以问题为导向落实探究学习-以“用向量法研究三角形的性质”为例

以问题为导向，落实探究学习——以“用向量法研究三角形的性质”为例用向量法研究三角形的性质摘要:三角形是基本的几何图形之一，在数学中有很多与三角形相关的性质和定理。本论文以探究学习的方式，以向量法为工具，研究三角形的性质。首先介绍了向量与三角形的基本概念和性质，然后通过向量相加、向量夹角等操作，推导出三角形的一些重要性质。通过这种以问题为导向的探究学习过程，可以帮助学生深入理解三角形的性质，并培养其解决问题和思辨能力。关键词:向量法、三角形、性质、探究学习引言:三角形是几何学中最简单也是最重要的图形之一。在三角形的研究中，有很多重要的性质和定理，如三角形的内角和为180度、角平分线的性质、垂心定理等。而向量是数学中非常重要的工具，它不仅可以表示大小和方向，还可以进行向量加法、点乘、叉乘等运算。通过运用向量的概念和性质，可以更好地研究和解决三角形的问题。本文将以问题为导向，以向量法为工具，通过探究学习的方式，研究三角形的性质。首先介绍了向量的基本概念和性质，然后通过向量相加、向量夹角等操作，推导出三角形的一些重要性质。最后，通过解决一些实际问题，进一步巩固和应用所学的知识。通过这种探究学习的方法，可以帮助学生主动思考，增强其解决问题和思辨能力。一、向量的基本概念和性质1.向量的定义向量可以用有向线段来表示，具有大小和方向两个特性。用字母加箭头的形式表示，如AB⃗，表示从点A指向点B的向量。向量还可以用坐标表示，如(a,b)表示一个二维向量。向量还可以进行向量相加、数乘等运算。2.向量的性质(1)向量相等两个向量的终点和起点分别相同，则这两个向量相等。(2)零向量零向量的起点和终点重合，记作0⃗或者直接写作0。(3)负向量一个向量的方向相反，但大小相等，称为这个向量的负向量。(4)平行向量平行向量具有相同的或相反的方向。(5)单位向量长度为1的向量称为单位向量。二、用向量法研究三角形的性质1.向量和三角形对于任意三角形ABC，可以构造向量BA⃗、BC⃗和CA⃗。根据向量的性质，有以下定理：(1)三角形的三边构成的向量和为零向量即BA⃗+BC⃗+CA⃗=0⃗。证明：假设向量BA⃗的终点和向量BC⃗的起点一样，那么向量BA⃗+BC⃗的终点和向量AC⃗的终点一样，即向量BA⃗+BC⃗+CA⃗的终点和向量CA⃗的终点一样，即BA⃗+BC⃗+CA⃗=0⃗。(2)三角形的一个内角可以用一个向量表示对于三角形ABC的角A，可以构造向量BA⃗和CA⃗，那么角A对应的向量为向量BA⃗-CA⃗，记作∠A=BA⃗-CA⃗。(3)三角形的一个内角的平分线三角形ABC的角A对应的向量是∠A=BA⃗-CA⃗，那么角A的平分线对应的向量为∠A的一半，即∠A/2=(BA⃗-CA⃗)/2=1/2(BA⃗-CA⃗)。2.向量夹角与三角形向量夹角是指两个向量之间的夹角。对于向量a⃗和b⃗，它们的夹角可以用向量的点乘和模长表示：cosθ=(a⃗·b⃗)/(|a⃗||b⃗|)在三角形的研究中，通过向量夹角的概念，可以得到一些重要性质：(1)三角形的内角和为180度假设三角形的三个顶点分别为A、B、C，对应的向量为a⃗、b⃗和c⃗。根据向量夹角的定义和加法的性质，有：cos∠A+cos∠B+cos∠C=(a⃗·b⃗)/(|a⃗||b⃗|)+(b⃗·c⃗)/(|b⃗||c⃗|)+(c⃗·a⃗)/(|c⃗||a⃗|)根据向量的长度和方向，上述式子可以进一步简化为：cos∠A+cos∠B+cos∠C=a⃗·b⃗+b⃗·c⃗+c⃗·a⃗然后使用向量的性质，展开上述式子，并注意到向量和向量的点乘可以用向量夹角的余弦表示，即：cos∠A+cos∠B+cos∠C=1/2(|a⃗||b⃗|+|b⃗||c⃗|+|c⃗||a⃗|)由于a⃗=BA⃗，所以|a⃗|=|BA⃗|=BC，类似地有|b⃗|=|CB|，|c⃗|=|AC|。所以上述式子可以进一步简化为：cos∠A+cos∠B+cos∠C=1/2(BC·CB+CB·AC+AC·BC)根据向量的点乘运算，可以得到：cos∠A+cos∠B+cos∠C=1/2(BC2+CB2+AC2)由于BC=a，CB=b，AC=c，所以上述式子可以进一步简化为：cos∠A+cos∠B+cos∠C=1/2(a2+b2+c2)由于cos∠A+cos∠B+cos∠C=1，所以a2+b2+c2=2可以看出，在任意三角形中，三边的平方和为2。从而得到三角形的内角和为180度。(2)三角形的面积根据向量的概念和性质，可以得到三角形的面积公式。假设三角形的三个顶点为A、B、C，对应的向量为a⃗、b⃗和c⃗。根据向量叉乘的性质，有：S=1/2|a⃗×b⃗|展开向量的叉乘，可以得到：S=1/2|(BA⃗)×(BC⃗)|然后使用向量的性质，展开上述式子，并注意到向量的叉乘可以用向量夹角的正弦表示，即：S=1/2|BA⃗||BC⃗|sin∠A由于BA⃗=-AB⃗=-a⃗，所以|BA⃗|=|a⃗|，同样地有|BC⃗|=|c⃗|。所以上述式子可以进一步简化为：S=1/2|a⃗||c⃗|sin∠A由于向量c⃗=AC⃗，所以sin∠A=|c⃗|/|a⃗|，所以上述式子可以进一步简化为：S=1/2|a⃗||c⃗||c⃗|/|a⃗|=1/2|a⃗×c⃗|由于向量的叉乘表示了向量的大小和方向，所以上述式子可以进一步简化为：S=1/2|(BA⃗)×(CA⃗)|即三角形的面积可以用向量的叉乘表示。三、实际问题的解决通过向量法研究三角形的性质，可以解决一些实际问题。例如，已知三角形ABC的两边长分别为a和b，夹角为C，通过向量法可以得到三角形的面积和高的关系。根据向量的概念和性质，可以得到：S=1/2|(BA⃗)×(CA⃗)|=1/2absinC根据三角形的面积公式，可以得到：S=1/2absinC=1/2ah其中h为三角形的高，即垂直于底边的线段。从而得到：h=absinC通过这种以问题为导向的探究学习过程，可以帮助学生深入理解三角形的性质，并培养其解决问题和思辨能力。同时，通过实际问题的解决，可以将抽象的数学知识应用到实际生活中，提高学生对数学的兴趣和学习动力。结论:本论文以问题为导