《振动理论》课后习题答案

1-1一个物体放在水平台面上，当台面沿铅垂方向作频率为5Hz的简谐振动

时，要使物体不跳离平台，对台面的振幅应有何限制？

解：物体与桌面保持相同的运动，知桌面的运动为

x=/sin如x=-Aa>2sincot

x^sinlOntsinlO^.

由物体的受力分析，N=0(极限状态)

mg

物体不跳离平台的条件为：|联区g;

A<g

既有=g.一标

../vj月4?~=9.93nun

匕J=41。兀(IOTC)2

由题意可知/=$Hz,得到°=2棚=10k，Rw9.93mm。

1-2有一作简谐振动的物体，它通过距离平衡位置为勺=5cm及4=10cm

时的速度分别为匕=20cm/s及为=8cm/s,求其振动周期、振幅和最大速度。

解：

设该简谐振动的方程为*="sin(a+①.4Gcos(m+a)二式平方和为

卜十三

A=

将数据代入上式：

A=J§2+(-)2A=lw2+(-)3

V0.V⑦

联立求解得

{=2.1221/=2.964

A=10.69cm；/11/s；T=//S

当工=0时，v取最大，即：

10.69

得：=22.63m/s

答：振动周期为2.964s；振幅为10.69cm；最大速度为22.63m/s。

1-3一个机器内某零件的振动规律为

x=O.5sin0Z+0.3cosx的单位是cm,。=10k1/s。这个振

动是否为简谐振动?试求它的振幅、最大速度及最大加速度，并

用旋转矢量表示这三者之间的关系。

解:

x=0.5sinSZ+0.3cosa>t

=0.583(cos30.95°sin0£+sin30.95°cos(»Z)

=0.583sin(^+30.95°)

振幅A=0.583

R=0.583。血(0£+120.95。)

=0.583。2sm(如+120.95。)

最大速度=0.583a=18.3cm/s

最大加速度乜=0.583a2=574.6cm2/s

1-4某仪器的振动规律为x=asin0£+3asin3Gj此振动是否为简谐振动?

试用X7坐标画出运动图。

解：因为3产30)2=33,3仔32.又因为Tl=2五/312=2兀/33,所以，合成运动为

周期为T=2兀/33的非简谐运动。两个不同频率的简谐振动合成不是简谐振动，当频率比为

有理数时，可合称为周期振动，合成振动的周期是两个简谐振动周期的最小公倍数。

1-5已知以复数表示的两个简谐振动分别为%'和5e'",试求它们的合

成的复数表示式，并写出其实部与虚部。

解：两简谐振动分别为e,e2,

则：&=3cos5t+3isin5t

7T穴

2(5irt+y)——

g=5cos(5t+2)+3isin(5kt+2)

怦引+3e3).x一产+*)

或x=5e

其合成振幅为：/=巧手=取

x(»)

5

题I-6图

其合成振动频率为5^t,初相位为：^=arctan3

则他们的合成振动为：e,实部：cos(5灯t+arctan3)

5

虚部：取sin(5"t+arctan3)

1-6将题1-6图的三角波展为傅里叶级数。

解：三角波一个周期内函数x(t)可表示为

--/+1.7T

,、冗0<z<—

X。)=40)

公•，开，)2开

—/-I—<t<—

I8。0

27r2TT

L-----G)y------G)

6,iT

由式得

2r

aK=—Jx(Z)cos甩

丁o

a3

x©-次cos%劭£+&sin%劭。

2»-i

12®114(1.1c

COS0)^4--yCOS50)^4--yCOS5^/+・・・

5+^JL以"S力c°s〃W=5+出\35

1-7将题1-7图的锯齿波展为傅氏级数，并画出频谱图。

p(1)l

解：锯齿波一个周期内函数尸⑴可表示为

•1-7图

即《°-z-V

丁卫2开

=--=0

0）T

由式得

红

。。=劣产©成=/［合成=1

10"0乙

2J

aK=—JP(t)cos=—j—tcosn^tdt=0

Toko2k

2x

2r。fG^1

纥=—产(£)sinna)^dt-———tsinna)^tat--

Tono2/rn7l

n=l,2,3...

于是，得Mt）的傅氏级数

«g11gl.

x（E）=」+工（即cos加的£+&sin盟的。=大一一工—sinna）^t

272不»,u5〃

A=存+>=，tan6

1-8将题1-8图的三角波展为复数傅氏级数，并画出频谱图。

p（t）u

.「八.n、v八V二

留1-8图

也t(。金二)

T4

4PT?

一拳"2吊

4PXT

-^-t-4PQ-^-<t<T

P⑴平均值为o

«o=°

2［二APX

a*==V--tcos〃画比一zosnMdt

丁巴T

2(二4月

九=于4七3一-/sinna^dt--27Qsinna^dt

2n

0=—

T

£4兄

r|V..-/,COS?3otdt-0

"1T

-薰停Z-2二•zoznatdt

8户r—4

—Jrtdsin与戏+dsin正面

力_2A伍

&一5〒

T

~4；

4-

8月产2力4片［也

—x-|7---dcOS?3•-----|丁dCOSHG)t

?遇na>Tnco^

4片,n7F4用力2开

=.今sin——-----cos----E

TT«22TmT+

314%31

tcosnMsin加。一T-sinna)-Tcosns—T-cos加0—T

T2na)\A4Tno)44)

a£

产⑷=un+〉，3”cos/改+8*sin/函)

2拒」

将％4代入整理得

三(-44mt

㈠鬲h1nMe

，

O-------------±-------71-9求题1-9图的矩形脉冲的频谱函数及画Oh

频谱图形。疆19溺

ai-ioM解：

阵）|

MD可表示为

XN1\脉冲频谱图形

-0-co</<0

x")=<AQ0<1Z<14

04vZv+oo

由于

2714716冗8冗

G{a}=［削eT"d?

叮q二

得：

C?(G)=J

0

即：

G3)=j^(eTs-l)

9.Isin—

|G(㈤)卜sin=啪,

d)2㈤勺

1~

jh-io求题i-io图的半正弦波的频谱函数并画频谱

图形。

/<0

/泰）

0<Z<

oI

p&)=<生sin2的1

解：I。'一2fo

频谱函数:

G(a)=JP(/)e-/rofdt

0

1

玩

=4Jsin2班i(cosm-jsinGt汝

o

i

pF

—j{[sin(2^o+g)+sin(2班一力]一j[cos(2班一㈤》一cos(2成十时

2o

i

T—7----cos(2航+G》―――----COS(2成一G)

2成+加2成-㈤

4

1

一sin(2班——sin(2班+城

.一12稿一公2班+G

」Jo

凡c°s升Y1n力+痂EH沅-3丽J

2(2矶+(a)

l+e」金

4n外尸0cce公

口(砌=2兀1舄

(2

Q冗无y-公兀店34f0

2.1一弹簧质量系统沿光滑斜面作自由振动,如图T2-1所示。已知，a=30°,m=1kg,

k=49N/cm,开始运动时弹簧无伸长，速度为零，求系统的运动规律。

mg

图T2-1答案图T2-1

解:

.1x9.8x—

^mgs\na2八,

m^sina-kx^,x=——-----=------------=0.1cm

0k49

x=A0cos卯=-0.lcos7Ocm

2.1图E2.2所示系统中，已知加，c,h，七,4和口。求系统动力学方程和稳态响应。

mi

t

k2XkKC2X

m

iii卜

勺(x-xjc,(x-x,)

图E2.1答案图E2.1(a)答案图E2.1(b)

解：

等价于分别为内和电的响应之和。先考虑王，此时右端固结，系统等价为图(a),受

力为图(b),故：

mx+{k[+&卜+(。+。2片=+c]x

履+a+Zix=%Asin4+GA但COSGJ(1)

,,；占+占

c=q+。2，k=k、+七,(o-------

nm

(1)的解可参照释义(2.56),为：

攵]Asin(绅一q)q4scos(助/—4)

kJ(l-s；)；+(2初2+kJ(i—s]+(2绅(2)

其中:

=&，aw

①”1产一S

I_J(21+&)2+(q+。2)2例~

CCD1

Jl+(2%)2=1+

kx+k2k]+k2

J(12)+(2孕)2

故（2）为:

匕4sin(4Z—4)+GA倒COSG一4)

阳=("

yj(k]+&2-m啰；)+(C]+。2)%：

-----勺¥冈----------sin(69/_a+a)

A22

彳+42一机G：j+(q+C2)69j

n—_T2/一07叫/()+/)_?f(4+。2弧

12—"g2-'g772

1-5mK,+com

]①、K2-x

k}+&2

收

考虑到々(f)的影响，则叠加后的x(。为：

削江-"Viiisin|(Df-tg~'———2筲+fg-l_L_L

<='J(:+女2-m欣『+(G+。2)2说IK+女2一①im冗)

2.2如图T2-2所示，重物叫悬挂在刚度为k的弹簧上并处于静平衡位置，另一重物吗

从高度为〃处自由下落到叱上而无弹跳。求必下降的最大距离和两物体碰撞后的运动规律。

平衡位置

W,

图T2-2答案图T2-2

解:

叼

?=v2=y[2gh

动量守恒:

W,叱+W,

—V2=----------^V12-匕2=

gg瑞海

平衡位置:

W=kx,

xlk

叱+吗

叱+叱=咫2,X\2

故:

故:

x=-X。cosa)nt+-sincont

①〃

=-XoCOS69/+—sincont

叫

2.4在图E2.4所示系统中，已知加，占，k一丹和①，初始时物块静止且两弹簧均为

原长。求物块运动规律。

降k2(x2-Xl)k2(x2-xt)

一]mI

Fosincotnix.

图E2.4答案图E2.4

解：

取坐标轴X,和%,对连接点A列平衡方程:

_&玉+&(与一xJ+Ksind=0

即：

(匕+&)叫=右々+片sina(1)

对m列运动微分方程：

tnx2=-k2(x2-%)

即：

nvc2+k2x2-e耳(2)

由(1),(2)消去再得:

mx2+A'2%=，。及2sincot(3)

~kx+k2%]+k2

故:

2kjg

①〃根(匕+右)

由(3)得:

、

片)々2.CD.

尤2《)=

sin69/-----sina)nt

m^+k^-co1)叫)

2.5在图E2.3所示系统中，己知机，c,k,4和小且尸0时，x=x0,无=%，求系

统响应。验证系统响应为对初值的响应和零初值下对激励力响应的叠加。

kF()COS69/

—D一〃1

c

图E2.3

解:

4(a

x«)=e~°'(Ccoscoj+£>sina>dt)+Aco^cot-6)

一",i,5名

kJ(—2y+(2.)21-5

M。)=$=C+Acos0=C=$一Acos0

x(t)=一弛cosa)dt+Dsina>dt)

+Ccodsincodt+Dcodcosa)dt)-Aa)sm(a)t-6)

zee.n-v+^<M)CAosin。

INx(0)=%=-Jq)C+Da)d+A<ysin60=D=------------------

求出C,。后，代入上面第一个方程即可得。

2.7求图T2-7中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是匕及23,悬臂梁的质量

忽略不计。

质

量

图T2-7答案图T2-7

解:

匕和左2为串联，等效刚度为：1=一皿。（因为总变形为求和）

k]~l-k]

匕2和占为并联（因为匕2的变形等于网的变形），则:

Q=附+B=冷+—强”+她

K)+公％]+A2

423和4为串联（因为总变形为求和），故:

左123”4kk2k4+k1k3k4+k2k3k4

%1

占23+24桃2+卜屈+k2k3+攵色+k2k4

故:

ke

砥

m

2.7由一对带偏心质量的等速反向旋转齿轮构成的振动机械安装在弹簧和阻尼器构成

的支承上，如图E2.7所示。当齿轮转动角速度为⑦时，偏心质量惯性力在垂直方向大小为

mec^sincot.已知偏心重W=125.5N,偏心距e=15.0cm,支承弹簧总刚度系数Z=967.7

N/cm,测得垂直方向共振振幅X,„=1.07cm,远离共振时垂直振幅趋近常值X。=0.32cm。

求支承阻尼器的阻尼比及在3=300〃min运行时机器的垂直振幅。

图E2.7

解:

x(f)=mesin(m-8),0=tg~]

/(1丫+(2初2

S=1时共振，振幅为:

丝

—=1.07cm(1)

1M

远离共振点时，振幅为:

me

X?0.32(727(2)

由⑵=Y

me—=i=0.15

me：-X22X]2X.

k

69=300r/min,g=色

~M

电

故:

=3.8x1(f3加

MJ(—2)+3)2

2.9如图T2-9所示，一质量相连接在一刚性杆上，杆的质量忽略不计，求下列情况

系统作垂直振动的固有频率：

(1)振动过程中杆被约束保持水平位置；

(2)杆可以在铅锤平面内微幅转动；

(3)比较上述两种情况中哪种的固有频率较高，并说明理由。

图T2-9答案图T2-9

（2）微幅转动:

_12mg+4./#1一必2加且

（，1+，2）*|I、+，2（，1+ijk/z

=12k2&+，2）+l；k[—1112k2

I：k、+1；k）

（什力贴mg

故:

k=（」+4）卜岛

e—/%+佻

0=2

Vin

2.10求图T2-10所示系统的固有频率,刚性杆的质量忽略不计。

图T2-10答案图T2-10

解:

小的位置：x=x+x=+x

2AhA

mgl

mgl-Fa,

xaky

xi_aamgl

=7M=

XA701kl

mgmgt(1r)

/.x=x2+xA—4-^—=—4-^—\mg

(女a

k2ak{2K)

a2k+l2k

{2mg

a~kyk2

2瓦

ak1k2

2.11图T2-11所示是一个倒置的摆。摆球质量为相，刚杆质量可忽略，每个弹簧的刚

度为仁

2

(1)求倒摆作微幅振动时的固有频率；

(2)摆球质量m为0.9kg时，测得频率(力)为1.5Hz,胴为1.8kg时，测得频率为0.75

Hz,问摆球质量为多少千克时恰使系统处于不稳定平衡状态？

解：(1)

T=-I02=-ml2O2

22

U=一cose)

22

=^ka0~62=L^/ca-mg陋2

利用4nax="max'4nax=①fz

(2)

若取下面为平衡位置，求解如下:

T=-I02=-ml2O2

22

122I,0

+mglcos0=-ka0^+m^Il-2sin—

^kcrO2+mgl--^mgl02=[kcr-mg^9~+mgl

,（T+U）=O,2mt06+20{kcr-mgl）0=O

mtO+[k£T-mgl^0=O

kcr-mgI

①“=mF

2.17图T2-17所示的系统中，四个弹簧均未受力，k1=k2=k3=k4=k,试问:

（1）若将支承缓慢撤去，质量块将下落多少距离？

（2）若将支承突然撤去，质量块又将下落多少距离？

a

⑵削=x°c°s咏％=2/=等

2.19如图T2-19所示，质量为他的均质圆盘在水平面上可作无滑动的滚动，鼓轮绕轴

的转动惯量为/,忽略绳子的弹性、质量及各轴承间的摩擦力，求此系统的固有频率。

图T2-19

解：

系统动能为：

T_1.21/xVfl.21（12丫工丫

221Rj[2-2（2-kr）

ifI3Y2

=—JTLi-\-----7H-----X

2「-2,

=3/2

系统动能为:

根据:Tyx—CDx

max=max'max"51人max

,.R：

22+:不

八2_________&

，~1―3―

in,-\—+—

iR；2”

2.20如图T2-20所示，刚性曲臂绕支点的转动惯量为/（）,求系统的固有频率.

解：

系统动能为：

T='o/班（历八；？3）2

=g（/0+肛/+时?炉

系统动能为：

V=g左（%）2+（&（4）2+（右（例）2

=3仅用2+&/2+k3b2卜2

根据：4ax=匕ax，©nax=3凡ax

,k.a2+k,l2+kJb2

a>n=--------3-----

/0+m1a-+m2l

2.24一长度为/、质量为，”的均匀刚性杆钱接于。点并以弹簧和粘性阻尼器支承，如

图T2-24所示。写出运动微分方程，并求临界阻尼系数和无阻尼固有频率的表达式。

图T2-24答案图T2-24

解:

利用动量矩方程，有:

J0=-kOa-a-C01-I,J=—ml~

3

+3c/2d+3履2,=0

3履2

3c/2

菽=2她，A

223koi_2a\mk

c=-ma>„=—m.

3"3行

2.25图T2-25所示的系统中，刚杆质量不计，写出运动微分方程，并求临界阻尼系数

及阻尼固有频率。

图T2-25答案图T2-25

解:

m6lI+c6a-a+kObb=0

ml20+ca20+kb20=O

0=0

由J=]=>jyfmk

2.26图T2-26所示的系统中,加=lkg,k=144N/m,c=48N・s/m,/1=/=0.49m,

Z2=0.5I,6=0.25/,不计刚杆质量，求无阻尼固有频率及阻尼，。

图T2-26答案图T2-25

解：

受力如答案图T2-26。对。点取力矩平衡，有：

用W+C贪4+%42"2=0

m^+cl^+kl；0=Q

m0+-c0+-k0=O

164

2Ik“

=>co=------=36

n4m

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L

应=2物

m

c1

=><=————=0.25

16m2<y

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