件：①A?Pn；②?x1，x2∈A，且x1≠x2，不存在k∈N*，使x1+x2=k2，则称A具有性质Ω，∴P3不具有性质Ω．…..（6分）证明：（Ⅱ）假设存在A，B具有性质Ω，且A∩B=?，使E15=A∪B．其中E15={1，2，3，…，15}．因为1∈E15，所以1∈A∪B，不妨设1∈A．因为1+3=22，所以3?A，3∈B．同理6∈A，10∈B，15∈A．因为1+15=42，这与A具有性质Ω矛盾．所以假设不成立，即不存在A，B具有性质Ω，且A∩B=?，使E15=A∪B．…..（10分）解：（Ⅲ）因为当n≥15时，E15?Pn，由（Ⅱ）知，不存在A，B具有性质Ω，且A∩B=?，使Pn=A∪B．若n=14，当b=1时，，取A1={1，2，4，6，9，11，13}，B1={3，5，7，8，10，12，14}，则A1，B1具有性质Ω，且A1∩B1=?，使E14=A1∪B1．当b=4时，集合中除整数外，其余的数组成集合为，令，，则A2，B2具有性质Ω，且A2∩B2=?，使．当b=9时，集中除整数外，其余的数组成集合，令，．则A3，B3具有性质Ω，且A3∩B3=?，使．集合中的数均为无理数，它与P14中的任何其他数之和都不是整数，因此，令A=A1∪A2∪A3∪C，B=B1∪B2∪B3，则A∩B=?，且P14=A∪B．综上，所求n的最大值为14．…..（14分）【点评】本题考查集合性质的应用，考查实数值最大值的求法，综合性强，难度大，对数学思维要求高，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．21.一个圆柱形圆木的底面半径为1m，长为10m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分，现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形ABCD（如图所示，其中O为圆心，C，D在半圆上），设∠BOC=θ，直四棱柱木梁的体积为V（单位：m3），侧面积为S（单位：m2）．（Ⅰ）分别求V与S关于θ的函数表达式；（Ⅱ）求侧面积S的最大值；（Ⅲ）求θ的值，使体积V最大．参考答案：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（I）列出梯形ABCD的面积SABCD=﹣sinθ=sinθcosθ+sinθ，θ∈（0，），求解体积V（θ）=10（sinθcosθ+sinθ），θ∈（0，）．（II）得出g（θ）=﹣2sin2+2sin+2，利用二次函数求解即可．（III）V（θ）=10（sinθcosθ+sinθ），θ∈（0，），求解导数得出V′（θ）=10（2cos2θ+cosθ﹣1）=10（2cosθ﹣1）（cosθ+1），根据导数与单调性的关系求解．【解答】解：（Ⅰ）木梁的侧面积S=10（AB+2BC+CD）=10（2+4sin+2cosθ）=20（cosθ+2sin+1），θ∈（0，），梯形ABCD的面积SABCD=﹣sinθ=sinθcosθ+sinθ，θ∈（0，），体积V（θ）=10（sinθcosθ+sinθ），θ∈（0，）；（Ⅱ）木梁的侧面积S=10（AB+2BC+CD）=10（2+4sin+2cosθ）=20（cos+1），θ∈（0，），设g（θ）=cos+1，g（θ）=﹣2sin2+2sin+2，∴当sin=，θ∈（0，），即θ=时，木梁的侧面积s最大．所以θ=时，木梁的侧面积s最大为40m2．（Ⅲ）V′（θ）=10（2cos2θ+cosθ﹣1）=10（2cosθ﹣1）（cosθ+1）令V′（θ）=0，得cosθ=，或cosθ=﹣1（舍）∵θ∈（0，），∴θ=．当θ∈（0，）时，＜cosθ＜1，V′（θ）＞0，V（θ）为增函数；当θ∈（，）时，0＜cosθ＜，V′（θ）＞0，V（θ）为减函数．∴当θ