北京玉渊潭中学高三数学理期末试题含解析

北京玉渊潭中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图是求的程序框图，图中空白框中应填入A．A= B．A= C．A= D．A=参考答案：A把选项代入模拟运行很容易得出结论选项A代入运算可得，满足条件，选项B代入运算可得,不符合条件，选项C代入运算可得,不符合条件，

选项D代入运算可得,不符合条件.

2.设曲线在点处的切线为，曲线在点处的切线为，若存在，使得，则实数的取值范围是（

）

参考答案：D3.已知ABC中，，那么角A等于 （

）A．135° B．45° C．135°或45° D．30°参考答案：B4.命题“”是命题“”的（

）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不是充分又不是必要条件参考答案：Ｂ5.设U为全集，对集合X，Y，定义运算“”，XY＝CU(X∩Y)．对于任意集合X，Y，Z，则(XY)Z＝（A）(X∪Y)∩CUZ

（B）(X∩Y)∪CUZ

（C）(CUX∪CUY)∩Z

（D）(CUX∩CUY)∪Z参考答案：B6.函数的图象大致为（

）A. B.

C. D.参考答案：C【分析】根据奇偶性以及特殊值即可排除。【详解】因为=，所以为奇函数图像关于原点对称，排除BD,因为，所以排除A答案，选择D【点睛】本题主要考查了函数图像的判断方法，常利用函数的奇偶性质，特殊值法进行排除，属于中等题。7.已知是锐角的三个内角，向量，，则与的夹角是A．锐角

B．钝角

C．直角

D．不确定参考答案：A解析：锐角中，，故有，同时易知与方向不相同，故与的夹角是锐角．8.（2016秋?天津期中）如图，空间四边形OABC中，=，=，=，点M在线段OA上，且OM=2MA，点N为BC的中点，则=（）A．﹣++ B．﹣+ C．+﹣ D．+﹣参考答案：A【考点】空间向量的加减法．【专题】空间向量及应用．【分析】由题意，把，，三个向量看作是基向量，由图形根据向量的线性运算，将用三个基向量表示出来，即可得到答案，选出正确选项．【解答】解：=，=+﹣+，=++﹣，=﹣++，∵=，=，=，∴=﹣++，故选：A．【点评】本题考点是空间向量基本定理，考查了用向量表示几何的量，向量的线性运算，解题的关键是根据图形把所研究的向量用三个基向量表示出来，本题是向量的基础题．9.在△ABC所在的平面内，点P0、P满足=，，且对于任意实数λ，恒有，则（）A．∠ABC=90° B．∠BAC=90° C．AC=BC D．AB=AC参考答案：C【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】由题意可得P0、P、A、B四点共线，建立直角坐标系，设AB=4，C（a，b），P（x，0），根据恒有，可得x2﹣4（a+1）x+a+1≥0恒成立，由判别式△≤0，解得a=0，可得点C在AB的垂直平分线上，从而得出结论．【解答】解：∵=，，∴P0、P、A、B四点共线，以AB所在的直线为x轴，以AB的中垂线为y轴，建立直角坐标系，设AB=4，C（a，b），P（x，0），则A（﹣2，0），B（2，0），P0（1，0），∵恒有，∴（2﹣x，0）?（a﹣x，b）≥（1，0）?（a﹣1，b）恒成立，即（2﹣x）（a﹣x）≥a﹣1恒成立，即x2﹣（a+2）x+a+1≥0恒成立，∴判别式△=（a+2）2﹣4（a+1）≤0，解得a2≤0，∴a=0，即点C在AB的垂直平分线上，∴CA=CB，故选：C．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的运算，两个向量坐标形式的运算，属于中档题．10.若实数x，y满足约束条件，则的取值范围是（

）A.[－1,1] B.[－1,10] C.[1,12] D.[－1,12]参考答案：B【分析】画出约束条件表示的可行域，求目标函数的范围转化为求直线的截距范围求解即可．【详解】约束条件的可行域如下图（阴影部分）联立可得可得设，则，作出直线，平移可知在取得最小值，在取得最大值，代入可得，故答案为B【点睛】本题考查线性规划问题，属于基础题,同时体现数形结合在解题中的重要性．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1内接于球O，底面ABCD是边长为2的正方形，E为AA1的中点，OA⊥平面BDE，则球O的表面积为．参考答案：16π【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】根据已知结合长方体锥的几何特征和球的几何特征，求出球的半径，代入可得球的表面积．【解答】解：∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1内接于球O，底面ABCD是边长为2的正方形，设AA1=2a，E为AA1的中点，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1为x，y，z轴建立空间坐标系，则A（0，0，0），B（2，0，0），D（0，2，0），E（0，0，a），C1（2，2，2a），O（1，1，a），则=（﹣2，2，0），=（﹣2，0，a），=（1，1，a），若OA⊥平面BDE，则，即，即a2﹣2=0，解得a=，∴球O的半径R满足：2R==4，故球O的表面积S=4πR2=16π，故答案为：16π．12.已知三棱锥A﹣BCD中，AB=CD=2，BC=AD=，AC=BD=，则三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为

．参考答案：77π【考点】球的体积和表面积．【分析】三棱锥A﹣BCD的三条侧棱两两相等，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，然后解答即可．【解答】解：三棱锥A﹣BCD的三条侧棱两两相等，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，且此长方体的面对角线的长分别为：2，，，体对角线的长为球的直径，d==，∴它的外接球半径是，外接球的表面积是77π，故答案为：77π．13.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别是棱BC、DD1上的点，如果B1E⊥平面ABF，则CE与DF的长度之和为

．参考答案：略14.二项式（﹣）5的展开式中常数项为（用数字作答）参考答案：﹣10考点：二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．解答：解：二项式（﹣）5的展开式的通项公式为Tr+1=?（﹣1）r?，令=0，求得r=3，可得展开式中常数项为﹣=﹣10，故答案为：﹣10．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．15.已知函数f（x）=，若x∈[2，6]，则该函数的最大值为

．参考答案：2【考点】函数单调性的性质．【分析】先求出函数的图象，得到函数的单调性，从而求出函数的最大值．【解答】解：画出函数f（x）的图象，如图示：，∴函数f（x）在[2，6]递减，∴函数f（x）最大值=f（2）=2，故答案为：2．16.已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是an的前n项和，且9S3=S6，则数列的前5项和为

．参考答案：【考点】数列的求和．【分析】利用等比数列求和公式代入9s3=s6求得q，根据首项为1写出等比数列{an}的通项公式，从而确定出数列也为等比数列，进而根据等比数列求和公式求得数列的前5项和．【解答】解：显然q≠1，所以，所以是首项为1，公比为的等比数列，则前5项和为：．故答案为：17.在平面直角坐标系中，角的始边与轴正半轴重合，终边在直线上，且，则＝

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知（1）求cosA；（2）求c的值.参考答案：（1）；（2）.【分析】（1）由正弦定理和二倍角公式可构造方程求得；（2）由余弦定理构造方程可求得的两个解，其中时，验证出与已知条件矛盾，从而得到结果.【详解】（1）在中，由正弦定理得：（2）在中，由余弦定理得：由整理可得：解得：或当时，，又

，此时，与已知矛盾，不合题意，舍去当时，符合要求综上所述：【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，易错点是求得边长后忽略了已知中的长度和角度关系，造成增根出现.19.选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π），以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，射线，分别与曲线C交于A，B，C三点（不包括极点O）.(Ⅰ)求证：；(Ⅱ)当时，若B，C两点在直线l上，求m与α的值.参考答案：解：(Ⅰ)证明：依题意，，，则.(Ⅱ)当时，两点的极坐标分别为，化直角坐标为.经过点的直线方程为，又直线经过点，倾斜角为，故.20.已知函数，其图象过点（，）．（1）的值；（2）函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在[0,]上的最大值和最小值．参考答案：解：（1）由，得∴，于是（2）由，得又∵，∴由得：所以

略21.（本小满分12分）（本小题满分12分）设等差数列的前n项和为，且，．设数列前n项和为，且，求数列、的通项公式.参考答案：.设等差数列的公差为，∵，， 2分∴,， 4分所以数列的通项公式； 6分因为， 7分当时，， 8分当时，， 10分且时不满足， 1