2022年北京西城区高三一模数学试题和答案

2022北京西城高三一模数学20224本试卷共7页，分。考试时长分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共分）一、选择题共小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1A=2，=Bxx0，则AB=（知集合）0,22−−2（D）（A）（）（）221+i（2）复数z=（A）1−iz=的共轭复数（）1111（）1+i（）−i（D）+i2222（3a=og0.4，b=log0.3，c=0.33，则（）33（A）acb（）bca（）abc（D）bac61x−2x的展开式中，常数项为（（4）（A）−120（）120（）−160（D）x22y22（5）若双曲线−=1的焦点F0)5到其渐近线的距离为，则双曲线的方程为（）abx2y2x2y2x2y2x2y2（A）−=1（）−=1（）−=1（D）−=145543663（6）已知向量a,b满足a=5，b=4)，b=0a-b=（）（A）5（）52（）10D102（）（7）已知点A为圆C:(x−m)2+(y−m−2=2上一点，点B0)，当m变化时，线AB长度的最小值为（）（A）1（）2（）2D22（）y=sin(2x+)（8）将函数的图象向右平移个单位所得函数图象关于原点对称，向左平移个单位所得函数图aa象关于y轴对称，其中0，a0，则=（）2（A）（）（）（D）6384mN*++==ada123ama1(kN)的（）*（9）在无穷等差数列中，公差为，则“，使得”是n（A）充分而不必要条件（）必要而不充分条件（）充分必要条件（10）如图，曲线C为函数y=sinx0x（D）既不充分也不必要条件的图象，甲粒子沿曲线C从A点向目的地B点运动，乙粒子沿2曲线C从B点向目的地A点运动。两个粒子同时出发，且乙的水平速率为甲的2倍，当其中一个粒子先到达目的地时，另一个粒子随之停止运动。在运动过程中，设甲粒子的坐标为(,n)，乙粒子的坐标为(u,v)，若记n−v=f(m)，则下列说法正确的是（）2（A）f(m)在区间,上是增函数（）（）f(m)f(m)恰有个零点2的最小值为-26（D）f(m)的图象关于点,0中心对称第二部分（非选择题共分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）若抛物线（12）已知数列y=2px上任意一点到点的距离与到直线x=−1的距离相等，则p=_________．2nn11a=()=S=_________．5满足n*，S为其前项和。若na54，则nn2（13）如图，在棱长为2的正方体ABCD−ABCD中，点E为棱CD的中点，点1111F为底面ABCD内一点，给出下列三个论断：①1F⊥②1F=3S△=2△③以其中的一个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出一个正确的命题：_______．（14）调查显示，垃圾分类投放可以带来约0.34元千克的经济效益，为激励居民垃圾分类，某市准备给每个家庭发放一张积分卡，每分类投放积分1分，若一个家庭一个月内垃圾分类投放总量不低于100kg，则额外奖励x分（x为正整数）。月底积分会按照1元分进行自动兑换．x=10①当时，若某家庭某月产生120kg生活垃圾，该家庭该月积分卡能兑换________②为了保证每个家庭每月积分卡兑换的金额均不超过当月垃圾分类投放带来的收益的40%x的最大值为________．（15）已知函数f(x)=2x−a−−3，给出下列四个结论：①若a=1，则函数fx至少有一个零点；()()fx②存在实数a,k，使得函数无零点；③若a0，则不存在实数k，使得函数fx()有三个零点；()fx有两个零点．④对任意实数a，总存在实数k使得函数其中所有正确结论的序号是________．三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题3在△ABC中，aB+（Ⅰ）求A的大小；b=c．2（Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在且唯一确定、求BC边上高线的长．321条件①：B=，b=1；14条件②：a=2，c=23；c=3条件③：b=3，．注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分．（17）（本小题如图，四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，AB=DE=1，AD=PA=2，点F在棱PA上．（I）求证：BF//平面CDE；（Ⅱ）求二面角C−PE−A的余弦值；1（Ⅲ）若点F到平面PCE的距离为，求线段AF的长．3（18）（本小题2021年是北京城市轨道交通新线开通的大年，开通线路的条、段数为历年最多．12月日首班车起，地铁号线一期开通试运营。地铁19号线一期全长约22公里，共设座车站，此次开通牡丹园、积水潭、牛街、草桥、新发地、新宫共6座车站。在试运营期间，地铁公司随机选取了乘坐号线一期的名乘客，记录了他们的乘车情况，得到下表（单位：人）：下车站牡丹园积水潭牛街草桥新发地新宫合计上车站牡丹园125576413327782460积水潭牛街208124草桥1349916521638新发地新宫1053335242519合计3636562621200（Ⅰ）在试运营期间，从在积水潭站上车的乘客中任选一人，估计该乘客在牛街站下车的概率；（Ⅱ）在试运营期间，从在积水潭站上车的所乘客中随机选取三人，设其中在牛街站下车的人数为X，求随机变量X的分布列以及数学期望；（Ⅲ）为了研究各站客流量的相关情况，用表示所有在积水潭站上下车的乘客的上、下车情况，“=1”表示上11车，“=0”表示下车。相应地，用,分别表示在牛街，草桥站上、下车情况，直接写出方差，，123123大小关系。（19）（本小题x22y223已知椭圆C:+=ab0)的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形周长为45．ab2（Ⅰ）求椭圆C的方程；y=+m(0)与椭圆C,ByPABAB的垂直平分线与交于点（Ⅱ）直线交于两点，与轴交于点，线段MyN,O为坐标原点。如果=MNP成立，求的值．k，与轴交于点（20）（本小题e+ax已知函数f(x)=−1，a0．（I）当a=1时，①求曲线y=()x=0fx处的切线方程；在()fx(0+)上有唯一极大值点；②求证：在()fx（Ⅱ没有零点，求的取值范围．a（21）（本小题a如果无穷数列是等差数列，且满足：n①i,jN*,kN*，使得aa=a；ijk②kN,i,jN*，使得aa=a，*ijka是“H数列”．则称数列n（I）下列无穷等差数列中，是“H数列的为______；（直接写出结论）a：，，，1nb024：，，，ncn000：，，，d：-1，，，na1且公差dNaHZ（Ⅱ）证明：若数列是“数列”；ndN*a为常数，求的所有通项公式．naH（Ⅲ）若数列是“数列且其公差n参考答案一、选择题（共小题，每小题4分，共（1A（6B（2B（7C（3D（8D（4C（9B（5A（10B二、填空题（共5小题，每小题5分，共（11）2（12）（131F⊥BE，则△=2△；若△=2△，则1F⊥.（14）①13②36（15）①②④三、解答题（共6小题，共（16解：（）在△ABC中，3因为acosB+b=c,23所以由正弦定理可得sinAB+sinB=sinC.2因为A+B+C=，所以sinC=sin(A+B)=sinAB+AsinB.3sinB=AsinB.所以2在△中，sinB0，3所以A=，所以A=.┄┄┄┄┄┄分26（Ⅱ）选条件①：32114因为在△中，B=，7所以sinB=1−cos2B=因为A+B+C=，.1412321143721所以sinCsin(AB)sinABAsinB=+=+=+=.2147设边上高线的长为h，则217217h=bsinC=1=.┄┄┄┄┄┄分选条件②：△ABC不唯一.选条件③：由余弦定理得a2=b2+c2−bcA=9+3−233cos=3，6所以a=3.所以△ABC为等腰三角形，C=A=.6设边上高线的长为h，则1232h=bsinC=3=.┄┄┄┄┄┄分（17解：（）证明：在矩形ABCD中，AB//CD.因为AB平面，CD平面，所以AB//平面.⊥平面ABCD，⊥平面ABCD，因为所以PA//DE因为PA平面，所以PA//平面.平面，平面，平面，又因为所以平面PAB//平面.平面，.因为所以BF//平面.⊥平面ABCD，平面ABCD，ABCD，┄┄┄┄┄┄4分（Ⅱ）因为⊥，⊥.所以又因为ABCD是矩形，⊥，所以AD,AB,PA两两垂直，如图建立空间直角坐标系A−，则C0)，P(0,2)，E(0,，所以CE=(，=.设平面PEC的一个法向量为n=(x,y,z)，则nCE−x+=z即2y−z=0.n=令x=2，则y=1，z=2.于是n=2).取平面的法向量为mnm=0)2.23则cosm,===.|m||n|14+1+4由图可知二面角CPEA为锐角，−−2所以二面角CPEA的余弦值是−−.┄┄┄┄┄┄分3（Ⅲ）令线段的长为t，则F(0,t)，t[0,2].CF=(t)，所以CFn−−+22tt−4因为点F到平面的距离d===.|n|4+1+43t−413所以=，即t−4=1.335解得t=或t=（舍）.2232所以线段的长为.┄┄┄┄┄┄分（18解：（）设选取的乘客在积水潭站上车、在牛街站下车为事件A，由已知，在积水潭站上车的乘客有60人，其中在牛街站下车的乘客有20人，206013所以P(A)==.┄┄┄┄┄┄3分（Ⅱ）由题意可知，X2,3.=313827P(X=0)=1−=；21212P(X==C1=；3332712323627P(X=2)=C2=；3313127P(X===.随机变量X的分布列为XP01238271227627127所以随机变量X的数学期望为8271227627127EX=0+1+2+3=1.┄┄┄┄┄┄分┄┄┄┄┄┄分（Ⅲ）D.321（19解：（Ⅰ）由题设，e=ca32=4a2+b2=45，，解得a2，=b=1，x2所以椭圆C的方程为+y2=1.┄┄┄┄┄┄4分4x2+y2=（Ⅱ4得(4k2+x2+8kmx+4m2−4=0，y=kx+m由=(8km)2−4(4k2+1)(4m2−4)0，得4k2m2−+10.8km设A(x,y)，B(x,y)，则x+x=−，1122124k2+12m4k+18k2my+y=k(x+x)+2m=−+2m=.12124k2+121+x24km所以点M的横坐标xM==−，24k+121+y2m纵坐标yM==.24k2+1m1=−x+k4km.所以直线MN的方程为y−4k2+14k+123m4k+1令x0，则点的纵坐标=NyN=−23m.所以N0,−4k2+1因为P(0,m)，所以点N、点P在原点两侧.=MNO=OMN因为MOP2MNP，所以，所以OM=ON.4km2m216km2+m22222=−+=又因为OM，4k2+14k2+1(4k+23m9m22=−=ON，4k2+1(4k2+216k2m22+m29m2所以=，(4k+2(4k2+2解得16k2+1=9，22所以k=.┄┄┄┄┄┄分（20xex+1−xex(ex+2解：（Ⅰa1，则=f(x)=−1，f(x)=.ex+11+1+212①在x0处，=f(0)==，f(0)=−1.1y=x−1.所以曲线y=f(x)在x0处的切线方程为=┄┄┄┄┄┄4分2②令g(x)=ex+1−xex，g(x)=−xex，在区间(0,+)上，g(x)0，则g(x)在区间(0,+)上是减函数.又g=10,g(2)=−e2+10,，所以g(x)在(0,+)上有唯一零点x0.f(x)与f(x)的情况如下：x(0,x0)x0(x0,+)f(x)f(x)＋0－极大值所以f(x)在(0,+)上有唯一极大值点x0.ax−e−a┄┄┄┄┄┄9分x（Ⅱ）f(x)=，ex+a令h(x)=ex+a−ax，则h(x)exa.=−①若a0，则h(x)0，h(x)在R上是增函数.11因为h=(ea−+a0，h=e0，a所以h(x)恰有一个零点x0.x=ln(−a).令e0代入h(x0)=0，得−a+a−aln(−a)=0，=−1.+a=0，得0解得a所以当a=−1时，h(x)f(x)无零点，符合题意.的唯一零点为0，此时②若a0，此时f(x)的定义域为R.当xlna时，h(x)0，h(x)在区间(−,lna)上是减函数；当xlna时，h(x)0，h(x)在区间a,+)上是增函数.所以h(x)min=h(lna)=2a−alna.又h(0)=1+a0，由题意，当2aalna0，即−0ae2时，无零点，符合题意.f(x)综上，a的取值范围是{−（21.┄┄┄┄┄┄分┄┄┄┄┄┄5分解：（）a}，{c}.nn（Ⅱd=0，则由①可知a2=a，所以a=0Z或a=1Z，且公差d=0N.1111以下设d0.由①，k,lN*,aa=a,aa=a，12k13l两式作差得l−k)d=a−a=a(a−a)=ad，lk1321因为d0，所以1=l−kZ.m,nN*,aa=a,aa=a，由①，23m24n两式作差得(n−m)d=a−a=a(a−a)=ad，nm2432因为d0，所以2=n−mZ.因此，d=a−aZ.21若d0，则等差数列{a}是递减数列，由①a为21a}中的项，因此，a21≤a，1nn解得0≤1≤1，由1Z且公差dZ，所以1=0或1，d−1，a=a+d≤1+3(−=−2，≤4124a}中的项，且，≥a2(2)2=4a41由①，a为n这与等差数列{n}递减矛盾，因此，d0不成立.综上，1Z且公差dN.┄┄┄┄┄┄分（Ⅲ）因为公差dN*，所以d≥1，即{n}