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文档简介
中职平面向量第一讲向量的分解ABCDFEHGe1e2共线向量定理向量a(a≠0)与向量b共线的充要条件为存在唯一一个实数λ,使
.b=λa一个平面内两个不共线向量e1,e2与该平面内任一向量a之间的关系是怎样的?OCMNABae1e2ae1e2OC=OM+ON=λ1OA+λ2OB即a
=.λ1e1+λ2e2.一、平面向量基本定理
定理:如果e1,e2是同一平面内的两个________向量,那么对于这一平面内的任一向量a,_________一对实数λ1,λ2,使a=____________.
其中,不共线的向量e1,e2叫作表示这一平面内所有向量的一组________.
平面向量基本定理,其实质在于:同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量e1,e2的线性组合
不平行存在唯一基底λ1e1+λ2e2ABCDFEHG1.如图:设
e1
,e2
是同一平面内的两个不共线的向量,,
,,是这一平面内的任一向量,你能用
e1
,e2
来表示以上四个向量吗?e1e2试用表示2.已知
ABCD的两条对角线相交于点O,设
解:ACBDO3.已知向量a、b不共线,实数x、y满足向量等式3xa+(10-y)b=2xb+(4y+4)a,则x=_____,y=_____.42第二讲平面向量的坐标表示1、代数字母表示:2、几何有向表示:(有向线段、作图)3、坐标表示:向量的表示(1,0)(0,1)(0,0)
一、平面向量的坐标表示
在直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个
i、j作为基底,对于平面内的一个向量a,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x,y使得
a=
,则把有序数对
叫做向量a的坐标.记作
,此式叫做向量的坐标表示.
单位向量(x,y)xi+yja=(x,y)xyoija例.如图,分别用基底
i
,j
表示向量
a、b、c、d,并求出它们的坐标.解:如图可知-4-3-2-11234AB12-2-1xy453abcdij二、向量坐标与点的坐标:OB(x2,y2)A(x1,y1)向量的坐标等于向量的减去。始点坐标终点坐标在平面直角坐标系中,若点A(x1,y1),点B(x2,y2)
下列说法正确的有()个
(1)向量的坐标即此向量终点的坐标
(2)位置不同的向量其坐标可能相同
(3)一个向量的坐标等于它的始点坐标减去它的终点坐标
(4)相等的向量坐标一定相同
A.1B.2C.3D.4B(x1+x2,y1+y2)(λx1,λy1)(x2-x1,y2-y1)1.已知向量a=(2,4),b=(-1,1),则2a+b等于(
)A.(5,7)B.(5,9)C.(3,7)D.(3,9)基础练习【解析】
2a+b=2(2,4)+(-1,1)=(3,9),故选D.【答案】
D答案:C四.平面向量共线的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b⇔___________________.x1y2-x2y1=0(2)
a=(1,−1),b=(−2,2);
(3)
a=(2,1),
b=(−1,2).例1判断下列各组向量是否共线:(1)
a=(2,3),
b=(1,1.5);
例2已知点A(-2,-1),点B(0,4)和向量a=(1,y)并且求
a
的纵坐标y.解:由已知条件得因为所以解得:例3已知点A(-2,-3),B(0,1),C(2,5),求证:A,B,C
三点共线.证明:由已知条件得因为2x8-4x4=0所以又因为线段AB和线段AC有公共点A,所以A,B,C三点共线.xAOBCy基础训练1.已知向量a=(1,-2),b=(m,4)且a∥b,则2a-b等于(
)A.(4,0) B.(0,4)C.(4,-8) D.(-4,8)C3.已知A,B,C三点共线,且A(3,-6),B(-5,2),若点C横坐标为6,则C点的纵坐标为()A.-13B.9C.-9D.13C第三讲向量的内积a
·b
=|a
||b
|cos
θ=x
1x
2+y1y2
非零向量∠AOB0°≤θ≤180°同向反向90°a⊥bcos<a,b>|a
||b
|cosθ
a
·b
=|a
||b
|cos
θ规定:零向量与任意向量的数量积为0,即0.(1)(2)a·b中间的“·”在向量的运算中不是乘号,既不能省略,也不能写成a×b
,a×b
表示向量的另一种运算.a·b=0|a||b|-|a||b||a|2b·aλ(a·b)a·(λb)a·c+b·cx
1x
2+y1y2
√√2.已知a=(x,y),b=(-y,x)(x,y不同时为零),则a,b之间的关系(
)A.平行 B.不平行也不垂直
C.垂直
D.以上都不对√3.判断1)若a
=0,则对任一向量b
,有a
·
b=0.2)若a
≠0,则对任一非零向量b
,有a·b≠0.3)若a≠0,a
·
b
=0,则b=0.4)若a
·
b=0,则a,b中至少有一个为0.√×××D
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