2024年中考数学专项复习训练：四边形综合问题

2024年中考数学专项复习训练：四边形综合问题一、选择题（每题3分，共18分）1.(2023•安徽模拟)如图,点E,F分别为正方形ABCD的边AB,BC的中点,AF,BE相交于G,则的值为()A. B. C. D.2.(2023·湖北襄阳)如图,▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O,下列说法正确的是(

)A.若OB＝OD,则▱ABCD是菱形 B.若AC＝BD,则▱ABCD是菱形C.若OA＝OD,则▱ABCD是菱形 D.若AC⊥BD,则▱ABCD是菱形3.(2023·湖北襄阳·统考一模)如图,在平行四边形ABCD中,M、N是BD上两点,BM=DN,连接AM、MC、CN、NA,添加一个条件,使四边形AMCN是矩形,这个条件是(

)A.OM=AC B.MB=MO C.BD⊥AC D.∠AMB=∠CND4.(2023•安丘市一模)如图,菱形ABCD的边长为2,∠ABC＝60°,E是AD边的中点,点P是对角线BD上的动点,当AP+PE的值最小时,PD的长是()A. B.2 C. D.5.(2023•太原二模)如图,在矩形纸片ABCD中,AD＝9,AB＝7,点F是C上一点,点E在AD上,将矩形纸片沿直线EF折叠,点A落在点A′处.点B恰好落在边CD上的点B′处,A′B′交AD于点G,若CB′＝3,则四边形EFB′G的面积等于()A. B. C. D.6.(2023·湖北荆州)如图,已知矩形ABCD的边长分别为a,b,进行如下操作:第一次,顺次连接矩形ABCD各边的中点,得到四边形A1B1C1D1;第二次,顺次连接四边形A1B1C1D1各边的中点,得到四边形A2B2C2D2;…如此反复操作下去,则第n次操作后,得到四边形AnBnCnDn的面积是(

)A. B. C. D.二、填空题（每题3分，共30分）7.(2023南岗)在矩形ABCD中,作∠B的平分线交直线AD于点E,则∠BED是度.8.(2023春•西城区校级期中)如图,菱形ABCD中,若BD＝8,AC＝6,则AB的长等于,菱形ABCD的面积等于.9.(2023•营口)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,其中OA＝1,OB＝2,则菱形ABCD的面积为.10.(2023•新北区一模)已知在菱形ABCD中,∠A=60o,DE//BF,sinE=,DE=6,EF=BF=5则菱形ABCD的边长_____.11.(2023春•东城区校级期中)如图,在矩形ABCD中,AB＝3,BC＝5,点E在边AD,且AE＝2,若过点E的直线l将该矩形的面积平分,且与矩形的另一边交于点F,则线段EF的长为.12.(2023·湖北宜昌)如图,在矩形ABCD中,E是边AD上一点,F,G分别是BE,CE的中点,连接AF,DG,FG若AF=3,DG=4,FG=5,矩形ABCD的面积为________.13.(2023·江苏常州·中考真题)如图,点C在线段AB上,且AC=2BC,分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE、BCFG,连接EC、EG,则tan∠CEG=_________.14.[2023·呼和浩特]已知菱形ABCD的面积为2,点E是一边BC上的中点,点P是对角线BD上的动点.连接AE,若AE平分∠BAC,则线段PE与PC的和的最小值为,最大值为.

15.(2023·贵州遵义)如图,四边形ABCD中,∠A=90°,AB=3,AD=3,点M,N分别为线段BC,AB上的动点(含端点,但点M不与点B重合),点E,F分别为DM,MN的中点,则EF长度的最大值为.16.[2023·咸宁]如图,四边形ABCD是边长为2的正方形,点E是边BC上一动点(不与点B,C重合),∠AEF=90°,且EF交正方形外角的平分线CF于点F,交CD于点G,连接AF,有下列结论:①△ABE∽△ECG;②AE=EF;③∠DAF=∠CFE;④△CEF的面积的最大值为1.其中正确结论的序号是(把正确结论的序号都填上).

三、解答题（第17—20题每题10分，第21题12分，共52分）17.(2023邵阳)如图,在正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F是对角线AC上的两点,且AE＝CF.连接DE,DF,BE,BF.(1)证明:△ADE≌△CBF;(2)若AB＝4eq\r(2),AE＝2,求四边形BEDF的周长.18.3(2023春•永州期末)如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,点D为斜边AB边上的中点,AE∥DC,CE∥DA.(1)求证:四边形ADCE是菱形;(2)连接DE,若AC=,BC＝1.求证:△ADE是等边三角形.19.(2023北京东直门中学)如图,在平行四边形ABCD中,BC=BD,BE平分∠CBD交CD于O,交AD延长线于E,连接CE.(1)求证:四边形BCED是菱形;(2)若OD=2,,求△ABE的面积.20.(2023年湖北省中考数学模拟题)如图1,AD∥BC,AB⊥BC于B,∠DCB=75°,以CD为边的等边△DCE的另一顶点E在线段AB上．(1)填空:∠ADE=____;(2)求证:AB=BC;(3)如图2所示,若F为线段CD上一点,∠FBC=30°,求的值．21.(2023年湖北省武汉市江汉区常青第一学校中考数学一模试题).已知,将矩形ABCD折叠,使点C与点A重合,点D落在点G处,折痕为EF．(1)如图1,求证:BE＝GF；(2)如图2,连接CF、DG,若CE＝2BE,在不添加任何辅助线情况下,请直接写出图2中的四个三角形,使写出的每个三角形都为等腰三角形22.(2023·北京市师达中学模拟预测)四边形ABCD是正方形,将线段CD绕点C逆时针旋转2α(0°＜α＜45°),得到线段CE,连接DE,过点B作BF⊥DE交DE的延长线于F,连接BE.(1)依题意补全图1;(2)直接写出∠FBE的度数;(3)连接AF,用等式表示线段AF与DE的数量关系,并证明.答案一、选择题（每题3分，共18分）1.故选:A.2.D3.A4.故选:D.5.故选:D.6.A二、填空题（每题3分，共30分）7.45或1358.故答案为:5,24.9.4【解析】根据菱形的面积等于对角线之积的一半可得答案.∵OA＝1,OB＝2,∴AC＝2,BD＝4,∴菱形ABCD的面积为2×4＝4.10.故答案为:4.11.解:∵四边形ABCD是矩形,AB＝3,BC＝5,∴DC＝AB＝3,AD＝BC＝5,∠B＝∠D＝∠A＝∠C＝90°,∵过点E的直线l将该矩形的面积平分,AE＝2,∴CF＝AE＝2,过E作EM⊥BC于M,则∠A＝∠B＝∠EMB＝90°,∴四边形ABME是矩形,∴EM＝AB＝3,BM＝AE＝2,∴MF＝BC﹣BM﹣CF＝5﹣2﹣2＝1,在Rt△EMF中,由勾股定理得:EF＝,故答案为:.12.4813.14.2+根据题意可画出图形,如图所示,过点B作BF∥AC交AE的延长线于点F,连接AP,∴∠F=∠CAE,∠EBF=∠ACE.∵点E是BC的中点,∴BE=CE,∴△ACE≌△FBE(AAS),∴BF=AC.∵AE平分∠BAC,∴∠BAE=∠CAE,∴∠BAE=∠F,∴AB=BF=AC.在菱形ABCD中,AB=BC,∴AB=BC=AC,即△ABC是等边三角形,∴∠ABC=60°.设AB=a,则BD=a,∵菱形ABCD的面积=AC·BD=2,即·a·a=2,∴a=2,即AB=BC=CD=2.∵四边形ABCD是菱形,∴点A和点C关于BD对称,∴PE+PC=AP+EP,当A,P,E三点共线时,AP+EP的和最小,此时AE=.当点P和点D重合时,PE+PC的值最大,此时PC=DC=2,如图,过点D作DG⊥BC交BC的延长线于点G,连接DE,∵AB∥CD,∠ABC=60°,∴∠DCG=60°,∴CG=1,DG=,∴EG=2,∴DE=,此时PE+PC=2+,即线段PE与PC的和的最小值为,最大值为2+.15.3解:∵ED=EM,MF=FN,∴EF=DN,∴DN最大时,EF最大,∵N与B重合时DN最大,此时DN=DB==6,∴EF的最大值为3.故答案为:3.16.①②③∵四边形ABCD为正方形,∴∠B=∠BCD=90°,∵∠AEF=90°,∴∠AEB+∠CEG=90°,又∠AEB+∠BAE=90°,∴∠BAE=∠CEG,∴△ABE∽△ECG,故①正确;在BA上截取BM=BE,连接ME,∵四边形ABCD为正方形,∴∠B=90°,BA=BC,∴△BEM为等腰直角三角形,∴∠BME=45°,∴∠AME=135°,∵BA-BM=BC-BE,∴AM=CE,∵CF为正方形外角平分线,∴∠DCF=45°,∴∠ECF=135°=∠AME,∵∠BAE=∠FEC,∴△AME≌△ECF(ASA),∴AE=EF,故②正确;∴△AEF为等腰直角三角形,∴∠EAF=∠EFA=45°,∴∠BAE+∠DAF=45°,而∠BAE=∠CEF,∠FCH=45°=∠CFE+∠CEF,∴∠DAF=∠CFE,故③正确;设BE=x,则BM=x,AM=AB-BM=2-x,S△AME=·x·(2-x)=-x2+x,当x=1时,S△AME有最大值,而△AME≌△ECF,∴S△AME=S△CEF,∴S△CEF有最大值,所以④错误.综上:正确结论的序号是:①②③.三、解答题（第17—20题每题10分，第21题12分，共52分）17.(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴∠DAE＝∠BCF＝45°,AD＝BC,在△ADE和△CBF中,eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝CB，,∠DAE＝∠BCF，,AE＝CF，))∴△ADE≌△CBF(SAS).(2)解:∵AB＝AD＝4eq\r(2),∴BD＝eq\r(AB2＋AD2)＝8,∴AC＝BD＝8,DO＝BO＝4,OA＝OC＝4,又∵AE＝CF＝2,∴OA－AE＝OC－CF,即OE＝OF＝4－2＝2,∴四边形BEDF为菱形.∵∠DOE＝90°,∴DE＝eq\r(DO2＋EO2)＝2eq\r(5).∴4DE＝4×2eq\r(5)＝8eq\r(5),∴四边形BEDF的周长为8eq\r(5).18.(1)证明:∵AE∥CD,CE∥AB,∴四边形ADCE是平行四边形,又∵∠ACB＝90°,D是AB的中点,∴CDAB＝BD＝AD,∴平行四边形ADCE是菱形;(2)证明:∵在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,AC,BC＝1,∴AB2,∴BCAB,∴∠CAB＝30°,∵四边形ADCE是菱形,∴∠EAD＝2∠CAB＝60°,AE＝AD,∴△ADE是等边三角形.19.(1)见解析;(2)16(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴BC∥AE,∴∠CBE=∠DEB,∵BE平分∠CBD,∴∠CBE=∠DBE,∴∠DEB=∠DBE,∴BD=DE,又∵BC=BD,∴BC=DE且BC∥DE,∴四边形BCED是平行四边形,又∵BC=BD,∴四边形BCED是菱形;(2)解:∵四边形BCED是菱形,∴BO=EO,∠DOE=90°,又∵AD=BC=DE,∴OD是△ABE的中位线,∴OD∥AB,AB=2OD=4,∠ABE=∠DOE=90°,∵,∴BE=8,∴.20.(1)45;(2)证明见解析(3)1．【详解】解:(1)∵∠DCB=75°,AD∥BC,∴∠ADC=105°∵△DCE为等边三角形,∴∠EDC=60°,∴∠ADE=∠ADC-∠EDC=45o．(2)证明:连接AC由(1)知∠ADE=45º,∵AB⊥BC,AD∥BC,∴∠DAB=90o,∴∠AED=45o,∴AD=AE,∴点A在线段DE的垂直平分线上,∵△DCE为等边三角形,∴CD=CE,∴点C也在线段DE的垂直平分线上,∴AC就是线段DE的垂直平分线,即AC⊥DE,∴AC平分∠EAD,∴∠BAC=45°,∴△ABC是等腰直角三角形∴BA=BC(3)解:连接AF,延长BF交AD的延长线于点G∵∠FBC=30º,∠ABC=90º,∴∠ABF=60º,∵∠DCB=75º,∴∠BFC=75º,故BC=BF,由(2)知:BA=BC,[来源:学。科。网]∴BA=BF,∴△ABF是等边三角形,∴AB=BF=FA,∴∠BAC=60º,∴∠DAF=30º,又∵AD∥BC,∴∠FAG=∠G=30º,∴FG=FA=FB,又∠DFG=∠CFB,∴△BCF≌△GDF(ASA),∴DF=CF,∴=1．21.(1)见解析；(2)△CEF,△AGD,△FGD,△DGC,△AEF是等腰三角形．【详解】(1)证明∵矩形ABCD∴AB=CD,∠BAD=90o由折叠可知:AG=CD,∠AGF=∠DCB=90o=∠GAE∴AB=AG,∠BAE=90o-∠EAF,∠GAF=90o-∠EAF∴∠BAE=∠GAF,且AG=AB,∠B=∠AGF=90o∴△ABE≌△AGF(ASA)∴BE=GF；(2)证明:∵将矩形ABCD折叠,使点C与点A重合,点D落在点G处∴AE=CE,AF=CF,GF=DF,AG=CD,∠AEF=∠CEF,∠AFE=∠CFE∴△GFD是等腰三角形∵AD//BC∴∠AF