第02讲 解一元一次不等式（知识解读+真题演练+课后巩固）（解析版）

第02讲解一元一次不等式1．理解一元一次不等式的概念；2.掌握解一元一次不等式的方法，会把一元一次不等式的解在数轴上表示出来；知识点一：一元一次不等式的概念只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一个一元一次不等式．注意：一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式(单项式或多项式)；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为1知识点二：解一元一次不等式解一元一次不等式的一般步骤是：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1；⑥其中当系数是负数时，不等号的方向要改变。（1）去分母：根据不等式的性质2和3，把不等式的两边同时乘以各分母的最小公倍数，得到整数系数的小等式。（2）去括号：根据上括号的法则，特别要注意括号外面是负号时，去掉括号和负号，括号里面的各项要改变符号。（3）移项：根据不等式基本性质1，一般把含有未知数的项移到不等式的左边，常数项移到不等式的右边。（4）合并同类项。（5）将未知数的系数化为1：根据不等式基本性质2或3，特别要注意系数化为1时，系数是负数，不等号要改变方向。（6）有些时候需要在数轴上表示不等式的解集。在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向：（1）边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈；（2）方向：大向右，小向左．【题型1：一元一次不等式的定义】【典例1】（2022秋•道县期末）下列不等式中，属于一元一次不等式的是（）A．4＞1 B．x＜y C．3x﹣3＞2 D．【答案】C【解答】解：A．4＞1没有含未知数，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意；B．x＜y含有两个未知数，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意；C．3x﹣3＞2是一元一次不等式，故本选项符合题意；D．不是整式的不等式，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意．故选：C．【变式1-1】（2022春•尤溪县校级月考）下列是一元一次不等式的是（）A．3x≥7 B．x﹣2＜y﹣2 C．5+4＞8 D．x2＜9【答案】A【解答】解：A、3x＞7中含有一个未知数，并且未知数的最高次数等于1，是一元一次不等式，故本选项正确；B、x−2＜y−2中含有两个未知数，故本选项错误；C、5+4＞8中不含有未知数，故本选项错误；D、x2＜9中含有一个未知数，但未知数的最高次数等于2，不是一元一次不等式，故本选项错误．故选：A．【变式1-2】（2022秋•桥西区校级月考）下列式子是一元一次不等式的是（）A．x+y＜0 B．x2＞0 C． D．【答案】C【解答】解：A．此不等式含有2个未知数，不是一元一次不等式，故此选项不符合题意；B．此不等式最高次数是2次，不是一元一次不等式，故此选项不符合题意；C．此不等式是一元一次不等式，故此选项符合题意；D．此不等式中不是整式，不是一元一次不等式，故此选项不符合题意．故选：C．【变式1-3】（2022春•吉安期中）下列式子：①3＞0；②4x+5＞0；③x＜3；④x2+x＜2；⑤x＝﹣4；⑥2x+2＞x+1，其中一元一次不等式有（）个．A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【解答】解：①3＞0，属于不等式，但不是一元一次不等式，不合题意；②4x+5＞0，属于一元一次不等式，符合题意；③x＜3，属于一元一次不等式，符合题意；④x2+x＜2，属于一元二次不等式，不合题意；⑤x＝﹣4属于方程，不合题意；⑥2x+2＞x+1，属于一元一次不等式，符合题意．故选：A．【题型2：根据一元一次不等式的定义求参数】【典例2】（2022春•五华区校级期中）若（3﹣m）x|m|﹣2﹣8＜0是关于x的一元一次不等式，则m的值为（）A．±3 B．﹣3 C．3 D．2【答案】B【解答】解：根据题意得：3﹣m≠0且|m|﹣2＝1，解得：m＝﹣3．故选：B．【变式2-1】（2022春•九龙坡区校级月考）若（m+1）x|m+2|+4＜0是关于x的一元一次不等式，则m的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣3或﹣1【答案】B【解答】解：根据题意得：m+1≠0且|m+2|＝1，解得：m＝﹣3．故选：B．【变式2-2】（2022春•明山区校级月考）若3m﹣5x3+m＞4是关于x的一元一次不等式，则m的值是（）A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．1【答案】B【解答】解：∵3m﹣5x3+m＞4是关于x的一元一次不等式，∴3+m＝1，m＝﹣2，故选：B．【变式2-3】（2023春•牡丹区校级月考）如果（a﹣1）x|a|＞1是关于x的一元一次不等式，则a＝﹣1．【答案】见试题解答内容【解答】解：由题意得：|a|＝1，且a﹣1≠0，解得：a＝﹣1，故答案为：﹣1．【题型3：解一元一次不等式】【典例3】（2023春•菏泽月考）解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来．（1）．（2）5x﹣1≤3（x+1）．（3）3x+1≥﹣5．（4）．【答案】（1）x＞﹣1；（2）x≤2；（3）x≥﹣2；（4）x≤﹣2．【解答】解：（1），x+5﹣8＜4（3x+2），x+5﹣8＜12x+8，x﹣12x＜8+8﹣5，﹣11x＜11，x＞﹣1，解集在数轴上表示为：（2）去括号得，5x﹣1≤3x+3，移项得，5x﹣3x≤3+1，合并同类项得，2x≤4，系数化为1得，x≤2，解集在数轴上表示为：（3）3x+1≥﹣5，移项得，3x≥﹣5﹣1，合并同类项得，3x≥﹣6，系数化为1得，x≥﹣2，解集在数轴上表示为：（4），去分母得，，去括号得，6﹣16﹣2x≥3x，移项得，﹣2x﹣3x≥﹣6+16，合并同类项得，﹣5x≥10，系数化为1得，x≤﹣2．解集在数轴上表示为：【变式3-1】（2023春•薛城区月考）解不等式，并把解集在数轴上表示出来．（1）2x+9≥﹣3（x+2）；（2）．【答案】（1）x≥﹣3；（2）x＞﹣5．【解答】解：（1）去括号得：2x+9≥﹣3x﹣6，移项得：2x+3x≥﹣6﹣9，合并得：5x≥﹣15，系数化为1得：x≥﹣3，数轴表示如下所示：；（2）去分母得：2（2x﹣1）﹣（5x﹣1）＜4，去括号得：4x﹣2﹣5x+1＜4，移项得：4x﹣5x＜4+2﹣1，合并得：﹣x＜5，系数化为1得：x＞﹣5，数轴表示如下所示：．【变式3-2】（2023春•平遥县月考）解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来．（1）；（2）2（3x﹣2）＞x+1．【答案】（1）x＜；（2）x＞1．【解答】解：（1）去分母，得2（x+4）﹣3（3x﹣1）＞6．去括号，得2x+8﹣9x+3＞6．移项、合并同类项，得﹣7x＞﹣5．向上化为1，得x＜．该不等式的解集在数轴上的表示图所示（2）去括号，得6x﹣4＞x+1，移项，得6x﹣x＞4+1，合并同类项，得5x＞5，系数化为1，得x＞1．该不等式的解集在数轴上的表示如图所示．．【变式3-3】（2023春•平遥县月考）（1）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．解：2（2x﹣1）＞3（3x﹣2）﹣6第一步4x﹣2＞9x﹣6﹣6第二步4x﹣9x＞﹣6﹣6+2第三步﹣5x＞﹣10第四步x＞2第五步任务一：填空：①以上解题过程中，第二步是依据乘法分配律（或分配律）（运算律）进行变形的．②第五步开始出现错误．这一步错误的原因是不等式两边都除以﹣5，不等号的方向没有改变．任务二：请直接写出该不等式的正确解集．解集：x＜2．【答案】任务一：①乘法分配律（或分配律）；②五不等式两边都除以﹣5，不等号的方向没有改变（或不符合不等式的基本性质3）；任务二：x＜2．【解答】解：2（2x﹣1）＞3（3x﹣2）﹣6，第一步4x﹣2＞9x﹣6﹣6，第二步4x﹣9x＞﹣6﹣6+2，第三步﹣5x＞﹣10，第四步x＜2，第五步任务一：填空：①以上解题过程中，第二步是依据乘法分配律（运算律）进行变形的；②第五步开始出现错误，这一步错误的原因是不等式两边都除以﹣5，不等号的方向没有改变；故答案为：①乘法分配律（或分配律），②五，不等式两边都除以﹣5，不等号的方向没有改变．任务二：该不等式的正确解集是x＜2．故答案为：x＜2．【题型4：根据一元一次不等式的性质求参数的取值范围】【典例4】（2023春•牡丹区校级月考）已知关于x的不等式（1﹣a）x＞a﹣1的解集为x＜﹣1，则a的取值范围是（）A．a＞0 B．a＞1 C．a＜0 D．a＜1【答案】B【解答】解：∵关于x的不等式（1﹣a）x＞a﹣1的解集为x＜﹣1，∴1﹣a＜0，解得：a＞1．故选：B．【变式4-1】（2022•南京模拟）若（a+3）x＞a+3的解集为x＜1，则a必须满足（）A．a＜0 B．a＞﹣3 C．a＜﹣3 D．a＞3【答案】C【解答】解：∵（a+3）x＞a+3的解集为x＜1，∴a+3＜0，解得：a＜﹣3．故选：C．【变式4-2】（2022春•锦江区校级期中）若关于x的不等式（m﹣1）x＜2的解集是x＞，则m的取值范围是（）A．m＞1 B．m＜1 C．m≠1 D．m≤1【答案】B【解答】解：∵关于x的不等式（m﹣1）x＜2的解集里x＞，∴m﹣1＜0，∴m＜1．故选：B．【变式4-3】（2022秋•岳阳楼区校级期末）若（m+1）x＞m+1的解集为x＜1，则m的取值范围是m＜﹣1．【答案】m＜﹣1．【解答】解：∵（m+1）x＞m+1的解集是x＜1，∴m+1＜0，解得：m＜﹣1．故答案为：m＜﹣1．【考点5：一元一次不等式的整数解】【典例5】（2023春•东城区校级月考）解不等式，并写出它的所有正整数解．【答案】x＜6，不等式的正整数解为：1，2，3，4，5．【解答】解：原式去分母，得30﹣3（x﹣2）＞6+2x，去括号，得30﹣3x+6＞6+2x，移项，得﹣3x﹣2x＞6﹣6﹣30，合并同类项，得﹣5x＞﹣30，系数化为1，得x＜6，则不等式的正整数解为：1，2，3，4，5．【变式5-1】（2023•贵池区二模）解不等式，把它的解集在数轴上表示出来，并求出这个不等式的负整数解．【答案】见试题解答内容【解答】解：去分母，得：2（2x﹣1）﹣（9x+2）≤6，去括号，得：4x﹣2﹣9x﹣2≤6，移项，得：4x﹣9x≤6+2+2，合并同类项，得：﹣5x≤10，系数化为1，得：x≥﹣2，将不等式解集表示在数轴上如下：由数轴可知该不等式的负整数解为﹣2、﹣1．【变式5-2】（2022•兴平市模拟）解不等式，并写出它的所有非负整数解的和．【答案】x≤，3．【解答】解：去分母，得：3（2x+1）≤4（x﹣1）+12，去括号，得：6x+3≤4x﹣4+12，移项，得：6x﹣4x≤12﹣4﹣3，合并同类项，得：2x≤5，系数化成1得：x≤．则非负整数解是：0，1，2．非负整数解的和为：0+1+2＝3．【变式5-3】（2022秋•港南区期末）对于任意有理数a、b、c、d，规定，已知．（1）用含x的代数式表示y；（2）若y+3x≥k的正整数解只有3个，求k的取值范围．【答案】（1）y＝﹣4x+5；（2）1＜k≤2．【解答】解：（1）∵，∴4x+y＝5，∴y＝﹣4x+5；（2）∵y+3x≥k的正整数解只有3个，∴﹣4x+5+3x≥k，即x≤﹣k+5的正整数解只有3个，∴3≤﹣k+5＜4∴1＜k≤2．1．（2023•德阳）如果a＞b，那么下列运算正确的是（）A．a﹣3＜b﹣3 B．a+3＜b+3 C．3a＜3b D．＜【答案】D【解答】解：A、若a＞b，则a﹣3＞b﹣3，故A不符合题意；B、若a＞b，则a+3＞b+3，故B不符合题意；C、若a＞b，则3a＞3b，故C不符合题意；D、若a＞b，则＜，正确，故D符合题意．故选：D．2．（2023•北京）已知a﹣1＞0，则下列结论正确的是（）A．﹣1＜﹣a＜a＜1B．﹣a＜﹣1＜1＜aC．﹣a＜﹣1＜a＜1 D．﹣1＜﹣a＜1＜a【答案】B【解答】解：∵a﹣1＞0，∴a＞1，∴﹣a＜﹣1，∴﹣a＜﹣1＜1＜a，故选：B．3．（2023•阜新）不等式x+8＜4x﹣1的解集是（）A．x＜3 B．x＞3 C．x＜﹣3 D．x＞﹣【答案】B【解答】解：移项得，x﹣4x＜﹣1﹣8，合并同类项得，﹣3x＜﹣9，x的系数化为1得，x＞3．故选：B．4．（2023•宜昌）解不等式＞x﹣1，下列在数轴上表示的解集正确的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：＞x﹣1，去分母得：1+4x＞3（x﹣1），去括号得：1+4x＞3x﹣3，移项，合并同类项得：x＞﹣4，那么在数轴上表示其解集如图所示：，故选：D．5．（2022•泰州）已知a＝2m2﹣mn，b＝mn﹣2n2，c＝m2﹣n2（m≠n），用“＜”表示a、b、c的大小关系为b＜c＜a．【答案】b＜c＜a【解答】解：解法1：令m＝1，n＝0，则a＝2，b＝0，c＝1．∵0＜1＜2．∴b＜c＜a．解法2：∵a﹣c＝（2m2﹣mn）﹣（m2﹣n2）＝（m﹣0.5n）2+0.75n2＞0；∴c＜a；∵c﹣b＝（m2﹣n2）﹣（mn﹣2n2）＝（m﹣0.5n）2+.075n2＞0；∴b＜c；∴b＜c＜a．6．（2023•大连）不等式﹣3x＞9的解集是x＜﹣3．【答案】x＜﹣3．【解答】解：∵﹣3x＞9，∴x＜﹣3，故答案为：x＜﹣3．7．（2023•宿迁）不等式x﹣2≤1的最大整数解是3．【答案】见试题解答内容【解答】解：移项，得：x≤1+2，合并同类项，得：x≤3，则不等式的最大整数解为3；故答案为：3．8．（2023•盘锦）不等式≥的解集是x≥﹣3．【答案】x≥﹣3．【解答】解：去分母得，3（x+1）≥2x，去括号得，3x+3≥2x，移项合并同类项得，x≥﹣3．故答案为：x≥﹣3．9．（2023•广东）某商品进价4元，标价5元出售，商家准备打折销售，但其利润率不能少于10%，则最多可打8.8折．【答案】见试题解答内容【解答】解：设这种商品可以按x折销售，则售价为5×0.1x，那么利润为5×0.1x﹣4，所以相应的关系式为5×0.1x﹣4≥4×10%，解得：x≥8.8．答：该商品最多可以打8.8折，故答案为：8.81．（2023春•江阳区校级期中）已知“x＞y”，则下列不等式中，不成立的是（）A．3x＞3y B．x﹣9＞y﹣9 C．﹣x＞﹣y D．﹣【答案】C【解答】解：A．∵x＞y，∴3x＞3y，故本选项不符合题意；B．∵x＞y，∴x﹣9＞y﹣9，故本选项不符合题意；C．∵x＞y，∴﹣x＜﹣y，故本选项符合题意；D．∵x＞y，∴，故本选项不符合题意；故选：C．2．（2023•甘井子区校级模拟）不等式3x＞﹣6的解集是（）A． B．x＞2 C．x＞﹣2 D．【答案】C【解答】解：3x＞﹣6，∴系数化为1得x＞﹣2，故选：C．3．（2023•浑江区一模）如图1，一个容量为500cm3的杯子中装有200cm3的水，将四颗相同的玻璃球放入这个杯中，结果水没有满，如图2．设每颗玻璃球的体积为xcm3，根据题意可列不等式为（）A．200+4x＜500 B．200+4x≤500 C．200+4x＞500 D．200+4x≥500【答案】A【解答】解：水的体积为200cm3，四颗相同的玻璃球的体积为4xcm3，根据题意得到：200+4x＜500．故选：A．4．（2023春•侯马市期末）若关于x的方程x+k＝2x﹣1的解是负数，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1 B．k＜﹣1 C．k≥﹣1 D．k≤﹣1【答案】B【解答】解：x+k＝2x﹣1，整理得：x＝k+1，∵关于x的方程x+k＝2x﹣1的解是负数，∴k+1＜0，解得：k＜﹣1．故选：B．5．（2023春•丹凤县校级期末）如果ax＞a的解是x＜1，那么a必须满足（）A．a＜0 B．a＞1 C．a＞﹣1 D．a＜﹣1【答案】A【解答】解：∵ax＞a的解是x＜1，∴a＜0．故选：A．6．（2023春•卢龙县期末）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成解一元一次不等式，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示：接力中，自己负责的一步出现错误的是（）A．只有乙 B．甲和乙 C．乙和丙 D．乙和丁【答案】B【解答】解：＞1﹣，去分母，得x＞6﹣2x+4，（故步骤甲错误）．移项、合并同类项，得x+2x＞6+4（故步骤乙错误）．合并同类项，得3x＞10．化系数为1，得x＞．故选：B．7．（2023春•子洲县校级期末）不等式的负整数解有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解答】解：，去分母得：2（x﹣9）+6＜3（3x+4），去括号得：2x﹣18+6＜9x+12，移项合并同类项得：﹣7x＜24，不等式两边同除以﹣7得：，∴不等式的负整数解有﹣3，﹣2，﹣1共3个，故C正确．故选：C．8．（2023春•韩城市期末）不等式﹣x﹣1≤0的解集在数轴上表示为（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解；﹣x﹣1≤0，﹣x≤1，x≥﹣2，在数轴上表示：故选：C．9．（2023春•曲靖期末）已知关于x的不等式（a﹣1）x＞2的解集为，则a的取值范围是（）A．a＜1 B．a＞1 C．a＜0 D．a＞0【答案】A【解答】解：∵关于x的不等式（a﹣1）x＞2的解集为，∴a﹣1＜0，∴a＜1，故选：A．10．（2023春•巴彦淖尔期末）阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为＝ad﹣bc，例如＝1×4﹣2×3＝﹣2，如果＞0，则x的取值范围是（）A．x＞1 B．x＜﹣1 C．x＞3 D．x＜﹣3【答案】A【解答】解：由题意可得2x﹣（3﹣x）＞0，解得x＞1．故选：A．11．（2023春•承德县期末）一次学校智力竞赛中共有20道题，规定答对一题得5分，答错或不答一道题扣2分，得分为75分以上可以获得奖品，小锋在本次竞赛中获得了奖品．假设小锋答对了x题，可根据题意列出不等式（）A．5x+2（20﹣x）≥75 B．5x+2（20﹣x）＞75 C．5x﹣2（20﹣x）＞75 D．5x﹣2（20﹣x）≥75【答案】C【解答】解：设小锋答对了x道题，则他答错或不答的共有（25﹣x）道题，由题意得：5x﹣2×（20﹣x）＞75，故选：C．12．（2023春•铁西区期末）解不等式：．【答案】x≥﹣4．【解答】解：，去分母得：3（3x﹣2）﹣12≤2（5x﹣7），去括号得：9x﹣6﹣12≤10x﹣14，移项得：9x﹣10x≤﹣14+6+12，合并同类项得：﹣x≤4，化系数为1得：x≥﹣4．13．（2023•攀枝花模拟）解下列不等式（1）6+3x＞30；（2）1﹣x＜3﹣．【答案】（1）x＞8；（2）x＞﹣9．【解答】解：（1）6+3x＞30，移项得，3x＞30﹣6，合并同类项得，3x＞24，系数化为1得，x＞8；（2）1﹣x＜3﹣去分母得，2﹣2x＜6﹣（x﹣5），去括号得，2﹣2x＜6﹣x+5，移项得，﹣2x+x＜6+5﹣2，合并同类项得，﹣x＜9，系数化为1得，x＞﹣9．14．（2023•利通区校级模拟）（1）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．解：2（2x﹣1）＞3（3x﹣2）﹣6第一步4x﹣2＞9x﹣6﹣6第二步4x﹣9x＞﹣6﹣6+2第三步﹣5x＞﹣10第四步x＞2第五步任务一：填空：①以上解题过程中，第二步是依据乘法分配律（或分配律）（运算律）进行变形的．②第五步开始出现错误．这一步错误的原因是不等式两边都除以﹣5，不等号的方向没有改变．任务二：请直接写出该