新教材2021秋高中数学苏教版必修第一册习题：综合练八

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专题综合练八（7.3-7.4）

（60分钟100分）

一、选择题（每小题5分，共45分，多选题全部选对得5分，选对但

不全的得3分，有选错的得0分）

1.函数y=tan,+苧的最小正周期为（）

7171

A.B.2C.7iD.2.71

选

n

2.设函数f(x)=cos3X+6在［-兀，用的图象大致如图，贝Uf（x）的

最小正周期为（）

10兀c7兀「4兀-3兀

B.不C•4D•5

选c.由图可得：函数图象过点［-竽，,将它代入函数f（x）可得:

cos1-与⑪+V=o,又|-野，o］是函数f(x)图象与X轴负半轴的

第一个交点，

所以一/'3+="2，解得3=1，

冗

所以函数f(x)的最小正周期为T=管27r=77f1=4y.

2

3若f(x)=碑cos［x+］在［-a闺是减函数则a的最大值是()

71c兀-3九一

A.B.2C.1D.71

选A.因为f(x);也COS［x+R，

兀

所以由0+2k?i<x+-<7i+2k7i(k£Z),

兀371

得_a+2k?i<x<^+2k;i(k£Z),

_..713兀

因此［-a,a］u［-4，彳］，

匚LI\I兀3兀

所以-a<a,-a>-4,a<y,

所以0<a端,从而a的最大值为上

4.函数y=2sin,xGR的最小正周期是()

7171

A.12B.6C.71^2D.7o

选A.函数y=2sin最的最小正周期为：T=胃=12.

6

5.下列函数中，既是奇函数又在区间（-1,1）上是增函数的是（）

A.y二;B.y=tanx

C.y=-sinxD.y=cosx

选B.A选项，y=：的定义域为（-8,0）U（0,+8）,故A不满足题

A.

意；D选项，余弦函数y=cosx是偶函数，故D不满足题意；

B选项，正切函数y=tanx是奇函数，且在［-1?上单调递增，故

在区间（-1,1）是增函数,即B正确;

C选项，正弦函数y=sinx是奇函数，且在［-，野上单调递增，所

以在区间1-1,1）是增函数；

因此y=-sinx是奇函数，且在］-1,1）上单调递减，故C不满足

题意.

6.下列函数中是奇函数，且最小正周期为71的函数是（）

A.y=tan2xB.y=|cosx|

C.y=cos2xD.y=sin2x

।7171,071k?l71k?l

选D.A:由-5+k兀<2X<5+1<兀k£2得+7<X<T+—k£Z

关于原点对称.

____JT

又因为tan（-2x）=-tan2x，则y=tan2x为奇函数最小正周期为］,

A不正确；

B:由|cos(-x)|=|cosx|可知，y=|cosx|为偶函数，故B不正确;

C：由cos(-2x)=cos2x可知，y=cos2x为偶函数，故C不正确；

D：由sin(-2x)=-sin2x可知，y=sin2x为奇函数,最小正周期为

271

T二兀

7.(多选)若将函数f(x)=cos［x+总的图象向左平移方个单位长

度，得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是()

A.g(x)的最小正周期为71

B.g(x)在区间,2］上单调递减

C.x二已是函数g(x)图象的对称轴

D.g(x)在］-,看上的最小值为-1

「「兀)兀一

选AD.g(x)=cos2lx+gI+=

COS，x+1.g(x)的最小正周期为71,选项A正确；当X£0q时,

2x+］W图，故g(x)在［0,0上有增有减，选项B错误准囿

TT_______

二0,故X=五不是g(x)图象的一条对称轴，选项C不正确；当

x£~616时，2x+^e0,y，且当2x+1=y，即x=1时,

g(x)取最小值-；,D正确.

sinx,sinx>cosx

8.(多选)对于函数f(x)=1,下列说法中正确的是

Icosx,sinx<cosx

A.该函数的值域是[-1,1]

B.当且仅当x=2k;i+3(k£Z)时，函数取得最大值1

C.当且仅当x=2E+苧(k£Z)时函数取得最小值-半

I乙

D.当且仅当2k?i+7i<x<2k7i+工-(k£Z)时,f(x)<0

选CD.画出函数f(x)的图象(如图所示)，由图象容易看出，该函数的

值域是-.当且仅当x=2k?i+冷或x=2k;i,k£Z时，函数取

得最大值1.当且仅当x=2E+苧，k£Z时，函数取得最小值-坐.

3JT__

当且仅当2k?i+7i<x<2kji+了，k£Z时，f(x)<0,故CD正确.

9.(多选)以下正确的结论是()

A.函数y=tanx图象的一个对称中心为住,

B.函数y=|sinx+11的最小正周期为兀

C.y=sin12x+2的表达式可以改写为f(x)=cos(<n-2x)

D.正切函数y=tanx的图象没有对称轴

选AD.由正切函数图象特征可知AD正确；

y=|sinx+，的最小正周期为2冗，故B不正确;

TT,_____

y=sin(2x+q)的表达式可以改写为f(x)

=-cos生-2x),故C不正确.

二、填空题(每小题5分，共15分)

JIJI],,JT

[，将f(x)的图象向右平移4

个单位得到g(x)的图象，若g(-X)+g(x)=0,贝u(P=.

将f(x)=2cos(2x+(p)的图象向右平移2个单位得到g(x)的图象，所以

g(x)=2cos12x-£+j,

又g(-x)+g(x)=0,所以g(x)为奇函数,

.兀兀

因此只需-2+(P=2+k兀，k£Z,

5兀

贝U税二d+k?i,kGZ,

又间44)，所以中=

型案,--

口木.6

11已知函数f(x)=sin(3x+cp)[3>0,0<(p<^的图象关于点耳，oj对

称关于直线x=-1对称最小正周期TGa,力，则T=,

f(x)的减区间是

由于f(x)的最小正周期Teg,力,3>0，所以N需，J=2<3<4.

由于f(x)图象关于点好,。］对称，关于直线x=-(对称，

“兀

严+(P=1K171

所以,兀兀，kl出匕，两式相加得2(p=(kl+k2)7l+为,

-40+(P=k27l+2

।兀7C兀

ki,k2ez,由于0<(p<］,0<2(p<7i,所以2(p=］=>(p=4.

则个co+=km=>3=4ki-1,ki£Z,结合2<co<4可得3=3,

所以f(x)=sin,+皆.

所以f(x)的最小_正_周期为T=f27r.

兀71371

由2k;i+2<3x+4<2k;i+爹,k^Z,

&刀/日2k兀7i2k7i57i,~

解得亍+正<x<-^-+夜,kGZ,

所以f(x)的减区间为

2k兀兀2k7i5加］八一r、

［亍+适，亍+司—Z).

答-案：42n［「亍2k?i+适7i，亍2kn+同5兀叱@

12.如图表示相对于平均海平面的某海湾的水面高度h(m)在某天0~

24时的变化情况，则水面高度h关于时间t的函数解+析式为

根据题图设h=Asin(cot+(p),

贝UA=6,T=12,所以看=12,所以3=看.

将点(6,0)作为“五点法”作图中的第一点，

所需x6+p=0,所以(p=-71,

(兀、71

所以h=6sinI-7iI=-6sin&t,t肝[0,24].

兀

答案：h=-6sint,tG[0,24]

三、解答题(每小题10分，共40分)

13.设函数f(x)=sinx,x£R.

(1)已知0e[0,2K],函数y=f(x+0)是偶函数,求0的值；

(2)若3f(a)-f[a-2]=0,求cos2a+2sinacosa的值.

⑴由题意，函数f(x)=sinx,xGR,

则y=f(x+0)=sin(x+0),

因为函数y=f(x+9)是偶函数，

所以f(0+0)=±1,即sin0=±1,

JT

解得0=-+k7i,kZ,

又因为0引0,2冗],

所以e/或咨.

(2)由3f(a)-fja-胃=0,

可得3sina-sin(a-习=0,

所以3sina+cosa=0,

可得tana=-,

cos2a+2sinacosa1+2tana

又由cos2a+2sinacosa=-------;---------;-----=----;------

sin2a+cos2atan2a+1

14.已知f(x)=x2+2xtan0-1,x£［-1,小］,其中昨卜］5

⑴当。二V时，求函数f(x)的最大值；

(2)求9的取值范围，使y=f(x)在区间[-1,小]上是单调函数.

兀(、行、24I-

⑴当。二-d时，f(x)=[x-3,xG[-1,],

根据二次函数的性质可得：当X=-1时，f(x)的最大值为：小.

(2)函数f(x)=x2+2xtan0-1=(x+tan0)2-(1+tan?。)图象的对称轴

为x=

-tan0,

因为y=f(x)在［-1,3］上是单调函数，

所以-tan-1或-tan0>^/3,

即tan0>1或tang-布.

因此,o角的取值范围是1-f,-1］晤周.

15.如图，半径为4m的水轮绕着圆心0逆时针做匀速圆周运动，

每分钟转动4圈，水轮圆心0距离水面2m，如果当水轮上点P从离

开水面的时刻(Po)开始计算时间.

⑴求点P距离水面的高度y(m)与时间t(s)满足的函数关系；

(2)求点P第一次到达最高点需要的时间.

(1)以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，

由于水轮绕着圆心O做匀速圆周运动，可设点P到水面的距离y(m)

(兀71I

与时间t(s)满足函数关系y=Asin(®t+cp)+2［-5<9<夕.

因为水轮每分钟转4圈，T=a=15,

匚Li、］27i2兀

所以3二亍二记

因为水轮半径为4m,A=4,

所以y=4sin+2

当t=0时，y=0,所以(p=,

所以y=4sin|j^t-+2.

(2)由于最高点距离水面的距离为6,

所以6=4sin唐唱+2^sinl=1,

127r7T7T

所以-2+2kji(keZ),

所以t=5+15k(k£Z),

所以当k=0时，即t=5(s)时，点P第一次到达最高点.

16.在自然条件下，对某种细菌在一天内存活的时间进行了一年的统

计与测量彳导到10次测量结果(时间近似到01小时)，结果如表所示:

1月2月3月4月5月6月8月9月1()月12月

口期

1口28日21口27口6口21口13口20口25口21口

日期位置

1598011712617222526