现代控制理论试题

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现代控制理论试题

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2008现代控制理论试题B卷及答案

一、1系统X=：oX+]M,y=[0l]x能控的状态变量个数是，能观测的状态变量个数是

2试从高阶微分方程>+3>+8>=5〃求得系统的状态方程和输出方程（4分/个）

解1.能控的状态变量个数是2,能观测的状态变量个数是工。状态变量个数是2。.…（4分）

2.选取状态变量七=>,々=y，%=y，可得........（1分）

x3=-8%i-3X3+5M

y=[100]x..........（i分）

二、1给出线性定常系统x（k+1）=Ax（k）+Bu（k\y（k）=Cx{k}能控的定义。（3分）

'210-

2已知系统X=020x,y=[01l]x，判定该系统是否完全能观（5分）

00-3_

解1.答：若存在控制向量序列u（k）,u（k+1）,,u（k+N-l）,时系统从第k步的状态x（k）开始,在第N步达到

零状态，即尤（N）=0,其中N是大于o的有限数，那么就称此系统在第k步上是能控的。若对每一个k,系统的所有状态

都是能控的，就称系统是状态完全能控的，简称能控。........（3分）

2.

210

CA=[011]020=[02-3]..............（1分）

00-3

210

2

CA=[023]020=[049]（1分）

00-3

C011

CA02-3（i分）

CA2049

rank。。=2<n,所以该系统不完全能观.........（2分）

三、已知系统L2的传递函数分别为

求两系统串联后系统的最小实现。（8分）

解

（S-l）（S+l）s+1s+1

g（s）=gi（s）gi（s）=.............（5分）

（s+1）（5+2）S2-4

最小实现为

Xy=[l0]x（3分）

四、将下列状态方程、二%（8分）

解（1分）

71

88

（分）

（UJ=111

_88

11

（1分）

4=88

13-

P2=（1分）

44

31

尸一二848

111（1分）

48_

01

1

4=PAP=（1分）

-105

1

1-

8

b=Pb=,3分

c-

4

_4

-12

五、利用李亚普诺夫第一方法判定系统x=X的稳定性。（8分）

-1-1

2+1

解|2-/-A|==力+22+3（3分）

12+1

特征根2=-1±（3分）

均具有负实部，系统在原点附近一致渐近稳定.（2分）

-11

六、利用李雅普诺夫第二方法判断系统X二X是否为大范围渐近稳定：（8分）

2-3

解

r

AP+PA=-I（1分）

_2211+4°12=-1

Bl"/?。??=°（1分）

2pn-6p22=-1

Pn

，22=（1分）

Pn=

AiPn

P=（1分）

PnP22

AiPn

0det=det吟〉。（1分）

PnP22

P正定，因此系统在原点处是大范围渐近稳定的.....（1分）

2s+l1

(s-DG+2)s

七、已知系统传递函数阵为G（s）=试判断该系统能否用状态反馈和输入变换

25-13

s(s+l)(s—2)7+1

实现解耦控制。（6分）

解：

4=0d2=Q（2分）

4=[10],耳=[01]（2分）

10

E=非奇异，可实现解耦控制。（2分）

01

-1一2一3]m

八、给定系统的状态空间表达式为1=0-11x+0%y=[01o]X,设计一个具有特征值

10-11

为-1,-1,-1的全维状态观测器。（8分）

解：方法1

A+12+g3

|2-/-A+EC|=02+l+E2-1i分

2+1

-iE3

—(/I?+2X+1)石2++3几2+32+1+32+3+3E?+2+E1+区丸+石3八

32

=2+(E2+3)2+(2E2+E3+6)2+6+E3+4E2+E1一2分

又因为/*(2)=23+322+32+1---1分

列方程

6+E3+4E2+E、—1

2E?+区+6=3—2分

马+3=3

与7k2—0,£3=—31分

观测器为

-10-31-2

x=0-11%+00y1分

10-11-3

方法2

2+123

32

|2-/-A|=02+1-1=2+32+62+61分

-102+1

/*(2)=23+322+32+1-----------2分

-----------1分

4=-5,E2=—3,2=0

a2ax1

Trrr2r

Q=[CAC(A)C]%10----------2分

100

E]=—2,k2—0,4二—31分

观测器为

x=1分

(10

(10、

九解A二01（1分）

2,

、J

017

0、

（1分）

IC7

1

0

J-10、一15-1

(sf)T（1分）

、-15-2111

Vs—2s—1s-2J

/

0、

1£

=r（1分）

‘一£

00、

0£0（2分）

0e2t

00、(1、

0d000（2分）

0e2t-efe1r,1

773

《现代控制理论》复习题1

一、（10分，每小题2分）试判断以下结论的正确性，若结论是正确的，则在其左边的括号

里打V,反之打x。

（V）1.由一个状态空间模型可以确定惟一一个传递函数。

（X）2.若一个对象的连续时间状态空间模型是能控的，则其离散化状态空间模型也一

定是能控的。

（x）3.对一个给定的状态空间模型，若它是状态能控的，则也一定是输出能控的。

（V）4.对系统尤=心，其Ly叩unov意义下的渐近稳定性和矩阵Z的特征值都具有负实

部是一致的。

(V)5.根据线性二次型最优控制问题设计的最优控制系统一定是渐近稳定的。

二、(15分)考虑由下式确定的系统：G(s)=产3试求其状态空间实现的

能控标准型、能观标准型和对角线标准型，并画出能控标准型的状态变量图。

解：能控标准形为

能观测标准形为

对角标准形为

三、(10分)在线性控制系统的分析和设计中，系统的状态转移矩阵起着很重要的作用。

对系统

求其状态转移矩阵。

解：解法L

容易得到系统状态矩阵/的两个特征值是4=~1,4=-2,它们是不相同的，故系统的

矩阵4可以对角化。矩阵/对应于特征值4=-1，4=-2的特征向量是

「21]「11一

取变换矩阵T=\y,,,贝UTT=,°

x-1-1-1-2

因此，D=TAT

0-2

从而，

解法2。拉普拉斯方法

由于

故①⑺=*=L[(S/_A)T]=

-2e~f+2e~2>-e~'+2e~2t

解法3。凯莱-哈密尔顿方法

将状态转移矩阵写成*=a0⑺/+/⑺A

系统矩阵的特征值是-1和-2,故”'=aQ(0-色⑺U=/⑺—4⑺

解以上线性方程组，可得%（0=2e~t-e-2t%⑺=镇—e-2t

因此，①⑺=/=〃o«）/+〃i（/）A=_2t-tc-2t

-2e+2e-e+2e

四、（15分）已知对象的状态空间模型比=Ax+5",y=Cr,是完全能观的，请画出观

测器设计的框图，并据此给出观测器方程，观测器设计方法。

解观测器设计的框图：

观测器方程：

其中：X是观测器的维状态，，是一个〃x灌的待定观测器增益矩阵。

观测器设计方法：

由于det[2/-（A-£C）]=det[2/-（A-LC）7"]=det皿—（A，-CTlT）]

因此，可以利用极点配置的方法来确定矩阵/，使得A?-C，A具有给定的观测器极点。具

体的方法有：直接法、变换法、爰克曼公式。

五、（15分）对于一个连续时间线性定常系统，试叙述Lyapunov稳定性定理，并举一个二

阶系统例子说明该定理的应用。

解连续时间线性时不变系统的李雅普诺夫稳定性定理：

线性时不变系统戈=4在平衡点4=0处渐近稳定的充分必要条件是：对任意给定的对称

正定矩阵Q,李雅普诺夫矩阵方程ArP+PA=-Q有惟一的对称正定解P。

在具体问题分析中，可以选取Q=L

XQ1X

考虑二阶线性时不变系统：'

%2—1—1%2

原点是系统的惟一平衡状态。求解以下的李雅普诺夫矩阵方程ArP+PA=-I

其中的未知对称矩阵P=PuPl2

_P12P12_

将矩阵/和用勺表示式代入李雅普诺夫方程中，可得

进一步可得联立方程组

AlP123/21/2

从上式解出Qu、P"和必2，从而可得矩阵P=

P12。221/21

根据塞尔维斯特方法，可得A,=detP=->0

24

故矩阵^正定的。因此，系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。

六、（10分）已知被控系统的传递函数是

试设计一个状态反馈控制律，使得闭环系统的极点为-1±jo

解系统的状态空间模型是

将控制器M=TX）左1卜代入到所考虑系统的状态方程中，得到闭环系统状态方程

该闭环系统的特征方程是det（2Z—4）=7+（3+勺）4+（2+左0）

期望的闭环特征方程是（2+l-j）（2+l+j）=22+22+2

通过22+（3+自）2+（2+左0）=矛+22+2

可得3+及=22+左o=2

从上式可解出k、=—1左0+0

因此，要设计的极点配置状态反馈控制器是w=[o1

七、（10分）证明：等价的状态空间模型具有相同的能控性。

证明对状态空间模型

它的等价状态空间模型具有形式

其中：

德任意的非奇异变换矩阵。利用以上的关系式，等价状态空间模型的能控性矩阵是

由于矩阵隽非奇异的，故矩阵即，和a具有相同的秩，从而等价的状态空间

模型具有相同的能控性。

八、(15分)在极点配置是控制系统设计中的一种有效方法，请问这种方法能改善控制系

统的哪些性能对系统性能是否也可能产生不利影响如何解决

解：极点配置可以改善系统的动态性能，如调节时间、峰值时间、振荡幅度。

极点配置也有一些负面的影响，特别的，可能使得一个开环无静差的系统通过极点配置后,

其闭环系统产生稳态误差，从而使得系统的稳态性能变差。

改善的方法：针对阶跃输入的系统，通过引进一个积分器来消除跟踪误差，其结构图是

构建增广系统，通过极点配置方法来设计增广系统的状态反馈控制器，从而使得闭环系统不

仅保持期望的动态性能，而且避免了稳态误差的出现。

《现代控制理论》复习题2

一、(10分，每小题2分)试判断以下结论的正确性，若结论是正确的，则在其左边的括号

里打V,反之打X。

(x)1.对一个系统，只能选取一组状态变量；

(V)2.由状态转移矩阵可以决定系统状态方程的状态矩阵，进而决定系统的动态特性；

(x)3.若传递函数G(s)=C(sl-A)-1B存在零极相消，则对应的状态空间模型描述的

系统是不能控不能观的；

(x)4.若一个系统是李雅普诺夫意义下稳定的，则该系统在任意平衡状态处都是稳定

的；

(V)5.状态反馈不改变系统的能控性。

二、(20分)已知系统的传递函数为

(1)采用串联分解方式，给出其状态空间模型，并画出对应的状态变量图；

(2)采用并联分解方式，给出其状态空间模型，并画出对应的状态变量图。

答:(1)将G(s)写成以下形式:

这相当于两个环节一二和至掌串连，它们的状态空间模型分别为：

s+3s+5

兑]=-3%]+u=—5x,+%

〈和《

%[y=-5X2+«,

由于必=%,故可得给定传递函数的状态空间实现是：

将其写成矩阵向量的形式，可得：

对应的状态变量图为：

串连分解所得状态空间实现的状态变量图

(2)将G(s)写成以下形式：

它可以看成是两个环节-工三和三的并联，每一个环节的状态空间模型分别为：

和

由此可得原传递函数的状态空间实现：

进一步写成状态向量的形式，可得：

对应的状态变量图为：

并连分解所得状态空间实现的状态变量图

三、(20分)试介绍求解线性定常系统状态转移矩阵的方法，并以一种方法和一个数值例

子为例，求解线性定常系统的状态转移矩阵；

答：求解状态转移矩阵的方法有：

方法一直接计算法：

根据状态转移矩阵的定义

来直接计算，只适合一些特殊矩阵4

方法二通过线性变换计算状态转移矩阵，设法通过线性变换，将矩阵Z变换成对角矩阵或

约当矩阵，进而利用方法得到要求的状态转移矩阵。

A,l

方法三拉普拉斯变换法：e=L7[(sI-A)-']o

方法四凯莱-哈密尔顿方法

根据凯莱-哈密尔顿定理和，可导出具有以下形式：

其中的%⑺，%（。，…%_i⑺均是时间1的标量函数。根据矩阵/有心不同特征值

和有重特征值的情况，可以分别确定这些系数。

举例：利用拉普拉斯变换法计算由状态矩阵

所确定的自治系统的状态转移矩阵。由于

故

四、（10分）解释状态能观性的含义，给出能观性的判别条件，并举例说明之。

答：状态能观性的含义：状态能观性反映了通过系统的输出对系统状态的识别能力，对一个

零输入的系统，若它是能观的，则可以通过一段时间内的测量输出来估计之前某个时刻的系

统状态。

状态能观的判别方法：

对于小介系统

-c-

CA

1.若其能观性矩阵「°=列满秩，则系统完全能观

GA"）

2.若系统的能观格拉姆矩阵

非奇异，则系统完全能观。

举例：

对于系统

其能观性矩阵

的秩为2,即是列满秩的，故系统是能观的。

五、（20分）对一个由状态空间模型描述的系统，试回答:

(1)能够通过状态反馈实现任意极点配置的条件是什么

(2)简单叙述两种极点配置状态反馈控制器的设计方法；

(3)试通过数值例子说明极点配置状态反馈控制器的设计。

答：(1)能够通过状态反馈实现任意极点配置的条件：系统是能控的。

(2)极点配置状态反馈控制器的设计方法有直接法、变换法、爰克曼公式法。

①直接法

验证系统的能控性，若系统能控，则进行以下设计。

设状态反馈控制器”=依，相应的闭环矩阵是/8K,闭环系统的特征多项式为

由期望极点4,…,凡可得期望的闭环特征多项式

通过让以上两个特征多项式相等，可以列出一组以控制器参数为变量的线性方程组，由这组

线性方程可以求出极点配置状态反馈的增益矩阵(

②变换法

验证系统的能控性，若系统能控，则进行以下设计。

将状态空间模型转化为能控标准型，相应的状态变换矩阵

设期望的特征多项式为

而能控标准型的特征多项式为

所以，状态反馈控制器增益矩阵是

(3)采用直接法来说明极点配置状态反馈控制器的设计

考虑以下系统

设计一个状态反馈控制器，使闭环系统极点为2和3。

该状态空间模型的能控性矩阵为

该能控性矩阵是行满秩的，所以系统能控。

设状态反馈控制器

将其代入系统状态方程中，得到闭环系统状态方程

其特征多项式为

由期望的闭环极点2和3,可得闭环特征多项式

通过

可得

由此方程组得到

因此，要设计的极点配置状态反馈控制器

六、(20分)给定系统状态空间模型尤=Ac

(1)试问如何判断该系统在李雅普诺夫意义下的稳定性

(2)试通过一个例子说明您给出的方法；

(3)给出李雅普诺夫稳定性定理的物理解释。

答：

(1)给定的系统状态空间模型戈=4是一个线性时不变系统，根据线性时不变系统稳定

性的李雅普诺夫定理，该系统渐近稳定的充分必要条件是：对任意给定的对称正定矩阵Q,

矩阵方程ArP+PA=-。有一个对称正定解矩阵尺因此，通过求解矩阵方程

ArP+PA=-Q,若能得到一个对称正定解矩阵P,则系统是稳定的；若得不到对称正定解

矩阵户，则系统是不稳定的。一般的，可以选取Q=L

(2)举例：考虑由以下状态方程描述的二阶线性时不变系统：

原点是该系统的惟一平衡状态。求解李雅普诺夫方程：ArP+PA=-Q,其中的未知矩阵

将矩阵/和玲勺表示式代入李雅普诺夫方程中，可得

为了计算简单，选取Q=21,则从以上矩阵方程可得：

求解该线性方程组，可得：

即

判断可得矩阵婚正定的。因此该系统是渐近稳定的。

(3)李雅普诺夫稳定性定理的物理意义：针对一个动态系统和确定的平衡状态，通过分析

该系统运动过程中能量的变化来判断系统的稳定性。具体地说，就是构造一个反映系统运动

过程中能量变化的虚拟能量函数，沿系统的运动轨迹，通过该能量函数关于时间导数的取值

来判断系统能量在运动过程中是否减少，若该导数值都是小于零的，则表明系统能量随着时

间的增长是减少的，直至消耗殆尽，表明在系统运动上，就是系统运动逐步趋向平缓，直至

在平衡状态处稳定下来，这就是李雅普诺夫意义下的稳定性

《现代控制理论》复习题3

一、(10分，每小题2分)试判断以下结论的正确性，若结论是正确的，则在其左边的括号

里打V,反之打义。

(x)1.具有对角型状态矩阵的状态空间模型描述的系统可以看成是由多个一阶环节串

联组成的系统；

(x)2.要使得观测器估计的状态尽可能快地逼近系统的实际状态，观测器的极点应该

比系统极点快10倍以上；

(x)3.若传递函数G(s)=C(sl-A)-1B存在零极相消，则对应状态空间模型描述的系

统是不能控的；

(V)4.若线性系统是李雅普诺夫意义下稳定的，则它是大范围渐近稳定的；

(V)5.若线性二次型最优控制问题有解，则可以得到一个稳定化状态反馈控制器。

二、(20分)(1)如何由一个传递函数来给出其对应的状态空间模型，试简述其解决思路

2s+5

(2)给出一个二阶传递函数G(s)=；——二的两种状态空间实现。

(s+3)(s+5)

解：(1)单输入单输出线性时不变系统传递函数的一般形式是

若2#0，则通过长除法，传递函数G(s)总可以转化成

将

分解成等效的两个特殊环节的串联：

可得一个状态空间实现

串联法其思想是将一个〃阶的传递函数分解成若干低阶传递函数的乘积，然后写出这些低

阶传递函数的状态空间实现，最后利用串联关系，写出原来系统的状态空间模型。

并联法其的思路是把一个复杂的传递函数分解成若干低阶传递函数的和，然后对每个低阶

传递函数确定其状态空间实现，最后根据并联关系给出原来传递函数的状态空间实现。

(2)方法一：将G(s)重新写成下述形式：

每一个环节的状态空间模型分别为：

又因为必=%,所以

因此，若采用串联分解方式，则系统的状态空间模型为：

方法二：将G(s)重新写成下述形式：

每一个环节的状态空间模型分别为：

又由于

因此，若采用并联分解方式，则系统的状态空间模型为：

方法三：将G(s)重新写成下述形式：

则系统的状态空间模型为：

评分标准：问题(1)10分，由一个传递函数转换为状态空间模型思路清晰，方法正确10

分；问题(2)10分，两种状态空间实现方法各5分。

三、(20分)(1)试问状态转移矩阵的意义是什么

(2)状态转移矩阵是否包含了对应自治系统的全部信息

(3)介绍两种求解线性定常系统状态转移矩阵的方法；

(4)计算系统兑=01的状态转移矩阵。

-2—3

解：(1)状态转移矩阵的意义是决定状态沿着轨线从初始状态转移到下一个状态的规律，

即初始状态好状态转移矩阵中(力。的作用下，出寸刻的初始状态逐过时间活后转移到了时

刻珀勺状态x(仇

(2)状态转移矩阵包含了对应自治系统的全部信息；对于自治系统

(3)拉普拉斯变换法、凯莱-哈密尔顿法、线性变换法、直接计算法。

方法一直接计算法

根据定义，

我们已经知道上式中的矩阵级数总是收敛的，故可以通过计算该矩阵级数的和来得到所要求

的状态转移矩阵。

方法二线性变换法如果矩阵Z是一个可对角化的矩阵，即存在一个非奇异矩阵r,使得

则

方法三拉普拉斯变换法

方法四凯莱-哈密尔顿法

解一个线性方程组

其系数矩阵的行列式是着名的范德蒙行列式，当人入，入互不相同时，行列式的值不为零，从

而从方程组可得惟一解a(0a，a(九由

可得状态转移矩阵。

(4)方法一：线性变换法，

容易得到系统状态矩阵/的两个特征值是4=-1，4=-2,它们是不相同的，故系

统的矩阵/可以对角化。矩阵/对应与特征值4=-1,为=-2的特征向量是

取变换矩阵

因此，

从而，

方法二：拉普拉斯变换法，由于

故

方法二：凯莱-哈密尔顿法

将状态转移矩阵写成

系统矩阵的特征值是-1和-2,故

解以上线性方程组，可得

因此，

评分标准：每个问题5分。问题（1）状态转移矩阵的意义叙述完整5分；问题（2）判断正

确5分；问题（3）给出两种求解线性定常系统状态转移矩阵的方法5分；问题（3）方法和

结果正确5分。

四、（20分）（1）解释系统状态能控性的含义；

（2）给出能控性的判别条件，并通过一个例子来说明该判别条件的应用；

（3）若一个系统是能控的，则可以在任意短时间内将初始状态转移到任意指定的状态，这

一控制效果在实际中能实现吗为什么

解：（1）对一个能控的状态，总存在一个控制律，使得在该控制律作用下，系统从此状态

出发，经有限时间后转移到零状态。

（2）通过检验能控性判别矩阵由AB…A"%］是否行满秩来判别线性时不变系统的

能控性。若能控性判别矩阵是行满秩的，则系统是能控的。

试判别由以下状态方程描述的系统的能控性：

系统的能控性判别矩阵

由于

即矩阵「［4用不是满秩的，该系统不是状态完全能控的。

（3）若一个系统是能控的，则可以在任意短时间内将初始状态转移到任意指定的状态，这

一控制效果在实际中难以实现，磁小，则控制律的参数越大，从而导致控制信号的幅值很

大，这要求执行器的调节幅度要很大，从而使得在有限时间内完成这一控制作用所需要消耗

的能量也很大。由于在实际过程中，执行器的调节幅度总是有限的（如阀门的开度等），能

量供应也是有限制的。

评分标准：问题（1）系统状态能控性的含义叙述完整6分；问题（2）能控性的判别条件4分,

举例3分；问题（3）判断正确3分，原因分析正确4分。

五、（20分）（1）能够通过状态反馈实现任意极点配置的条件是什么

（2）已知被控对象的状态空间模型为

设计状态反馈控制器，使得闭环极点为4和5。

（3）极点配置是否会影响系统的稳态性能若会的话，如何克服试简单叙述之

解：（1）能够通过状态反馈实现任意极点配置的条件是系统状态能控。

（2）由于给出的状态空间模型是能控标准形，因此，系统是能控的。根据所期望的闭环

极点是4和5,可得期望的闭环特征多项式是

因此，所要设计的状态反馈增益矩阵是

相应的闭环系统状态矩阵是

闭环传递函数是

评分标准：问题（1）给出通过状态反馈实现任意极点配置的条件6分；问题（2）状态反馈

控制器设计方法正确7分；问题（3）判断正确3分，叙述克服方法4分。

六、（10分）（1）叙述线性时不变系统的李雅普诺夫稳定性定理；

--11-

（2）利用李雅普诺夫稳定性定理判断系统尤=%的稳定性。

0—1

解：（1）连续时间线性时不变系统的李雅普诺夫稳定性定理；线性时不变系统尤=心在

平衡点%=0处渐近稳定的充分必要条件是：对任意给定的对称正定矩阵Q,存在一个对称

正定矩阵。，使得矩阵方程ArP+PA=-Q成立。

离散时间线性时不变系统的李雅普诺夫稳定性定理；线性时不变系统％（左+1）=A道外在平

衡点/=0处渐近稳定的充分必要条件是：对任意给定的对称正定矩阵Q,矩阵方程

ArPA-P=-Q

存在对称正定解矩阵2

（2）原点是系统的惟一平衡状态。求解以下的李雅普诺夫方程

其中的未知对称矩阵

将矩阵力和冷勺表示式代入李雅普诺夫方程中，可得

进一步将以上矩阵方程展开，可得联立方程组

应用线性方程组的求解方法，可从上式解出夕、成口夕，从而可得矩阵。：

根据矩阵正定性判别的塞尔维斯特方法，可得

故矩阵福正定的。因此，系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。

评分标准：问题（1）完整叙述线性时不变系统的李雅普诺夫稳定性定理5分；问题（2）

稳定性判断方法和结果正确5分。

《现代控制理论》复习题4

一、（10分，每小题1分）试判断以下结论的正确性，若结论是正确的，则在其左边的括号

里打v,反之打X。

(v)1.相比于经典控制理论，现代控制理论的一个显着优点是可以用时域法直接进行系

统的分析和设计。

(V)2.传递函数的状态空间实现不唯一的一个主要原因是状态变量选取不唯一。

(x)3.状态变量是用于完全描述系统动态行为的一组变量，因此都是具有物理意义。

(x)4.输出变量是状态变量的部分信息，因此一个系统状态能控意味着系统输出能控。

(V)5.等价的状态空间模型具有相同的传递函数。

(x)6.互为对偶的状态空间模型具有相同的能控性。

(x)7.一个系统的平衡状态可能有多个，因此系统的李雅普诺夫稳定性与系统受扰前

所处的平衡位置无关。

(V)8.若一线性定常系统的平衡状态是渐近稳定的，则从系统的任意一个状态出发的状

态轨迹随着时间的推移都将收敛到该平衡状态。

(x)9.反馈控制可改变系统的稳定性、动态性能，但不改变系统的能控性和能观性。

(x)10.如果一个系统的李雅普诺夫函数确实不存在，那么我们就可以断定该系统是不

稳定的。

二、(15分)建立一个合理的系统模型是进行系统分析和设计的基础。已知一单输入单输

出线性定常系统的微分方程为：

(1)采用串联分解方式，给出其状态空间模型，并画出对应的状态变量图；(7分+3分)

(2)归纳总结上述的实现过程，试简述由一个系统的〃阶微分方程建立系统状态空间模型

的思路。(5分)

解：(1)方法一：

由微分方程可得

令

每一个环节的状态空间模型分别为：

又因为兄=U1,所以

因此，采用串联分解方式可得系统的状态空间模型为：

对应的状态变量图为：

方法二：

由微分方程可得

每一个环节的状态空间模型分别为：

又因为8=5,所以

因此，采用串联分解方式可得系统的状态空间模型为：

对应的状态变量图为

(2)单输入单输出线性时不变系统传递函数的一般形式是

若b0,则通过长除法，传递函数G(s)总可以转化成

将传递函数49/式s)分解成若干低阶(1阶)传递函数的乘积，然后根据能控标准型或能观标准

型写出这些低阶传递函数的状态空间实现，最后利用串联关系，写出原来系统的状态空间模

型。

三、(10分)系统的状态转移矩阵不仅包含了对应自治系统的全部信息，而且在线性控制

系统的分析、设计中具有重要的作用。已知系统的状态转移矩阵如下：

(1)试给出对应自治系统的全部信息；(5分)

(2)试列举状态转移矩阵的基本性质，并简述其意义。(5分)

解：(1)一个自治系统的全部信息由其状态矩阵力描述，可由状态转移矩阵0("角定一线

性定常系统的状态矩阵4

对任意的乙满足d>«)=A①(/),而

对等式中⑺=4D⑺取t=0,并利用60)=/,则可得状态矩阵/

(2)状态转移矩阵的基本性质：

0(0)=1,0(0=A①(。，包含对应系统自由运动的全部信息；

对任意的怀生，满足0a+$)=叭•叭耳,即利用状态转移矩阵可以从任意指定的初始

时刻％的状态M“出发，以确定任意时刻处的状态;

对任意的上满足收犷1=。(冶,即可以由当前的状态信息确定以前的状态信息。

四、(20分)实际被控系统通常是连续时间系统，但计算机控制却是一种基于离散模型的

控制，因此一种方法是对连续时间系统做离散化。那么请问

(1)一个能控能观的连续时间系统，其离散化后的状态空间模型是否仍然保持能控能观性

(2分)

11

(2)以如下线性定常系统为例：上』0L+[Ly=[01k说明你的理由以支持你

-1ojL°J-

的观点。(10分)

(3)令采样周期KTT/2初始状态卜叫』1]为，求双同，使得(2)中离散化状态空间模

X2(O)JL1J

型在第2个采样时刻转移到原点。(8分)

解：(1)不一定。

(2)连续系统的状态空间模型是能控标准形，故系统是能控的。将状态方程离散化，设采

样周期为T,系统的状态转移矩阵为

根据，G(T)==①(T),H(T)=可得到离散化状态方程，此时

J0

因此，离散化状态空间模型为

则离散化系统的能控性矩阵为

所以，当sin2心2sinT,即7=kn优=0,1,2,…)时，离散化系统是不能控的；当行如

(攵=0,1,2…)时，离散化系统是能控的。同理，离散化系统的能观性矩阵为

所以，sin7=0，即7=如伙0=,1,2,...）时,离散化系统是不能观的；当不如仅=0,1,2...）

时，离散化系统是能观的。因此，一个能控能观的连续时间系统，其离散化后的状态空间模

型不一定仍然是能控能观的，主要取决与采样周期用勺选择。

（3）当采样周期K11/2时，离散化状态空间模型为

可得

将式（a）代入式（b）得

即

整理可得

五、（10分）证明：状态反馈不改变被控系统的能控性。

证明一：采用能控性定义证明，具体见教材P125.

证明二：考虑被控系统（45C。）,则状态反馈后得到闭环系统叉,其状态空间模型为

开环系统夕的能控性矩阵为

闭环系统Sg勺能控性矩阵为

由于

以此类推，（A—3K）'"5总可以写成AmlB,AB,B的线性组合。因此，存在一个适当

非奇异的矩阵〃，使得

由此可得：若rank（r；［A,B］）=〃,即有“线性无关的列向量，则几［（4-3段,3］也有〃

个线性无关的列向量，故ranR「J（A—5&,5］）=",命题得证。

六、（20分）双足直立机器人可以近似为一个倒立摆装置，如图所示。假设倒立摆系统的

一个平衡点线性化状态空间模型如下：

其中，状态变量尤=U?0团「，虔小车的位移，婚摆杆的偏移角，碍作用在小车

上的动力。试回答

（1）双足直立机器人在行走过程中被人推了一把而偏离垂直面，那么根据倒立摆原理，请

问双足直立机器人在该扰动推力消失后还能回到垂直面位置吗（2分）

（2）如果不能，那么请你从控制学的角度，给出两种能够使双足直立机器人在扰动推力消

失后回到垂直面位置的方法。（4分）

（3）请结合倒立摆模型，简单叙述双足直立机器人能控性的含义。（4分）

（4）在状态反馈控制器设计中，需要用到系统的所有状态信息，但根据倒立摆原理，可测

量的状态信息只有水平移动的位移y,那么你有什么方法可以实现这个状态反馈控制器的设

计你所用方法的条件是什么依据是什么请结合倒立摆模型，给出你使用方法的实现过程。

（10分）

答：（1）不能，因为倒立摆是一个开环不稳定系统；

（2）对于给定的倒立摆模型，是一线性时不变系统，因此可以用如下方法使双足直立机器

人在扰动推力消失后回到垂直面位置（即稳定化控制器设计）：极点配置方法；基于李雅普

诺夫稳定性理论的直接设计法；线性二次型最优控制器设计方法。

（3）当双足直立机器人由于受初始扰动而稍稍偏离垂直面位置时，总可以通过对其施加一

个适当的外力，使得将它推回到垂直面位置（将非零的初始状态转移到零状态）。

（4）如果被控系统是状态能观的，那么通过设计（降维）状态观测器将不可测量状态变量

观测输出，再应用线性定常系统的分离性原理，实现状态反馈控制器设计。结合倒立摆模型,

则检验上述状态空间模型的能观性；系统完全能观，则对系统设计状态观测器（或对不可测

量子系统夕,。和&设计降维状态观测器）x;应用线