面对高考高中数学教学案例设计汇编

高中数学教学案例设计汇编

（中部）

10、直线与平面平行的判定

一、教学内容分析：

本节教材选自人教A版数学必修②第二章第一节课，本节内容在立几学习中起着

承上启下的作用，具有重要的意义与地位。本节课是在前面已学空间点、线、面位置

关系的基础作为学习的出发点，结合有关的实物模型，通过直观感知、操作确认（合

情推理，不要求证明）归纳出直线与平面平行的判定定理。本节课的学习对培养学生

空间感与逻辑推理能力起到重要作用，特别是对线线平行、面面平行的判定的学习作

用重大。

二、学生学习情况分析：

任教的学生在年段属中上程度，学生学习兴趣较高，但学习立几所具备的语言表

达及空间感与空间想象能力相对不足，学习方面有一定困难。

三、设计思想

本节课的设计遵循从具体到抽象的原则，适当运用多媒体辅助教学手段，

借助实物模型，通过直观感知，操作确认，合情推理，归纳出直线与平面平行

的判定定理，将合情推理与演绎推理有机结合，让学生在观察分析、自主探索、

合作交流的过程中，揭示直线与平面平行的判定、理解数学的概念，领会数学

的思想方法，养成积极主动、勇于探索、自主学习的学习方式，发展学生的空

间观念和空间想象力，提高学生的数学逻辑思维能力。

四、教学目标

通过直观感知——观察——操作确认的认识方法理解并掌握直线与平面平行的

判定定理，掌握直线与平面平行的画法并能准确使用数学符号语言、文字语言表述判

定定理。培养学生观察、探究、发现的能力和空间想象能力、逻辑思维能力。让学生

在观察、探究、发现中学习，在自主合作、交流中学习，体验学习的乐趣，增强自信

心，树立积极的学习态度，提高学习的自我效能感。

五、教学重点与难点

重点是判定定理的引入与理解，难点是判定定理的应用及立几空间感、空间观念

的形成与逻辑思维能力的培养。

六、教学过程设计

（-）知识准备、新课引入

提问1：根据公共点的情况，空间中直线a和平面a有哪几种位置关系？并完成

下表：（多媒体幻灯片演示）

位置关系

公共点

符号表示

图形表示

我们把直线与平面相交或平行的位置关系统称为直线在平面外，用符号表示为

a<za

提问2：根据直线与平面平行的定义（没有公共点）来判定直线与平面平行你认为

方便吗？谈谈你的看法，并指出是否有别的判定途径。

［设计意图：通过提问，学生复习并归纳空间直线与平面位置关系引入本节课题,

并为探寻直线与平面平行判定定理作好准备。］

（二）判定定理的探求过程

1、直观感知

提问：根据同学们日常生活的观察，你们能感知到并举出直线与平面平行的具体

事例吗？

生1：例举日光灯与天花板，树立的电线杆与墙面。

生2：门转动到离开门框的任何位置时，门的边缘线始终与门框所在的平面平行

（由学生到教室门前作演示），然后教师用多媒体动画演示。

［学情预设：此处的预设与生成应当是很自然的，但老师要预见到可能出现的情

况如电线杆与墙面可能共面的情形及门要离开门框的位置等情形。］

2、动手实践

教师取出预先准备好的直角梯形泡沫板演示：当把互相平行的一边放在讲台桌面

上并转动，观察另一边与桌面的位置给人以平行的感觉，而当把直角腰放在桌面上并

转动，观察另一边与桌面给人的印象就不平行。又如老师直立讲台，则大家会感觉到

老师（视为线）与四周墙面平行，如老师向前或后倾斜则感觉老师（视为线）与左、右

墙面平行，如老师向左、右倾斜，则感觉老师（视为线）与前、后墙面平行（老师也可用

事先准备的木条放在讲台桌上作上述情形的演示）。

［设计意图：设置这样动手实践的情境，是为了让学生更清楚地看到线面平行与

否的关键因素是什么，使学生学在情境中，思在情理中，感悟在内心中，学自己身边

的数学，领悟空间观念与空间图形性质。］

3、探究思考

（1）上述演示的直线与平面位置关系为何有如此的不同？关键是什么因素起了作

用呢？通过观察感知发现直线与平面平行，关键是三个要素：①平面外一条线②

平面内一条直线③这两条直线平行

（2）如果平面外的直线a与平面a内的一条直线b平行，那么直线a与平面a平行

吗？

4、归纳确认：（多媒体幻灯片演示）

直线和平面平行的判定定理：平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该

直线和这个平面平行。

简单概括：（内外）线线平行n线面平行

a<za

符号表示：

aWb

温馨提示：

作用：判定或证明线面平行。

关键：在平面内找（或作）出…条直线与面外的直线平行。

思想：空间问题转化为平面问题

（三）定理运用，问题探究（多媒体幻灯片演示）

1、想一想：

（1）判断下列命题的真假？说明理由：

①如果一条直线不在平面内，则这条直线就与平面平行（）

②过直线外一点可以作无数个平面与这条直线平行（）

③一直线上有二个点到平面的距离相等，则这条直线与平面平行（）

（2）若直线a与平面a内无数条直线平行，则a与a的位置关系是（）

A、aIlaB、auaC^alia或auaD^a<z«

［学情预设：设计这组问题目的是强调定理中三个条件的重要性，同时预设（1）中

的③学生可能认为正确的，这样就无法达到老师的预设与生成的目的，这时教师要引

导学生思考，让学生想象的空间更广阔些。此外教师可用预先准备好的羊毛针与泡沫

板进行演示，让羊毛针穿过泡沫板以举不平行的反例，如果有的学生空间想象力强，

能按老师的要求生成正确的结果则就由个别学生进行演示。］

2、作一作：

设a、b是二异面直线，则过a、b外一点p且与a、b都平行的平面存在吗？若

存在请画出平面，不存在说明理由？

先由学生讨论交流，教师提问，然后教师总结，并用准备好的羊毛针、铁线、泡

沫板等演示平面的形成过程，最后借多媒体展示作图的动画过程。

［设计意图：这是一道动手操作的问题，不仅是为了拓展加深对定理的认识，更

重要的是培养学生空间感与思维的严谨性。］

3、证一证：

例1（见课本60页例1）：已知空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中

点，求证：EFII平面BCD。

变式一：空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA中点,

连结EF、FG、GH、HE、AC、BD请分别找出图中满足线面平行位置关系的所有情

况。（共6组线面平行）

变式二：在变式一的图中如作PQEF,使P点在线段AE上、Q点在线段FC上,

连结PH、QG,并继续探究图中所具有的线面平行位置关系？（在变式一的基础上增

加了4组线面平行），并判断四边形EFGH、PQGH分别是怎样的四边形，说明理由。

［设计意图：设计二个变式训练，目的是通过问题探究、讨论，思辨，及时巩固

定理，运用定理，培养学生的识图能力与逻辑推理能力。］

例2：如图，在正方体ABCD—AIBCIDI中，E、F分别是棱BC与CQi中点，

求证：EFII平面BDDiB,

分析：根据判定定理必须在平面BDDIBI内找（作）一条线与EF平行，联想到中点

问题找中点解决的方法，可以取BD或BiDi中点而证之。

思路一：取BD中点G连DiG、EG,可证DjGEF为平行四边形。

思路二：取DiBi中点H连HB、HF,可证HFEB为平行四边形。

［知识链接：根据空间问题平面化的思想，因此把找空间平行直线问题转化为找

平行四边形或三角形中位线问题，这样就自然想到了找中点。平行问题找中点解决是

个好途径好方法。这种思想方法是解决立几论证平行问题，培养逻辑思维能力的重要

思想方法］

4、练一练:

练习1：见课本6页练习1、2

练习2：将两个全等的正方形ABCD和ABEF拼在一起，设M、N分别为AC、

BF中点，求证：MNII平面BCE。

变式：若将练习2中M、N改为AC、BF分点且AM=FN,试问结论仍成立吗？

试证之。

［设计意图：设计这组练习，目的是为了巩固与深化定理的运用，特别是通过练

习2及其变式的训练，让学生能在复杂的图形中去识图，去寻找分析问题、解决问题

的途径与方法，以达到逐步培养空间感与逻辑思维能力。］

（四）总结

先由学生口头总结，然后教师归纳总结（由多媒体幻灯片展示）：

1、线面平行的判定定理：平面外的…条直线与平面内的一条直线平行，则该直

线与这个平面平行。

a亡a

2、定理的符号表示：baa>=>aIIa

aWb

简述：（内外）线线平行则线面平行

3、定理运用的关键是找（作）面内的线与面外的线平行，途径有：取中点利用

平行四边形或三角形中位线性质等。

七、教学反思

本节“直线与平面平行的判定”是学生学习空间位置关系的判定与性质的第一节

课，也是学生开始学习立几演泽推理论述的思维方式方法，因此本节课学习对发展学

生的空间观念和逻辑思维能力是非常重要的。

本节课的设计遵循“直观感知——操作确认——思辩论证”的认识过程，注重引

导学生通过观察、操作交流、讨论、有条理的思考和推理等活动，从多角度认识直线

和平面平行的判定方法，让学生通过自主探索、合作交流，进一步认识和掌握空间图

形的性质，积累数学活动的经验，发展合情推理、发展空间观念与推理能力。

本节课的设计注重训练学生准确表达数学符号语言、文字语言及图形语言，加强

各种语言的互译。比如上课开始时的复习引入，让学生用三种语言的表达，动手实践、

定理探求过程以及定理描述也注重三种语言的表达，对例题的讲解与分析也注意指导

学生三种语言的表达。

本节课对定理的探求与认识过程的设计始终贯彻直观在先，感知在先，学

自己身边的数学，感知生活中包涵的数学现象与数学原理，体验数学即生活的

道理，比如让学生举生活中能感知线面平行的例子，学生会举出日光灯与天花

板，电线杆与墙面，转动的门等等，同时老师的举例也很贴进生活，如老师直

立时与四周墙面平行，而向前、向后倾斜则只与左右墙面平行，而向左、右倾

斜则与前后黑板面平行。然后引导学生从中抽象概括出定理。

本节课对定理的运用设计了想一想、作一作、证一证、练一练等环节，能从易到

难，由浅入深地强化对定理的认识，特别是对“证一证”中采用一题多解，一题多变

的变式教学，有利于培养学生思维的广阔性与深刻性。

本节课的设计还注重了多媒体辅助教学的有效作用，在复习引入，定理的探求以

及定理的运用等过程中，都有效地使用了多媒体。

福建省宁德第一中学叶洪康

点评

本节课教师利用教室现有实物，如日光灯管、地面、教师个人、门

等做教具，让学生认识和理解直线和平面平行的理由和条件。学生在应

用观察、猜想等手段探索研究判定定理时，能获得视觉上的愉悦，增强

探求的好奇心。学生经过思维活动，从中找出一类事物的本质属性，最

后通过概括得出新的数学概念。创设的问题情景有效，能遵循认识规律,

从感性到理性，从具体到抽象。

本节课的设计符合新课程立几中“直观感知一一操作确认一一思辩

论证”的教学理念。整体设计中规中矩，自然流畅。教师对问题、例题

的设计都别具匠心，考虑到学生的实际，有意地设计了一些铺垫和引导,

既巩固已有知识，又为新知识提供了附着点，充分体现学生的主体地位。

本节课蕴涵着化归思想，设计中注重对学生进行思想方法的训练，

通过一题多解、一题多变，渗透了联系与转化的思想，使学生学会思考、

掌握方法，有利于培养学生思维的广阔性与深刻性。

11、循环结构

一、教学内容分析

《循环结构》是人民教育出版社课程教材研究所编著的《普通高中课程标准试验

教科书数学3（必修）》（A版）中§1。k2的第二课时的内容。（1）算法是高中数

学课程中的新内容，算法的思想是非常重要的，算法思想已逐渐成为每个现代人所必

须具备的数学素养。（2）本节课的内容是循环结构，它与顺序结构、条件分支结构是

算法的三种基本逻辑结构，可以表示任何一个算法。并且循环结构是算法这一部分的

重点和难点，它的重要性就是充分体现计算机的优势，也即能以极快的速度进行重复

计算。

二、学生学习情况分析

学生已经学习了有关算法和框图的基础知识。绝大多数同学对算法和框图

的学习有相当的兴趣和积极性。但在探究问题的能力，应用数学的意识等方面

发展不够均衡，尚有待加强。

三、设计思想

建构主义学习理论认为，建构就是认知结构的组建，其过程一般是引导学生从身

边的、生活中的实际问题出发，发现问题，思考如何解决问题，进而联系所学的旧知

识，首先明确问题的实质，然后总结出新知识的有关概念和规律，形成知识点，把知

识点按照逻辑线索和内在联系，串成知识线，再由若干条知识线形成知识面，最后由

知识面按照其内容、性质、作用、因果等关系组成综合的知识体。也就是以学生为主

体，强调学生对知识的主动探索、主动发现以及学生对所学知识意义的主动建构。基

于以上理论，本节课遵循引导发现，循序渐进的思路，采用问题探究式教学，运用多

媒体，投影仪辅助，倡导“自主、合作、探究”的学习方式。具体流程如下：

创设情景（课前准备、引入实例）~授新设疑（自主探索形成概念一理解概念

能识别框图）一质疑问难、论争辩难（进一步加深对概念的理解~突破难点）一沟通

发展（反馈练习一归纳小结）一布置作业。

四、教学目标

理解循环结构，能识别和理解简单的框图的功能，通过模仿、操作、探索，学习

设计程序框图表达，解决问题的过程，发展有条理的思考与表达的能力，提高逻辑思

维能力；能运用循环结构设计程序框图解决简单的问题，感受和体会算法思想在解决

具体问题中的意义，增强学生的创新能力和应用数学的意识。

五、教学重点与难点

重点：理解循环结构，能识别和画出简单的循环结构框图。

难点：循环结构中循环条件和循环体的确定。

六、教学过程设计

(-)创设情境

引例：德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同

学们计算：1+2+3+4H----F99+100=?

老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。课

本例6)你能否写出求1+2+3+…+100的值的一个算法，并用框图表示你的算法。

此例由学生动手完成，投影展示学生的做法，师生共同点评。鼓励学生一题多解。

【设计意图】通过高斯求和的故事，复习顺序结构，提出递推求和的方法，导入

新课。此环节旨在提升学生的求知欲、探索欲，使学生保持良好、积极的情感体验。

(二)授新设疑

1.循序渐进，理解知识

(1)引进“计数变量”、“累加变量”。借助“计数变量”和“累加变量”使

学生经历把“递推求和”转化为“循环求和”的过程，同时经历初始化变量，确定循

环体，设置循环终止条件3个构造循环结构的关键步骤。

①将“递推求和”转化为“循环求和”的缘由及转化的方法和途径

引例“求1+2+3+…+100的值”这个问题的自然求和过程可以表示为：

S2=S,+2,53=52+3,54=S3+4---S;=S,_1+z(z=2,3,­••,100)

S=1

用递推公式表示为：'(i=2,3,…100)

[5,.=5M+Z

直接利用这个递推公式构造算法在步骤S,=S-+i中使用了S「S2，S3-S3共100个变

量，计算机执行这样的算法时需要占用较大的内存。为了节省变量，充分体现计算机

能以极快的速度进行重复计算的优势，需要从上述递推求和的步骤Sj=S1+i中提取

出共同的结构，即第i步的结果=第(/-I)步的结果若引进一个计数变量i来

表示计算到第几步，一个累加变量团来表示每一步的计算结果，则第i步可以表示

为赋值过程i=i+1,sum=sum+i»

②"i=i+1"、"sum=sum+i”的含义

利用多媒体动画展示计算机中计数器的工作原理，借助形象直观对知识点进行强

调说明

1)i=i+l的作用是将赋值号右边表达式i+1的值赋给赋值号左边的变量九

2）赋值号“="右边的变量“i”表示前一步累加所得的和，赋值号“=”左边

的“i”表示该步累加所得的和，含义不同。

3）赋值号“=”与数学中的等号意义不同。i=i+l在数学中是不成立的。

4）sum=sum+i的作用是将赋值号右边表达式sum+i的值赋给赋值号左边的变

量（类匕i=i+\理解）

借助“计数变量”、“累加变量”既突破了难点，同时也使学生理解了=i+、

usum-sum+i”的含义。

③初始化变量，设置循环终止条件

由SC"〃的初始值为0,i的值由1增加到100,可以初始化循环变量和设置循环终

止条件。

（2）循环结构的概念

从某处开始，按照一定条件，反复执行某一处理步骤的结构称为循环结构。

教师学生一起共同完成引例的框图表示，并由此引出本节课的重点知识循环结构的概

念（循环变量、循环体、循环终止的条件）。

【设计意图】这样讲解既突出了重点又突破了难点，同时学生在教师引导下，在

已有探索经验的基础上，借助多媒体的形象直观，共同完成问题的抽象过程和算法的

构建过程。体现研究问题常用的“由特殊到一般”的思维方式。

2.类比探究，掌握知识

例1：改造引例的程序框图表示

①求2+4+6+…+100的值

②求i+LL…的值

2350

③求Ix2x3x…x200的值

此例可由学生独立思考、回答，师生共同点评完成。

【设计意图】通过对引例框图的反复改造逐步帮助学生深入理解循环结构，体

会用循环结构表达算法，关键要做好三点：

①确定循环变量和初始值②确定循环体③确定循环终止条件。

例2：根据程序框图回答下面的问题

图A图B

(1)图中箭头指向①时，输出5即2=_____；指向②时输出_____=

(2)该程序框图的算法功能是□

(3)去掉条件“i>5”按程序框图所蕴含的算法，能执行到底吗，若能执行到

底，最后输出的结果是什么？

对比练习：

(1)图B输出0

(2)图A指向②时与图B有何不同？你能得到什么结论？

(3)对比“引例”与“例2”的程序框图，试说明二者的区别和联系？

可由学生小组讨论，教师巡视，加强对学生的个别指导，再由学生分析。

例2是写出程序框图的运算结果，及其功能。

【设计意图】设计此例的目的是让学生通过类比意识到：

①循环结构不能是永无终止的死循环，一定要在某个条件下终止循环，这就需要

条件结构来做出判断，因此，循环结构一定包含条件结构。

②循环结构中语句的顺序对算法的影响。

③当型循环结构与直到型循环结构的区别。

（三）质疑问难、论争辩难

例3图（1）,图（2）,图（3）,图（4）是为计算而绘制的程序框图。根据程序

框图回答下面的问题：

图（1）图⑵

图⑶图⑷

①其中正确的程序框图有哪几个？错误的要指出错在哪里。

②错误的程序框图中，按该程序框图所蕴含的算法，能执行到底吗？若能执行到底，

最后输出的结果是什么？

③根据上面的回答总结出应用循环结构编制程序框图应该注意哪几方面的问题？

【设计意图】通过类比，自主探究，帮助学生深入理解知识，完善知识结构，提

升认知水平。通过小组讨论，实现生生互动，师生互助，丰富情感体验，活跃课堂气

氛。

（四）沟通发展、归纳小结

1.沟通发展

仿照本节课例题，同桌俩人一人编题一人解答。

【设计意图】通过练习进一步巩固所学知识，培养和提升学生的认知水平。沟通

发展，有助于及时查漏补缺，保持学生学习的热情和信心。

2.课后小节

①理解循环结构的逻辑。

②明确条件结构与循环结构的区别，联系。

③当型循环结构与直到型循环结构的区别。

④数学思想方法：算法思想，类比方法。

【设计意图】通过小结使学生对本节课的知识有一个全面的认识，掌握知识。为

今后学习其它知识打基础。

（五）布置作业

①课本P11习题1-1A组2

②课外拓展：写出一个求满足lX2X3X-Xn>5000的最小正整数的算法并画

出相应的程序框图。

【设计意图】书面作业第一个层次要求所有学生完成，第二个层次，只要求学有

余力的同学完成。体现了差异发展教学。

七、教学反思

循环结构这部分内容在算法中起着承上启下的作用。本节施教过程中，基

本完成设计构思，教学效果良好，但仍发现一些不足之处：

1、学生对循环终止条件的确定还存在一定困难，尤其循环体中“i=i+l”、

“=m+i”的顺序对终止条件的影响。

2、教学过程中对循环体=i+=+中渗透的函数思想

（数学本质）体现不够。

对算法教学的思考：教材将“算法与程序框图”和“基本算法语句”分开

处理。是否将这两部分内容结合起来处理，在讲基本结构的时候，通过基本算

法语句在计算机上演示计算结果，是否会更生动，效果会更好。强调基本结构,

适当降低程序框图和算法语句的难度（学生反映其中的一些例题结构太复杂，

理解比较吃力）。

算法作为数学与计算机技术的桥梁，体现了数学研究的一个新的方向，其

作用是勿庸质疑的，但作为高中数学课程中的新内容，如何将其更完美地展现

给学生，还需大家共同努力！

龙岩第一中学章杨

点评

本节是概念课，是算法初步这一章节的重点与难点。概念的建构应

该是多元的，但无论采用何种方式建构新的知识，都要关注课堂上一些

显现因素和课堂教学的内在因素，以教材为“生长点”，在师生、生生互

动中，不断创造出新的教学资源，使师生的思维和情感在和谐的“共振”

中得到升华，让学生对学习保持良好、积极的情感体验，提升求知欲、

探索欲。本设计以循环结构的典型模型“写出求1+2+3+…+100的值的一个

算法”作为引入，并以它为核心进行剖析，表达概念的含义，从中抽象

出循环结构的概念。设计中能够紧紧围绕如何确定循环变量和初始值及

如何确定循环终止条件，通过变式训练、正反例判断，抓住重点，突破

难点。

循环结构是三种结构中的一种结构，教材中只安排了一个例题“设

计一个计算1+2+3+…+10()的值的一个算法，并画出程序框图“。设计中能

够充分发挥例题的功能，通过例题讲清概念，通过例题的引伸，让学生

掌握本节知识。

当型与直到型的两种循环结构是本节课的重要知识点，教学中要讲

清两种结构的异同点。设计中已经注意到了这一点，但重视的程度还略

显不够。

12、任意角的三角函数(1)

一、教学内容分析:

高一年《普通高中课程标准教科书•数学（必修4）》（人教版A版）第12页1.2.1

任意角的三角函数第一课时。

本节课是三角函数这一章里最重要的一节课，它是本章的基础，主要是从通过问

题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，从而很好理解任意角的三角函数

的定义。在《课程标准》中：三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数

学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。《课程标准》还要求我们借助单位圆

去理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。

在本模块中，学生将通过实例学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决

具有变化规律的问题中的作用。

二、学生学习情况分析

我们的课堂教学常用“高起点、大容量、快推进”的做法，忽略了知识的发生发

展过程，以腾出更多的时间对学生加以反复的训练，无形增加了学生的负担，泯灭了

学生学习的兴趣。我们虽然刻意地去改变教学的方式，但仍太多旧时的痕迹，若为了

新课程而新课程又会使得美景变成了幻影，失去新课程自然与清纯之味。所以如何进

行《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称课程标准）的教学设计就很值得思考探

索。如何让学生把对初中锐角三角函数的定义及解直角三角形的知识迁移到学习任意

角的三角函数的定义中？

《普通高中数学课程标准（实验）解读》中在三角函数的教学中，教师应该关注以

下两点：

第一、根据学生的生活经验，创设丰富的情境，例如单调弹簧振子，圆上一点的

运动，以及音乐、波浪、潮汐、四季变化等实例，使学生感受周期现象的广泛存在，

认识周期现象的变化规律，体会三角函数是刻画周期现象的重要模型以及三角函数模

型的意义。

第二、注重三角函数模型的运用即运用三角函数模型刻画和描述周期变化的现象

（周期振荡现象），解决一些实际问题，这也是《课程标准》在三角函内容处理上的

一个突出特点。

根据《课程标准》的指导思想，任意角的三角函数的教学应该帮助学生解决好两

个问题：

其一：能从实际问题中识别并建立起三角函数的模型；

其二：借助单位圆理解任意角三角函数的定义并认识其定义域、函数值的符号。

三、设计理念：

本节课通过多媒体信息技术展示摩天轮旋转及生成的图像，让学生感受到数学来

源于生活—，数学应用于生活，激发同学们学习的乐趣。并通过问题的探究，体验“数

学是过程的思想”，改变课程实施过程于强调接受学习，死记硬背，机械训练的现状,

倡导学生主动参与，乐于探究，勤于动手，培养学生学生收集和处理信息的能力，获

得新知识的能力，分析与解决问题的能力以及交流合作的能力。

四、教学目标：

1.借助摩天轮的情景问题很好地融合初中对三角函数的定义，也能很好入在直角

坐标系中，很好将锐角三角函数的定义向任意角的三角函数过渡，从通过问题引

导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，从而很好理解任意角的三角函数

的定义；

2.从任意角的三角函数的定义认识其定义域、函数值的符号;

3.能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题。

五、教学重点和难点：

1.教学重点：任意角三角函数的定义.

2.教学难点：正弦、余弦、正切函数的定义域.

具体设计如下：

六、教学过程

第一部分——情景引入

问题1：如图是一个摩天轮，假设它的中心离地面的高度为

ho,它的直径为2R,逆时针方向匀速转动，转动一周需要360

秒，若现在你坐在座舱中，从初始位置0A出发（如图1所不，

过了30秒后，你离地面的高度〃为多少？过了45秒呢？过了f秒呢？

【设计意图】：高中学生已经具有丰富的生活经验和一定的科学知识，因此选择

感兴趣的、与其生活实际密切相关的素材，此情景设计应该有助于学生对知识的发生

发展的理解.这个数学模型很好融合初中对三角函数的定交，也能放在直角坐标系中,

很好地将锐角三角函数的定义向任意角三角函数过渡，揭示函数的本质。

第二部分——复习回顾锐角三角函数

让学生自主思考如何解决问题：“过了30秒后，你离地面的高度为多少？”

【分析*作图如图2很容易知道：从起始位置OA运

动30秒后到达P点位置，由题意知ZAOP=30°,作PH垂

直地面交0A于M,又知所以本问题转变成求PH

再次转变为求PM。

要求PM就是回到初中所学的解直角三角形的问题即锐

角的三角函数。

问题2：锐角a的正弦函数如何定义？

【学生自主探究】：学生很容易得到

图2H

sina=nIMP1=RsinanIPH1=%+Rsina

\OP\R°

=>h=%+Rsina

所以学生很自然得到“过了30秒后，过了45秒,

你离地面的高度4为多少？”

/?,=h0+Rsin30°

力2=%+Rsin45°

【教师总结】：〃在锐角的范围中，

>x

%=%+/?sinz°

第三部分——引入新课

问题3：请问f的范围呢？随着时间的推移，你

离地面的高度〃为多少？能不能猜想

/?=%+Rsint°?

【分析】：若想做到这一点，就得把锐角的正弦推广到任意角的正弦。今天我们

就要来学习任意角的三函数角函数。

问题4：如图建立直角坐标系，设点外办,力），能你用直角坐标系中角的终边上

的点的坐标来表示锐角a的正弦函数的定义吗？能否也定义其它函数（余弦、正切）？

【学生自主探究】：sina=W^="

\OP\R

3”皿=红，tana=也」

\OP\R\OM\xP

问题5：改变终边上的点的位置，这三个比值会改变吗？为什么？

【分析】：先由学生回答问题，教师再引导学生选几个点，计算比值，获得具体

认识，并由相似三角形的性质证明。

【设计意图】：让学生深刻理解体会三角函数值不会随着终边上的点的位置的改

变而改变，只与角有关系。

通过摩天轮的演示，让学生感受到第一象限角的正弦可以跟锐角正弦的定义一

样。

问题6：大家根据第一象限角的正弦函数的定义，能否也给出第二象限角的定义

呢？

【学生自主探究】：学生通过上面已知知识

彳4R守z至iUisi-na=-।-M--P---I=—yp

\OP\R

学生定义好第二象限角后，让学生自己算

出摩天轮座舱在第150秒时,离地面的高度/??

通过摩天轮知道:

〃=%+Rsinl50°=4=〃o+Rsin3O°

由此得到：sin150°=工

2

\MP\

【设计意图】:通过这个，让学生检验sina=正在第二象限角是否正确？

\OP\R

IMPI

问题7：sina=丫9在第三象限角或第四象限能成立吗？

\OP\

【设计意图】：让学生通过模型，检验定义是否正确，从中让学生自己发现正、

负符号的偏差。

(可以让学生取f=210,从而/?=%+Rsin21()°,得到sin210°=-L发现这与

2

.IMPI才知夕*L13.—IMPI、

sina=-------不相符，头际上是sina=----------)

\OP\\OP\

【教师总结】：我们通过个模型知道如何在某些范围内如何计算自已此时离地面

的高度，用数学模型//=%+Rsint°来表示，当摩天轮转动，角度的概念也不知不觉

地推广到任意角，对于任意角的正弦不能只是依赖于角所在的直角三角形中的对边的

长度比斜边长度了，我更应该用点P的横坐标来代替IMPI或-IMPI,那么这样就能

够很好表示出正弦的函数任意角的定义。

第三部分——给出任意角三角函数的定义

如图3,已知点P(x,y)为角a终边上的点，点P到顶点0的距离为R,则

sina=—(a£R)

R

X

cosa=—CaeR)

R

tanor=—(aw—+)

x2

【分析】：让学生通过刚才的模型进一步体验任意角三角函数的定义要点：点、

点的坐标、点到顶点的距离。

问题8：当摩天轮的半径R=1时，三角函数的定义会发生怎样的变化。

【学生自主探究】：sina=y,cosa=x,tana=­o

x

教师引导学生进行对比，学生通过对比发现取到原点的距离为1的点可以使表达

式简化。

教师进一步给出单位圆的定义

给出下列表格，让学生自己补充完整。

三角函数定义一:1OP1=1定义二：IOPI=R定义域

sinay2aeR

R

X

cosaX—asR

R

71.

tanay_y_aw一+攵乃

XX2

及时归纳总结有利学生对所学知识的巩固和掌握。

第三部分——例题讲解

例1.(课本P14例2)已知角a终边经过点心(-3,-4),求角a的正弦、余弦和

正切值。

【分析】：让学生现学现卖，得用上面的定义二就可以得到答案。

例2.(课本P14例1)求工的正弦、余弦和正切值。

3

【学生自主探究】：让学生自己思考并独立完成。然后与课本的解答相对比一下,

发现本题的难点。

【教师讲解】：本题题意很简单，但是如何入手

是如何利用单位圆找到这个点P，如图4可以知道NPOM=工，又点P在第四象限，

3

得到P(g,-#9,这样就可以很容易得到本题答案。

不妨让学生取R=IOPI=4,能否也得到点P的坐标，得到的三角函数值是否与单

位圆的一样。这样可以让学生更深刻体验三角函数的定义。

第四部分——巩固练习

7TT

练习1.例2变式求上的正弦、余弦和正切值。

6

练习2.问题9：通过观察摩天轮的旋转，三角函数的角的终边所在象限不同，请

说说三角函数在各个象限内的三角函数值的符号?独立完成课本P15的“探究”。

【设计意图】：练习1、练习2的设计与例2、例3衔接，主要目的是帮助学生巩

固三角函数的本质特征，引导学生从定义出发利用坐标平面内的点的坐标特征自主探

究三角函数的有关问题的思想方法。并在特殊情形中体会数形结合的思想方法。

第五部分——小结与作业

学生自我总结

作业：P23习题1.2A组1,2,3

七、教学反思

上述教学设计及具体教学实施过程我认为有以下几点意义：

1.教学设计紧扣课程标准的要求，重点放在任意角的三角函数的理解上。背景

创设是学生熟悉的摩天轮，认知过程符合学生的认知特点和学生的身心发展规律——

具体到抽象，现象到本质，特殊到一般，这样有利学生的思考。

2.情景设计的数学模型很好地融合初中对三角函数的定义，也能很好引入在直

角坐标系中，很好将锐角三角函数的定义向任意角的三角函数过渡，同时能够揭示函

数的本质。

3.通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，让学生在情境中

活动，在活动中体验数学与自然和社会的联系、新旧知识的内在联系，在体验中领悟

数学的价值，它渗透了蕴涵在知识中的思想方法和研究性学习的策略，使学生在理解

数学的同时:在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。这和课程标

准的理念是一致的。

4.《标准》把发展学生的数学应用意识和创新意识作为其目标之一，在教学中

不仅要突出知识的来龙去脉还要为学生创设应用实践的空间，促进学生在学习和实

践过程中形成和发展数学应用意识，提高学生的直觉猜想、归纳抽象、数学地提出、

分析、解决问题的能力，发展学生的数学应用意识和创新意识,使其上升为一种数学

意识，自觉地对客观事物中蕴涵的一些数学模式作出思考和判断。在解答问题的过程

中体验到从数学的角度运用学过的数学思想、数学思维、数学方法去观察生活、分析

自然现象、解决实际问题的策略，使学生认识到数学原来就来自身边的现实世界，是

认识和解决我们生活和工作中问题的有力武器，同时也获得了进行数学探究的切身

体验和能力。增进了他们对数学的理解和应用数学的信心。

南安侨光中学苏飞文

点评

本节课以新颖背景“摩天轮”引课，从直角三角形的锐角入手，引

导学生尝试探究，逐次深入引出任意角的三角函数的定义，以问题形式

巩固深化任意角三角函数值的计算，结合平位图直观作用，使学生经历

了由浅入深，由易到难，清楚展现了任意角三角函数的生成过程，力口深

了对任意角三角函数的认识。

新课程教材强调了学生的探究能力的培养，但不意味着每个知识点

都需要人为创设情景加以探究，现实的教学由于受教学时数限制，总是

希望课堂教学效率高些，任意角的三角函数的定义是否一定要创设情景

让学生探究？只要让学生理解有必要引入任意角三角函数概念，然后直

接下定义，从课堂教学效率而言，可能会更好些。

13、任意角的三角函数（2）

一、教学内容分析

本节课的教学内容是《普通高中课程标准实验教科书•数学（4）》（人教A版）。

三角函数是描述周期运动现象的重要的数学模型，有非常广泛的应用.

直角三角形简单朴素的边角关系，以直角坐标系为工具进行自然地推广而得到简

明的任意角的三角函数定义，紧紧扣住三角函数定义这个宝贵的源泉，自然地导出三

角函数线、定义域、符号判断、同角三角函数关系、多组诱导公式、图象和性质。三

角函数定义必然是学好全章内容的关键，如果学生掌握不好，将直接影响到后续内容

的学习，由三角函数定义的基础性和应用的广泛性决定了本节教材的重点就是定义本

身.

二、学生学习情况分析

在初中学生学习过锐角三角函数。因此本课的内容对于学生来说，有比较厚实的

基础，新课的引入会比较容易和顺畅。学生要面对的新的学习问题是，角的概念推广

了，原先学生所熟悉的锐角三角函数的定义是否也可以推广到任意角呢？通过这个问

题，让学生体会到新知识的发生是可能的，自然的。

三、设计思想

教学中注意用新课程理念处理教材，采用学生自主探索、动手实践、合作交流、

阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、

揭示本质、经历过程.

根据本节课内容、高一学生认知特点，本节课采用“启发探索、讲练结合”的方

法组织教学.

四、教学目标

1.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数

值在各象限的符号）；

2、理解任意角的三角函数不同的定义方法；掌握并能初步运用公式一；树立映射

观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.

3、通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到任意角三角函

数的定义.根据角终边所在位置不同，分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数

的值在各象限的符号.借助有向线段进一步认识三角函数.

4、通过任意三角函数的定义，认识锐角三角函数是任意三角函数的一种特例，加深

特殊与一般关系的理解。

5、通过三角函数的几何表示，使学生进一步加深对数形结合思想的理解，拓展思维

空间。通过学生积极参与知识的“发现”与“形成”的过程，培养合情猜测的能力，

从中感悟数学概念的严谨性与科学性。

五、教学重点和难点

重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数

值在各象限的符号）；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）.

难点：任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数

值在各象限的符号）；

六、教学过程设计

教学过程

一、复习引入、回想再认

（情景1）我们在初中通过锐角三角形的边角关系，学习了锐角的正弦、余弦、

正切等三个三角函数.请回想：这三个三角函数分别是怎样规定的？

学生口述后再投影展示，教师再根据投影进行强调：

对边邻边对边

sina=-------,cona=---------,tanOf=---------

斜边斜边邻边

设计意图:

学生在初中学习了锐角的三角函数概念，现在学习任意角的三角函数，又是一种

推广和拓展的过程（类似于从有理数到实数的扩展）.温故知新，要让学生体会知识

的产生、发展过程，就要从源头上开始，从学生现有认知状况开始，对锐角三角函数

的复习就必不可少.

二、引伸铺垫、创设情景

（情景2）我们已经把锐角推广到了任意角，锐角的三角函数概念也能推广到任

意角吗？试试看，可以独立思考和探索，也可以互相讨论！

留时间让学生独立思考或自由讨论，教师参与讨论或巡回对学困生作启发引导.

能推广吗？怎样推广？针对刚才的问题点名让学生回答.用角的对边、临边、斜

边比值的说法显然是受到阻碍了，由于L1节已经以直角坐标系为工具来研究任意角

了，学生一般会想到（否则教师进行提示）继续用直角坐标系来研究任意角的三角函

数.

设计意图：

从学生现有知识水平和认知能力出发，创设问题情景，让学生产生认知冲突，

进行必要的启发，将学生思维引上自主探索、合作交流的“再创造”征程.

教师对学生回答情况进行点评后布置任务情景：请同学们用直角坐标系重新研究

锐角三角函数定义！

师生共做（学生口述，教师板书图形和比值）：

把锐角a安装（如何安装？角的顶点与原点重合，角的始边与x轴非负半轴重合）

在直角坐标系中，在角a终边上任取一点P,作PM±x轴于M,构造一个RtAOMP,

则NMOP=a（锐角），设P（X,y）（x>0、y>0）,a的临边OM=x、对边MP=y,斜

边长IOP|=r.

根据锐角三角函数定义用:x、y、r列出锐角a的正弦、余弦、正切三个比值,

并补充对应列出三个倒数比值:

对边y邻边X对边y

sina=-------=——,con（X=----=一,tanOf=--------=一

斜边r斜边r邻边x

OMx?=_?=—

y%y

（图2）

设计意图：

此处做法简单，思想重要.为了顺利实现推广，可以构建中间桥梁或公共载体,

使之既与初中的定义一致，又能自然地迁移到任意角的情形.由于前一节已经以直角

坐标系为工具来研究任意角了，学生自然能想到仍然以直角坐标系为工具来研究任意

角的三角函数.初中以直角三角形边角关系来定义锐角三角函数，现在要用坐标系来

研究，探索的结论既要满足任意角的情形，又要包容初中锐角三角函数定义.这是一

个认识的飞跃，是理解任意角三角函数概念的关键之一，也是数学发现的重要思想和

方法，属于策略性知识,能够形成迁移能力，为学生在以后学习中对某些知识进行推广

拓展奠定了基础.

（情景3）思考：对于确定的角a,这三个比值是否会随点尸在e的终边上的位

置的改变而改变呢？

显然，我们可以将点取在使线段。尸的长r=1的特殊

位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表

示锐角三角函数：

OM

sincosa---=a

OPOP

MPb

tana=---=—.

OMa

思考：上述锐角。的三角函数值可以用终边上一点

的坐标表示.那么，角的概念推广以后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修

改，以利推广到任意角呢？本节课就研究这个问题一一任意角的三角函数.

先让学生想象思考，作出主观判断，再用几何画板动画演示，同时作好解释说明:

引导学生观察图3,联系相似三角形知识，

探索发现：对于锐角a的每一个确定值，三个比值都是

确定的，不会随P在终边上的移动而变化.

OMM(x

(图3)

三、探究新知

1.探究：结合上述锐角a的三角函数值的求法，我们应如何求解任意角的三角函

数值呢？

显然，我们只需在角的终边上找到一个点，使这个点到原点的距离为1,然后就可

以类似锐角求得该角的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆的定义:在直角坐标

系中，我们称以原点。为圆心，以单位长度为半径的圆.

2.思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义？

如图，设a是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么：

(1)y叫做a的正弦(sine),记做sina，即sina=y；

(2)x叫做a的余弦(cossine),记做cosa,即cosa=x；

(3)上叫做a的正切(tangent),记做tana,即tana=w0).

xx

注意：当a是锐角时，此定义与初中定义相同(指出对边，邻边，斜边所在)；当

a不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然

与单位圆有交点尸(x,y),从而就必然能够最终算出三角函数值.

设计意图：

初中学生对函数理解较肤浅，这里在学生思维的最近发展区进一步研究初中学过

的锐角三角函数，在思维上更上了一个层次，扣准函数概念的内涵，突出变量之间的

依赖关系或对应关系，是从函数知识演绎到三角函数知识的主要依据，是准确理解三

角函数概念的关键，也是在认知上把三角函数知识纳入函数知识结构的关键.这样做

能够使学生有效地增强函数观念.

四、探索定义域

(情景4)1、函数概念的三要素是什么？

函数三要素：对应法则、定义域、值域.

正弦函数sina的对应法则是什么？

正弦函数sina的对应法则，实质上就是sina的定义：对a的每一个确定

的值，有唯一确定的比值y/r与之对应，即a-y/r=sina.

2、布置任务情景：什么是三角函数的定义域？请求出三个三角函数的定义域，

填写下表：

三角函数sinacosatana

定义域

引导学生自主探索：

如果没有特别说明，那么使解析式有意义的自变量的取值范围叫做函数的定义

域，三角函数的定义域自然是指：使比值有意义的角a的取值范围.

关于sina=y/r、cosa=x/r,对于任意角a（弧度数），r>0,y/r>x/r恒有意

义，定义域都是实数集R.

对于tana=y/x,a=kn+冗/2时x=0,y/x无意义，tana的定义域是：{a|

aGR,且a#kn+n/2}........

教师指出：sina、cosa、tana的定义域必须紧扣三角函数定义在理解的基础

上记熟。

设计意图：

定义域是函数三要素之一，研究函数必须明确定义域.指导学生根据定义自主探

索确定三角函数定义域，