第1节 随机抽样

1.理解随机抽样的必要性和重要性．2．会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本．3．了解分层抽样和系统抽样方法．

1．简单随机抽样

(1)定义：设一个总体含有N个个体，从中

抽

取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个

个体被抽到的机会

，就把这种抽样方法叫做简单随

机抽样．

(2)最常用的简单随机抽样的方法：

和

．逐个不放回地都相等抽签法随机数法2．系统抽样的步骤假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本．3．分层抽样

(1)定义：在抽样时，将总体

的层，然后

按照

，从各层独立地抽取一定数量的个体，

将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法

是一种分层抽样．

(2)分层抽样的应用范围：

当总体是由

组成时，往往选用分

层抽样．分成互不交叉一定的比例差异明显的几个部分提示：(1)抽样过程中每个个体被抽取的机会均等．(2)系统抽样中在起始部分抽样时采用简单随机抽样；分层抽样中各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样．

[思考探究]三种抽样方法有什么共同点和联系？1．在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性是 (

)A．与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性最大B．与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性最小C．与第几次抽样无关，每一次抽到的可能性相等D．与第几次抽样无关，与抽取几个样本有关解析：在简单随机抽样中，每一个个体被抽到的机会是均等的．答案：C2．对某校高中学生做专项调查，该校高一年级320人，高

二年级280人，高三年级360人，若采用分层抽样的方

法抽取一个容量为120的样本，则从高二年级学生中抽

取的人数为 (

)A．35

B．40C．25D．45

解析：

×120＝35.答案：A3．要从已经编号(1～60)的60枚最新研制的某型号导弹中随

机抽取6枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一

样的系统抽样方法确定所选取的6枚导弹的编号可能是

(

)A．5,10,15,20,25,30 B．3,13,23,33,43,53C．1,2,3,4,5,6D．2,4,8,16,32,48解析：分6组，每组10个编号，每个被抽取的编号之间相差10.答案：B4．为了解1200名学生对学校某项教改实验的意见，打算

从中抽取一个容量为30的样本，考虑采取系统抽样，

则分段的间隔k为________．解析：在系统抽样中，确定分段间隔k，对编号进行分段，k＝(N为总体的容量，n为样本的容量)，∴k＝＝40.答案：405．北京某中学高一、高二、高三三个年级的学生数分别

为1500人，1200人，1000人，现采用按年级分层抽

样的方法参加2008年奥运会的宣传活动，已知在高一

年级抽取了75人，则这次活动共抽取了________人．解析：设共抽取了x人，则有：

×1500＝75.∴x＝185.答案：185简单随机抽样的特点1．简单随机抽样要求被抽取的样本的总体个数N是有限的．2．简单随机抽样样本数n小于等于样本总体的个数N.3．简单随机抽样样本是从总体中逐个抽取的．4．简单随机抽样是一种不放回抽样．5．简单随机抽样的每个个体被选中的可能性均为.[特别警示]

当总体中个体数较少时适用抽签法；当总体中个体数较多时适用随机数法．某大学为了支援我国西部教育事业，决定从2009年应届毕业生报名的18名志愿者中，选取6人组成志愿小组，请用抽签法和随机数法设计抽样方案．[思路点拨][课堂笔记]抽签法：第一步：将18名志愿者编号，编号为1,2,3，…，18.第二步：将18个号码分别写在18张外形完全相同的纸条上，并揉成团，制成号签．第三步：将18个号签放入一个不透明的盒子，充分搅匀．第四步：从盒子中逐个抽取6个号签，并记录上面的编号．第五步：所得号码对应的志愿者，就是志愿小组的成员．随机数法：第一步：将18名志愿者编号，编号为01,02,03，…，18.第二步：在随机数表中任选一数作为开始，按某一确定的方向读数，例如选出第8行第7列的数7.第三步：从数7开始，向右读，每次取两位，凡不在01～18中的数，或已读过的数，都跳过去不作记录，依次可得16,10,12,07,15,13.第四步：找出以上号码对应的志愿者就是志愿小组的成员．若把本例中的“18名志愿者”改为“1800名志愿者”，又应该如何进行抽样？解：因为总体数较大，若选用抽签法制号签太麻烦，故应选用随机数表法.第一步：先将1800名学生编号，可以编为0001,0002,0003，…，1800.第二步：在随机数表中任选一个数作为开始，按某一确定的方向读数，例如选出第2行第5列的数2.第三步：从选定的数开始向右读，依次可得0736,0751,0732,1355,1410,1256为样本的6个号码，这样我们就得到一个容量为6的样本.系统抽样的特点1．适用于元素个数很多且均衡的总体．2．各个个体被抽到的机会均等．3．总体分组后，在起始部分抽样时采用的是简单随机

抽样．4．如果总体容量N能被样本容量n整除，则抽样间隔为k

＝，如果总体容量N不能被样本容量n整除，可随

机地从总体中剔除余数，然后再按系统抽样的方法抽样．[特别警示]

系统抽样的四个步骤可简记为：编号—分段—确定起始的个体号—抽取样本．某校高中三年级的295名学生已经编号为1,2，…，295，为了了解学生的学习情况，要按1∶5的比例抽取一个样本，用系统抽样的方法进行抽取，并写出过程．[思路点拨][课堂笔记]按1∶5分组，每组5人，共分59组，每组抽取一人，关键是确定第1组的编号．按照1∶5的比例，应该抽取的样本容量为＝59，我们把295名同学分成59组，每组5人．第1组是编号为1～5的5名学生，第2组是编号为6～10的5名学生，依次下去，第59组是编号为291～295的5名学生．采用简单随机抽样的方法，从第1组5名学生中抽出一名学生，不妨设编号为l(1≤l≤5)，那么抽取的学生编号为l＋5k(k＝0,1,2，…，58)，得到59个个体作为样本，如当l＝3时的样本编号为3,8,13，…，288,293.分层抽样是当总体由差异明显的几部分组成时采用的抽样方法，进行分层抽样时应注意几点：①分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定，总的原则是，层内样本的差异要小，两层之间的样本差异要大，且互不重叠；②为了保证每个个体等可能入样，所有层中每个个体被抽到的可能性相同；③在每层抽样时，应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行抽样．某单位有职工550人，现为调查职工的健康状况，先决定将职工分成三类：青年人、中年人、老年人，经统计后知青年人的人数恰是中年人的人数的两倍，而中年人的人数比老年人的人数多50人．若采用分层抽样，从中抽取22人的样本，则青年人、中年人、老年人应该分别抽取多少人？[思路点拨][课堂笔记]

设该单位职工中老年人的人数为x，则中年人的人数为x＋50，青年人的人数为2(x＋50)．∴x＋x＋50＋2(x＋50)＝550，∴x＝100，x＋50＝150,2(x＋50)＝300.所以该单位有青年人300人、中年人150人、老年人100人．由题意知抽样比例为，所以青年人、中年人、老年人应分别抽取12人、6人、4人．以选择题或填空题的形式考查分层抽样的应用，主要涉及抽取个体的数量及总体容量的计算等问题，是高考对本讲内容常规考法.09年山东高考将上述问题与概率问题相结合考查，并出现在解答题中，是高考对该部分内容考查的一个新方向．[考题印证](2009·山东高考)(12分)一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)轿车A轿车B轿车C舒适型100150z标准型300450600按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．

(1)求z的值；

(2)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；(3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2.把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．【解】

(1)设该厂这个月共生产轿车n辆，由题意得，所以n＝2000，则z＝2000－(100＋300)－(150＋450)－600＝400.(3分)(2)设所抽样本中有a辆舒适型轿车，由题意，得a＝2.因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．用A1，A2表示2辆舒适型轿车，用B1，B2，B3表示3辆标准型轿车，用E表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，则基本事件空间包含的基本事件有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共10个．事件E包含的基本事件有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，共7个，故P(E)＝，即所求概率为.┄┄┄┄┄┄(8分)(3)样本平均数(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9.设D表示事件“从样本中任取一数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”，则基本事件空间中有8个基本事件，事件D包括的基本事件有：9.4,8.6，9.2，8.7,9.3,9.0，共6个，所以P(D)＝，即所求概率为.┄┄┄┄(12分)[自主体验]某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：初一年级初二年级初三年级女生373Xy男生377370z已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19.(1)求x的值；

(2)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？

(3)已知y≥245，z≥245，求初三年级中女生比男生多的概率．解：(1)x＝2000×0.19＝380(名)；

(2)由题意和(1)可知，初一、初二年级各有学生750名，初三年级学生为2000－750－750＝500(名)，故采用分层抽样方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取×48＝12(名)．(3)当y≥245，z≥245时，初三年级中男、女生人数的所有可能组合为：男生245246247248249250251252253254255女生255254253252251250249248247246245所有可能组合有11种，其中女生比男生多的组合有5种，故初三年级中女生比男生多的概率为.1．要完成下列两项调查：①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、

95户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项

指标；②某中学的15名艺术特长生中选出3人调查学

习负担情况．宜采用的抽样方法依次为 (

)A．①简单随机抽样法，②系统抽样法B．①分层抽样法，②简单随机抽样法C．①系统抽样法，②分层抽样法D．①②都用分层抽样法解析：①中总体由差异明显的几部分构成，宜采用分层抽样法，②中总体中的个体数较少，宜采用简单随机抽样法．答案：B2．有20位同学，编号从1～20，现在从中抽取4人的作文

卷进行调查，用系统抽样方法确定所抽的编号为(

)A．5,10,15,20

B．2,6,10,14C．2,4,6,8 D．5,8,11,14解析：将20分成4个组，每组5个号，间隔等距离为5.答案：A3．某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食

品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中

抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测．若采用分

层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食

品种数之和是 (

)A．4 B．5C．6 D．7

解析：共有食品100种，抽取容量为20，所以各抽取，故抽取植物油类与果蔬类食品种数之和为10×＋20×＝6.答案：C4．(2010·长春模拟)用系统抽样法从160名学生中抽取容量

为20的样本，将160名学生随机地从1～160编号，按编

号顺序平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160

号)，若第16组抽出的号码为126，则第1组中用抽签的方

法确定的号码是________．解析：设第1组抽出的号码为x，则第16组应抽出的号码是8×15＋x＝126，∴x＝6.答案：65．(2009·广东高考)某单位200名职工的年龄分布情况如图，

现要从中抽取40名职工作样本．用系统抽样法，将全

体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40

组(1～5号，6～10号，…，196～200号)．若第5组抽出

的号码为22，则第8组抽出的号码应是________．若用

分层抽样方法，则40