四川省成都市茶园中学高三数学理知识点试题含解析

四川省成都市茶园中学高三数学理知识点试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知a=，则展开式中，x3项的系数为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】二项式系数的性质；定积分．【专题】计算题；二项式定理．【分析】求定积分可得a的值，求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于3，求得r的值，即可求得展开式中的x3的系数．【解答】解：a=dx=﹣sinx=﹣1，则二项式的展开式的通项公式为Tr+1=﹣?（）r?x9﹣2r，令9﹣2r=3，求得r=3，∴展开式中x3项的系数为﹣?=﹣，故选：C【点评】本题主要考查求定积分，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．2.

将两个数交换,使,下面语句正确一组是(

)参考答案：B3.设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为（

） A. B. C. D.参考答案：B函数和函数互为反函数图像关于对称。则只有直线与直线垂4.将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，则所得的图象的解析式为（）A． B．C． D．参考答案：B【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】转化思想．【分析】利用函数左加右减的原则，求出平移后的函数解析式，然后通过伸缩变换求出函数的解析式即可．【解答】解：将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，得到函数．故选B．【点评】本题是基础题，考查函数的图象的平移与图象的伸缩变换，注意先平移后伸缩时，初相不变化，考查计算能力．5.已知，，若，则实数的值为(

)A.－2

B.

C.

D.2参考答案：D6.记集合和集合表示的平面区域分别为若在区域内任取一点，则点落在区域的概率为A．

B．

C．

D．参考答案：A区域为圆心在原点，半径为4的圆，区域为等腰直角三角形，两腰长为4，所以，故选A．7.执行图中的程序框图（其中表示不超过的最大整数），则输出的值为．

．

．

．参考答案：．每次循环的结果分别为：，；，；，；，；，；，，这时，输出．故选．【解题探究】本题考查程序框图的运算和对不超过的最大整数的理解．要得到该程序运行后输出的的值，主要依据程序逐级运算，并通过判断条件调整运算的续与结束，注意执行程序运算时的顺序．8.若复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A，所以，选A.9.已知角α的终边过点P（﹣8m，﹣6sin30°），且cosα=﹣，则m的值为（）A．﹣ B． C．﹣ D．参考答案：B【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求出m的值．【解答】解：由题意可得x=﹣8m，y=﹣6sin30°=﹣3，r=|OP|=，cosα===﹣，解得m=，故选：B．10.已知集合，函数的定义域为集合B，则A∩B=（）A.[－2,1] B.[－2,1) C.[1,3] D.(1,3]参考答案：B【分析】求出集合，再利用交集运算得解【详解】由得：，所以集合，又所以.故选B【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若函数

.参考答案：12.已知当且时，函数取得最大值，则a的值为__________．

参考答案：由题意可得：其中，，.因为要取得最大值，，带入以上所求，化简：，解：13.已知函数在上恒正，则实数的取值范围是

参考答案：【知识点】指数函数

复合函数的单调性

B6

B3设，需满足，即，因为，所以，从而，可得函数的对称轴为，从而函数在上单调递增，当时，函数在上单调递增，所以，当时，函数在上单调递减，所以，即为，故答案为.【思路点拨】因为函数在上有意义，所以满足，求得，而可得函数的对称轴为，从而函数在上单调递增，然后利用复合函数同增异减对进行分类讨论，可得结果.14.已知向量，且∥，则实数的值是

。参考答案：15.过点（0，－1）的直线与抛物线相交于A、B两点，O为坐标原点，则=

.参考答案：答案:－116.观察下列不等式，……照此规律，第五个不等式为

.

参考答案：.通过观察易知第五个不等式为.17.阅读右边的程序框图，如果输出的函数值在区间内，则输入的实数的取值范围是

．参考答案：3三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面四边形ABCD是菱形，∠BAD=600，AB=PD=2，O为AC与BD的交点.（Ⅰ）求证：AC⊥PB；（Ⅱ）若点E是PB的中点，求三棱锥E—ABC的体积.

参考答案：

（Ⅰ）证明：∵在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD

AC

∴PD⊥AC

………………2分

∵四边形ABCD是菱形

∴BD⊥AC

………………3分

又且PD，BD

∴AC⊥面PBD，PB

∴AC⊥PB.

………………6分

（Ⅱ）解：∵O是菱形ABCD对角线的交点

∴O是BD的中点

∵E是PB的中点

∴OE是ΔBPD的中位线，即OE∥PD，且OE=

∵PD⊥平面ABCD

∴OE⊥平面ABCD

∴OE为三棱锥E—ABC的高

………………9分

∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=600，

∴BC=AB=2，∠ABC=1200

∴==

∴

………………12分19.（本题共14分）已知函数的导函数的两个零点为-3和0.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）若f(x)的极小值为，求f(x)在区间上的最大值.参考答案：解：（Ⅰ）．.......2分令，因为，所以的零点就是的零点，且与符号相同.又因为，所以时，g(x)>0,即，………4分当时,g(x)<0,即，…………6分所以的单调增区间是（-3，0）,单调减区间是（-∞，-3），（0，+∞）．……7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，=-3是的极小值点，所以有

解得，

…………11分

所以.的单调增区间是（-3，0）,单调减区间是（-∞，-3）,（0，+∞），为函数的极大值,

…………………12分在区间上的最大值取和中的最大者.

…………….13分而>5，所以函数f(x)在区间上的最大值是．.…14分

20.已知函数f（x）=lnx，g（x）=x2﹣2x．（1）设h（x）=f（x+1）﹣g′（x）（其中g′（x）是g（x）的导函数），求h（x）的最大值；（2）证明：当0＜b＜a时，求证：f（a+b）﹣f（2a）＜；（3）设k∈Z，当x＞1时，不等式k（x﹣1）＜xf（x）+3g′（x）+4恒成立，求k的最大值．参考答案：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】计算题；证明题；综合题．【分析】（1）h（x）=f（x+1）﹣g′（x）=ln（x+1）﹣x+2，x＞﹣1，h′（x）=，利用导数研究函数的单调性，可求得当x=0时h（x）取得最大值h（0）=2；（2）当0＜b＜a时，﹣1＜＜0，由（1）知：当﹣1＜x＜0时，h（x）＜2，即ln（x+1）＜x，从而可证得结论；（3）不等式k（x﹣1）＜xf（x）+3g′（x）+4化为k＜+2即k＜+2对任意x＞1恒成立，令g（x）=+2，则g′（x）=，分析得到函数g（x）=+2在（1，x0），上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增（x0∈（3，4））．从而可求k的最大值．【解答】解：（1）h（x）=f（x+1）﹣g′（x）=ln（x+1）﹣x+2，x＞﹣1，所以h′（x）=﹣1=．当﹣1＜x＜0时，h′（x）＞0；当x＞0时，h′（x）＜0．因此，h（x）在（﹣1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减．因此，当x=0时h（x）取得最大值h（0）=2；（2）证明：当0＜b＜a时，﹣1＜＜0，由（1）知：当﹣1＜x＜0时，h（x）＜2，即ln（x+1）＜x．因此，有f（a+b）﹣f（2a）=ln=ln（1+）＜．（3）不等式k（x﹣1）＜xf（x）+3g′（x）+4化为k＜+2所以k＜+2对任意x＞1恒成立．令g（x）=+2，则g′（x）=，令h（x）=x﹣lnx﹣2（x＞1），则h′（x）=1﹣=＞0，所以函数h（x）在（1，+∞）上单调递增．因为h（3）=1﹣ln3＜0，h（4）=2﹣2ln2＞0，所以方程h（x）=0在（1，+∞）上存在唯一实根x0，且满足x0∈（3，4）．当1＜x＜x0时，h（x）＜0，即g′（x）＜0，当x＞x0时，h（x）＞0，即g′（x）＞0，所以函数g（x）=+2在（1，x0），上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．所以[g（x）]min=g（x0）=+2=+2=x0+2∈（5，6）．所以k＜[g（x）]min=x0+2∈（5，6）．故整数k的最大值是5．【点评】本题考查导数在最大值、最小值问题中的应用，考查函数的单调性与最值，考查综合分析与转化、运算的能力，考查构造函数研究函数性质的能力，属于难题．21.某高校在2011年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示。（1）求第3、4、5组的频率；（2）为了能选拔出最优秀的学生，该校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少学生进入第二轮面试？（3）在（2）的前提下，学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求第4组至少有一名学生被甲考官面试的概率。

参考答案：解：（1）由题设可知，第3组的频率为0.06×5=0.3，第4组的频率为0.04×5=0.2，第5组的频率为0.02×5=0.1。

（2）第3组的人数为0.3×100=30，第4组的人数为0.2×100=20，第5组的人数为0.1×100=10。因为第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组抽取的人数分别为第3组：，第4组：，第5组：，所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人。

（3）设第3组的3名学生分别为A1、A2、A3-，第4组的2名学生分别为B1、B2，第5组的1名学生为C1，则从6名学生中抽取两位学生有：（A1，A2）、（A1，A3）、（A1，B1）、（A1，B2）、（A1，C1）、（A2，A3）、（A2，B1）、（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1），共15种可能。其中第4组的2位学生B1，B2至少有一位学生入选的有：（A1，B1）、（A1，B2）、(A2，B1）、（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2），（B