福建省四地五校联考2023-2024学年高一下学期4月期中数学试题（含答案）

厦泉五校2023-2024学年高一年级第二学期期中联考数学科试卷（考试时间：120分钟满分：150分）试卷分第=1\*ROMANI卷（选择题）和第=2\*ROMANII卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷（共58分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在复平面内，复数（其中i为虚数单位)对应的点位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2．已知向量a=(m+1,m−1)，b=(−1,m)，c=(−1,1)，若(2a+b)⊥cA. B.3 C. D.53.如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，E为的中点，若则等于(

)A.1B.−1 C.12D.4.正四棱台的上、下底面边长分别是2和4，侧棱长是，则该棱台的体积是(

)A. B. C.20 D.215.若向量a=(x,2),b=(2,3),c=(2,−4)，且a//c，则a在A.B.C.D.6．在△ABC中，BC边上的高等于则sin A=(

)A.B.C. D.7．已知三棱锥S−ABC的所有顶点都在球O的球面上，ΔABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为(

)A. B. C. D.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，若，则的最小值为(

)A.2 B.2 C.1 D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．对于非零向量a,b，下列命题正确的是(

)A.若a⋅b=0，则a//b B.若a⊥b，则a⋅b10．如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1A.直线A1C1与AD1为异面直线

B.A1C1//平面AC11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且若△ABC有唯一解，则a的值可以是(

)A.1 B.3 C.2 第Ⅱ卷（共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知向量a，b满足|a|=1，|b|=2，|2a−b|=213．如图，在离地面高200m的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15°、山脚A处的俯角为45°，已知∠BAC=60°，则山的高度BC为m.

第13题图第14题图在《九章算术》中，堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，阳马指底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，AA1=AB=22四、解答题：本小题共5小题，共77分，其中第15题13分，16~17题各15分，18~19题各17分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15（本小题满分13分）已知复数，复数在复平面内对应的向量为，（1）若为纯虚数，求值；（2）若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围．16．（本小题满分15分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(sinA+sinC)2=sin2B+sinAsinC．

(1)求B的大小；

(2)若且BD是AC边的中线，（本小题满分15分）如图，在四边形OBCD中，CD=2BO，OA=2AD，(1)用OA，OB表示CB；(2)点P在线段上，且求的值．（本小题满分17分）如图所示，在四棱锥P−ABCD中，BC//平面PAD，BC=12AD，E(1)求证：BC//AD；

(2)求证：CE//平面PAB；(3)若M是线段CE上一动点，则线段AD上是否存在点N，使MN//平面PAB？说明理由．（本小题满分17分）在▵ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(Ⅰ)求B的大小；(Ⅱ)若求▵ABC的面积；(Ⅲ)求的最大值．厦泉五校2023-2024学年高一年级第二学期期中联考数学科参考答案及评分标准单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。12345678DBBACDAA多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.91011BDABCBD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．13．30014．四、解答题：本小题共5小题，共77分，其中第15题13分，16~17题15分，18~19题17分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.【解析】：(1)由题，则，2分由为纯虚数得，，4分解得．6分（2），8分在复平面内的对应点在第四象限，则，即，11分解得．13分【解析】：(1)因为(sinA+sinC)可得sin2A+sin2所以由正弦定理可得a2+c2=b所以cosB=a2+c因为B∈(0,π)，所以B=2π3．(2)由S△ABC=1534又BC=3，B=2π3，则cos2π3=5则AD=DC=7又∠BDA+∠BDC=π，可得cos∠BDA+cos∠BDC=0，由余弦定理可得BD2+(7整理可得BD2=194，解得17.【解析】(1)因为CD=2BO，所以DO=32AO，所以CB=CD+DO=2BO+32AO(2)因为OB/​/CD，OA//AD，所以点O，因为∠D=90°，所以∠O=90°．以OA为坐标原点，OA所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．9分因为

A(2,0)，B(0,1)，C(3,2)，所以AB=(−2,1)，CB=(−3,−1)，11因为点P在线段上，且AB=3AP，所以

CP=AP−AC=(−所以

cos∠PCB=CP⋅CB|CP18．【解析】证明：(1)在四棱锥P−ABCD中，BC//平面PAD，BC⊂平面ABCD，2分平面ABCD∩平面PAD=AD，∴BC//AD，(2)取PA的中点F，连接EF，BF，5分∵E是PD的中点，∴EF//AD，EF=1又由(1)可得BC//AD，且BC=12AD，∴BC∴四边形BCEF是平行四边形，∴CE∵CE⊄平面PAB，BF⊂平面PAB，∴CE//平面PAB．10分(3)取AD中点N，连接CN，EN，11分∵E，N分别为PD，AD的中点，∴EN//PA，∵EN