2022-2023学年北京市海淀区高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年北京市海淀区高二（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知集合A={x[-3<x<3},B={-3,0,1,2},则4nB=()

A.[0,1}B.[0,1,2)C.{—3,0,1,2}D.[-2,-1,0,1,2)

2.已知命题p：3x<3,|x-2|<1,则->「为（）

A.3x<3,|x-2|>1B.3x>3,\x-2\<1

C.Vx<3,|x-2|>1D.Vx>3,|x-2|>1

3.已知｛时｝为等比数列，公比q>0,—12,-a5=81,贝!]的=()

A.81B.27C.32D.16

4.下列四个函数中，在区间［0,1］上的平均变化率最大的为（)

1

A.y=xB.y=exC.y=sinxD.

5.已知aVb,贝!J()

A.a2<b2B.e~a<e~b

C.ln(|a|+1)<In(网+1)D.a\a\<b\b\

6.已知函数/（%）=x2-sinx,则/吗）的值为（）

A.0B.71c.贮D.―贮

44

7.从A,B,C,。4本不同的文学读物中选出3本分给甲、乙、丙3名学生（每人一本）.如果甲

不得4读物，则不同的分法种数为（）

A.24B.18C.6D.4

8.已知等差数列｛a九｝的前几项和为%,公差为d,则有最大值”是“d<0”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

9.学校要从8名候选人中选4名同学组成学生会.已知恰有3名候选人来自甲班，假设每名候

选人都有相同的机会被选中，则甲班恰有2名同学被选中的概率为（）

A.jBcD

4l-l-右

32

10.已知函数/（%）=%+3x+bx+c.若函数g（%）=有三个极值点血，1,n,且m<

1<n,则nm的取值范围是（）

1

A.(-oo,l)B.(—8，NC.(-oo,-1)D.(-00,-2)

二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）

11.在（1+3x）4的展开式中，/的系数为.（用数字作答）

12.不等式是<1的解集是.

13.已知函数/'（%）=e'+a/一1在（0,+8）上是增函数，则a的取值范围是.

14.随着大数据时代的到来，越来越多的网络平台开始使用推荐系统来给用户提供更加个性

化的服务.某公司在研发平台软件的推荐系统时发现，当收集的数据量为工。>2）万条时，推

荐系统的准确率约为P=3，平台软件收入为40000p元.已知每收集1万条数据，公司需要花

费成本100元，当收集的数据量为万条时，该软件能获得最高收益.

15.已知各项均不为零的数列｛a",其前几项和是分,%=a,且%=anan+1（n=1,2,…）.给

出下列四个结论：

①a2=1；

②｛即｝为递增数列；

③若VneN*,an+1>an,贝b的取值范围是（0,1）;

@3meW*,使得当k>/n时，总有守-<l+eT°.

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题（本大题共4小题，共40.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.（本小题9.0分）

已知等差数列｛a"前n项和为无,满足ct4=8,S3=12.

（I）求数列｛即｝的通项公式；

（口）若等比数列｛小｝前几项和为及，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作

为已知，设CnUCln+b”，求数列｛%｝的前71项和“公

条件①：b]b2b3=8；

条件②：72=52；

条件③：76=973.

17.（本小题10.0分）

某企业产品利润依据产品等级来确定：其中一等品、二等品、三等品的每一件产品的利润分

别为100元、50元、50元.为了解产品各等级的比例，检测员从流水线上随机抽取了100件产

品进行等级检测，检测结果如表：

产品等级一等品二等品三等品

样本数量(件)503020

(I)若从流水线上随机抽取2件产品，估计2件产品中恰有1件一等品、1件二等品的概率；

(H)若从流水线上随机抽取3件产品，记X为这3件产品中一等品的件数，丫为这3件产品的利

润总额.

①求X的分布列；

②直接写出丫的数学期望EK

18.(本小题11.0分)

已知函数/'(%)=1+alnx.

(I)当。=2时，求曲线y=/Q)在点(1,7(1))处的切线方程；

(口)当a=2时，求函数/'(%)的零点个数；

(HI)若对任意的xe[1,+8),都有求实数a的最大值.

19.(本小题10.0分)

给定整数n>2,对于数列A：a1，a2,…，定义数列B如下:仇=min(a1,a2)>b2=min(a2,a3},

bn_1=min{an_1,an},bn=min{an,a^,其中min{Xi，X2,一•，久上}表示尤i，龙2，“r刀上这k个

数中最小的数.记％=+a2+-■■+an>Tn=+b2+-Fbn.

(I)若数列4为①1，0,0,1；②1,2,3,4,5,6,7,分别写出相应的数列B；

(H)求证：若%=Sn，则有的=a?=…=&i；

(也)若%=0,常数的使得。<Cn-m讥a，Ci2,…,a"恒成立，求C”的最大值.

答案和解析

L【答案】B

【解析】解：集合4={x|-3<x<3},B={-3,0,1,2）,

则4CB={0,1,2}.

故选：B.

根据集合交集的定义求解即可.

本题考查集合的交集运算，考查学生计算能力，属于基础题.

2.【答案】C

【解析】解：命题p：3%<3,|x-2|<1,

则-ip：Vx<3,|x-2|>1.

故选：C.

根据特称命题的否定定义求解.

本题考查特称命题的否定，考查学生逻辑推理能力，属于基础题.

3.【答案】B

【解析】解：；{册}为等比数列，公比q>0,a2+a3=12,-a5=81=a^,

；•{斯}的各项都是正实数，,a3=9或<23=-9（舍去），

2

•••=3,「=言=3,a5=a3-q=27.

故选：B.

由题意，利用等比数列的定义、性质、通项公式，求出和q2的值，从而求出口5的值.

本题主要考查等比数列的定义、性质、通项公式，属于基础题.

4.【答案】B

【解析】解：4：y=%在［0,1］上的平均变化率为"?Y（°）=1；

B-.y=口在［0,1］上的平均变化率为=e—1；

C：y=s讥%在［0,1］上的平均变化率为“?，（°）=sinl；

1—（J

D：y=击在［0,1］上的平均变化率为普铲=-1.

故选：B.

根据函数的平均变化率的定义分别检验各选项即可判断.

本题主要考查了函数平均变化率的定义，属于基础题.

5.【答案】D

【解析】解：根据题意，依次分析选项：

对于4当a=—2,b=0时，a<b,但@2>62,4错误；

对于8,当。=-2,b=0时，a<b,但°一。=">1=^一/B错误;

对于C,当a=-2,b=0时，a<bf当ln(|a|+1)=ln3>ln(|&|+1)=Zn2,C错误；

对于O,函数f(%)=x\x\=俨~0,易得/(%)在R上为增函数，

若avb,则有/(a)</(b),即Q|Q|V一网,。正确.

故选：D.

根据题意，举出反例，说明/、B、。错误，分析函数/(%)=%|刘的单调性，结合函数单调性的定

义分析可得。正确，综合可得答案.

本题考查不等式的性质以及应用，涉及函数单调性的性质和应用，属于基础题.

6.【答案】B

【解析】解：根据题意，函数/(%)=x2•sinx,则/'(%)=2xsinx+x2cosx,

则((方=兀s讥5+G)2cos］=7T.

故选：B.

根据题意，先求出「(久)，将％=5代入，计算可得答案.

本题考查导数的计算，注意函数导数的计算公式，属于基础题.

7.【答案】B

【解析】解：由题意，甲不得4读物，则甲从B,C,。中选一本，有3种不同的选法,

甲选完，乙、丙2名同学从剩余的3本文学读物中选择，有屑=6种不同的选法，

则不同的分法种数共有3x6=18种.

故选：B.

根据分步计数原理以及排列数的定义计算即可.

本题考查分步计数原理的应用，考查排列数的计算，属于基础题.

8.【答案】B

【解析】解：••・等差数列前几项和%=g•/+(的一9•71,

当d<0时，由目对应的二次函数开口向下可知，Sn有最大值，

若等差数列是各项为0的常数列，则%最大值也为0,此时d=0,

所以“Sn有最大值”是“d<0”的必要不充分条件.

故选：B.

根据等差数列前几项和的函数性质及d=0的等差数列，判断题设条件间的推出关系，结合充分、

必要性定义即可知答案.

本题考查等差数列的前几项和性质，充要条件的判定，属基础题.

9.【答案】C

【解析】解：由题意可得，所有的选法共有谶，该班恰有2名同学被选到的种数为窗金，

故甲班恰有2名同学被选到的概率P=等=3

故选：C.

根据已知条件，分别求出样本空间的种数和该班恰有2名同学被选到的种数，结合古典概型的概率

计算公式，即可求解.

本题主要考查古典概型的问题，需要学生熟练掌握古典概型的概率计算公式，属于基础题.

10.【答案】D

【解析】解：已知函数/(%)=/+3%2+bx+C,函数定义域为R,

可得/''(%)=3x2+6x+b,

此时g(x)=e~xf(x),函数定义域为R,

可得g'Q)=—e~xf(x)+e-xf'(x)=e~x[—x3+(6—b)x+b—c],

因为函数g(x)有三个极值点1,n,

所以g'(l)=0,

解得c=5,

此时g'Q)=e~x[—x3+(6—b)x+6-5]=e~x(x—1)(—%2—x+b—7),

因为m,九是函数g(%)的极值点，

所以％=TH,%=几是g'(%)=0的两个根，

因为^一771,e~n,m—1,九—1均不为零且mV1V九，

所以他，九为方程一%+b-7=0的两个根，

可得mn=7—b,

不妨设九。)=-%2-%+h-7,函数定义域为R,

满足h(77i)=h(n)=0,m<1<n,

又函数似%)是开口向下的二次函数，

当％=1时，h(l)>0,

解得7—b<—2,

则nm<—2.

故选：D.

由题意，得到函数g。)的解析式，对函数9。)进行求导，根据g'(l)=0对式子进行整理，根据加

九是函数g(%)的极值点，得到％=TH,%=几是g'(%)=0的两个根，又e-叱e~n,m-1,九一1均

不为零且mV1V九，此时机，九为方程—/一％+b—7=0的两个根，易得mn=7—b,构造函

数以为=-/_%+b_7,利用二次函数的性质列出等式求解即可.

本题考查录用导数研究函数的单调性和极值，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力.

11.【答案】54

【解析】解：展开式的通项为〃+1=或(3%)4-1

令丁=2得到展开式中小的系数是量X32=54.

故答案为：54.

在二项展开式的通项公式中，令第的幕指数等于2,求出丁的值，即可求得展开式中小的系数.

本题是基础题，考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题.考查计算能力.

12.【答案】(―8,—l)U(0,+8)

【解析】解：:=<1，.•.=一1=^^=言<0,

1+x1+x1+x1+x

••・%(%+1)>0,・•.x>0或％<—1,

则不等式£<1的解集是(-8,-1)u(0,+8).

故答案为：(―°°,—1)U(0,+oo).

将分式不等式转化成整式不等式即可.

本题考查分式不等式，属于基础题.

13.【答案】{a|a2—*}

【解析】解：因为函数/(%)=e"+a/一1在(o,+8)上是增函数，

所以/'(乃=ex+2ax>0在(0,+8)上恒成立，

故2a>一?在(0,+8)上恒成立，

令g(x)=_?，x>0，

则再)=-甘，

当％>1时，/(%)V0,g(%)单调递减，当0<%<1时，g'(%)>0,g(x)单调递增,

故g(%)W9(1)=一e，即g(x)ma%=g(l)=-e，

故2a>-e,

所以a>~~\e'

故答案为：{a|a2e}.

先对函数求导，结合导数与单调性关系即可求解.

本题主要考查了导数与单调性关系的应用，属于中档题.

14.【答案】19

【解析】解：设收益为“元,

40000%.40000

根据题意可得W=40000p-100%=-100%=40100一[-+100(X+1)]<40100-

x+l%+1

2x100(%+1)=36100-

当且仅当*?=100(%+1),即％=19时，力取得最大值36100元,

故答案为：19.

设收益为W元，根据题意得到卬=40100-［甯+100（x+l）］,再根据基本不等式求解即可.

本题主要考查根据实际问题选择合适的函数模型，属于中档题.

15.【答案】①③

【解析】解：对于①，由题意S1==。1，所以。2=1，①正确；

对于②，若则的>。2,显然数列也九｝不是递增数列，②错误；

由S九=&1a九+i可得当九之2,^n-i=。九-1。九，一*式相减得。九=。九（。九+1-1），

由于数列｛即｝各项不为零，所以有册+i-an_r=1,

所以｛的九-1｝，｛的竟是以1为公差的的等差数列，

a2n-l=。+几—1，=几，当&i+l>an9即。2九>a2n-l9且。2九+1>a2nf

即九>a+n—1,a+n>n,解得0<a<l,③正确；

令a=则的=a+1=|,。4=2,|^=^>1+e-10,④错误.

故答案为：①③.

根据条件求出数列数列｛a九｝中奇数项和偶数项的通项公式，而后对各结论进行分析即可.

本题主要考查等差数列性质，属中档题.

16.【答案】解：（I）由题意，设等差数列｛%｝的公差为d,

。4=+3d=8

（53=3的+竽d=12）

化简整理，得H片二％

解得

3=2

・•・a九=2+2•（九一1）=2九,nEN*.

（口）方案一：选择条件①②

由题意，设等比数列｛%｝的公比为q（q40）,

2

皿俨162b3=d•b^q-brq=8

、u2=br+b2=hi+brq=6，

整理，得｛比：=6，

仅i=4

解得^=21，

3n

bn=4.(扔-i=2-,nGN*,

%=q+c2+■­■+cn

=+瓦)+(。2+。2)+,"+(an+bn)

=(at+a24----Fan)+血+b2H----l-bn)

=Sn+Tn

,4.[l-(1)n]

n(n—1)

2•71++,1

-2-

1

=nz7+n+8——工.

方案二：选择条件①③

由题意，设等比数列｛,｝的公比为q（q丰0）,

当q=1时，T6=6瓦,

73=3瓦，即9T3=27瓦，

此时北*9T3,

故q=l不符合题意，即公比q41,

当时，〃=a[l_q6),

01-q

_ai(l-q3)

/3—]_q，

9T3,

・・・T6=

.ai(lY)_Q.。1(1一冷

一1—q1—q'

化简整理，得q6—9q3+8=0,

解得q3=1(舍去)，或q3=8,

即q=2,

vb[b2b3=8,即(瓦q)3=8,

•••brq=2,角星得%=1,

c

•••Mn=q+。2+…+n

=(%+瓦)+(a2+力2)+…+(a/i+bn)

=(的+a24----Fa九)+(瓦+b24-----卜“)

=Sn+Tn

r,n(n-l)„,l-2n

=2.n+^.2+__

=n2+n—1+2n.

方案三：选择条件②③

由题意，设等比数列出"的公比为q(q力0),

当q=1时，T6=6瓦，

T3=3br,即9T3=27瓦，

此时76丰9T3,

故q=1不符合题意，即公比q丰1,

当时，？6=当二吧，

'01—q

_Qi(l—q3)

13-1_q'

・・,T6=9T3,

...Ql(l-q6)=g.一泊

,・1—q1—q'

化简整理，得q6-9q3+8=0,

解得q3=1(舍去)，或q3=8,

即q=2,

72=瓦+尻=瓦+瓦q=S2=6,

解得九=2,

•••“n=+c2■1----^~cn

=(%+瓦)+(a2+b2)+…+(。九+bn)

=(a1+a2H-----Fan)+(瓦+b2-\----Fb九)

=Sn+Tn

=2.n+-2+—

Z1—z

=n2+n—2+2n+1.

【解析】(I)先等差数列｛即｝的公差为d,再根据题干已知条件列出关于首项的与公差d的方程组，

解出的与d的值，即可计算出等差数列｛册｝的通项公式；

(H)在选择条件①②的情况下，先设等比数列｛与｝的公比为q(q40),再根据题干已知条件列出

关于首项瓦与公比q的方程组，解出瓦与q的值，再运用分组求和法，以及等差数列与等比数列的

求和公式即可计算出数列｛7｝的前几项和M”；在选择条件①③的情况下，先设等比数列｛g｝的公

比为q(q丰0),先分析判断出公比q*1,再根据等比数列的求和公式及北=9&列出关于公比q的

方程，解出q的值，进一步化简条件①b/2b3=8并计算出首项名的值，再运用分组求和法，以及

等差数列与等比数列的求和公式即可计算出数列｛%｝的前几项和在选择条件②③的情况下，

先设等比数列｛与｝的公比为q(q丰0),先分析判断出公比q丰1,再根据等比数列的求和公式及北=

9痣列出关于公比q的方程，解出q的值，进一步化简条件②&=52并计算出首项九的值，再运用

分组求和法，以及等差数列与等比数列的求和公式即可计算出数列｛4｝的前n项和“公

本题主要考查等差数列与等比数列的基本运算，以及数列求和问题.考查了方程思想，分类讨论

思想，转化与化归思想，分组求和法，等差数列与等比数列求和公式的运用，以及逻辑推理能力

和数学运算能力，属中档题.

17.【答案】解：(I)记40=1,2)表示“第t件产品是一等品”，

记B®=1,2)表示“第i件产品是二等品”，

记C表示“2件产品中恰有1件一等品、1件二等品”，

此时C=A1B2+A2B1,

易知p(4)=g,P®)=),

1alaa

则P(C)=P(A^P(B2)+P(42)P(B1)f+卜)=S；

(n)①若从流水线上随机抽取3件产品，

则X的所有取值为0,1,2,3,

11111131113

-1^

X-8在--XXX---XXX-

此时P(X=0)=x2-2-?2-2-2-8-2)2-2-2-8-

P(X=3)1g1*1

所以X的分布列：

X0123

1331

P

8888

②£Y=225.

【解析】(I)由题意，记4。=1,2)表示“第i件产品是一等品"，记=1,2)表示“第i件产品

是二等品”，记C表示“2件产品中恰有1件一等品、1件二等品”，结合所给信息代入公式求解即

可.

(II)①得到X的所有取值，求出相对应的概率，进而可列出分布列;

②结合①中信息代入公式进行求解即可.

本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查了数据分析和运算能力.

18.【答案】解：(1)已知/(%)=；+出的函数定义域为(0,+8),

当Q=2时，/(%)="+2Znx,

可得/■'(%)=_妥+”等，

所以r(1)=1,

又"1)=1，

所以曲线y=/(x)在(1)(1))处的切线方程为y-l=lx(x-l),

即y=x；

1

(n)当a=2时，/(%)=；+2仇》,

要求函数/(%)的零点个数，

即求方程1+2xlnx=0的根，

不妨设9。)=1+2%/nx,函数定义域为(0,+8),

可得。'(％)=21nx+2,

当0(尤时，g'(x)<0,g(x)单调递减；

当时，g'(x)>0,g(x)单调递增，

所以当久=加，函数g(x)取得极小值也是最小值，最小值片)=1-1>0,

此时g(%)>0,

所以与工轴无交点，

即方程1+2xlnx=0无实数根，

故函数/(%)没有零点；

(皿)若对任意的％G[L+8),都有/(%)4%,

不妨设h(%)=/(x)一%=g+alnx-x,函数定义域为[1,+8),

可得h'(x)=_1+?-1=弋尸,

当Q>2时，

易知方程y=-x2+ax-1中4=a2—4>0,

所以该方程有两个实数根，设为右,不，

因为％1+%2=a>0,%i%2=1>0,

不妨设0</<1<%2，

当1V%V%2时，h'(x)>0,h(%)单调递增;

当%>%2时，九'(%)<0,九(%)单调递减,

所以当％=也时，函数九(%)取得极大值，极大值/(冷)>g(D=。，不符合题意；

当a<2时，

易知方程y=-x2+ax—1中/=a2—4<0,

即方程y=-x2+ax-1与％轴至多有一个交点，

又函数y=-x2+