2020-2021学年吉安市高一年级上册期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年吉安市高一上学期期末数学试卷

一、单选题(本大题共12小题，共60.0分)

电富'带力：

函数解=的定义域为()

J-点一豫日

A.B.C.D.K-'U]|

2.对于函数/Xx)若存在常数s,使得对定义域内的每一个x的值，都有/(x)=-/(2s-%),则称/(x)

为"和谐函数”，给出下列函数①/Xx)=W②"X)=(%-I)2③f(x)=x3+x2+

1@/(%)=XCOSX,其中所有“和谐函数”的序号是()

A.①③B.②③C.①④D.①③④

3.若%>0,y>0,且％+y=5,则/gx+Zgy的最大值是()

A.Ig5B.2-4lg2C.lg|D.不存在

4.设向量,=(cosa,sina),b={sin/3,cos^)>若有,方=-5则<h>=()

A.30°B,-30°C,150°D.120°

5.如图，在以BC为直径的半圆上任取一点P,过弧音p的中点A作4。IBC于。,连接BP交4D于点E,

C.1：2D.以上结论都不对

6.设函数f(x)是定义在R上的偶函数，对任意xGR,都有/Q+2)=/(%-2),且当xe[-2,0]时，

x

r(x)=(1)-1，若在区间(-2,6]内关于x的方程/(无)-loga(x+2)=0(a>1)至少有2个不同

的实数根，至多有3个不同的实数根，则a的取值范围是()

A.(1,2)B.(2,+co)C.(1,V4)D.[V4,2)

7.sin200cos700+cos200sin700=()

A.0B.—1C.1D.:

2

8.已知函数/'(x)=2sin(3x)(o)>0)在x6[a,2](a<0)上最大值为1且递增，则2-a的最大值为

()

A.6B.7C.9D.8

9.如图，在平行四边形ABC。中，已知说=:点，而=2定,G为线段EF上的一点，且前=；不,

AG=XAB+fiAD>则从-4的值为()

10.若久是一个三角形的最小内角，则函数y=2鱼sin(x-9的值域是()

A.(-273,273)B.(-V6,0]C.[V3-1,3)D.(-273,0)

11.如图，线段4B=16,点C在线段4B上，且4c=6,P为段CB上一动点，°-

点4绕点C旋转后与点B绕点P旋转后重合于点。.则ACPD面积的最大值

A.9B.12C.15D.20

12.给出下列四个结论：

2

①对于命题p：VxGR,x+x+1>0,则7：3x0G/?,+x0+1<0；

②命题“若/-3x+2=0,贝b=l”的逆否命题为：“若X71,贝拄2一3%+2片0”；

③“x=1”是“/—3x+2=0”的充分不必要条件；

④若命题pAq为假命题，则p,q都是假命题；

其中正确结论的个数为()

A.1B.2C.3D.4

二、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.函数y=log2(x-1)的定义域是.

14.设H.

15.已知函数/(乃=｛：]：?丁0"()，9")=依—1,刀6(—2,2)时，方程f(x)=g(x)有三个实数

根，则k的取值范围是

16.已知等比数列的前H项和为若$：S?=3：2,则公比夕=—.

14在A74力。中，。为中线刚上的一个动点，若/肠=2，则+0C)的最小值

15已知乎=6,10gtia2=1则log/0=(用一2表示)

16设函数/(1)是定义在R上周期为2的函数，且对任意的实数;T，恒有/(x)-/(-x)=0,当

X6[-1,O],/(x)=xV2),若8(力=/(力—1。8小在让位,4<0)有且仅有三个零点，

则实数〃的取值范围为

三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.已知集合4={x|-1<x<3},集合B={x|2x2+(5-2k)x-5k<0},keR.

(1)若k=l时，求CRB,HUB；

⑵若“xCA”是“XCB”的充分不必要条件，求实数k的取值范围.

18.已知向量五=(cosa,sina),1=(cos£,si印),|a-K|=V2.

(1)求五.方的值;

(2)若0<a<],一扛。<0,且皮现=一|,求sin(a+/?)的值.

19.已知函数/(%)=2\[3sinxcosx+2cos2x(xGR).

(I)求函数/(%)的单调递增区间；

e

(H)将/(%)的图象向右平移，个单位，得到g(x)的图象，已知lg(&)=y,x0由自，求cos2%o的值.

20.已知函数/(%)=2cos%(sinx-cosx)+1,xER

(1)求函数f(x)的单调递增区间;

(2)求函数f(x)在区间W,芋］上的最小值和最大值.

o4

21.已知集合4={x\\x-1|<集合8={y\y=sin2x-2asinx+l,xEA}f

其中£工戊工"，欲使求实数Q的取值范围。

o

集合222

4={x|--6<x<-67r},y=sinz—2asinx+1=(sinx-a)4-1—a

22.已知：管'K第潜且触焙挈需他L

罢

(1)求富的取值范围；

(2)求函数频域:二触蜉必争”Ihg的最大值和最小值。

参考答案及解析

1.答案：c

'富;一渺I®“.

解析：试题分析：由题意得„,解得-1.，：客3：；1，所以所求函数的定义域为671；勒.

一姆一豫心H4:M的,…

”・

考点：1.函数的定义域；2.一元二次不等式的解法.

2.答案：C

解析：解：对于函数/。)，若存在常数s,使得支取定义域内的每一个值，都有/(x)=-f(2s-x)知，

函数f(x)的图象关于(s,0)对称，

对于①,/(%)=六，函数/(x)的图象关于(-1,0)对称，函数为“和谐函数”；

对于②，/(%)=(%-1)2,函无对称数中心，函数不是“和谐函数”；

对于③，/(x)=x3+x2+l.函数/(X)不关于(s,0)中心对称图形，函数不是“和谐函数”；

对于④，/(%)=COSX,函数f(x)的图象关于(k兀+90)对称，函数为“和谐函数”.

・••为“和谐函数”的是①④.

故选：C.

判断对于函数f(x)为准奇函数的主要标准是：若存在常数s,使函数f(x)的图象关于(s,0)对称，则称

f(x)为准奇函数，由此逐一判断四个函数得答案.

本题考查新定义的理解和应用，函数/(%)的图象关于(s,0)对称，则称/(x)为“和谐函数”是关键，

是中档题.

3.答案：B

解析：解：x>0，y>0,x+y=5xy<(^)2=§

又Igx+Igy=lg(xy)<lg(^)2=Igy=1g署=2-4lg2,

故选8.

由已知条件，可以得到xyW(季¥=争从而得出lg(xy)的最大值.

本题主要利用均值不等式求解对数函数的最值问题，属于基础题.

4.答案:D

解析：解：a•6=—|a|=Vcos2a+sin2a=1,||=5/sin2/?+cos2/?=1.

.-T*.ab1

•••cos<a,b>=

|a|\b\2

・,♦<a,b>=120°.

故选：D.

利用向量的模的计算公式、向量的夹角公式即可得出.

本题考查了向量的模的计算公式、向量的夹角公式，属于基础题.

5.答案：B

解析：解：•••BC直径，:NB4C=乙BPC=90°.

BA=AP>4ABP=Z.ACP=Z.ACB,

•••ADIBC,/.乙BAD+乙ABD=90°,Z.ACD+UBD=90°,

vZ.ACB=乙BAD.

•••乙ABP=/.BAD,AE=BE.

•：Z.DAC+zJiCD=90°,Z.AFB+/.ABF=90°,4ABF=〃ACB,

:.Z.AFB=/.DAC,

：.AE=EF.

又4E=BE,

BE=EF,

•••BE：EF=1：1.

故选：B.

证明乙4BP=/B4D,可得4E=BE；^AFB=ADAC,可得BE=EF,即可得出结论.

本题考查与圆有关的比例线段，考查线段相等的证明，考查学生分析解决问题的能力，比较基础.

6.答案：D

解析：

本题考查了数形结合的思想应用及方程的根与函数的图象的交点的关系应用.

由题意可知f(x)是定义在R上的周期为4的函数；从而作函数/Q)与丫=1。8式工+2)的图象，从而结

合图象解得.

解：,••对％eR,都有/(%-2)=/(x+2),

二/(x)是定义在R上的周期为4的函数；

作函数f(x)与y=loga(x+2)的图象如下，

故选：D.

7.答案：C

解析：解：sin20°cos700+cos20°sin70°=sin(20°+70°)=sin90°=1,

故选：C.

由题意利用查两角和的正弦公式，求得结果.

本题主要考查两角和的正弦公式的应用，属于基础题.

8.答案：D

解析：

本题考查三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题.

利用正弦函数的单调性求得a的最小值，从而求得2-a的最大值.

解：函数/(x)=2s讥(3x)(3>0)在xG[a,2](a<0)上最大值为1且递增，

所以,即[a,2]Q[-或,热,且/'(2)=2sin(2a))=1,

即23=?解得3=看；

O1Z

令卷心一会解得心一6,

所以a的最小值是amin=-6；

所以2—a的最大值是2—(―6)=8.

故选：D.

9.答案:D

解析：

本题考查平面向量基本定理的应用，考查数学转化思想方法，是中档题.

利用向量的加减法法则用血.荏表示前，结合而=4荏+4而得九〃的值，则答案可求.

解：AG=4E+EG=4D+DE+MF

111

=^4D+-DC+-EC--FC

1__19__11

=而+3荏+频：反一频3就

33333

__>1_»2__»1__*

=AD+-AB+-'AB--'AD

=^AB+^AD.

99

.••a=1，“=!，则〃一%=1•

故选：D.

10.答案：B

解析：解：・・・x是一个三角形的最小内角，则0<%工也

・・・0,

33

-y<sin(x-g)<0>

—V6<2V2sin(x—^)<0,

即函数y=2V2sin(x-$的值域为(一连,0].

故选：B.

由己知得到x的取值范围，由x的取值范围求得函数y=2&sin(x-9的值域.

本题考查与三角函数有关的复合函数，考查了三角函数值域的求法，是中档题.

11.答案：B

解析：解：由题意，DC=6,CP=x,DP=10-x,

<6+%>10—%

由△CP。的三边的关系，可得卜+10—6,解得%€(2,8)

164-10—x>%

如图，三角形的周长是一个定值16,

故其面积可用海伦公式S^CPD=Js(s—a)(s—b)(s—c),

其中s=g(a+b+c),

即ZkCPD的面积为J8•(8-6)•(8-%)•(8-10+x)

=716(8-x)(x-2),

由(8-乃。-2)4(殳号二)2=9,

当且仅当8-x=x-2,可得x=5,取得最大值.

即有△CPD的面积最大值为12.

故选：B.

本题要根据实际情况计算出面积函数的定义域，可以看出所给的条件是ACPD,故可根据其是三角

形求出自变量的范围.面积表达式可以用海伦公式求出，对所得的函数运用基本不等式，可求出函

数的最大值.

本题考查根据实际问题选择函数类型，本题中求面积用到了海伦公式，学习中积累一些知识储备，

视野开阔，易找出简单的解题方法.本题考查到了基本不等式的运用，有一定的综合性.

12.答案：C

2

解析：解：对于①：命题p：Vxe/?,x+x+1>0,则"：3x0eR,XQ+x0+1<0,故①正

确；

②命题“若/-3x+2=0,贝"=1"的逆否命题为：“若工彳1,则％2—3x+2羊0”，故②正

确；

③当“x=1”时-3%+2=0”成立，当“/-3尤+2=0"时，x=1或2,故“x=1”是

_3》+2=0”的充分不必要条件，故③正确；

④若命题pAq为假命题，则p,q都是假命题或p真q假或p假q真，故④错误；

故选：C.

直接利用充分条件和必要条件，命题的否定，四种命题的应用，真值表判定①②③④的结论.

本题考查的知识要点：充分条件和必要条件，命题的否定，四种命题的应用，真值表，主要考查学

生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题.

13.答案:(1,+8)

解析：解：y=log2。-1)，x-1>0，x>1

函数y=log2(x-1)的定义域是(1,+8)

故答案为(1,+8)

由函数的解析式知，令真数X-1>0即可解出函数的定义域.

本题考查求对数函数的定义域，熟练掌握对数函数的定义及性质是正确解答本题的关键.

14.答案：3

解析：试题分析：0,0.

考点：分段函数，指数与对数的运算.

15.答案：(1,仇2孤)1；(|,2)

解析：解：；/(x)=lx+4x^n~0,g(*)=履一1,

・・・f(0)-5(0)=0+1=1,即％=0不是方程f(%)=g(x)的根，

・,・由f(%)=g(%)可得k=

%+-4-4,%<0

1"，

{-+Inx,x>0

当％<0时，八(%)=%+(+4工-2+4=2,当且仅当％=-1时取等号;

当%>0时，h⑺=_1+(=妥,易知当%>1时，函数似乃单增,

当0<%<1时，函数h(x)单减，故此时/i(x)4h(l)=1,

作出九(%)在(一2,2)的图象如下：

由图可知，当1V/cV仇2+1或一2+4<kV2时，直线y=/c与y=九(切的图象有三个交点,

・・.实数k的取值范围为(1,ln2与U(|,2).

故答案为：(1,仇2近)U(|,2).

显然％=0不是方程的解，可化为卜=号11,讨论x<o,x>o时，通过导数或基本不等式可得最值

和单调区间，作出/i(x)在(一2,2)的图象，和直线丫=鼠观察可得三个交点的情况，即可得到所求k的

范围.

本题考查函数与方程，考查导数的运用及基本不等式的运用，考查转化思想及数形结合思想，属于

中档题.

16.答案：13、1或-今

14、—2；

15、i.

a+b

16、(3,5).

解析：13N解：若q=l,必有S3：S2=3ai：2al=3：2,满足题意；

故qHl,由等比数列的求和公式可得S3：S2/9F3)：aiCF2)=3：2,

化简可得2q2-q-l=。，解得q=-，综上，q=l或一:

故答案为：1或一，,

14、解：由题意画出草图:

由千点M为△ABC中边BC的中点，二五+芯=2苏,

■'-OA'^OB+OC>>=OA'2OM=-2\OK\'|0M|.

•••0为中线AM上的一个动点，即4、0、M三点共线，

:.|AM|=|OA|+|OM|=2^2jjo4ppM|(当且仅当"OA=OM”时取等号)=10A|•|OM|W1,

又W"2oK=-2|0A|•|0M|>-2,所以贝I]方•(五+3)的最小值为-2・

故答案为：—2.

15、解：由题意得，t2=logj6,logj2=-2>,..log310=-~~-=-^—

log56-log52a+b

故答案为：上2.

a-\-b

16、解：•・•对任意的实数%,恒有/(%)-“-％)=0,.・.函数/。)是周期为2的偶函数，

又・・,当第e[-1,0],f(x)=x2e-(x+1),

而g(x)=f(x)-logax在xW(0,+8)有且仅有三个零点，

可化为函数f(x)与y=logax在xG(0,+°°)上有三个不同的交点，

故作函数f(x)与y=logax在(0，+°°)上的图象可得,

由图象■可得，loga3<l，loga5>l；故3<a<5；

故答案为：(3,5).

17.答案：解：(l)k=l时，2/+3%-5<0,解得一|<x<l,即B=(-jl),

则CRB=(-8,一|]u[1,+8),AuB=(一|,3),

⑵“％€4”是“x€B”的充分不必要条件，:4些B,

由2/+(5—2k)x—5k<0可得(x-fc)(x4-1)<0,

当k>一衬，解得一|<x<k,即8=(一沙)，

•：A^B

A/c>3,

当k=-|时，解集为0,即8=0,此时不满足4星B

当k<一|时，解得k<x<—|,即B=(k,—|),此时不满足4些B,

.•・实数k的取值范围是[3,+8).

解析：(l)k=l时，可得B,利用补集交集运算可得.

(2)由“x64”是“x6夕’的充分不必要条件，可得AB,进而即可得出实数k的取值范围.

本题考查了不等式的解法、集合运算性质、简易逻辑的判定方法.

18.答案：解：(1)因为|五一/1=企,

所以|五-郎=2即片一2五不+才=2，

乂为2==],

所以1・方=0；

(2)因为0<a<],-]<0<0,且s讥/?=-|,

所以0va一夕V兀，

又行•b=cosacos^+sinasinp—cos(a—/?)=0，

所以a-即a=]+6，

所以sin(a+0)=sin(^+20)=cos2{3=1—2sin2p=1—2x^=^.

解析:

(1)由已知模的等式两边平方，得到所求；

(2)由(1)求出a-0,得到sin(a+S)=sin6+2/?)=cos20,进一步利用倍角公式求值.

本题考查了平面向量的数量积、模的运算以及三角函数的化简求值.比较基础.

19.答案：解：(I)函数/(x)=2V5sinxcosx+2cos2久=V5sin2x+cos2x+1=2sin(2x+擀)+1.

令—+2k.Tr<2%H—W2/CTTH—(/cGZ),解得---Fkn<%</CTT4—(k6Z),

26236

所以函数的单调增区间为：[—W++勺(keZ).

(H)将/。)的图象向右平移3个单位，得到。(久)=2s讥(2%一方+1的图象，

由于9(%o)=即2sin(2%o-[)+1=苫，整理得sin(2%—g)=|.

5o565

由于x06欧J所以2与_襄辞刑.

故cos(2x()_，)=-g.

o

143

贝Jcos2%o=cos[(2x0--)+-]=(--)x---xi=-^~.

u1Au6，6」、5，25210

解析：(I)直接利用三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数

的单调区间.

(D)利用三角函数的关系式中角的恒等变换的应有求出结果.

本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运

算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.

20.答案：解：(1)/(%)=2cosx(sinx-cosx)+1=2sinxcosx—2cos2x4-1=sin2x—cos2x=

V2sin(2x—9

由2kn—7<2%—y<2kn4-与得ATT--<x</CTI4--,

24288

所以，函数/(x)的单调递增区间为：即一27r+第(kez).

(2)函数的单调递减区间为：[而+第k7r+g](kez).

由函数的图象可知，/⑺在区间意爸上单调递增，在年,争单调递减，

当％=争寸取最大值夜，当”午时，取最小值一1,

故或sin(2x-》G(-1,72).

解析：(1)将函数/(X)化简得f(x)=/sin(2x-3.从而可求单调递增区间；

(2)由函数的图象可知，/⑺在区间白用］上单调递增，在目,由单调递减，当％=萼时取最大值企,

ooo4o

当”票时，取最小值一1.

本题主要考察二倍角的正弦和复合三角函数的单调性，属于中档题.

21.答案：解：集合4