2024届高考数学冲刺模拟卷12（B卷）

2024届高考数学冲刺模拟卷12（B卷）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则下列关系中正确的是（

）A． B．CuA=B C． D．2．已知复数，满足，则（

）A．1 B． C．2 D．3．已知是等比数列，公比为q，前n项和为，则（

）A． B． C． D．4．天文学家开普勒的行星运动定律可表述为：绕同一中心天体的所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，即，，其中为中心天体质量，为引力常量，已知地球绕以太阳为中心天体的椭圆轨道的半长轴长约为1.5亿千米，地球的公转周期为1年，距离太阳最远的冥王星绕以太阳为中心天体的椭圆轨道的半长轴长约为60亿千米，取，则冥王星的公转周期约为（

）A．157年 B．220年 C．248年 D．256年5．设为坐标原点，圆与轴切于点，直线交圆于两点，其中在第二象限，则（

）A． B． C． D．6．已知，，设点P是圆上的点，若动点Q满足：，，则Q的轨迹方程为（

）A． B． C． D．7．已知，.则下列选项中不正确的是（

）A．B．C． D．8．定义表示，，中的最小值．已知实数，，满足，，则（

）A．的最大值是 B．的最大值是C．的最小值是 D．的最小值是二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．若函数的部分图像如图所示，则下列说法错误的是（

）A．函数的图像关于直线对称B．函数的图像关于点对称C．将函数的图像向左平移个单位长度可得函数的图像D．函数在区间上的最大值与最小值的差等于10．甲箱中有3个红球，2个白球和2个黑球，乙箱中有2个红球，3个白球和3个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以，和表示从甲箱中取出的球是红球、白球和黑球的事件，再从乙箱中随机取出一球，以表示从乙箱中取出的球是红球的事件，则（

）A． B．C． D．11．已知抛物线E：的焦点为F，过F的直线交E于点，，E在B处的切线为，过A作与平行的直线，交E于另一点，记与y轴的交点为D，则（

）A． B．C． D．面积的最小值为16三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．在二项式的展开式中，常数项是．13．设双曲线C：(a＞0，b＞0)的右焦点为F，左，右顶点分别为A1，A2．过F且与双曲线C的一条渐近线平行的直线l与另一条渐近线相交于P，若P恰好在以A1A2为直径的圆上，则双曲线C的离心率为.14．我国人脸识别技术处于世界领先地位.所谓人脸识别，就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法．假设二维空间中有两个点，，O为坐标原点，余弦相似度为向量，夹角的余弦值，记作，余弦距离为．已知，，，若P，Q的余弦距离为，Q，R的余弦距离为，且，则.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知(1)求B；(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.

16．如图，在四棱台中，底面四边形ABCD为菱形，平面.(1)若点是的中点，求证：平面(2)求直线与平面所成角的余弦值；(3)棱上存在点，使得，求平面与平面的夹角的正弦值.17．生产某种特殊零件的废品率为（），优等品的概率为0.4，若20个此特殊零件中恰有4件废品的概率为，设的最大值点为．(1)求；(2)若工厂生产该零件的废品率为．（ⅰ）从生产的产品中随机抽取个零件，设其中优等品的个数为，记，，已知时优等品概率最大，求的最小值；（ⅱ）已知合格率为，每个零件的生产成本为80元，合格品每件售价150元，同时对不合格零件进行修复，修复为合格品后正常售卖，若仍不合格则以每件10元的价格出售，若每个不合格零件修复为合格零件的概率为0.5，工厂希望一个零件至少获利50元，试求一个零件的修复费用最高为多少元．

18．已知双曲线C：的右焦点为，O为坐标原点，点A，B分别在C的两条渐近线上，点F在线段AB上，且，.(1)求双曲线C的方程；(2)过点F作直线l交C于P，Q两点，问；在x轴上是否存在定点M，使为定值？若存在，求出定点M的坐标及这个定值；若不存在，说明理由.19．已知，函数，．(1)若，证明：；(2)若，求a的取值范围；(3)设集合，对于正整数m，集合，记中元素的个数为，求数列的通项公式．参考答案：1．D【分析】解不等式确定集合B，求出，根据集合的子集含义以及集合的交集和并集运算，判断各选项，即得答案.【详解】由题意知，，解得或，则，，则不是B的子集，不是的子集，，，故选：D．2．B【分析】首先分析题意，设出复数，求出复数的模找变量之间的关系，整体代入求解即可.【详解】设则所以，，即，则故选：B.3．B【分析】根据等比数列的通项公式和性质，即可求解.【详解】.故选：B4．C【分析】利用列方程组，化简后求得冥王星的公转周期.【详解】设地球椭圆轨道的半长轴为，公转周期.设冥王星椭圆轨道的半长轴为，公转周期.则，两式相除并化简得，所以年.故选：C【点睛】本小题主要考查椭圆的基本概念，属于基础题.5．D【分析】先根据圆的弦长公式求出线段的长度，再求出直线的倾斜角，即可求得与的的夹角，进而可得出答案.【详解】由题意，圆心，到直线距离为，所以，直线的斜率为，则其倾斜角为，则与的的夹角为，所以.故选：D．

6．A【分析】根据题意，点在的平分线上且，由此作出图形，利用等腰三角形“三线合一”与三角形中位线定理，证出，从而得到的轨迹方程.【详解】由，可得，而，可知点在的平分线上.圆，圆心为原点，半径，连接，延长交于点，连接，因为且，所以，且为中点，，因此，，点在以为焦点的双曲线上，设双曲线方程为，可知，由，得，故，双曲线方程为.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是将题中的转化为在的平分线上，进而证明为等腰三角形，将转化为得出所求轨迹为双曲线.7．C【分析】由已知可得，.根据不等式的性质，即可判断A项；根据基本不等式及其等号成立的条件即可判断B、C项；作差后，令，根据二次函数的性质，得出函数的单调性.易知，，即可得出D项.【详解】由已知可得，，，所以.对于A项，因为，所以，所以，故A正确；对于B项，由基本不等式可知，，当且仅当时，等号成立.因为，所以，所以，故B项正确；对于C项，因为，当且仅当时，等号成立.因为，所以，所以，，故C项错误；对于D项，因为，所以.令，根据二次函数的性质可知，在上单调递增.又，所以有，则，所以.又，所以.所以，，所以.因为，所以有，整理可得，，故D项正确.故选：ABD.8．B【分析】由题先分析出实数，，一负两正，然后利用基本不等式放缩求出最小值的最大值即可.【详解】因为，所以在，，中，负数的个数为1或3，又，所以在，，中，1个为负数，2个为正数，不妨设，则．因为，所以，因为，所以，则，故的最大值是，无最小值．故选：B.9．AC【分析】根据函数图像，求出函数表达式，对于A选项，代入，函数值不是最值，故A错误；对于B选项，代入，验证函数值等于，故B正确；对于C选项，求出平移后的函数表达式，可发现C错误；对于D选项，求出函数在区间的最值，可知D正确.【详解】由图像可知A=2，且最小正周期，因此，所以，将代入可得，又，所以，因此，由于，故A错误；因为，故B正确；将函数的图像向左平移个单位长度可得函数的图像，故C错误；当时，，所以，即最大值与最小值的差等于，故D正确.故选：AC.10．ABD【分析】根据全概率公式及条件概率概率公式计算可得.【详解】因为，，，若发生，则乙箱中有个红球，个白球和个黑球，所以，故A正确；若发生，则乙箱中有个红球，个白球和个黑球，所以，若发生，则乙箱中有个红球，个白球和个黑球，所以，所以，故B正确；因为，所以，所以，故C错误；，故D正确；故选：ABD11．ACD【分析】A选项，求出焦点坐标与准线方程，设直线的方程为，联立抛物线方程，得到两根之积，从而求出；B选项，求导，得到切线方程，联立抛物线方程，得到；C选项，求出，，结合焦半径公式求出，C正确；D选项，作出辅助线，结合B选项，得到，表达出，利用基本不等式求出最小值，从而得到面积最小值.【详解】A选项，由题意得，准线方程为，直线的斜率存在，故设直线的方程为，联立，得，，故，A正确；B选项，，直线的斜率为，故直线的方程为，即，联立，得，故，所以B错误；C选项，由直线的方程，令得，又，所以，故，故，又由焦半径公式得，所以C正确；D选项，不妨设，过B向作垂线交于M，根据B选项知，，故，根据直线的方程，当时，，故，故，故，当且仅当，即时，等号成立，故的面积最小值为16，D正确.故选：ACD【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．12．【解析】写出二项式展开式的通项公式，令的指数为，即可求解.【详解】因为二项式的展开式的通项公式为：，令，所以常数项为故答案为：【点睛】本题考查二项式展开式的通项公式的应用，考查理解辨析能力和运算求解能力，属于基础题.13．【详解】试题分析：根据题意，设出点F(C,0)根据题意过，过且与双曲线的一条渐近线平行的直线：，因为的坐标分别是（a,0）(-a,0)则恰好在以为直径的圆上，|OP|=a,即，故填写．考点：双曲线的方程，离心率点评：解决双曲线的离心率，一般主要是从定义和几何性质入手来分析得到a,b,c的关系，进而求解得到结论．属于基础题14．【分析】利用新定义得到关于，的方程，进而求得，，再利用基本关系式求得，从而利用整体法与余弦函数的和差公式即可得解.【详解】，，所以，所以，同理可得,，所以，解得，，因为，所以，，所以，，所以.故答案为：.【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有：（1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；（2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言；（3）将已知条件代入新定义的要素中；（4）结合数学知识进行解答.15．(1)(2)【分析】（1）由正弦定理及三角形的性质化简求值即可；（2）利用三角形面积公式得，根据正弦定理结合正切函数性质得，即可得解.【详解】（1）由题设及正弦定理得，因为，所以,由，可得，故，因为，故，因为，则，因此；（2）由题设及（1）知的面积，由正弦定理得，由于为锐角三角形，故，，由（1）知，所以，故，从而.因此面积的取值范围是.16．(1)见解析(2)(3)【分析】（1）取的中点为，连接，可证平面平面，从而得到要求证的线面平行.（2）在平面中，过作的垂线，与交于，则可建立如图所示的空间直角坐标系，求出及平面的法向量后可求线面角的正弦值，进而可得余弦值.（3）求出平面的法向量与平面的法向量的夹角的余弦值后可求面面角的正弦值.【详解】（1）取的中点为，连接，在菱形中，因为，则，而平面，平面，故平面，由四棱台可得，而，故，故，故四边形为平行四边形，故，而平面，平面，故平面，因为，平面，平面，故平面平面，而平面，故平面.（2）在平面中，过作的垂线，与交于，因为平面，平面，故，同理，故可建立如图所示的空间直角坐标系，故，，故，，所以，所以，故，而平面的一个法向量为，设直线与平面所成的角为，则，所以.（3）由可得，故，而，设平面的法向量为，则即，取，则，故，结合（2）的平面的一个法向量为，故，设平面与平面的夹角为，则.故平面与平面的夹角的正弦值为.17．(1)(2)（ⅰ）12；（ⅱ）30【分析】（1）根据二项分布求出的解析式，利用函数的单调性求解；（2）（i）根据二项分布，写出的分布列，再根据最大求出n的范围；（ii）根据数学期望求出最高维修费用.【详解】（1）由题意得：，（），所以，在递增，在递减，当时，取最大值；（2）（ⅰ）设优等品的个数为，则，，，若时，有最大值，则，即，解得，所以的最小值为12；（ⅱ）设工厂生产一个零件获利元，零件的修复费用为元则的可能取值为：70，，，，

，,所以，一个零件需要修复费用最高为30元；综上，（1），（2）（i）的最小值为12，（ii）一个零件需要修复费用最高为30元.18．(1)(2)存在，，【分析】（1）不妨设点在第一象限，即可表示出，，根据得到方程，即可求出，从而得到，再根据及，求出、，即可得解；（2）设点，，分别求出直线与坐标轴垂直时的值，根据为定值，得到方程，即可求出及的坐标，再对直线不与坐标轴垂直时，设直线的方程为、，，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，表示出从而计算可得；【详解】（1）解：不妨设点在第一象限，则.因为，则，.由已知，，即，即.因为，则，即.因为为渐近线OA的倾斜角，则，即.又，则，.所以双曲线C的方程是.（2）解：解法一：设点，.当轴时，直线l的方程为，代入，得.不妨设点，，则.当轴时，直线l的方程为，代入，得.不妨设点，，则.令，解得，此时.当直线不与坐标轴垂直时，设直线的方程为，代入，得，即.设点，，则，.对于点，.所以存在定点，使为定值.解法二：当直线l不与x轴重合时，设了的方程为，代入，得，即.设点，，则，.在△PMO中，由余弦定理，得，设点，则，令，得，此时，.当直线l与x轴重合时，则点P，Q为双曲线的两顶点，不妨设点，.对于点，.所以存在定点，使为定值.19．(1)证明见解析；(2)；(3).【分析】（1）通过构造函数，利用导数判断函数单调性，求最小值即可证明；（2）对的值分类讨论，利用