湖南省常德市石门县第六中学高三数学理上学期摸底试题含解析

湖南省常德市石门县第六中学高三数学理上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设，定义为的导数，即，，若的内角满足，则的值是A.

B.

C.

D.参考答案：A略2.已知小蜜蜂在一个棱长为4饿正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为A．

B．

C．

D．

参考答案：D3.设是定义在R上的偶函数，对任意，都有，且当时，，若在区间内关于x的方程恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是

（

）

A．（1，2）

B．（2，）

C．

D．参考答案：D4.若直线与不等式组，表示的平面区域有公共点，则实数的取值范围是

A．

B．

C．(1，9)

D．参考答案：【知识点】简单的线性规划.

E5A

解析：画出可行域，求得可行域的三个顶点A(2,1)，B(5,2)，C(3,4)而直线恒过定点P(0,-6),且斜率为，因为,所以由得，故选A.【思路点拨】：画出可行域，求得可行域的三个顶点,

确定直线过定点P(0,-6)，求得直线PA、PB、PC的斜率，其中最小值，最大值，则由得的取值范围.5.执行如图的程序框图，依次输入，则输出的S值及其意义分别是（

）A.，即5个数据的方差为4B.，即5个数据的标准差为4C.，即5个数据的方差为20D.，即5个数据的标准差为20参考答案：A【分析】根据程序框图，输出的是这5个数据的方差，先求这5个数的均值，然后代入方差公式计算即可．【详解】根据程序框图，输出的S是这5个数据的方差，∵（17+19+20+21+23）＝20，∴由方差的公式得＝[（17﹣20）2+（19﹣20）2+（20﹣20）2+（21﹣20）2+（23﹣20）2]＝4．故选：A．【点睛】本题通过程序框图考查了均值和方差，解决问题的关键是通过程序框图能得出这是一个求数据方差的问题，属于基础题．6.命题“x02+2x0+2≤0”的否定是（

） A．x02+2x0+2＞0 B．x02+2x0+2≥0 C．x2+2x+2＞0 D．x2+2x+2≤0参考答案：C略7.若函数f（x）=x3﹣3x+a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是(

)A．（﹣2，2） B．[﹣2，2] C．（﹣∞，﹣1） D．（1，+∞）参考答案：A【考点】函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【专题】数形结合；运动思想．【分析】由函数f（x）=x3﹣3x+a求导，求出函数的单调区间和极值，从而知道函数图象的变化趋势，要使函数f（x）=x3﹣3x+a有3个不同的零点，寻求实数a满足的条件，从而求得实数a的取值范围．【解答】解∵f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1），当x＜﹣1时，f′（x）＞0；当﹣1＜x＜1时，f′（x）＜0；当x＞1时，f′（x）＞0，∴当x=﹣1时f（x）有极大值．当x=1时，f（x）有极小值，要使f（x）有3个不同的零点．只需，解得﹣2＜a＜2．故选A．【点评】考查利用导数研究函数的单调性和极值，函数图象的变化趋势，体现了数形结合和运动的思想方法，属中档题．8.在如图的表格中,每格填上一个数字后,使每一横行成等差数列,每一纵行成等比数列,则a＋b＋c的值为

A．1

B．2

C．3 D．4参考答案：A9.如图，设AB为圆锥PO的底面直径，PA为母线，点C在底面圆周上，若PA=AB=2，AC=BC,则二面角P-AC-B大小的正切值是（）A.

B.

C.

D.参考答案：B作AC的中点D，连接OD，PD，如图所示：根据已知可得，，所以，因为D是AC的中点，所以，所以即为二面角的平面角，因为PA=AB=2，所以AC=BC=，所以OD=，在中，，所以在中，.10.设若，则的最小值为

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某大型超市销售的乳类商品有四种：纯奶．酸奶．婴幼儿奶粉．成人奶粉，且纯奶．酸奶．婴幼儿奶粉．成人奶粉分别有种．种．种．种不同的品牌．现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为的样本进行三聚氰胺安全检测，若抽取的婴幼儿奶粉的品牌数是，则

．参考答案：2012.设f﹣1（x）为的反函数，则f﹣1（1）=

．参考答案：1【考点】4R：反函数．【分析】根据反函数的性质，原函数的值域是反函数的定义域即可求解【解答】解：的反函数，其反函数f﹣1（x），反函数的性质，反函数的定义域是原函数的值域，即．可得：x=1，∴f﹣1（x）=1．故答案为1．13.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，C=45°，1+=，则边c的值为

．参考答案：2考点：两角和与差的正切函数；同角三角函数基本关系的运用．专题：解三角形．分析：利用条件、同角三角函数的基本关系、正弦定理求得=，求得cosA的值，可得A的值，再利用正弦定理求得c的值．解答： 解：在△ABC中，∵1+=1+====，故有正弦定理可得=，∴cosA=，A=60°．再由a=2，C=45°，利用正弦定理可得=，即=，∴c=2，故答案为：2．点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系、正弦定理的应用，属于中档题．14.已知数列中，，若利用如图所示的程序框图进行运算，则输出n的值为

.参考答案：1115.二项式展开式中的常数项是

．参考答案：240二项式展开式的通项公式为，令，求得，所以二项式展开式中的常数项是×24=240．16.若等比数列的第项是二项式展开式的常数项，则

.参考答案：17.在的展开式中，的系数为______．参考答案：80的展开式中，通项公式，令，解得．的系数，故答案为80．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆的右焦点F2是抛物线的焦点，过点F2垂直于x轴的直线被椭圆C所截得的线段长度为3．（1）求椭圆C的方程；（2）设动直线与椭圆C有且只有一个公共点P，且与直线相交于点Q．请问：在x轴上是否存在定点M，使得为定值？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：（Ⅰ）抛物线的焦点坐标为(1,0)，则椭圆C过点则解得（4分）（Ⅱ）假设在x轴上存在定点满足条件，设，则由,得.

∴,即，.

6分此时,∴（8分）,,=，10分.∴存在点,使得.

（12分）19.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，平面底面ABCD，且是边长为2的等边三角形，在PC上，且面.（1）求证:M是PC的中点；（2）求多面体PABMD的体积.参考答案：(1)证明：连交于，连是矩形，是中点.又面，且是面与面的交线，是的中点.(2)取中点，连.则，由面底面，得面，，.20.已知数列{an}中，a1=1，an+1=（n∈N*）．（1）求证：{+}为等比数列，并求{an}的通项公式an；（2）数列{bn}满足bn=（3n﹣1）??an，求数列{bn}的前n项和Tn．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）根据数列的递推关系，结合等比数列的定义即可证明{+}为等比数列，并求{an}的通项公式an；（2）利用错误相减法即可求出数列的和．【解答】解（1）∵a1=1，an+1═，∴，即==3（+），则{+}为等比数列，公比q=3，首项为，则+=，即=﹣+=，即an=．（2）bn=（3n﹣1）??an=，则数列{bn}的前n项和Tn=

①=+…+②，两式相减得=1﹣=﹣=2﹣﹣=2﹣，则Tn=4﹣．21.某校高一某数学兴趣班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的损坏，其可见部分如下，据此解答如下问题：

（Ⅰ）求该兴趣班的总人数n的值及分数在[80,90)的频数；（Ⅱ）求出各组的频率，填入下表，并根据频率分布直方图估计这次测试的众数和中位数.分数段[50,60)[60,70)[70,80）[80,90)[90,100]频率

参考答案：解：（Ⅰ）由频率分布直方图知分数在的频率为0.00810=0.08由茎叶图知分数在之间的频数为2所以该兴趣班的总人数为人………………3分

∴分数在的频数为25-21=4人………………5分

（Ⅱ）全班人数共25人，根据各分数段人数计算各分数段的频率如下表：分数段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]频率0.080.28

………8分

∵分数在的频率最大

∴估计这次测试的众数约为75

………………10分

中位数约为

…………12分22.记函数f（x）=ex的图象为C，函数g（x）=kx﹣k的图象记为l．（1）若直线l是曲线C的一条切线，求实数k的值．（2）当x∈（1，3）时，图象C恒在l上方，求实数k的取值范围．（3）若图象C与l有两个不同的交点A、B，其横坐标分别是x1、x2，设x1＜x2，求证：x1x2＜x1+x2．参考答案：【考点】函数的图象．【专题】综合题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）先设出切点坐标P（x0，ex0），再利用导数的几何意义写出过P的切线方程，最后将（1，0）代入即可得P点坐标，从而得到直线的斜率k；（2）令h（x）=f（x）﹣g（x）=ex﹣k（x﹣1），确定x=lnk时，函数h（x）取得最小值k﹣k（lnk﹣1），利用当x∈（1，3）时，图象C恒在l上方，可得k﹣k（lnk﹣1）＞0，即可求实数k的取值范围．（3）证明（x1﹣1）（x2﹣1）＜1，即可得出结论【解答】（1）解：曲线y=ex的导数为y′=ex，设切点为P（x0，ex0），则过P的切线方程为y﹣ex0=ex0（x﹣x0）代入（1，0）点得x0=2，∴P（2，e2），代入g（x）=kx﹣k，可得k=e2；（2）解：令h（x）=f（x）﹣g（x）=ex﹣k（x﹣1），∴h′