北京澳华学校高三数学理摸底试卷含解析

北京澳华学校高三数学理摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某综艺节目为比较甲、乙两名选手的各项能力(指标值满分为5分，分值高者为优)，绘制了如图所示的六维能力雷达图，图中点A表示甲的创造力指标值为4，点B表示乙的空间能力指标值为3，则下面叙述正确的是A．乙的记忆能力优于甲的记忆能力B．乙的创造力优于观察能力C．甲的六大能力整体水平优于乙D．甲的六大能力中记忆能力最差参考答案：C由图示易知甲的记忆能力指标值为，乙的记忆能力指标值为4，所以甲的记忆能力优于乙，故排除；同理，乙的观察能力优于创造力，故排除；甲的六大能力中推理能力最差，故排除；又甲的六大能力指标值的平均值为，乙的六大能力指标值的平均值为，所以甲的六大能力整体水平优于乙，故选.2.某人向东方向走了x千米，然后向右转，再朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好千米，那么x的值是

．

参考答案：4

根据题意画出相应的图形，如图所示：在△ABC中，AB=x千米，BC=3千米，AC=千米，∠ABC=180°-120°=60°，由余弦定理得：，即（x-4）（x+1）=0，解得：x=4或x=-1（舍去），因此x的值为4千米．3.若的最小值为，则二项式的展开式中的常数项是

A．第10项

B．第9项

C．第8项

D．第7项参考答案：B4.

函数的图象过原点，且它的导函数的图象是如图所示的一条直线，则的图象的顶点在（

）A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

参考答案：答案：A5.一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底面圆周在球O的球面上，则该圆锥的表面积与球O的表面积的比值为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D略6.欧拉公式为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占用非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限参考答案：B【分析】由欧拉公式,可得=cos2+isin2，表示的复数在复平面中的象限.【详解】解：由欧拉公式，可得=cos2+isin2，此复数在复平面中对应的点为（cos2，sin2），易得cos2＜0，sin2＞0，可得此点位于第二象限，故选B.7.从抛物线y2=4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|=5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为（）A．5 B．10 C．20 D．参考答案：B【考点】抛物线的简单性质．【分析】先设处P点坐标，进而求得抛物线的准线方程，进而求得P点横坐标，代入抛物线方程求得P的纵坐标，进而利用三角形面积公式求得答案．【解答】解：设P（x0，y0）依题意可知抛物线准线x=﹣1，∴x0=5﹣1=4∴|y0|==4，∴△MPF的面积为×5×4=10故选：B【点评】本题主要考查了抛物线的应用．解题的关键是灵活利用了抛物线的定义．8.已知，若对任意实数恒成立，则实数的取值范围是A．

B．

C．

D．参考答案：【知识点】一般形式的柯西不等式．N4【答案解析】B解析：由柯西不等式得,,即,即的最大值为3，当且仅当时等号成立；所以对任意实数恒成立等价于对任意实数恒成立，又因为对任意恒成立，因此有即，解得，故选B.【思路点拨】由柯西不等式求得，可得对任意实数x恒成立．再根据|x﹣1|+|x+m|≥|m+1|，可得，由此求得m的范围．9.“”是“函数在区间(0,+∞)上单调递增”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：C若，则当时，，当时，在上单调递增；当时，对称轴，故在上单调递增.所以“”是“在上单调递增”的充分条件.若在上单调递增，当时，在上单调递增，符合；当时，对称轴，故在上单调递增，符合；当时，，当时，为减函数，舍去.故“”是“在上单调递增”的必要条件所以“”是“在上单调递增”的充分必要条件.选C.

10.已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γβ⊥γ”是真命题．如果把α，β，γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有（

）A．0个

B．1个

C．2个

D．3个参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在一个不透明的盒子中装有2个白球，n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则__________

参考答案：112.已知向量，若向量与向量平行，则实数=

.参考答案：13.已知椭圆的左、右两个焦点分别为、，若经过的直线与椭圆相交于、两点，则△的周长等于

.参考答案：8略14.中，，则的最大值为

参考答案：15.定义函数，，，若存在实数b使得方程无实数根，则实数a的取值范围是

．参考答案：（－∞，－5）∪（4，＋∞）16.函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（x）=参考答案：2sin（2x﹣）．【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由图可求A，T，由周期公式可求ω，再由﹣2=2sin[2×（﹣）+φ]求得φ即可得解函数解析式．【解答】解：由图知A=2，又=﹣（﹣）=，故T=π，∴ω=2；又∵点（﹣，﹣2）在函数图象上，可得：﹣2=2sin[2×（﹣）+φ]，∴可得：﹣×2+φ=2kπ﹣（k∈Z），∴φ=2kπ﹣，（k∈Z），又∵|φ|＜，∴φ=﹣，∴f（x）=2sin（2x﹣）．故答案为：2sin（2x﹣）．17.已知双曲线（）的左、右焦点分别为，，是右支上的一点，与轴交于点，的内切圆在边上的切点为．若，则的离心率是

▲▲

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分14分)如图，在正方体中，分别为的中点.

（1）求证：平面；

（2）求证：平面平面.参考答案：证明（1）：连接，设，连接，………2分因为O，F分别是与的中点，所以，且，又E为AB中点，所以，且，从而，即四边形OEBF是平行四边形，所以，

……………6分又面，面，所以面.

……………8分（2）因为面，面，所以，

…………10分又，且面，，所以面，…………12分而，所以面，又面，所以面面.

………14分19.目前，中国有三分之二的城市面临“垃圾围城”的窘境.我国的垃圾处理多采用填埋的方式，占用上万亩土地，并且严重污染环境.垃圾分类把不易降解的物质分出来，减轻了土地的严重侵蚀，减少了土地流失.2020年5月1日起，北京市将实行生活垃圾分类，分类标准为厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其它垃圾四类.生活垃圾中有30%~40%可以回收利用，分出可回收垃圾既环保，又节约资源.如：回收利用1吨废纸可再造出0.8吨好纸，可以挽救17棵大树，少用纯碱240千克，降低造纸的污染排放75％，节省造纸能源消耗40％～50％.现调查了北京市5个小区12月份的生活垃圾投放情况，其中可回收物中废纸和塑料品的投放量如下表：

A小区B小区C小区D小区E小区废纸投放量（吨）55.15.24.84.9塑料品投放量（吨）3.53.63.73.43.3（Ⅰ）从A、B、C、D、E这5个小区中任取1个小区，求该小区12月份的可回收物中，废纸投放量超过5吨且塑料品投放量超过3.5吨的概率；（Ⅱ）从A、B、C、D、E这5个小区中任取2个小区，记X为12月份投放的废纸可再造好纸超过4吨的小区个数，求X的分布列及期望．参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.【分析】（Ⅰ）基本事件的总数为5，随机事件中含有的基本事件的个数为2，从而可得随机事件的概率.（Ⅱ）利用超几何分布可求X的分布列及期望．【详解】解：（Ⅰ）记“该小区12月份的可回收物中废纸投放量超过5吨且塑料品投放量超过3.5吨”为事件.由题意，有两个小区12月份的可回收物中废纸投放量超过5吨且塑料品投放量超过3.5吨，所以.

（Ⅱ）因为回收利用1吨废纸可再造出0.8吨好纸，所以12月份投放的废纸可再造好纸超过4吨的小区有，共2个小区.的所有可能取值为0，1，2.；；.所以的分布列为:012

．【点睛】本题考查古典概型的概率的计算，关键是基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数的计算，计算时应利用排列组合的方法来考虑，另外，随机变量的分布列可借助于常见分布来计算概率.20.在△ABC中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c．已知sinA+sinC=psinB（p∈R）．且ac=b2．（Ⅰ）当p=，b=1时，求a，c的值；（Ⅱ）若角B为锐角，求p的取值范围．参考答案：考点：解三角形．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转化成边，解方程组求得a和c的值．（Ⅱ）先利用余弦定理求得a，b和c的关系，把题设等式代入表示出p2，进而利用cosB的范围确定p2的范围，进而确定pd范围．解答：（Ⅰ）解：由题设并利用正弦定理得故可知a，c为方程x2﹣x+=0的两根，进而求得a=1，c=或a=，c=1（Ⅱ）解：由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣2ac﹣2accosB=p2b2﹣b2cosB﹣，即p2=+cosB，因为0＜cosB＜1，所以p2∈（，2），由题设知p∈R，所以＜p＜或﹣＜p＜﹣又由sinA+sinC=psinB知，p是正数故＜p＜即为所求点评：本题主要考查了解三角形问题．学生能对正弦定理和余弦定理的公式及变形公式熟练应用．21.（本题满分12分）已知向量，，对任意都有.（1）求的最小值；（2）求正整数,使参考答案：(1)设=（xn,yn）,由=+得

∴{xn}、{yn}都是公差为1的等差数列……….3分∵=（1，－7）∴xn=n,yn=n－8,=(n,n－8)||的最小值为4…………..6分（2）由（1）可设=（m,m－8）

=(n,n－8)由已知得：·=0mn+(m－8)(n－8)=0(m－4)(n－4)=－16……..8分∵m,n∈N+∴或

……..12分22.已知函数.（1）求函数在点处的切线方程；（2）求函数的单调递增区间；（3）若存在，使得是自然对数的底数），求实数的取值范围.参考答案：⑴因为函数，所以，，…