2024年北京市昌平区高三二模数学试卷及答案

第1页/共1页2024北京昌平高三二模数学本试卷共5页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将答题卡交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合，则（）A． B． C． D．2．已知数列满足，则数列的前4项和等于（）A．16 B．24 C．30 D．623．已知抛物线的焦点和双曲线的右顶点重合，则的值为（）A．1 B．2 C．4 D．64．在的展开式中，常数项为（）A．－15 B．15 C．30 D．3605．若，则（）A． B． C． D．6．若圆与轴，轴均有公共点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．7．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，且，则“”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．已知函数若对任意的都有恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．9．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，经验表明，某种绿茶用90℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生极佳口感在20℃室温下，茶水温度从90℃开始，经过tmin后的温度为，可选择函数来近似地刻画茶水温度随时间变化的规律，则在上述条件下，该种绿茶茶水达到最佳饮用口感时，需要放置的时间最接近的是（）（参考数据：）A． B． C．6min D．10．已知数列满足，该数列的前项和为，则下列论断中错误的是（）A． B．C．非零常数，使得 D．，都有第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知复数，则______．12．已知中，，则______．13．已知正方形的边长为1，点满足．当时，______；当______．时，取得最大值．14．已知：设函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，若，则在区间内无零点．能说明为假命题的一个函数的解析式是______．15．已知曲线为坐标原点．给出下列四个结论：①曲线关于直线成轴对称图形；②经过坐标原点0的直线与曲线有且仅有一个公共点；③直线与曲线所围成的图形的面积为；④设直线，当时，直线与曲线恰有三个公共点．其中所有正确结论的序号是______．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．本小题13分已知函数的图像经过点．（I）求实数的值，并求的单调递减区间；（II）当时，恒成立，求实数的取值范围．17．本小题14分如图，在棱长均为2的四棱柱中，点是的中点，交平面于点．（I）求证：点为线段的中点；（II）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得四棱柱存在且唯一确定．（i）求二面角的余弦值；（ii）求点到平面的距离．条件①：平面；条件②：四边形是正方形；条件③：平面平面．注：如果选择的条件不符合要求，则第II问得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．18．（本小题13分）某行业举行专业能力测试，该测试由三项组成，每项测试成绩分为合格和不合格，三项测试结果相互独立．当三项测试成绩均合格时，认定分为10分；当项测试成缨合格，且两项中恰有一项成绩合格时，认定分为5分；当项测试成㷋不合格，且两项测试成绩都合格时，认定分为2分；其它测试成绩，认定分为0分．甲在参加该专业能力测试前进行了20次模拟测试，测试成绩合格的频数统计如下表：测试项频数161510用频率估计概率．（I）试估计甲参加该专业能力项测试成绩合格的概率；（II）设表示甲获得的认定分，求的分布列和数学期望；（III）若乙参加该专业能力测试，三项测试成绩合格的概率均为．试估计甲、乙两人获得认定分的大小，并说明理由．19．本小题15分已知椭圆的离心率为，短轴长为．（I）求椭圆的方程；（II）设是椭圆的左、右顶点，是椭圆的右焦点．过点的直线与椭圆相交于两点（点在轴的上方），直线分别与轴交于点，试判断是否为定值？若是定值，求出这个定值；若不是定值，说明理由．20．（本小题15分）已知函数．（I）求曲线在点处的切线方程；（II）求在区间上的最小值；（III）若，当时，求证：．21．本小题15分已知为有穷正整数数列，，且．从中选取第项，第项，，第项，称数列，为的长度为的子列．规定：数列的任意一项都是的长度为1的子列．若对于任意的正整数，数列存在长度为的子列，使得，则称数列为全覆盖数列．（I）判断数列和数列是否为全覆盖数列；（II）在数列中，若，求证：当时，；（III）若数列满足：，且当时，，求证：数列为全覆盖数列．

参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）答案DCBBDAABBC二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（

11）（12）（13）（答案不唯一）（15）=1\*GB3①=3\*GB3③=4\*GB3④注：（13）题第一空3分，第二空2分；（15）题选对1个得2分，选对2个得3分，选对3个得5分，错选1个得0分.三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（16）（共13分）解：（Ⅰ）由题意得，.解得.…………1分所以…………4分.由,所以.…………6分所以的单调递减区间为.…………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知.因为，所以.…………8分所以.所以.…………9分当，即时，取得最小值是.…………11分因为恒成立等价于，所以.所以实数m的取值范围是.…………13分（共14分）解：（Ⅰ）连接.因为交平面于点，平面，所以平面.所以.…………1分因为，，所以.…………2分因为,且，所以四边形是平行四边形.所以.所以.…………3分因为点是的中点，所以点为线段的中点.………………4分（Ⅱ）选择条件=1\*GB3①=2\*GB3②：因为，所以，.因为四边形是正方形，所以.…………5分（i）如图建立空间直角坐标系.则，，，，.…………6分所以，，.…7分设平面的法向量为，则即令，则，，于是.…………8分因为，所以的法向量为.…………9分所以.…………10分由题知，二面角为钝角，…………11分所以二面角的余弦值为.………………12分（ii）因为，，所以.所以点到平面的距离为.………………14分选择条件=1\*GB3①=3\*GB3③：因为，所以，.…………2分因为，，所以.…………3分所以.………………4分以下同选条件=1\*GB3①=2\*GB3②.选择条件=2\*GB3②=3\*GB3③不合题意，此时几何体不能唯一确定.（18）（共13分）解：（Ⅰ）因为甲参加专业能力A项测试成绩合格的频率为，……2分由频率估计概率，估计甲参加专业能力A项测试成绩合格的概率为.……3分（Ⅱ）设甲参加专业能力A，B，C三项测试成绩合格分别为事件，由频率估计概率，估计，估计，估计.…………4分根据题意，随机变量的所有可能取值为且；…………5分；…………6分;…………7分.…………8分所以的分布列为0所以的数学期望为...…10分（Ⅲ）乙获得的认定分大.…………11分理由如下：设乙参加专业能力A，B，C三项测试成绩合格分别为事件，由频率估计概率，估计.设表示乙获得的认定分,随机变量的所有可能取值为，且；；；.所以.所以.所以乙获得的认定分大.……13分（19）（共15分）解：（Ⅰ）由题设，…………2分解得…………4分所以椭圆的方程为.………………5分（Ⅱ）.………………6分由题意可知，，.（i）当轴时，直线的方程为，易知，.直线的方程为，所以，.直线的方程为，所以，.所以.………………7分（ii）当直线的斜率存在时，设直线的方程为.由得.则.…………8分设，，则，.…………9分直线的方程为，令，则，所以.…………10分直线的方程为，令，则，所以.…………11分所以，.所以…………12分可得.……14分综上，.………………15分（20）（共15分）解：（Ⅰ）因为，所以.…………2分所以，.…………3分所以曲线在点处的切线方程为.……4分（Ⅱ）由题知，.（1）当时，在区间上恒成立，所以函数在区间上是增函数.所以当时，.…………6分（2）当时，令，即，所以.①当，即时，在区间上恒成立，所以函数在区间上是增函数.所以当时，.…………7分②当，即时，与的情况如下：0↘极小值↗所以当时，.…………9分③当，即时，在区间上恒成立，所以函数在区间上是减函数.所以当时，.综上，………………11分（Ⅲ）解法1：设，所以.…………12分令，则.因为，所以，.所以，即在上单调递增.…………13分又因为，所以.所以在上是单调递增.…………14分所以.所以.所以.………………15分【解法2】：设，所以.…………12分因为，所以，，且，所以…………13分所以.所以函数在区间上是增函数.…………14分所以.所以.所以.…………15分（21）（共15分）解：(Ⅰ)数列不是全覆盖数列，数列是全覆盖数列.………4分(Ⅱ)由题知，.若不成立，则，那么与假设矛盾.因为，即.=1\*GB3①又，所以所以=2\*GB3②由=1\*GB3①+=2\*GB3②得，.所以.……7分当时，,得，命题成立.此时，当时，成立.当时，得.同理可得，.归纳可得，当时，.综上可得，命题成立.…………9分(Ⅲ)下面证明，当时，对于任意的，存在子列，其中，使得.（1）当时，，所以当时，有.当时，则.所以，.对于任意，命题成立.或，.对于任意，命题成立.…………1