重难点突破-高二数学上册常考题（人教A版2019选修一）03 立体几何中的动点问题和最值问题含答案

黄睢点突破--离二数学上疥常专题专绘《人数A版2019箜降一」专

题03元体几何中的励点和数值问题

题回。立体几何中的动点问题

1.如图，在棱长为2的正方体A8C£>-A4Gq中，例为棱AA的中点，下列说法正确的是（）

A.直线ACJ_直线3M

B.过点的C的平面则平面a截正方体所得的截面周长为30+石

9R

C.若线段3M上有一动点Q,则。到直线用的距离的最小值为誉

D.动点尸在侧面BC£81及其边界上运动，且则45与平面BCC/i成角正切的取值范围是

2.如图，在正方体ABCO-ASGA中，尸是棱AR上的动点，下列说法正确的是（）

A.对任意动点F,在平面AORA内不存在与平面CB厂平行的直线

B.对任意动点尸，在平面内存在与平面CBF垂直的直线

C.当点F从A运动到。的过程中，二面角F-3C-A的大小不变

D.当点F从A运动到2的过程中，点。到平面C8尸的距离逐渐变大

3.如图，正方体ABCD-A4GA的棱长为I,线段与。上有两个动点£,F,且EF=包,则下列结论

中正确的有（）

A.当E点运动时，AC_L4E总成立

B.当£向"运动时，二面角A—EF-3逐渐变小

C.二面角E—A8—C的最小值为45。

D.三棱锥A-3E尸的体积为定值

4.如图，在棱长为6的正方体ABCD-A与GR中，E为棱。。上一点，且叱=2,尸为棱GR的中点，

点G是线段8G上的动点，贝")

A.无论点G在线段BG上如何移动，都有异面直线AG，BQ的夹角为

B.三棱锥4-(24£的体积为108

C.直线他与班■所成角的余弦值也

15

D.直线4G与平面所成最大角的余弦值为g

5.在棱长为1的正方体A8CD-A4G〃中，M是线段AG上一个动点，则下列结论正确的有()

A.存在“点使得异面直线与AC所成角为90。

B.存在〃点使得异面直线5M与AC所成角为45。

C.存在M点使得二面角知-8£>-C的平面角为45。

o

D.当4AA/=AG时，平面截正方体所得的截面面积为N

8

6.已知正方体A88-4MGA的棱长为4,£F是棱AB上的一条线段，且EF=1,点。是棱4。的中点，

点p是棱G。上的动点，则下面结论中正确的是()

A.P。与所一定不垂直

B.二面角P-斯-。的正弦值是噜

C.APE/的面积是20

D.点尸到平面QEF的距离是常量

7.在长方体中，BC=2AB=2BB、=6,点E为棱BC上靠近点C的三等分点，点尸是长

方形44RA内一动点(含边界)，且直线8尸，EP与平面AOQA所成角的大小相等，贝1］()

A.4尸〃平面

B.三棱锥F-B8E的体积为4

C.存在点尸，使得AF//4E

D.线段A尸的长度的取值范围为［|,引

8.已知正方体A8c£)-4筋棱长为2，如图，M为CG上的动点，AMJ■平面a.下面说法正确的是(

)

A.直线钻与平面a所成角的正弦值范围为［弓，等］

B.点"与点C1重合时，平面a截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大

C.点M为CG的中点时，若平面&经过点3,则平面a截正方体所得截面图形是等腰梯形

D.已知N为。R中点，当AM+MN的和最小时，”为CG的中点

9.如图，在正四棱柱A8CO-ASGR中，AB=AD=3>,AA,=4,P是侧面BCC心内的动点，且AP_L82，

记AP与平面BCG4所成的角为。，则tan。的最大值为（）

10.在正三棱柱48C-A8c中，AB=A\=\,点P满足BP=ABC+〃BB1,其中;le[0,I],〃e[0,1],

则（）

A.当4=1时，△阴P的周长为定值

B.当〃=1时，三棱锥P-A8C的体积为定值

C.当/l=g时，有且仅有一个点P,使得APJ_BP

D.当〃=；时，有且仅有一个点尸，使得Af_L平面A4P

11.如图，已知四边形为直角梯形，BDEF为矩形,平面瓦庇_L平面至8,AD//BC,

ZDAB=ZABC=90°,AD=AB^ED^\,BC=2.

（1）若点M为所中点，求证：及0_L平面CD产；

（2）若点”为线段上一动点，求皮）与平面BCM所成角的取值范围.

12.如图，在棱长为2的正方体ABC。-中，E,尸分别是棱,8c上的动点，且

（1）求证：AF_LGE；

（2）当EF取得最大值时，求二面角E-AG-F的余弦值.

题照立体几何中的最值问题

13.在四面体中，AABC是边长为2的正三角形，ZADB=60°,二面角D-AB-C的大小为60。,

则下列说法正确的是（）

A.AB±CD

B.四面体的体积丫的最大值为且

2

C.棱8的长的最小值为G

5?

D.四面体A8co的外接球的表面积为二万

9

14.已知长方体ABC。-44GA的高A4,=2,AC=2遥,AB]=x,ADt=y,则当x+y最大时，二面角

4-妫。-6的余弦值为（）

.V15口屈「石c石

A.--------D•-----------C-.U.----------

5555

15.如图，在棱长为4的正方体ABCD-AB,GR中,M是棱AA上的动点，N是棱8C的中点.当平面D、MN

与底面MCD所成的锐二面角最小时，AM=

16.四棱锥尸-ABCD的底面是边长为“的菱形，R41.面ABC£>,ZBAD=\20°,E,尸分别是8,

PC的中点.

（1）求证：平面用，平面R4B；

(2)M是尸3上的动点，EM与平面R钻所成的最大角为45。，求二面角尸-AE-。的余弦值.

17.如图，在直三棱柱ABC-ABC中，底面三角形ABC为直角三角形，其中AC,AB=3,AC=4,

CC,=8,M,N分别为Bq和44,的中点.

(1)求证：CN_L平面GMN；

(2)当点P在线段GA上移动时，求直线NP与平面8片GC所成角正弦的最大值.

万

18.如图，矩形ABC。所在的平面与半圆弧CO所在的平面垂直，AB=2,AD=—,例是CO上异于C,

2

。的动点.

(1)证明：平面平面BMC；

(2)设3M和平面ABC。所成角为6,求sin8的最大值.

19.已知直三棱柱A8C-A4G中，侧面蝴8田为正方形，AB=BC=2,E,F分别为AC和CC1的中点,

。为棱4向上的点，BFLA.B,.

(1)证明：BFLDE；

(2)当用力为何值时，面8月。。与面。在所成的二面角的正弦值最小？

20.如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧CO所在平面垂直，M是C。上异于C,O的点.

(1)证明：平面4"。_L平面BMC；

(2)当三棱锥ABC体积最大时，求面与面MCD所成二面角的正弦值.

21.如图，在四棱锥中，四边形438为矩形，PZU平面ABC。，PD=CD=l,与平面A8CD

所成角为30。，M为P8上一点且

(1)证明：PA1DMt

(2)设平面P4Z)与平面P8C的交线为/,在/上取点N使尸N=D4,。为线段/W上一动点，求平面ACQ

与平面PDC所成二面角的余弦值的最大值.

22.如图，四边形43DE为直角梯形，其中AE//BZ),AEVAB,AE=3BD=3,尸为腰DE■上的一个动

点.A4BC为等腰直角三角形，AB=AC=2,平面他。£JL平面ABC.

(1)求证：ACYBFt

(2)当直线CF与平面A3DE所成角最大时，求平面F8C与平面ABC所成锐二面角的余弦值.

E

D

专甄03五阵几百中的财点和聂慎问典

题园O立体几何中的动点问题

1.如图，在棱长为2的正方体ABCD-AB|GA中，M为棱AA的中点，下列说法正确的是（）

A.直线ACJ_直线及0

B.过点的C的平面0_LMB,则平面a截正方体所得的截面周长为30+行

C.若线段助W上有一动点Q,则。到直线A4,的距离的最小值为竽

D.动点P在侧面8CG4及其边界上运动，且则”与平面BCG4成角正切的取值范围是

【解答】解：对于A,ACA.BD,AC±BB,,BD[}BBt=B,BD、8B|U平面88QQ,

，AC_L平面BMRO,BWC平面BBQQ,.•.直线AC与直线8W不垂直，故A错误；

对于B,如图1,取网，他的中点£、F,连接CE、EF、CF.

因为8N_LCE,EFL^B,由三垂线定理得8M_LCE,BMYEF,所以8M_L平面CEF,

所以a截正方体所得的截面为△CEF,故周长为«耳+VI工1=2逐+0,故3错误;

5

对于C,如图过BM构造平面与例平行，

A”即Q到直线e的距离的最小值，人”=詈，故C正确;

BM1BtQ,

所以平面故P点轨迹为B©.

在正方形BCC田中，当P与。重合时，成最大，当时，3P最小.所以BPe

因为45J•平面BCC4,所以ZAP3为AP与平面BCGB1所成角，tanZAPB=^

则AP与平面8CC百成角正切的取值范围是［，故。正确.

2.如图，在正方体ABCO-ABCIA中，F是棱AR上的动点，下列说法正确的是（）

c.

A.对任意动点F,在平面AO£>14内不存在与平面C8F平行的直线

B.对任意动点F,在平面ABCD内存在与平面CB尸垂直的直线

C.当点F从A运动到。的过程中，二面角尸-8C-A的大小不变

D.当点F从4运动到"的过程中，点。到平面CBF的距离逐渐变大

【解答】解：对任意动点尸，在平面ADRA内只要与4）平行的直线，即可与平面CBP平行，所以A不正

确；

对任意动点F，在平面/WCZ）内存在与平面CBF垂直的直线，不正确；因为二面角F-3C-A的大小不变

是锐角，所以5不正确；

当点尸从A运动到A的过程中，二面角b-BC-A的大小不变，由二面角的定义可知，命题是真命题，正

确；

当点厂从A运动到D,的过程中，点D到平面CBF的距离逐渐变大，不正确；因为匕-6是定值，三角形BCF

的面积是定值，所以点力到平面。尸的距离不变，所以。不正确；

故选：C.

3.如图，正方体ABC。-A4G〃的棱长为1，线段与已上有两个动点E,F,且EF=#，则下列结论

中正确的有（）

A.当E点运动时，AC_L4E总成立

B.当E向已运动时，二面角A-EF—8逐渐变小

C.二面角£一4?-。的最小值为45。

D.三棱锥A-8EF的体积为定值

【解答】解：对于A,易证8a_L平面AGC，所以，同理可证ACLAR，从而AC，平面A81A，

所以AC_L4E恒成立，A正确；

对于8,平面EFE即平面百，而平面EE4即平面A8Q,所以当E向R运动时，二面角A—£F-8的

大小不变，8错误；

对于C,当点E从用。的中点向点。运动时，平面4组逐渐向底面ABCZ）靠拢，

这个过程中，二面角越来越小，所以二面角E-A8-C的最小值为45。，C正确；

对于。，因为%EF=；X[X1=¥，点A到平面BOR4的距离为g,

所以体积为、正XYLJ~,即体积为定值，D正确.

34212

故选：ACD.

4.如图，在棱长为6的正方体ABC£）-ABC|R中，E为棱。A上一点，且。E=2,F为棱GA的中点,

点G是线段8G上的动点，则（）

A.无论点G在线段8G上如何移动，都有异面直线4Q,3Q的夹角为]

B.三棱锥A-G4E的体积为108

C.直线AE与BF所成角的余弦值生叵

15

D.直线AQ与平面8Z）G所成最大角的余弦值为g

【解答】解：在正方体A8C£）-AB|GA中，易证。片_1面48。1,又AGu平面ABG，所以AG_LB1£>,

所以异面直线AG，的夹角为卫，则A正确；

2

咚酸心闲=咚棱*=gX等X6=36,则8错误；

在棱CG上取点N,使CN=2,连结8N,NE,FN（如图），

4

则易知NFBN为直线v4E与班'所成角或其补角，可得8N=2，i6,FN=5,FB=9,

(2加7+92-52一==迎，则直线隹与5尸所成角的余弦值为生何，则C正确;

贝iJcosNFBN=

2x9x2V103M1515

由题意知三棱锥4-BOQ为棱长为6五的正四面体，作A。，平面BOQ,。为垂足，则O为正ABDG的

中心，且AGO为直线4G与平面B£）G所成角，

当点G移动到BG的中点时，AG最短，如图,

此时cosNA1Go最小，NAjGO最大，此时COSNAGO=99=—=-,则。正确.

AG3,63

故选：ACD.

5.在棱长为1的正方体ABCO-ABIG"中，M是线段AG上一个动点，则下列结论正确的有（）

A.存在〃点使得异面直线与AC所成角为90。

B.存在M点使得异面直线8例与AC所成角为45。

C.存在〃点使得二面角M-BD-C的平面角为45。

D.当4AM=AG时，平面瓦）M截正方体所得的截面面积为NQ

8

【解答】解：对于A,连接AG、8Q,交于。，连接BD,

取点M为。声寸，连接0出，因为ACJ_3£)、ACA.B.B,

所以ACJ•平面8BQQ,又因为Q8U平面88QQ,

所以AC_Lq3,所以A对；

对于3,因为AG//AC,所以异面直线3M与AC所成角就是NBA/q,

因为N8MG..60。，所以B错；

对于C,因为二面角M-B£)-C的平面角为NMOC,因为NMOC>45。，

所以C错；

对于O,取。4中点N,连接MN,过用作EF//8Q,交4.于E,交A声于f,连接£D、FB,

2

EF=*,BD=g,OM=[ON+MN?=芋,SCTTO=1-(fF+BD)-OM=1•(^+72)-1.

所以。对.

故选：AD.

6.已知正方体A88-ABC1。的棱长为4,£F是棱至上的一条线段，且瓦'=1,点。是棱AR的中点,

点P是棱GR上的动点，则下面结论中正确的是()

A.PQ与EF一定不垂直

B.二面角p—痔一。的正弦值是寿

C.APEF的面积是2夜

D.点P到平面QEF的距离是常量

【解答】解：对于A,当P与点。重合时，PQLEF,故选项A错误；

对于8,由于点P是棱GR上的动点，EF是棱/W上的一条线段，所以平面际即平面ABC；R,

建立如图所示的空间直角坐标系，则。(2,0,4),44,0,0),8(4,4,0),

所以04=(2,0-4),AB=(0,4,0),平面QEF即平面QAB,

“TH八s、_u…曰“,\n-QA=O口12x-4z=0

设平面QAB的法向量为〃=(x,y,z),则M1《"，即n《，八，

n-AB=O14y=0

令z=l,则"=(2,0,1),

同理可求得平面A8G。的法向量为%=(1,0,1),设二面角P-EF-Q为9,

所以|cos61=|cos<m,n>\=1*川=|+1厂=,

\m\\n\&x石10

故sing=\j\-cos20=.1-(3^^^,故选项5正确;

V1010

对于C,由于"J_平面BB、CJ,又8G<=平面BBg,

所以ABJ.BG，所以BG_LEF,所以8G是"EF的高，

所以S.EF=；-EF-BG=；*1X4夜=2近，故选项C正确：

对于£）,由于GA//EF,且CQ仁平面QEF,即u平面QEF,所以CQ〃平面QEF,

又点P在GR上，所以点P到平面。历的距离为常量，故选项£）正确.

故选：BCD.

7.在长方体ABC3-A4G〃中，BC=2AB=2BB、=6,点E为棱BC上靠近点C的三等分点，点厂是长

方形AO0A内一动点（含边界），且直线与尸，EF与平面AOQA所成角的大小相等，贝4（

A.4尸//平面BCC|g

B.三棱锥F-BgE的体积为4

C.存在点F,使得AF〃片E

D.线段4尸的长度的取值范围为g，y]

【解答】解：•平面AORA〃平面8CC4,Aru平面AORA，/.4尸//平面BCG用，故A正确;

VFr—D&|C=nV—A0&B|CBE=3—x2—x3x4x3=6,故3错误；

连接AF,作EG//CD交AD于G,连接FG,

ABi_L平面ADD,A,,:.ZA,FBI为男尸与平面ADD^所成的角，

前，平面4。〃4，为所与平面AORA所成角.

直线用尸，EF与平面所成角的大小相等，.•.41Fq=ZEFG,

则tanZAFB,=妆=tan/EFG=—,

\FFG

又\BX=EG,:.\F=FG,则点〃在AG的中垂线上，即点F在线段”/上运动,

当点尸与点K重合时，AF"B'E,故C正确;

BC=2BB、=6,E为棱8c上靠近C的三等分点，，例=3,AG=4,则AG=5,

cosZ4GA=—=—,:.HG=\1=—,当点F在点/或点H处时，线段4丁的长度取得最大值，

\GHG8

最大值为生，当点F在点K处时，线段AF的线段取得最小值，最小值为3,

82

线段4尸的长度的取值范围为[|，y]＞故。正确.

故选：ACD.

8.已知正方体ABC。-AAG〃棱长为2，如图，M为CG上的动点，AA/L平面a.下面说法正确的是(

)

A.直线他与平面a所成角的正弦值范围为［苧,刀］

B.点〃与点G重合时，平面a截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大

C.点”为CG的中点时，若平面a经过点3,则平面a截正方体所得截面图形是等腰梯形

D.己知N为。。中点，当AM+MV的和最小时，M为CG的中点

【解答】解：对于A选项，以点。为坐标原点，DA.DC、0A所在直线分别为x、y、z轴建立空间直

角坐标系D-xyz,

则点4(2,0,0)、8(2,2,0),

设点M(0,2,a)(旅必2),AM，平面a,则4M为平面a的一个法向量，

AB，AM2

且AM=(-2,2,a),AB=(0,2,0),|cos<AB,AM>|=\\=——-e［^,2/1］,

\AB\\AM\2x77786+832

所以，直线AB与平面a所成角的正弦值范围为［且,立］,A选项正确；

对于8选项，当M与C£重合时，连接A。、BD、48、AC,

在正方体ABCD-A4GA中，CG平面ABCD,

B£)u平面ABC。，ABD1CC.,四边形A8CD是正方形，则8DJ_AC,CG「MC=C,.•.砒>_L平

面ACCt,

AC；u平面AC£,AC；_L8。，同理可证AGJ.A。,

\D^BD=D,AC；_L平面AB。，

易知△ABO是边长为20的等边三角形，

其面积为S呼x(2扬2=26,周长为2&X3=60.

设E、F、Q、N、G、”分别为棱AA、4与、BB「BC、CD、£＞口的中点，

易知六边形EFQNGH是边长为叵的正六边形，且平面EFQNGH//平面A.BD,

正六边形EFQNG”的周长为6近，面积为6'走x(血产=36,

4

则△A8。的面积小于正六边形EFQNG”的面积，它们的周长相等，8选项错误；

对于C选项，设平面a交棱A"于点ES，0,2),点M(0,2,1),AM=(-2,2,1),

AMJ•平面a,ZJEu平面a,：.AM1DE,g|JAM-DE=-2b+2=0,得b=l,:.E[1,0,2),

所以，点E为棱AQ的中点，同理可知，点F为棱A片的中点，

则P(2,1,2),EF=(1,1,0),而。8=(2,2,0),EF=-DB,:.EF〃DB且EF手DB,

2

由空间中两点间的距离公式可得DE=+。2+1=逐,BF=7(2-2)2+(1-2)2+(2-0)2=,

：.DE=BF,

所以，四边形四郎为等腰梯形，C选项正确；

对于。选项，将矩形ACGA与矩形C0RO延展为一个平面，如下图所示：

若AM+MN最短，则A、M、N三点共线，CCJIDD、,—=—=-=2-^,

DNAD2&+2

MC=2一夜wgc£,

所以，点M不是棱CG的中点，。选项错误.

故选：AC.

9.如图，在正四棱柱A88-44G4中，AB=AD^3,AA,=4,P是侧面BCCg内的动点，且AP,BR,

记AP与平面BCGB1所成的角为夕，则tan，的最大值为（）

【解答】解：以。为原点，/M为x轴，QC为y轴，。。为z轴，建立空间直角坐标系,

设尸(a,3,c),(溺t3M4),

则A(3,0,0),B(3,3,0),D,(0,0,4),

A尸=3-3,3,c),BD}=(-3,-3,4),平面8CGg的法向量〃=(0,1,0),

3

APVBD,,APBD.=-3(^-3)-9+4c=0,解得c=2a,

4

3

/.AP=(a—3,3,—a),

4

AP与平面BCJBI所成的角为0,

\APji\_3_________12

sin"

\AP\-\n\3一3尸+9+'/工f~~48-4896

5J(Q---)~+----

V25625

425

.•.当a=竺时，sin9取最大值为—.此时cosd=

25V34

5

.•.tan®的最大值为：华=（♦

734

故选：B.

10.在正三棱柱ABC-A4a中，AB=AA]=l,点P满足BP=+,其中/le[0,1],〃e[O,1],

则（）

A.当;1=1时，△AB?的周长为定值

B.当〃=1时，三棱锥P-A8C的体积为定值

c.当2时，有且仅有一个点p,使得

D.当〃=g时，有且仅有一个点P,使得AB_L平面4片尸

【解答】解：对于A,当；1=1时，BP=BC+~BBi，即=所以CP//3q,

故点尸在线段CG上，此时△回/的周长为A耳+B.P+AP,

当点尸为CC的中点时，△AB/的周长为石+&,

当点P在点G处时，△Ag尸的周长为2忘+1,

故周长不为定值，故选项A错误;

对于3,当〃=1时，BP=ABC+BBt,即qP=/lBC,所以B///BC,

故点p在线段sc上，

因为用q//平面ABC,

所以直线4G上的点到平面A8C的距离相等,

又△ABC的面积为定值，

对于C,当；i=g时，取线段3C,AG的中点分别为M,%,连结陷w,

因为BP=；BC+〃BB],即=优，所以MP//BB；,

则点P在线段必加上，

当点P在此处时，4必1.与0,

又B、CJ'B、B=B],所以G"i，平面BB|GC,

又B%u平面BBC。，所以即A/J.BP,

同理，当点P在M处，\PVBP,故选项C错误；

对于。，当〃=；时，取CC的中点2,8M的中点。，

因为=,BPDP=ABC,所以。尸//8C,

21

则点P在线的OR上，

当点P在点A处时，取AC的中点E,连结AE，BE,

因为班_L平面ACG4，又AD|U平面ACCM，所以

在正方形ACGA中，

又BEp|4E=E,BE,AEu平面A8E,

故A"_L平面A3E,又A8u平面ABE,所以

在正方体形ABB/中，\BLAB,,

又A°fABt=A,ADX,AB,u平面ABXDX,所以_L平面ABR,

因为过定点A与定直线垂直的平面有且只有一个，

故有且仅有一个点尸，使得AB，平面A4尸，故选项£)正确.

故选：BD.

II.如图，已知四边形458为直角梯形，BDEF为矩形,平面3。£尸_L平面45cD,AD//BC,

ZDAB=ZABC=9(r,AD=AB=ED=\,BC=2.

(1)若点M为EF中点,求证：8M_L平面C£)/；

(2)若点也为线段比上一动点，求也)与平面8CM所成角的取值范围.

【解答】证明：(1)平面8》广，平面AfiCD,平面身DEPC平面ABCZ)=R),

BFu面BDEF且BF上BD,，所面ABCD.

建立空间直角坐标系8-型如图，则

8(0,0,0),A(0,1,0),C(2,0,0),0(1,I,0),

F(0,0,1),E(1,1,1),M(~,1).

22

8M=CD=(-1,1,0),DF=(-1,-1,1),

JABMCD=--+-=0,BMDF=----+l=0.

2222

:.CDA.BM,FD1BM,又尸》［CO=。，FD,C£)u面尸CO,

故8W_1_面58；

解：(2)由(1)知，F£=(1,1,0),

设尸M=；lFE=(ZZ0),则M(2,2,1),

BM=(2,2,1),BC=(2,0,0),=(1,1,0),

设平面BMC的法向量为n=(x,y,z),

由，，取y=—l,则z=4,

n•BM=Ax4-+z=0

故平面BMC的一个法向量为"=(0,-1,2).

设质)与平面3cM所成角为e,

sin0=|cos<n,BD>|=1〃吻।=.

.・・当4=0时取最大值遮，当4=1时取最小值L

22

故即与平面8cM所成角的取值范围为［30。，45°］.

E

M

12.如图，在棱长为2的正方体AB8-ABC0中，E,尸分别是棱AB,8c上的动点，且AE=BF.

（1）求证：A.FiqE；

（2）当所取得最大值时，求二面角E-AG-尸的余弦值.

【解答】解：（1）证明：如图，建立空间直角坐标系。-孙z,

设AE=m,（喷物2）,

则4(2，0,2),F(2-m,2,0),C,(0,2,2),£(2,m,0),

\F=[-m,2,—2),CtE=(2,m—2.—2),

/.A/•C]E=-2m+2m—4+4=0,

A^F-LC{E.

(2)由(1)得砂=J(2—加上+*=，2加一4加+4="2(——1)2+2,

噫场2,.•.当帆=0或6=2时，EF取得最大值为2,

当机=0时，点E与点A重合，即E(2,0,0),点尸与点8重合，即F(2,2,0),

AG=(-2,2,0),EA=(0,0,2),E4,=(0,-2,2),

设平面AGE的一个法向量为〃=(x,y,z),

[ri-AC,=-2x+2y=0口rn八

则nl11,取x=l,ZW71=(1,1,0),

n-EAj=2z=0

设平面AGb的一个法向量机=3，b,C),

f/w-AC.=-2a+2b=0口㈤

则nl17।,取a=l,得加=(1,1,1),

[m•E4(=—2b+2c=0

设二面角E-AG-F的平面角为，，

则cos”也包=-^监

\m\-\n\V3-V23

.・.二面角£-4(^-尸的余弦值为g.

当加=2时，点E与点B重合，点F与点C重合，

同理可得二面角E-AG-F的余弦值为手.

综上，当坊取得最大值时，二面角E-AG-F的余弦值为手.

题里立体几何中的最值问题

13.在四面体A8CD中，AA8C是边长为2的正三角形，ZADB=60°二面角D-AB—C的大小为60。,

则下列说法正确的是()

A.ABA.CD

B.四面体A88的体积V的最大值为巡

2

C.棱C。的长的最小值为6

.、5?

D.四面体A8CD的外接球的表面积为一万

9

【解答】解：对于A,假设ABLCO,设/W的中点为E,

因为三角形A8C为正三角形，则CEJ_AB,

又CE「|CO=C,CE,C£>u平面C/)E,故回，平面。。£,

又DEu平面CDE,故45_LDE,

而题中并不能得到AfiLOE,故假设不成立，

所以A3不垂直CD,故选项A错误；

对于3,要使的匕田⑺最大，只需高最大，

故丫的最大值为\5乂81。尸='乂6*3=立，故选项5正确;

3322

对于C,由选项3中可知，此时CD也最小，

故CZ）的最小值为故选项C正确;

2回

对于。，设AASD的外心为£为他的中点，MA=MB=MD=—

3

设过M与平面4?£）垂直的直线为MV，过C作CR_L£»于点R,

则外接球球心O在MN上，只需。4=OC,

XC/?=rER当EM当MR=今

设OM=x,由。42=。。2,可得丁++(|-x)2,解得x=g

所以R2=—+—=—

939

所以四面体ABCD的外接球的表面积为4万•代=4"9=竺，故选项D正确.

99

故选：BCD.

B

14.已知长方体A88-A4GR的高44t=2,AC=2瓜,AB}=x,ADt=y,则当x+y最大时，二面角

4-四口-6的余弦值为()

.715V15「石口百

A.-----Bn.-------C.——D.------

5555

【解答】解：.长方体ABCD-ABCQ的高⑨=2，AC=2屈,AB,=x,AD.=y,

.,.当x+y最大时，AB=BC=26,

以。为原点，A4为x轴，ZX7为y轴，。乌为z轴，建立空间直角坐标系,

则A（2百，0,0）,4（26,26，2）,2（0,0,2）,£（0,2百，2）,

ABt=(0,273,2),ADt=(-273,2),

设平面A8Q的法向量”=(x,y,z),

[n-AB.=2\f3y+2z=0„厂

则/11，取x=l,得”=(1,-1,上),

n»ADl=—2\/3x+2z=0

平面8QG的法向量"?=(0,0,1),

设二面角A-BiR-G的平面角为。，结合图形得a为钝角，

皿卜八"一皿〃|_岳

火ijCOSCt------------------—------------>

I加M〃IV55

二.二面角A--G的余弦值为.

故选：B.

15.如图，在棱长为4的正方体ABCD-44G。中，/是棱AA上的动点，N是棱3C的中点.当平面RMN

Q

与底面458所成的锐二面角最小时，

【解答】解：以。为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，

设M4=3则2(0，0，4),C(0,4,0),N(2,3,0),M(4,0,k),

所以〃加=(4,0,%-4),口'=(2,4,7),

设平面D、MN的法向量为"=(x,y,z),

则有卜。也二°,即产+(1”=0,

"-D[N=0[2x+4y-2z=0

令z=8,则x=8-2Z,y=4+k,故”=(8—2%,4+匕8),

平面A8C/)的一个法向量为机=(0,0,1),

设平面RMN与底面438所成的锐二面角为a,

i\n-m\88

则micosa=-----=/=f

I«IIwIJ(8-2Z)2+(4+Q2+64J5F-24后+144

锐二面角a越小，则cosa越大，

所以求弘2_24k+144的最小值，

令/(%)=5々2-24%+144=5(%-,)2+警，

所以当％=2时，a有最小值，此时4^=4一%=4-U=§.

555

16.四棱锥P-ABCD的底面4BCD是边长为“的菱形，R4_L面43C£>,ZBAD=\20°,E,E分别是8,

PC的中点.

(1)求证：平面g"_L平面FB；

(2)M是尸3上的动点，应0与平面所成的最大角为45。，求二面角尸-在-。的余弦值.

【解答】解：(1)证明：底面ABCD是边长为。的菱形，NS4D=120。,

故ZADE=60°,DE=-a,AD=a,

2

iji3

由AS=A。？+DE2-2AD.DEcos600=a2+-a2-2a-a•-=-/,

4224

所以AE'+DE?=A£)2,故RtAADE,AELED,

又ABUCD,所以

又H_L平面A8C£),4Eu平面A3CD,

所以AE_L24,又AB0|P4=A,

所以AEL平面丛3,又AEu平面MF,

故平面平面E4B；

(2)连接AM,则由(1)知，AE_L平面R4B,

则ZAME为直线EM与平面PAB所成的角,

在RtAAME中，tanZAME=——，

AM

当AM最小时，即AM_LP3时，NAME取得最大值45。，此时AE=AM,

设R4=x,则由上4.43=夫&A〃得，

ax=—a>\/a2+x2,解得x=G”，

2

根据题意，以43,AE,AP分别为无，y,z轴建立空间直角坐标系,

E(0,争，0),呜，争