重难点04 二次函数中线段周长问题（解析版）

重难点04二次函数中线段周长问题能力拓展能力拓展一、填空题1．（2021·浙江·绍兴市元培中学九年级阶段练习）抛物线y＝ax2+bx+2过B（﹣2，6），C（2，2）两点，若直线yx向上平移m个单位所得的直线与抛物线段BC段（包括端点B、C）部分有两个交点，则m的取值范围是_____．【答案】【分析】根据点B、C的坐标利用待定系数法求出二次函数解析式，画出二次函数及一次函数图象，分别求出当直线经过点C及直线与抛物线相切时m的值，再结合图形即可得出结论．【详解】解：将B（﹣2，6）、C（2，2）代入y＝ax2+bx+2，，解得：，∴二次函数解析式为yx2﹣x+2．依照题意画出图形，如图所示,当点C（2，2）在直线yx+m上时，2＝﹣1+m，解得：m＝3；将yx+m代入yx2﹣x+2中，整理得：x2﹣x+4﹣2m＝0，当直线yx+m与抛物线yx2﹣x+2相切时，有＝（﹣1）2﹣4×（4﹣2m）＝0，解得：m．∴若直线yx向上平移m个单位所得的直线与抛物线段BC段（包括端点B、C）部分有两个交点，则m的取值范围是故答案为：．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数图象与几何变换、一次函数图象上点的坐标特征以及根的判别式，依照题意画出图形，利用数形结合解决问题是解题的关键．二、解答题2．（2021·浙江·绍兴市第一初级中学九年级阶段练习）已知二次函数l1：y＝x2+6x+5k和l2：y＝kx2+6kx+5k，其中k≠0且k≠1．(1)分别直接写出关于二次函数l1和l2的对称轴及与y轴的交点坐标；(2)若两条抛物线l1和l2相交于点E，F，当k的值发生变化时，判断线段EF的长度是否发生变化，并说明理由；(3)在（2）中，若二次函数l1的顶点为M，二次函数l2的顶点为N；①当k为何值时，点M与点N关于直线EF对称？②是否存在实数k，使得MN＝2EF？若存在，求出实数k的值，若不存在，请说明理由．【答案】(1)l1的对称轴为x＝﹣3，和y轴的交点坐标为(0，5k)；l2的对称轴为x＝﹣3，与y轴的交点坐标(0，5k)(2)不发生变化，见解析(3)①k为﹣1；②或﹣【分析】（1）二次函数l1的对称轴为x＝﹣＝﹣＝﹣3，令x＝0，则y＝5k，故该抛物线和y轴的交点坐标为（0，5k）；同理可得l2的对称轴为x＝﹣3，与y轴的交点坐标（0，5k）；（2）可令y1＝y2，求出点E、F的横坐标，从而得到点E、F的坐标，进行得到EF的长，就可解决问题；（3）易得点M、N的坐标及直线EF的关系式，然后根据条件建立关于k的方程，就可解决问题．(1)解：二次函数l1的对称轴为x＝﹣＝﹣＝﹣3，令x＝0，则y＝5k，故该抛物线和y轴的交点坐标为（0，5k）；同理可得：l2的对称轴为x＝﹣3，与y轴的交点坐标（0，5k）；(2)解：线段EF的长度不发生变化，理由：当y1＝y2时，x2+6x+5k＝kx2+6kx+5k，整理得：（k﹣1）（x2+6x）＝0．∵k≠1，∴x2+6x＝0，解得：x1＝0，x2＝﹣6．不妨设点E在点F的左边，则点E的坐标为（﹣6，5k），点F的坐标为（0，5k），∴EF＝|0﹣（﹣6）|＝6，∴线段EF的长度不发生变化；(3)解：①由y1＝x2+6x+5k＝（x+3）2+5k﹣9得M（﹣3，5k﹣9），由y2＝kx2+6kx+5k＝k（x+3）2﹣4k得N（﹣3，﹣4k）．∵直线EF的关系式为y＝5k，且点M与N关于直线EF对称，∴﹣4k﹣5k＝5k﹣（5k﹣9），解得：k＝﹣1，∴当k为﹣1时，点M与N关于直线EF对称；②∵MN＝|（5k﹣9）﹣（﹣4k）|＝|9k﹣9|，MN＝2EF＝12，∴|9k﹣9|＝12，解得k1＝，k2＝﹣，∴实数k为或﹣．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、解一元二次方程、轴对称的性质、解绝对值方程等知识，需要注意的是当两点横坐标相同时，两点之间的距离应为这两点纵坐标差的绝对值．3．（2022·浙江温州·二模）如图，将抛物线平移后得到抛物线，两抛物线与轴分别交于点，．抛物线，的交点的横坐标是1，过点作轴的平行线，分别交抛物线，于点，．(1)求抛物线的对称轴和点的横坐标．(2)求线段和的长度．【答案】(1)对称轴；点的横坐标是-3，(2)；【分析】（1）根据对称轴公式直接求抛物线P1的对称轴，以及A，E关于对称轴x=-1对称和点E的横坐标直接求出点A的横坐标；（2）求出P2的对称轴，再求出点B的坐标，从而求得AB的长，把分别代入两个函数表达式，求得，从而求得CD的长．(1)抛物线的对称轴∵点与点关于直线对称，且点的横坐标是1∴点的横坐标是(2)抛物线的对称轴∵点与点关于直线对称，且点的横坐标是1∴点的横坐标是4∴把分别代入两个函数表达式，得即由题意，当时，，．∴【点睛】本题考查二次函数的性质，关键是判断点A与点E关于对称轴x=-1对称，点B与点E关于对称轴对称．4．（2022·浙江·温州市第十二中学二模）如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式和顶点D的坐标．(2)连结AD，点E是对称轴与x轴的交点，过E作交抛物线于点F（F在E的右侧），过点F作轴交ED于点H，交AD于点G，求HF的长．【答案】(1)，顶点坐标，(2)【分析】（1）将A、B点代入表达式求解即可；（2）根据平行四边形的性质、矩形的性质，即可求解；(1)解：把点，代入解析式，得解，得，变换成顶点式为：∴顶点坐标(2)延长FG交y轴于点I，，，∴在中，，轴∴四边形AGFE是平行四边形∴在中，设，，易证四边形OIHE是矩形把点代入，得，解得，即【点睛】本题主要考查二次函数的应用、平行四边形的性质、矩形的性质、锐角三角函数，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．5．（2022·浙江·宁波市曙光中学二模）如图，抛物线与拋物线相交于点，点的横坐标为1．过点作轴的平行线交拋物线于点，交拋物线于点．抛物线与分别与轴交于点．(1)求抛物线的对称轴和点的横坐标；(2)求线段和的长；(3)点在抛物线上，点在抛物线上，请比较与的大小关系并说明理由．【答案】(1)，点A的横坐标为，(2)6，6，(3)，理由见解析【分析】（1）根据，可求对称轴为，再由点A与点T关于直线对称，可求；（2）根据函数的对称性可求解，再由可求；（3）方法一：先求出点A的横坐标为，点B的横坐标为3．可知；方法二：由点在抛物线上，点在抛物线上，可知，．可得，即．(1)解：抛物线的对称轴为直线点T的横坐标为1，点A与点T关于直线对称，点A的横坐标为．(2)解：抛物线，的对称轴分别为直线，直线线段．点T是两条抛物线的交点，横坐标为1，，即，线段的长为6．(3)解：方法1：点A与点T关于直线对称，点T的横坐标为1，点A的横坐标为．点B与点T关于直线对称，点T的横坐标为1，点B的横坐标为3．点在抛物线上直线的下方，点在抛物线上直线的上方，．方法2：点在抛物线上，点在抛物线上，，．，即．【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握顶点坐标公式，以及二次函数性质是解题的关键．6．（2021·浙江宁波·一模）如图，边长为4的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A，C间的一个动点（含端点），过点P作PM⊥OA于点M，点Q的坐标为（0，3），连接PQ．(1)求出抛物线的解析式；(2)当点P与点A或点C重合时，PQ+PM＝_____，小聪猜想：对于A，C间的任意一点P，PQ与PM之和是一个固定值，你认为正确吗，判断并说明理由；(3)延长MP交BC于点N，当∠NPQ为锐角，cos∠NPQ＝时，求点P的坐标．【答案】(1)y＝﹣x2+4，(2)5，理由见解析，(3)点P坐标为（﹣2，2）【分析】（1）由题意得点C坐标为（0，4），点A坐标为（﹣4，0），根据抛物线的点C为顶点，设该抛物线的解析式为：y＝ax2+4，将点A（﹣4，0）代入可得16a+4＝0，即可求解；（2）当点P与点A重合时，PQ+PM＝AQ＝＝5，当点P与点C重合时，PQ+PM＝CQ+CO＝1+4＝5，对于A，C间的任意一点P，PQ与PM之和是一个固定值5，理由如下：先设点P的坐标为（m，﹣m2+4），用m的代数式表示PQ＝＝＝＝，得PQ+PM＝＝5；（3）由（2）得PQ+PM＝5，设点P的坐标为（x，y），得PM＝y，PQ＝5﹣y，由cos∠NPQ＝得，解得y＝2，即可求解．(1)解：∵边长为4的正方形OABC的两边在坐标轴上，∴点C坐标为（0，4），点A坐标为（﹣4，0），根据抛物线的点C为顶点，设该抛物线的解析式为：y＝ax2+4，将点A（﹣4，0）代入可得16a+4＝0，解得a＝﹣，∴此抛物线关系式为：y＝﹣x2+4；(2)解：当点P与点A重合时，PQ+PM＝AQ＝＝5，当点P与点C重合时，PQ+PM＝CQ+CO＝1+4＝5，故答案为：5；对于A，C间的任意一点P，PQ与PM之和是一个固定值5，理由如下：过点P作PD⊥y轴于点D，设点P的坐标为（m，﹣m2+4），∵点P是抛物线上点A，C间的一个动点，∴PD＝﹣m，QD＝|﹣m2+4﹣3|，∴PQ＝＝＝＝，∴PQ+PM＝＝5；(3)解：由（2）得PQ+PM＝5，设点P的坐标为（x，y），∴PM＝y，PQ＝5﹣y，∵∠NPQ为锐角，则y＜3，∴QD＝3﹣y，∵cos∠NPQ＝，∠NPQ＝∠DQP，∴，解得y＝2，把y＝2代入抛物线解析式得，y＝﹣x2+4＝2，解得x＝，∵点P在AC段上，∴x＝﹣2，∴点P坐标为（﹣2，2）．【点睛】本题主要考查了二次函数与几何综合，正方形的性质，两点距离公式，解直角三角形等等，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键．7．（2022·浙江温州·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（－1，0），B（5，0）．(1)求抛物线的表达式．(2)过点C（0，m）作直线轴交抛物线于点P，Q（点P在点Q的左侧），若，求m的值．【答案】(1)，(2)．【分析】（1）把点A（-1，0），B（5，0）代入抛物线表达式进行计算即可解答；（2）根据已知QC=3PC，可设点P（-n，m），点Q（3n，m），然后代入（1）中二次函数表达式即可解答．(1)把点A（-1，0），B（5，0）代入抛物线y=ax2+bx-3中可得：，解得：，∴抛物线的表达式为：；(2)∵PQ∥x轴，QC=3PC，∴设点P（-n，m），点Q（3n，m），把点P（-n，m），点Q（3n，m）代入中可得：，解得：，∴m的值为．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，准确熟练地进行计算是解题的关键．8．（2022·浙江·温州市第十二中学九年级开学考试）如图，直角坐标系中，抛物线，（，a，b均为常数）经过点（3，13），分别交y轴正半轴于点C，顶点为点D，P为线段OC上一动点，过点P作x轴的平行线分别交抛物线于点A，B（点A在点B的左边）．(1)求该抛物线的函数表达式和顶点坐标．(2)当时，求AB的长．【答案】(1)，（，），(2)【分析】（1）把点（3，13）代入抛物线解析式即可求出a的值，再把解析式一般式化成顶点式，即可得到顶点坐标；（2）由解析式得出C点坐标，即可得OC长度，由，可得P点纵坐标，也就是点A，B的纵坐标，代入解析式计算即可．(1)将点（3，13）代入抛物线中，得解得，抛物线的表达式为，顶点坐标为（，）(2)由抛物线的表达式为可得，（，），，点P作x轴的平行线分别交抛物线于点A，B当时，即解得即A点横坐标为，B点横坐标为故，AB的长为．【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式、一般式化成顶点式、二次函数的性质、两点间的距离，熟练掌握以上知识是解题的关键．9．（2022·浙江湖州·九年级期末）如图，抛物线经过两点，且与轴交于点．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由；（3）点为的中点，若有一动点自点处出发，沿直线运动至轴上的某点(设为点)，再沿直线运动至该抛物线对称轴上的某点(设为点)，最后又沿直线运动至点，则点运动的总路程最短为______．(请直接写出答案)【答案】（1）；（2）存在，点P的坐标为（1,4）或（-2，-5）；（3）【分析】（1）利用待定系数法求解；（2）分两种情况：①当C为直角顶点时，过点C作CP⊥BC，交抛物线于点P，过点P作PH⊥y轴于H，得到PH=CH，设P（），则，求出a即可；②当B为直角顶点时，过点B作BP⊥BC，交抛物线于点P，交y轴于R，过点P作PG⊥y轴于G，求出OB=OR=3，PG=RG，设P（），则，求出a即可；（3）做M点关于x轴的对称点，做C点关于对称轴的对称点，连接C交x轴于E点，交对称轴于F，此时点运动的总路程最短，由勾股定理求出，即可求出点P运动的路径得到答案．【详解】解：（1）将代入，得，解得，∴该抛物线的函数表达式是；（2）存在．①当C为直角顶点时，过点C作CP⊥BC，交抛物线于点P，过点P作PH⊥y轴于H，∵OB=OC，∠BOC=90°，∴△BOC为等腰直角三角形，∠BCO=45°，∴∠PCH=45°，∴△PHC为等腰直角三角形，即PH=CH，设P（），则，解得（舍去），此时，∴P（1,4）；②当B为直角顶点时，过点B作BP⊥BC，交抛物线于点P，交y轴于R，过点P作PG⊥y轴于G，∵∠CBO=45°，∴∠GPR=∠OBR=45°，∴△PRG为等腰直角三角形，∴OB=OR=3，PG=RG，设P（），则，解得（舍去），此时，∴P（-2，-5）；综上，点P的坐标为（1,4）或（-2，-5）；（3）如图3，做M点关于x轴的对称点，做C点关于对称轴的对称点，连接C交x轴于E点，交对称轴于F∴∵此时点运动的总路程最短∵点为的中点，C（0，3）∴∴∵，∴抛物线的对称轴为直线x=1，∵C（0,3）∴∴，∴点P运动的路径，故答案为：．【点睛】此题考查了二次函数的综合知识，待定系数法求函数解析式，抛物线的对称轴，直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，最短路径问题，综合掌握各知识点是解题的关键．10．（2022·浙江·九年级专题练习）如图，已知抛物线经过点．（1）求的值；（2）连结，交抛物线L的对称轴于点M．①求点M的坐标；②将抛物线L向左平移个单位得到抛物线．过点M作轴，交抛物线于点N．P是抛物线上一点，横坐标为，过点P作轴，交抛物线L于点E，点E在抛物线L对称轴的右侧．若，求m的值．【答案】（1）；（2）①；②1或．【分析】（1）直接运用待定系数法求解即可；（2）①求出直线AB的解析式，抛物线的对称轴方程，代入求解即可；②根据抛物线的平移方式求出抛物线的表达式，再分三种情况进行求解即可．【详解】解：（1）把点的坐标分别代入，得．解得，的值分别为．（2）①设所在直线的函数表达式为，把的坐标分别代入表达式，得，解得所在直线的函数表达式为．由（1）得，抛物线L的对称轴是直线，当时，．∴点M的坐标是．②设抛物线的表达式是，轴，点N的坐标是．∵点P的横坐标为∴点P的坐标是，设交抛物线于另一点Q，∵抛物线的对称轴是直线轴，∴根据抛物线的轴对称性，点Q的坐标是．（i）如图1，当点N在点M下方，即时，，，由平移性质得，∴∴，解得（舍去），．（ii）图2，当点N在点M上方，点Q在点P右侧，即时，，，解得（舍去），（舍去）．（ⅲ）如图3，当点N在点M上方，点Q在点P左侧，即时，，，解得（舍去），．综上所述，m的值是1或．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、抛物线的平移规律和一元二次方程等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质是解题的关键．11．（2021·浙江温州·二模）如图，抛物线，交x轴于点A、B，交y轴于点C，已知A的横坐标为－1．（1）求点B的坐标．（用含b的代数式表示）（2）抛物线的对称轴交x轴于点D，连结BC，平移线段CB，使点C与D重合，此时点B恰好落在抛物线上，求b的值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据A、B两点关于二次函数的对称轴对称，求得点的坐标；（2）根据的坐标，求出的关系式，根据平移求出的坐标，代入二次函数，求得值．【详解】解（1）∵∴对称轴：直线∴∵点横坐标为－1∴（2）把代入得：，即∵平移线段CB，使C与D重合点∴B平移后得点∵点B在抛物线上∴解得∵∴【点睛】此题主要考查了二次函数的有关性质，涉及到了点的平移变换和一元二次方程，熟练掌握二次函数的有关性质和点的平移规则是解题的关键．12．（2021·浙江·杭州育才中学模拟预测）已知二次函数和一次函数．（1）求证：二次函数图象的顶点必在一次函数的图象上；（2）求二次函数的图象与一次函数的图象的交点坐标（用含的代数式表示）；（3）已知，直线交二次函数的图象于点，交一次函数的图象于点，当时，求证：．【答案】(1)证明见详解；（2）交点坐标为（0，a-1）或（-1，-1）；（3）证明见详解【分析】（1）先确定出抛物线的顶点坐标，即可得出结论；（2）联立二次函数的