广东省湛江市美术中学高三数学文模拟试题含解析

广东省湛江市美术中学高三数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，点M，N分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱A1B1，A1D1的中点，用过点A，M，N和点D，N，C1的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体的正（主）视图、侧（左）视图、俯视图依次为（）A．①③④

B.②④③

C.①②③

D．②③④参考答案：C2.双曲线的离心率为（）A．4 B．C．D．参考答案：B【考点】双曲线的标准方程．【分析】通过双曲线方程求出a，b，c的值然后求出离心率即可．【解答】解：因为双曲线，所以a=，b=2，所以c=3，所以双曲线的离心率为：e==．故选B．3.函数f（x）=+lg（3x+1）的定义域是（）A．（﹣，+∞） B．（﹣，1） C．（﹣，） D．（﹣∞，﹣）参考答案：B【考点】对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．

【专题】计算题．【分析】依题意可知要使函数有意义需要1﹣x＞0且3x+1＞0，进而可求得x的范围．【解答】解：要使函数有意义需，解得﹣＜x＜1．故选B．【点评】本题主要考查了对数函数的定义域．属基础题．4.已知，点C在内，且与的夹角为30°，设，则的值为（

）A．2

B．

C．3

D．4参考答案：C如图所示，建立直角坐标系．由已知，则=(1,0),=∴=m+n=.

5.已知函数f（x）=lnx+ln（2﹣x），则（）A．y=f（x）的图象关于点（1，0）对称B．f（x）在（0，2）单调递减C．y=f（x）的图象关于直线x=1对称D．f（x）在（0，2）单调递增参考答案：C【考点】3O：函数的图象．【分析】利用对数的运算性质化简f（x）解析式，利用二次函数的对称性【解答】解：f（x）的定义域为（0，2），f（x）=ln（2x﹣x2），令y=2x﹣x2=﹣（x﹣1）2+1，则y=2x﹣x2关于直线x=1对称，∴y=f（x）的图象关于直线x=1对称，故A错误，C正确；∴y=f（x）在（0，1）和（1，2）上单调性相反，故B，D错误；故选C．6.已知几何体三视图如图所示，图中圆的半径为1，等腰三角形的腰长为3，则该几何体表面积为（

）A．6π B．5π C．4π D．3π参考答案：B几何体是由一个圆锥和半球组成，其中半球的半径为1，圆锥的母线长为3，底面半径为1，故几何体的表面积为，故选B．7.设a＞0，b＞0，则以下不等式中不恒成立的是（）A．≥4B．a3+b3≥2ab2C．a2+b2+2≥2a+2bD．≥参考答案：D考点：基本不等式．

分析：根据基本不等式的性质可知．≥排除A，取，判断出B不成立．a2+b2+2﹣（2a+2b）=（a﹣1）2+（b﹣1）2≥排除C；看a＜b和a≥b，时D项均成立排除D．解答：解：∵a＞0，b＞0，∴A．≥≥4故A恒成立，B．a3+b3≥2ab2，取，则B不成立C．a2+b2+2﹣（2a+2b）=（a﹣1）2+（b﹣1）2≥0故C恒成立D．若a＜b则≥恒成立若a≥b，则=2≥0，∴≥故D恒成立点评：本题主要考查了基本不等式问题．考查了学生对基础知识的掌握．8.设复数为实数，则x等于

（

）

A．－2

B．－1

C．1

D．2参考答案：答案：C9.已知集合｛x｜x=2a,｝，则集合A． B． C． D．参考答案：D略10.

设函数，则它的图象关于

(

）

A．x轴对称

B．y轴对称

C．原点对称

D．直线对称参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.．正三棱锥内接于球，且底面边长为，侧棱长为2，则球的表面积为

．参考答案：如图，设三棱锥的外接球球心为O，半径为r，BC=CD=BD=，AB=AC=AD=2，，M为正的中心，则DM=1，AM=，OA=OD=r，所以，解得，所以．12.经过点（2，﹣1），且与直线2x﹣3y﹣1=0垂直的直线方程是．参考答案：3x+2y﹣4=0略13.甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中6个选择题，4个判断题，甲、乙二人依次各抽一题，则甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是________．参考答案：14.向量满足，向量满足，则||的最小值为．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算．【专题】综合题；转化思想；向量法；数形结合法；数系的扩充和复数．【分析】由已知求出两向量的夹角，进一步设出=（2，0），=（1，），=（x，y），结合，可得（x，y）表示以（）为圆心，以1为半径的圆及圆内部．画出图形，数形结合得答案．【解答】解：设，则cosθ=，∴θ=60°，∴由题意可设=（2，0），=（1，），=（x，y），则：=（2﹣x，﹣y），=（1﹣x，﹣y）．∴=≤0．即．∴（x，y）表示以（）为圆心，以1为半径的圆及圆内部．||=表示点（x，y）到原点的距离，如图所示：连接圆心和原点O，与圆的交点到原点的距离最小．∴||的最小值为﹣1．故答案为：．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，训练了利用向量坐标解决向量问题的方法，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15.定义在R上的函数f（x）满足：f（2）=1，且对于任意的x∈R，都有f′（x）＜，则不等式f（log2x）＞的解集为

．参考答案：{x丨0＜x＜4}

【考点】利用导数研究函数的单调性；指、对数不等式的解法．【分析】构造辅助函数，求导，由题意可知F（x）=f（x）﹣x在R单调递减，原不等式转化成F（log2x）＞F（2），（x＞0），根据函数的单调性即可求得不等式的解集．【解答】解：设F（x）=f（x）﹣x，求导F′（x）=f′（x）﹣＜0，则F（x）在R单调递减，由f（log2x）＞，即f（log2x）﹣?log2x＞，由f（2）﹣×2=，∴F（log2x）＞F（2），（x＞0），则log2x＜2，解得：0＜x＜4，∴不等式的解集为：{x丨0＜x＜4}，故答案为：：{x丨0＜x＜4}．故答案为：{x丨0＜x＜4}．【点评】本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性，考查转化思想，属于中档题．16.直线l斜率的在[﹣，]上取值时，倾斜角的范围是

．参考答案：[0，]∪[，π）【考点】直线的倾斜角．【分析】由直线的斜率范围，得到倾斜角的正切值的范围，利用正切函数的单调性并结合倾斜角的范围，最后确定倾斜角的具体范围．【解答】解：设直线的倾斜角为α，则α∈[0，π），由﹣≤k≤，即﹣≤tanα≤，当0≤tanα≤时，α∈[0，]；当﹣≤tanα＜0时，α∈[，π），∴α∈[0，]∪[，π），故答案为：[0，]∪[，π）．17.设函数f（x）=，①若a=1，则f（x）的最小值为；②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是．参考答案：﹣1；≤a＜1或a≥2。考点： 函数的零点；分段函数的应用．

专题： 创新题型；函数的性质及应用．分析： ①分别求出分段的函数的最小值，即可得到函数的最小值；②分别设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a），分两种情况讨论，即可求出a的范围．解答： 解：①当a=1时，f（x）=，当x＜1时，f（x）=2x﹣1为增函数，f（x）＞﹣1，当x＞1时，f（x）=4（x﹣1）（x﹣2）=4（x2﹣3x+2）=4（x﹣）2﹣1，当1＜x＜时，函数单调递减，当x＞时，函数单调递增，故当x=时，f（x）min=f（）=﹣1，②设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）若在x＜1时，h（x）=与x轴有一个交点，所以a＞0，并且当x=1时，h（1）=2﹣a＞0，所以0＜a＜2，而函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有一个交点，所以2a≥1，且a＜1，所以≤a＜1，若函数h（x）=2x﹣a在x＜1时，与x轴没有交点，则函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有两个交点，当a≤0时，h（x）与x轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），当h（1）=2﹣a≤时，即a≥2时，g（x）的两个交点满足x1=a，x2=2a，都是满足题意的，综上所述a的取值范围是≤a＜1，或a≥2．点评： 本题考查了分段函数的问题，以及函数的零点问题，培养了学生的转化能力和运算能力以及分类能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分12分）某体育杂志针对2014年巴西世界杯发起了一项调查活动，调查“各球队在世界杯的名次与该队历史上的的实力和表现有没有关系”，在所有参与调查的人中，持“有关系”“无关系”“不知道”态度的人数如表所示：

有关系无关系不知道40岁以下80045020040岁以上（含40岁）100150300（1）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n个人，已知从持“有关系”态度的人中抽取45人，求n的值，并求从持其他两种态度的人中应抽取的人数；（2）在持“不知道”态度的人中，用分层抽样的方法抽取5人看成一个总体，从这5人中任选取2人，求至少一人在40岁以下的概率.参考答案：（Ⅰ）由题意，得

…………2分从持“无关系”态度的人中，应抽取人…………3分从持“不知道”态度的人中，应抽取人…………4分（Ⅱ）设所选取的人中，有m人在40岁以下，则，解得m=2.……6分就是40岁以下抽取了2人，另一部分抽取了3人，分别记作则从中任取2人的所有基本事件为

共10个……………9分其中至少有1人在40岁以下的基本事件为共7个

…11分

记事件“选取2人中至少一人在40岁以下”为,则

所以选取2人中至少一人在40岁以下的概率为

………12分19.已知等比数列的各项均为正数，且．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前n项和．（Ⅲ）设，求数列{}的前项和．参考答案：解：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，由得，所以．由条件可知，故．由得，所以．故数列{an}的通项公式为an=．（Ⅱ），故，，所以数列的前n项和为．（Ⅲ）由=．由错位相减法得其前和为

20.（本小题满分12分）已知函数（为自然对数的底(1)求的最小值;(2)设不等式的解集为P，且,求实数的取值范围.参考答案：（1）令，解得；令，解得………3分从而在内单调递减，内单调递增.所以，当时取得最小值.

………5分（2）因为不等式的解集为P，且，所以，对任意的，不等式恒成立，

………6分由得.当时，上述不等式显然成立，故只需考虑的情况.

………7分将变形得

………8分令，令，解得；令，解得

………10分从而在（0,1）内单调递减，在（1，2）内单调递增.所以，当时，取得最小值，从而所求实数的取值范围是.………12分21.（本小题满分14分）在正三棱柱中，点是的中点，．（1）求证：∥平面；（2）试在棱上找一点，使．参考答案：（1）证明：连接，交于点,连接.∵、分别是、的中点，∴∥．

………3分∵平面，平面，∴∥平面．

………6分（2）为的中点．

………7分证明如下：∵在正三棱柱中，，∴四边形是正方形．∵为的中点，是的中点，∴，

………9分∴，．又∵，，∴．