新课标高中数学必修1

必修—L

(一)集合

1.集合的概念

(1)集合是数学中的一个不加定义的原始概念，它是指某些指定对象的全体.集合中的每个对象叫做这个集合的元素，

它具有三个性质，即确定性、无序性和互异性.

(2)根据集合所含元素个数的多少，集合可分为有限集、无限集和空集;根据集合所含元素的性质，集合又可为点集、

数集等.空集是不含任何元素的集合，用0表示.

(3)我们约定用N表示自然数集，用N*表示正整数集，用2_表示整数集，用Q表示有理数集，用且表示实数集.

(4)集合的表示方法有列举法、描述法和图示法(venn图).

2.集合间的基本关系

(1)集合与元素的关系

表示元素和集合之间的关系，有属于和不属于“史”两种情形.

(2)集合与集合之间的关系

集合与集合之间有包含、其包含、不包含、相等等几种关系.

若有限集A中有〃个元素，集合A的子集个数为却，非空子集的个数为2"-1,真子集的个数为2"—1,非空

真子集的个数为2"-2.

3.集合的运算

集合与集合之间有交、并、补集三种运算.

4.集合运算中两组常用的结论

⑴①赖AnB)=(°A)U(*)；

②瘠(AUB)=(uA)n(4).

(2)①0=

②AqB=AU8=B.

(二)番数的概念

(1)函数的定义

设48是非空数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合”中的任意一个数x在集合力中都有唯一确定的数

/•(¥)和它对应,那么就称/:A->B为从集合”到集合月的一个函数，记作y=/(x),xeA.其中X叫做自变量，

*的取值范围4叫做函数的定义域;与*的值相对应的/的值叫做函数值，函数值的集合｛/(x)|xwA｝叫做函数的值

正值域是集合&的子集.

③•映射：设4&是两个集合，如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合力中的任意-•个元素在集合》中都有唯一

确定的元素和它对应，那么这样的对应就称为从集合4到集合2的映射，记作/:4-8.函数实际上是一种特殊的

映射.而映射是一种特殊的对应：一对一，多对一.

(2)函数的三要素：定义域、对应关系及值域称为函数的三要素.在函数的三要素中其决定性作用的是定义域及对应关

叁，定义域及对应关系确定了，这个函数就唯一确定了.

(3)相等函数：定义域相同，并且对应关系完全一致的两个函数就称为相等函数.

2.函数的表示方法

函数的表示方法主要有三种：解析法、图象法、列表法.

分段函数：在定义域的不同部分上有不同的解析式，这样的函数称为分段函数.

(三)函数单调性

1.增函数、减函数

设函数/（X）的定义域为/:

如果对于定义域,内某个区间。上的任意两个自变量的值为，々，当王＜々时，都有/（而）＜/（R2），那么就说函数

/（X）在区间。上是增函数；

如果对于定义域/内某个区间〃上的任意两个自变量的值占，々，当玉＜々时，都有/（M）＞f（x2）,那么就说函

数/（X）在区间〃上是减函数.

2.单调性、单调区间

如果函数＞=/（X）在区间〃上是增函数或减函数，那么就说函数y=/（x）在这一区间上具有（严格的）单调性，

区间。叫彳故y=f（x）的单调区间.

3.利用定义判断（证明）函数单调性的一般步骤：

①设出自变量；②作差（商）；③判号；④写出结论.

2.函数最值的几何意义是对应函数图像上点的纵坐标的最大值或最小值,即图像的最高点或最低点.

3.函数的最值与求函数的值域从概念上看是不同的，函数值域的一些边界值不一定是函数值，函数的最值是函数值域

中的一个值，函数取得最值时，一定有相应的*值.

4.判断函薮单调性的常见方法

①定义法；②图象法；③导数法.④

5.求函数最值或值域的方法

①单调性法；②配方法；③换元法；④判别式法；⑤图象法；⑥不等式法等.

5.一些重要函数的单调性

y=x+工的单调区间：增区间（一8,—1）,（1,+8）;

x------------------

减区间（—1,0）,（0,1）.

y=ax+—（a＞0,b＞0）的单调区间：增区间（一OO,-J2）,（J，，+OO）；减区间（-J2,（））,（o,J2）

（四）函数奇偶性

1.奇偶性

（1）奇函数、偶函数

如果对于函数f（x）的定义域内任意一个了,都有那么函数f（*）就叫做偶函数.

如果对于函数八%）的定义域内任意一个*,都有f（-x）=-f（x）,那么函数/（*）就叫做奇函数.

（2）奇偶性

如果函数/（X）是奇函数或偶函数，那么就说函数/（X）具有奇偶性.

（3）奇函数、偶函数的性质

①奇函数、偶函数的定义域皆关于原点对称（此条件是函数具有奇偶性的必要不充分条件）；

②奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；

③若奇函数/（x）在A=O处有定义，那么一定有/（0）=0.

④在定义域的公共部分内，两个偶函数的和、差、积、商（分母不为零）仍是偶函数；两个奇函数的和、差仍是奇函

数；奇数个奇函数的积为奇函数；偶数个奇函数的积为偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数；一个奇函数与

一个偶函数（均不恒为零）的和与差既不是奇函数，也不是偶函数.

⑤奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.

（五）基本函数：一次二次函数

1.函数y=履+以女#0）叫做一次函数，它的定义域和值域皆为R

2.一次函数性质

3.①当妗。时，为增函数，当衣。时，为遨函数；

②当时，函数y=&（攵w0）为正比例函数；

③直线片片产匕与4轴的交点为（-2,0）（%。0）与夕轴的交点为（0,h）.

k

3.二次函数的解析式的三种形式：

①一般式/（x）=ax2+bx+c；

②顶点式/（x）=a{x-h）2+k；

③零点式/（x）=a（x-）（x-x2）；

4.二次函数的图象与性质

,(b「4cic—b2

①/(x)=2ax-^-bx+c=ax-\----\--------（awO）的图象是一条抛物线，顶点坐标为

I2a4a

'b4ac-。2、

，对称轴方程为x=---,当a>0时开口向上,当a<0时开口向下;

、2。’4a)2a

②△=-4ac〉0（△=（）,△<0）时，抛物线与片轴有2个（1个、无）交点.

bb

③单调性：当〃>0时，/（元）在（一。。,-----］减函数；在（----，+oo）上是增函数.a<0,相反.

2a2a

④奇偶性：当/?=0时，/（X）为偶函数；当时，/（X）既不是奇函数也不是偶函数；

（六）指数函数

1.赛的有关概念

正整数指数混：物较率8=

“个

零指数赛：a°—l（a0）；

a~p=-^-(aw0,pwN,)；

负整数指数蕊：

n

正分数指数赛：a=(。>0,机、nGN+SLH>1)；

--1

负分数指数赛：a〃=——m(a>0,m>〃£%+且〃〉1)；

an

o的正分数指数赛等于0的负分数指数称无意义.

2.赛的运算法则（a>0,b>0,r、s&Q）

aras=ar+s-,（a'）'=a"；（ab）r=arbr

3.指数函数图像及性质

定义y=ax(a>0,〃w1)

图象

定义域R

值域（。,+8）

定点(0,1)

单调性a>l,增减

4.指数函数/（x）=a*具有性质:

/(x+y)=/(x)/(y)J(l)=a(a〉O,awl)

（七）对数函数

1.定义：如果a（a>0,且a丰1）的。次赛等于N,就是a"=N、那么数6称以a为底川的对数，记作/>=log“N,

其中。称对数的底，川称真数.

①以10为底的对数称常用对数，logioN记作IgN，

②以无理数e(e=2.71828)为底的对数称自然对数，log,N记作InN

2.基本性质：①真数N为正数(负数和零无对数)，

②log”1=0,③log“a=l,④对数恒等式：a'°s,,N-N.

3.运算性质：如果a>0,a丰1,M>Q,N>0,则

①loga(MN)=log0M+log。N；②loga—=log,,M-log,,N;

N

③log”M"=nlog”M.

4.换底公式:

log,”N

log”=(。〉0,〃w1,m>0,加w1,N>0),

log,”a

1

①log.。,log"=1,②log,严b'=—log,,b.

m

5.对数函数的图像与性质

定义

图象

定义域

值域

定点

单调性

(八)病函数：y=x,y=fy=x)y」y=产的图像

x

1.当a>0时，称函数y=x"(awR)有下列性质：

(1)图像都通过点(1,1)；

(2)在第一象限内，随x的增大而增大;

(3)在第一象限内，a>1时图像下凸，0<a<l时图像上凸.

(4)在第一象限内，过(1,1)点后，图像向右上方无限伸展.

2.当a<0时，森函数^=%”(167?)有下列性质：

(1)图像都通过点(1,1);

(2)在第一象限内，函数值随X的增大而减小,图像是向下凸的；

(3)在第一象限内，图像向上与y轴无限地接近,向右与x轴无限地接近;

(4)在第-•象限内，过(1』)点后，|a|越大，图像下落的速度越快.

(九)函数图像变换

1.平移变换

⑴水平平移：y=f(X±Q)(Q>0)的图象，可由y=/(x)的图象向左(+)或向右(一)平移Q个单位而得

到；⑵竖直平移：y=/(x)±〃(〃>0)的图象可由y=/(x)的图象向上(+)或向下(一)平移b个单位而得

到；注：对于左、右平移变换，往往容易出错，在实际判断中可熟记口诀：左加右减.

2.对称变换

⑴y=/(-x)与,=/(工)的图象关于F轴对称;

⑵y=一/(x)与丁=/(1)的图象关于％轴对称;

⑶》二一/(一1)与y=/(x)的图象关于原点对称;

(4)y=/■,(x)与y=/(x)的图象关于直线3对称；

⑸y=|/(x)|的图象可将y=/(x)的图象在x轴下方的部分以光轴为对称轴翻折上去，其余部分不变；

(6)y=y(|x|)的图象可将y=/(x),(x>0)的部分作出，再利用偶函数的图象关于y轴对称，作出x<0的

部分.

3.伸缩变换

⑴y=V(x)(A>0)的图象，可将y=/(x)图象上所有点的纵坐标变为原来的土盘，横坐标不变而得到；

⑵),=/(〃x)(Q>0)的图象，可将>=/(x)图象上所有点的横坐标变为原来的,，纵坐标不变而得到.

a

(十)函数的应用

1.函数零点的定义：对于函数)>=〃x)(xe伐y(x)=0成立的-实数工叫做函数y=的零

点.

2.二分法定义：对于区间［a,可上连续，且的函数y=/(x),通过不断把函数/(X)的零点所在

的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,从而得到零点近似值的方法，叫做二分法.注：该法一般求的是近

似解.

3.解函数应用题，一般可按以下四步进行.

(1)阅读理解，认真审题.

⑵引进数学符号，建立数学模型.

⑶利用数学的方法将得到的常规数学问题给出解答，求得结果.

(4)转译成具体问题做出回答.

必修二

(一)多面体和旋转体

1.多面体和旋转体的概念

(1)棱柱：有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面围

成的多面体叫做棱柱.

(2)极锥：有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角影,由这些面所围成的多面体叫做枝锥.

(3)棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台.

(4)圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱.

(5)圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴,其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥.

(6)圆台：①用平行于圆锥底面的平面去横圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台.②圆台还可以看成是以直度捶

形的直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体.

(7)球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体,简称球.

2.多面体和旋转体的面积和体积公式

(1)圆柱的侧面积：S=27Trl;

(2)圆锥的侧面积：S=TTrl\

(3)圆台的侧面积：—7T(r*)/;

(4)球的表面积：V=4ltR2;

(5)柱体的体积：V=Sh;

(6)锥体的体积：V=-Sh;

(7)台体的体积：V=；(S'+JSM+S)/?;

4

(8)球的体积：V=-nR2.

3

(二)画法

1.我们把光由一点向外散射形成的投影,叫做中心投影，中心投影的投影线交于一点.

2.我们把在一束平行光线照射下形成的投影,叫做平行投影，平行投影的投影线是平行的.

在平行投影中，投影线正对着投影面时，叫做正投影,否则叫做斜投影.

3.光线从几何体的前面向后面正投影,得到投影图叫做几何体的正视图；

光线从几何体的左面向右面正投影,得到投影图叫做几何体的侧视图；

光线从几何体的上面向下面正投影,得到投影图叫做几何体的俯视图；

几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图.

一般地，一个几何体的侧视图和正视图矗度一样，俯视图与正视图长度一样,侧视图与俯视图宽度一样.

一般地，侧视图在正视图的左边，俯视图在正视图的王边.

4.斜二测画法的步骤：

(1)在已知图形中取互相垂直的“轴和y轴,两轴交于点&画直观图时，把它们画成对应的x'轴与y'轴，两轴

交于点0',且使Nx'O'y'=45°(或135°),它们确定的平面表示水平平面.

(2)已知图形中生疝于*轴或y轴的线段，在直观图中分别画成壬立于x'轴或y'轴的线段.

(3)已知图形中平行于*轴的线段，在直观图中保持长度不变,平行于y轴的线段，长度为原来的一半.

(三)点线面位置关系

1.四个公理

公理1如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内；

用符号表示为：Ael,Bel,JL4ea,Bean/ua;

公理2过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面；

公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线;

用符号表示为：Pea,且Pw4=>an£=/;

公理4平行于一条直线的两条直线互相平行;

用符号表示为：m//1,且〃〃/二•"〃〃；

2.异面直线

(1)我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.

(2)空间两条直线的位置关系：

(什丁•国直线：同一平面内，有且只有一个公共点;

4t面育线，----

「”]一直线：同一平面内，没有公共点；

一直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.

(3)已知两条异面直线八b,经过空间任一点。作直线a'"小h'IIb,我们把与〃所成的锐角(或直角)叫做

异面直线a与。所成的角(或夹角).

(4)定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.

3.空间中直线与平面之间的位置关系：

(1)直线在平面内一一有无数个公共点；

(2)直线与平面相交一一有且只有一个公共点；

(3)直线与平面平行一一没有公共点；

直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外.

4.平面与平面之间的位置关系：

(1)两个平面平行---没有公共点；

(2)两个平面相交---有一条公共直线.

(四)平行问题

1.定义：直线与平面没有公共点,则称此直线/与平面a平面，记作illa;

2.直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行;

用符号表示：aaa,bu仇旦a"b=a"a.

2.直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平

用符号表示：ci//ci9au0,aCB=bna〃b.

3.平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行;

用符号表示：aubua[}b=P,alla,b//af3//a.

几个结论：

①如果两个平面同垂直于一条直线，那么这两个平面平行；

②平行于同一平面的两个平面平行；

③如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行；

4.平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行；

且符号表示：a1/P，aC\y=a,=b=a〃b.

5.直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.

用符号表示：〃La,±cr=>a//b.

（五）垂直问题

1.定义：如果直线/和平面a内的所有直线都垂直,那么直线/和平面G垂直，记作/La.

直线/叫做平面a的全线，平面。叫做直线/的叁盘.直线与平面垂直时，它们唯一的公共点〃叫做垂足.

2.直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直.

用符号表示：/J_a,aua,bua,C\h=A=>aLa.

3.直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.

用符号表示：aLa,±«=>a//b.

4.平面与平面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直；

用符号表示：aua,a工。na1（3.

5.平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.

用符号表示：aLfi,a=/,aua,all^a1J3.

几个结论：

①如果两个相交平面同时垂直于第三个平面，那么它们的交线必垂直于第三个平面；

②如果两个平面互相垂直，那么过第一个平面内的一点且垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内.

（六）角问题

1.已知两条异面直线a、b、经过空间任一点〃作直线a'力协VIIb,我们把a'与Z/所成的锐角（或直角）叫做

异面直线a与5所成的角（或夹角）.

两异面直线所成角范围I。，y.

2.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的鲤厘，叫做这条直线和这个平面所成的角.

一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角;一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是纥

的角.

71

直线和平面所成角范围0,一.

L2J

3.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角

的面.

在二面角。一1一0的枝/上任取一点0,以点。为垂足，在半平面a和口内分别作垂直于棱/的射线力和OB,则射

线力和如构成的N408叫做二面角的平面角.

二面角的大小可以用它的平面角来衡量.平面角是直角的二面角叫做直二面角.

二面角范围[0,4].

（七）直线的概念与方程

1、直线倾斜角的概念：当直线/与X轴相交时,我们取迷为基准，X轴的正方向与直线/向上的方向所成的角a叫做

直线/的倾斜角.并规定：直线/与x轴平行或重合时,它的倾斜角为0,直线的倾斜角的取值范围是.180°）.

2.直线斜率的概念：把一条直线倾斜角的正以值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母反表示.直线倾斜角a与斜率

k的关系式为女=tana.当k=o时，直线平行于x轴或者与x轴重合；当k>0时，直线的倾斜角为皿_；当k<0时，直线

的倾斜角为笆厘;倾斜角为90°的直线没有斜率.

3、两点斜率公式：直线上两点A（X],%）1（工2,乃），当再=%2时，直线的斜率丕至尾，当王。时，直线的斜率为

x2-x,

4,直线方程的点斜式:设直线/经过点々）（八,九）,且斜率为k,则方程y—y（）=女（了一/）称为直线方程的点斜式.

当直线的斜率不存在时,不能够用点斜式来表示，直线方程此时为x=/一

5、直线方程的斜截式：直线方程2=kx+b由直线的斜率左和它在y轴上的截距b确定，所以方程y=丘+Z?被称

为直线方程的斜截式.斜率不存在时,直线方程斜截式不存在.

6、直线方程的两点式：已知经过两点尸]（2，%）,2（%2，乃）（司工》2，月。乃）的直线方程为二'——=-------

y2f

称为直线方程为直线方程的两点式.直线两点式方程的前提是直线的斜率存在且斜率不为0.

XV

7、直线方程的截距式直线在工轴上的截距为a,在y轴上的截距为b,则直线方程一+±=1称为直线方程的截距式.应

ab

用截距式的前提有斜率存在且不为0,还要求直线不能过原点.

8、直线方程的一般式：二元一次方程Ax+By+C=0（A,8不同时为0）表示的直线方程称为直线方程的一般形

ACAC

式.当8w0时，可变形为y=---x----,它表示一条斜率为----且在y轴上截距为-----的直线；

BBBB

（八）直线的关系和距离

1、直线平行的条件：两条不重合的直线/[、12,根据两条直线平行的定义及性质可知/]〃，2=%二%，再由k

与a的关系可知：/"〃2时&]=七或者左1、■均不存在;反之々=七或者%、攵2均不存在时两条直线平行。考

查两条直线平行时，应首先考虑斜率是否存在。

2、直线垂直的条件：两条直线/]、，2的倾斜角为则两条直线/]一。2=90°.根据两条直线的

斜率判断两条直线垂直的情况分为两类，一是:其中一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为二是:两条直线的斜

率都存在，且乘积为

3、直线:AjX+与y+G=0,直线，2：+82》+C2=0,重合的条件是：斗田？一人2'】二0且

A}C2—42G=°；平行的条件是4当—A2B}=0且4c2—A2Gw0或602—B2clw0.垂直的条件是:

4=0.

4、两条直线交点的求法：直线/]：41+与》+。]=0,直线/]:A2x+B2y+C2=0.两条直线相交的条件是

A.%+B,y+C.=0

A[8?—A）B]W0,直线的交点的坐标为方程组＜“的解.

—L2——LJ——[A2x+B2y+C2=0

5.两点间的距离公式：平面内任意两点A（X],y]）,B（X2，>2）之间的距离为IAB|=J（X]—尤2>+（弘一%）2，当

X]=时IAB|=|%—%I；当弘=>2时|AB|=|X]一％2h

6、点到直线的距离公式：平面内任意一点P（》0，y0）到任意一条直线/:Ax+By+C=0的距离为

|AXQ+By。+C|..C..C

d—------=—特别的，当B=O时d=\XQ—|,当A=O时d=|yo~i—|.

7A2+B2_B

\C-CI

7、两平行线的距离：直线I]:A%+5]y+G=0与（：4环+y+C2=0平行,则d=—/।.

JAJ+BJ

（九）圆的方程

1.圆的标准方程的意义

当圆心位置和半径的大小确定后，圆就唯一确定了，根据圆的定义和两点间的距离公式，得到圆的标准方程

（x-a）2+（y-b）2=r2,圆心（a,b）,半径r（r>0）,所以判断点与圆的位置关系，只需判断点到圆心的距离与半

径的大小关系即可.

2.圆的一般方程

22

D2F2D+E-4F

方程*+y2+Dx+Ey+F=0,则可变形为2,24，只有

DE__D2+E2-4F

当Z>2+E?-4尸>。时，才表示圆，圆心（2，2）,半径Y4,当£>2+E?-4F=p

_D_E_

时，表示点（22）,若£）一+£一一4E<Q,不表示任何图形。

（十）直线和圆圆和圆位置关系

1.点和圆的位置关系

①点到圆心距离等于半径,点在圆上；

②点到圆心的距离小于半径,点在圆内；

③点到圆心的距离大于半径,点在圆外.

2.直线与圆有三种位置关系

①直线与圆相交，有两个公共点；

②直线与圆相切，只有一个公共点；

③直线与圆相亶，没有公共点；

3.判断直线与圆的位置关系的方法有两种

①设圆心到直线的距离为d,圆的半径为「，若d<r,直线与圆相交；若〃=r，直线与圆相切；若d>r,直线

与圆相离.

②直线与圆的方程组成方程组，若方程组有两个解,则直线与圆相交；若只有一个解,则直线与圆相切；若无解,

则直线与圆相离.

4.判断圆与圆的位置关系有两种方法，一是代数法，两圆的方程组成的方程组若有些解，则两圆相交；若有一解,

则两圆相切，但不能判断是内切还是外切；若无解则两圆相离,但不能判断是外离还是内含.二是设两圆的半径分别为

两圆的圆心距为d,则"〉八+r2时，两圆外离；（/=八+八2时，两圆外切；,一<d<八+七时，

r1,r2,

两圆相交；d两圆内切；］＜匕一厂2,寸，两圆内含.

=|fj—r2|at,

必修三

（一）算法

1.算法通常是指用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能

够在有限步之内完成.

2.程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图

形.几种常用的图形符号的名称及作用如下：

图形符号名称作用

起止框表示算法的开始或结束

—

处理框赋值、计算、数据传送

输入输出框输入的数据或信息的输出

O判断框根据条件决定不同的流向

3.算法的三种基本逻辑结构是顺序结构、条件结构和循环结构.

4.输入语句、输出语句分别用来实现算法的输入和输出功能.其一般格式为:

榆入语句:(BASIC)INPUT"提示信息"；变量

(Scilab)x=input（"提示信息”）

输出语句:(BASIC)PRINT"提示信息"；表达式

(Scilab)print（%io（2）,表达式）或表达式

5.赋值语句的功能是给变量赋初值或计算，其一般格式是：变量=表达式.

6.条件语句表达算法中条件一结构.其一般格式为:_________________

BASICScilab

IF条件THENif条件

格语句1语句1；

式ELSEelse

—语句2语句2;

ENDIFend

格IF条件THENif条件

式语句语句；

二ENDIFend

7.循环语句有两种类型，其一般格式是:

BASICScilab

格WHILE条件while条件

式循环体循环体

—WENDend

格DOfor循环变量=初值：步长：终值

式循环体循环体

二LOOPUNTIL条件end

注意：BASIC语句中的关键字、变量名大小写均可，且作用相同，如.4和a是同一个变量.SCILAB中的关键字必须

全部小写，变量名中的字母大小写均可，但不相同，如4和a是两个不同的变量。

8.更相减损术：求两个自然数0,。的最大公约数的算法.将两个数中较大的数减去较小的数，将差与较小的数比

较，再重复以上过程，直到两个数相等时为止，这时这两个相等的数就是0,〃的最大公约数。

9.秦九韶算法：一种求多项式的值的算法.方法是将多项式通过加括号变形，如

/(x)=x3-4x2+5x-6=((x-4)x+5)x-6.

这样计算的好处，一是大大减少了乘法的次数，二是每次计算都是相同的过程一一将上次的结果乘以“再加下一个系数，

这样很容易用计算机来实现.注意计算时若有系数为o的项要补上该项

(二)统计

一■、抽样方法

1.简单随机抽样适用范围：总体容量N较小，且没有明显的个体差异.

2.系统抽样的适用范围：总体容量较大，且没有明显的个体差异.

3.分层抽样⑴定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的

个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样的方法就叫做分层抽样.(2)抽取数量的计算：各层抽取的数

量之比，等于各层的数量之比.如各层分别有300,200,400个个体，则从各层中抽取的个体数量之比为300：200：400,

即3：2：4.(3)适用范围：总体容量N较大，且个体差异明显(有明显的层次).

二、用样本估计总体

1.用样本频率分布估计总体频率分布

(1)频率分布直方图的做法①求极差：即最大数与最小数的差；②决定组距与组数：组距与组数的确定没有固定

的标准，常常需要一个尝试和选择的过程(试题中一般有规定)；③数据分组：计算各小组的频数和频率，列出频率分布

表；④画频率分布直方图：图中纵轴表示频率/组距,各小矩形的面积=频率.

(2)茎叶图：当样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它不但可以保留所有信息，而且可以随时记录，

这对数据的记录和表示都能带来方便.

2.用样本的数字特征估计总体

(1)众数：出现次数最多的数.若用频率分布直方图来估计众数，则可用最高矩形的横坐标的中点表示.众数可能不

只一个.中位数：将数据从小到大排列，则处于正中间的一个数叫做中位数.若数据个数为偶数，则取中间两个数的平均

-X,+X,+•••X,

数作为中位数.平均数：苞,々,…，X”的平均数为：X=-------------

n

(2)标准差：…，X”的标准差为

222

s=J-f(-x)+(x2-x)-I----1-(xn-x)

Vn

标准差的平方叫方差，用『表示.标准差(或方差)越小，说明数据波动越小，越稳定；标准差越大说明数据越分散,

越不稳定.

三、变量间的相关关系

A

线性相关与最小二乘法回归直线y-bx+a：(x,y)叫做回归中心，回归直线必定经过回归中心.

(三)概率

一、随机事件的概率

1.概率的相关概念

(1)事件；(2)频数与频率；(3)概率：对于给定的随机事件A,如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率力(A)

稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A),称为事件A的概率.(4)事件的关系与运算:①对于事件A与事件B,如果事

件A发生，则事件B-•定发生，这时称事件B包含事件(或称事件A包含于事件B),记作B=A(或A=B).②若B=A,

且A=B,那么称事件A与事件B相等，记作A=B.③若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事

件A与事件B的并事件或(和事件)，记作AUB(或A+B).④若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此

事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)，记作AnB(或AB).⑤若AnB为不可能事件，那么称事件A与事件B互斥，

其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生.⑥若ACB为不可能事件，AUB为必然事件，那么称事件A

与事件B互为对立事件，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生.

2.概率的性质：

(1)O<P(A)<1.

(2)必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0.

(3)若A,B互斥，则有P(AUB)=P(A)+P(B).

(4)若A,B对立,则P(B)=1-P(A).

注：概率为1的不一定是必然事件，概率为0的不一定是不可能事件.

二、古典概型

1.基本事件：

①任何两个基本事件都是互斥的;②任何一个事件都可以表示成基本事件的上_.

2.古典概型：

满足以下两个条件的概率模型：①试脸中所有可能出现的基本事件只有有限个;②每个基本事件出现的可能性相等.

3.古典概型概率公式：

、A包含的基本事件的个数

P(A)=----------------------

基本事件的总数

三、几何概型

1.定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概

率模型，简称为几何概型.

2.几何概型概率计算：

构成事件A的区域长度(面积或体积)

P(A)=---------------------------------------------

试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)

必不多四

(一)角的概念

1.任意角

(1)终边相同的角：所有与a终边相同的角，连同a在内，可构成一个集合

S^{p\_P=a+k-360°,A-6Z).

(方终日£坐标轴上的角：八360°,90°+以360°,180。+八360。，

270。+衣•360。的终边分别在中轴正半轴、y轴正半轴、x轴负半轴、y轴负半轴上，是特殊的角,

起着非常重要的作用.

2.弧度制

(1)定义：长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做］弧度的角.

I

(2)计算：如果半径为r的圆的圆心角a所对弧的长为1,那么角a弧度数的绝对值是|a|=一.

r

其中，a的正负由角oc的终边的旋转方向决定.

11,

注意：弧长公式：/=Ia\r.扇形面积公式：S=—IR=—aR~.

2—-2一

⑶换算:360°=2n,180°=n

兀,180、

1°-----rad=0.01745radlrad=(——)°、57.30°

180-------7V

(4)一些特殊角的弧度数及函数值

度：0°,30°,45°,60°,90°,120°,135°,150°,180°,270°,360°.

…%万万%2万37r5万3〃c

64323462

要熟记这些特殊角的正弦、余弦、正切三种三角函数值.

3.三角函数的定义

（1）初中直角三角形中的定义；（2）单位圆定义：

（3）坐标法定义：设。是一个任意角，在它的终边任取异于原点的一点P（x,y）,令r=旧+y?,则

.yxy/八、

sma=—,cosa--,tancr=­（x0）

rrx

4.三角函数值的符号：口诀：一全二正弦，三切四余弦.

注：一二三四指象限，提到的函数为正值，未提到的为负值.

5.三角函数线：设任意角a的终边与单位圆交于点P.过点P作x轴的垂线，垂足为M.过点A（l,0）作单位圆

的切线，设它与a的终边或其反向延长线（当a为第二、三象限角时）相交于点7,则有：sincr=MP.

cosa-OM,tana=AT.

（二）诱导公式及同角关系式

1.同角三角函数的基本关系式：

平方关系：sin2a+cos2a=1

商数关系：tana=-------

cosa

2.诱导公式:

取正取

取正切

弦余弦

sinacosatana

7r+a-sina-cosatana

-a-sinacosa-tana

7t-asina-cosa-tana

71

——acosasinacota

2

71

—+acosa-sina-cota

2

记忆口诀：

前四组：函数名不变，符号看象限.

后两组：函数名改变，符号看象限（或：正变余，余变正，符号象限定）.

k兀

三角函数的诱导公式综合：—±a,%eZ,

2

口诀：“奇变偶不变，符号看象限”.

（三）三角函数性质