2023-2024学年江苏省扬州市高邮市树人学校高一（下）期中数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年江苏省扬州市高邮市树人学校高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若复数z满足(3+4i)⋅A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=5A.90° B.45° C.60°3.如图，已知等腰三角形O′A′B′是一个平面图形的直观图，O′AA.22

B.1

C.24.函数f(x)=A.(−2,−1) B.(5.已知平面向量a=(2,1)，b=A.−1 B.−12 C.16.若△ABC中，a=x,A.(3,6) B.(27.2cos10°−A.12 B.32 C.8.如图，在△ABC中，∠BAC=π3，AD=2DB，P为

A.−3 B.−1312 C.13二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列各式中值为1的是(

)A.sinπ12cosπ12 B.si10.如图，△ABC中，BD=13BC，点E在线段AC上，ADA.AD=23AB+13AC

B.11.已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，面积为3A.cosAcosC的取值范围是(−12,14)

B.若D为边AC的中点，且BD=1，则△ABC的面积的最大值为33

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若复数z=i1−2i，则13.已知向量a=(−1,2)，b=(14.在△ABC中，BC=3AC,∠BAC=π3四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知复数z=(1)若复数z为纯虚数，求实数m(2)若复数z在复平面内对应的点在第二象限，求实数m16.(本小题15分)

已知|a|=1，|b|=2，a与b的夹角为60°．

(1)求|217.(本小题15分)

已知cosβ=7210,sin(α−β)18.(本小题17分)

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足(2a−c)cosB=bcosC．

(1)求角B的大小；

(2)若BD=2DC，且CD=1，A19.(本小题17分)

已知O为坐标原点，对于函数f(x)=asinx+bcosx，称向量OM=(a,b)为函数f(x)的相伴特征向量，同时称函数f(x)为向量OM的相伴函数．

(1)记向量ON=(1,3)的相伴函数为答案和解析1.【答案】C

【解析】解：由题意得，z=1−2i3+4i=(1−2i)(2.【答案】C

【解析】解：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，

若a=5,b=4,c=21，

则可得cosC=a2+b23.【答案】A

【解析】解：∵Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，斜边O′B′=2，

∴直角三角形的直角边长是2，

∴直角三角形的面积是12×4.【答案】D

【解析】解：易知函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，

又f(1)=log21+35.【答案】B

【解析】解：根据题意，因为a=(2,1),b=(−1,λ)，所以a+b6.【答案】D

【解析】解：由正弦定理asinA=bsinB，可得x22=3sinB，

所以sinB=7.【答案】C

【解析】【分析】本题主要考查了余弦函数两角的和与差的三角函数公式．注意利用好特殊角．

首先把10°角变成30【解答】

解：原式=2cos(30°−20°)−sin20°sin708.【答案】C

【解析】解：在△ABC中，因为AD=2DB，

所以AB=32AD，

所以AP=mAC+12AB=mAC+34AD，

又因为C，P，D三点共线，

所以m+34=1，9.【答案】BC【解析】解：对于A选项：∵sinπ12cosπ12=12sinπ6=12×12=14，∴选项A错误；

对于B选项：∵sin72°cos18°+c10.【答案】AC【解析】解：对于A：因为BD=13BC，

所以AD=AB+BD=AB+13BC=AB+13(AC−AB)=23AB+13AC，即A正确；

对于B：设AE=λAC，AF=μAD，

由选项A知，AD=23AB+13AC，

所以AF=μAD=2μ3AB+μ3AC=2μ3AB+μ3λAE，

因为BF=12BE，即点F是B11.【答案】BC【解析】解：由题意知S=12acsinB=34(a2+c2−b2)，整理得a2+c2−b2=23acsinB，

由余弦定理知a2+c2−b2=2accosB，

所以sinB3=cosB，即tanB=3，

再由B∈(0,π)，所以B=π3，

对于A，cosAcosC=cosAcos(212.【答案】5【解析】解：z=i1−2i=i(1+2i13.【答案】(1【解析】解：a=(−1,2)，b=(1,3)，

则a14.【答案】3【解析】解：在三角形ABC中，设AC=x，则BC=3x，且3−1<x<3+1．

由正弦定理得ACsinB=BCsinπ3，解得sinB=12，

显然B为锐角，故B=π6．

∴∠ACB=π2．

设∠ACD=α，∴∠BCD=π2+α．

∴在△BCD中，BD2=(3x)2+32−2×3×15.【答案】解：(1)若复数z为纯虚数，则m2−5m+6=0m−2≠0，

得m=2或m=3m≠2，得m=【解析】本题主要考查复数的有关概念以及复数的几何意义，属于基础题．

(1)根据纯虚数的定义建立不等式组进行求解即可．

16.【答案】解：(1)根据题意，|a|=1，|b|=2，a与b的夹角为60°，

∴|2a−b|=(2a−b)2【解析】(1)由|2a−b|=(17.【答案】解：(1)由cosβ=7210,0<β<π2，

可得sinβ=1−cos2β=210【解析】(1)由同角三角函数关系得到tanβ，再利用二倍角公式进行计算；18.【答案】解：∵(2a−c)cosB=bcosC，

∴由正弦定理得：(2sinA−sinC)cosB=sinbcosC，

∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C)=sinA，

∵A∈(0,π)，∴sinA≠0，

∴cosB=12，

∵B∈(0,π)，∴B=π3；

(【解析】(1)由条件结合正弦定理化简即可求得；

(2)由余弦定理及三角形的面积公式计算即可；

(3)以A为坐标原点，AP所在直线为x19.【答案】解：(1)根据题意知，向量ON=(1,3)的相伴函数为f(x)=sinx+3cosx=2sin(x+π3)，

当f(x)=2sin(x+π3)=85时，sin(x+π3)=45，又x∈(−π3,π