数学（人教版选修22）练习活页作业（十八）

活页作业(十八)数学归纳法1．已知f(n)＝eq\f(1,n)＋eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,n2)，则()A．f(n)共有n项，当n＝2时，f(2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)B．f(n)共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)C．f(n)共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)D．f(n)共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)解析：结合f(n)中各项的特征可知，分子均为1，分母为n，n＋1，…，n2的连续自然数共有n2－n＋1个，且f(2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4).答案：D2．用数学归纳法证明不等式1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n－1)＜n(n是正整数，n＞1)，从n＝k到n＝k＋1变化时，左边增加的项数是()A．2k B．2k－1C．2k－1 D．2k＋1解析：项数为2k＋1－2k＝2k.答案：A3．对于不等式eq\r(n2＋n)＜n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n＝1时，eq\r(12＋1)＜1＋1，不等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即eq\r(k2＋k)＜k＋1，则当n＝k＋1时，eq\r(k＋12＋k＋1)＝eq\r(k2＋3k＋2)＜eq\r(k2＋3k＋2＋k＋2)＝eq\r(k＋22)＝(k＋1)＋1，∴n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法()A．过程全部正确B．n＝1验得不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确解析：在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的归纳假设，故选D.答案：D4．若f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的递推关系式是______．解析：∵f(k)＝12＋22＋…＋(2k)2，f(k＋1)＝12＋22＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2，∴f(k＋1)－f(k)＝(2k＋1)2＋(2k＋2)2，即f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2.答案：f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)25．已知f(n)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n)(n∈N*)，证明不等式f(2n)>eq\f(n,2)时，f(2k＋1)比f(2k)多的项数是______项．解析：f(2k)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2k)，f(2k＋1)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2k)＋eq\f(1,2k＋1)＋eq\f(1,2k＋2)＋…＋eq\f(1,2k＋2k)因此，f(2k＋1)比f(2k)多了2k项．答案：2k6．用数学归纳法证明：1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n－1)＜n(n∈N*，n>1)．证明：(1)当n＝2时，左边＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)，右边＝2，左边＜右边，不等式成立．(2)假设当n＝k时，不等式成立，即1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2k－1)＜k，则当n＝k＋1时，有1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2k－1)＋eq\f(1,2k)＋eq\f(1,2k＋1)＋…＋eq\f(1,2k＋1－1)＜k＋eq\f(1,2k)＋eq\f(1,2k＋1)＋…＋eq\f(1,2k＋1－1)＜k＋eq\f(1×2k,2k)＝k＋1，所以，当n＝k＋1时不等式成立．由(1)和(2)知，对于任意大于1的正整数n，不等式均成立．7．某个与正整数有关的命题：如果当n＝k(k∈N*)时命题成立，则可以推出当n＝k＋1时该命题也成立．现已知n＝5时命题不成立，那么可以推得()A．当n＝4时命题不成立B．当n＝6时命题不成立C．当n＝4时命题成立D．当n＝6时命题成立解析：因为当n＝k(k∈N*)时命题成立，则可以推出当n＝k＋1时该命题也成立，所以假设当n＝4时命题成立，那么n＝5时命题也成立，这与已知矛盾，所以当n＝4时命题不成立．答案：A8．若k棱柱有f(k)个对角面，则k＋1棱柱的对角面的个数为()A．f(k)＋k－1 B．f(k)＋kC．f(k)＋k＋1 D．f(k)＋k－2解析：由k棱柱到k＋1棱柱，底面对角线增加k－2＋1＝k－1条，∴增加了(k－1)个对角面．答案：A9．用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3…(2n－1)时，由k增加到k＋1时，可两边同乘一个代数式__________．解析：当n＝k(k∈N*)时，左边为(k＋1)(k＋2)…(k＋k)；当n＝k＋1时，左边为(k＋1＋1)·(k＋1＋2)·…·(k＋1＋k－1)·(k＋1＋k)·(k＋1＋k＋1)，则左边应增乘的式子是＝2(2k＋1)．答案：2(2k＋1)10．设平面上n个圆周最多把平面分成f(n)片(平面区域)，则f(2)＝______，f(n)＝__________.(n≥1，n∈N*)解析：易知2个圆周最多把平面分成4片；n个圆周最多把平面分成f(n)片，再放入第n＋1个圆周，为使得到尽可能多的平面区域，第n＋1个应与前面n个都相交且交点均不同，有n条公共弦，其端点把第n＋1个圆周分成2n段，每段都把已知的某一片划分成2片，即f(n＋1)＝f(n)＋2n(n≥1)，所以f(n)－f(1)＝n(n－1)，而f(1)＝2，从而f(n)＝n2－n＋2.答案：4n2－n＋211．请观察以下三个式子：(1)1×3＝eq\f(1×2×9,6)；(2)1×3＋2×4＝eq\f(2×3×11,6)；(3)1×3＋2×4＋3×5＝eq\f(3×4×13,6)，归纳出一般的结论，并用数学归纳法证明之．解：结论：1×3＋2×4＋3×5＋…＋n(n＋2)＝eq\f(nn＋12n＋7,6)，证明：①当n＝1时，左边＝3，右边＝3，所以左边＝右边．②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，命题成立，即1×3＋2×4＋3×5＋…＋k(k＋2)＝eq\f(kk＋12k＋7,6)，则当n＝k＋1时，1×3＋2×4＋…＋k(k＋2)＋(k＋1)(k＋3)＝eq\f(kk＋12k＋7,6)＋(k＋1)(k＋3)＝eq\f(k＋1,6)(2k2＋7k＋6k＋18)＝eq\f(k＋1,6)(2k2＋13k＋18)＝eq\f(k＋1k＋22k＋9,6)，所以当n＝k＋1时命题成立，由①②知，命题成立．12．已知数列{an}中，a1＝－eq\f(2,3)，其前n项和Sn满足an＝Sn＋eq\f(1,Sn)＋2(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法加以证明．解：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝Sn＋eq\f(1,Sn)＋2.∴Sn＝－eq\f(1,Sn－1＋2)(n≥2)．则有：S1＝a1＝－eq\f(2,3)，S2＝－eq\f(1,S1＋2)＝－eq\f(3,4)，S3＝－eq\f(1,S2＋2)＝－eq\f(4,5)，S4＝－eq\f(1,S3＋2)＝－eq\f(5,6)，由此猜想：Sn＝－eq\f(n＋1,n＋2)(n∈N*)．用数学归纳法证明：①当n＝1时，S1＝－eq\f(2,3)＝a1