第02讲排列组合（教师版）

第02讲排列组合（核心考点精讲精练）1.4年真题考点分布4年考情考题示例考点分析关联考点2023年新I卷，第13题,5分实际问题中的组合计数问题分类加法计数原理2023年新Ⅱ卷，第3题,5分实际问题中的组合计数问题分步乘法计数原理及简单应用抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算2023年全国甲卷（理），第9题,5分排列数的计算分类加法计数原理2023年全国乙卷（理），第7题,5分排列数的计算实际问题中的组合计数问题分步乘法计数原理及简单应用2022年新I卷，第5题,5分实际问题中的组合计数问题计算古典概型问题的概率2022年新Ⅱ卷，第5题,5分元素(位置)有限制的排列问题相邻问题的排列问题无2022年全国甲卷（理），第15题,5分组合计数问题计算古典概型问题的概率2022年全国乙卷（理），第13题,5分实际问题中的组合计数问题计算古典概型问题的概率2021年全国甲卷（理），第10题,5分不相邻排列问题计算古典概型问题的概率2021年全国乙卷（理），第6题,5分排列组合综合无2020年新I卷，第3题,5分排列组合综合无2020年新Ⅱ卷，第6题,5分分组分配问题无2020年全国乙卷（理），第14题,5分相邻问题的排列问题分步乘法计数原理及简单应用2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等，分值为5分【备考策略】1.理解、掌握排列与组合的定义2.掌握排列数与组合数的性质，会计算排列数与组合数【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，一般会和分类加法原理与分步乘法原理结合在小题中考查，需重点复习知识讲解1．排列、组合的定义排列的定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列组合的定义合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合2．排列数、组合数的定义、公式、性质排列数组合数定义从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)个元素的所有不同排列的个数从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)个元素的所有不同组合的个数公式Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq\f(n！,n－m！)Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))＝eq\f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)性质Aeq\o\al(n,n)＝n！，0！＝1Ceq\o\al(0,n)＝1，Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)，Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n)＝Ceq\o\al(m,n＋1)求解排列应用问题方法汇总直接法把符合条件的排列数直接列式计算优先法优先安排特殊元素或特殊位置捆绑法把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列插空法对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中定序问题除法处理对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列对于某些顺序一定的元素(m个)的排列问题，可先把这些元素与其他元素一起(共n个)进行排列，然后用总排列数Aeq\o\al(n,n)除以m个顺序一定的元素之间的全排列数Aeq\o\al(m,m)，即得到不同排法种eq\f(A\o\al(n,n),A\o\al(m,m))＝Aeq\o\al(n－m,n).间接法正难则反、等价转化的方法分组分配平均分组、部分平均分组1．对不同元素的分配问题(1)对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以Aeq\o\al(n,n)(n为均分的组数)，避免重复计数．(2)对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数．(3)对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．隔板法将个相同元素放入个不同的盒内，且每盒不空，则不同的方法共有种。解决此类问题常用的方法是“隔板法”，因为元素相同，所以只需考虑每个盒子里所含元素个数，则可将这个元素排成一列，共有个空，使用个“挡板”进入空档处，则可将这个元素划分为个区域，刚好对应那个盒子环排问题(1)把个不同的元素围成一个环状，排法总数为(2)个不同的元素围成一圈，个元素相邻，符合条件的排列数为(3)个不同的元素围成一圈，个元素不相邻，符合条件的排列数为涂色问题涂色的规则是“相邻区域涂不同的颜色”，在处理涂色问题时，可按照选择颜色的总数进行分类讨论，每减少一种颜色的使用，便意味着多出一对不相邻的区域涂相同的颜色（还要注意两两不相邻的情况），先列举出所有不相邻区域搭配的可能，再进行涂色即可。考点一、简单排列之排列数计算1．（2023·全国·高三专题练习）若，则（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【分析】根据排列数的计算公式即可求解.【详解】由题意，得，化简可得，解得．故选:B2．（2022·全国·高三专题练习）现从6名学生干部中选出3名同学分别参加全校资源、生态和环保3个夏令营活动，则不同的选派方案的种数是（

）A．20 B．90 C．120 D．240【答案】C【分析】根据排列可求不同的选派方案的种数.【详解】共有种不同的选派方案．故选：C.1．（2022·上海松江·统考一模）第24届冬奥会将于2022年2月4日20日在北京张家口举行，某大学从7名志愿者中选出4人分别从事对外联络､场馆运行､文化展示､赛会综合这四项服务中的某一项工作，则不同的选派方案共有种.【答案】840【分析】根据题意可知不同安排方法为种，即可求解.【详解】根据题意，由7人选4人从事不同工作，是排列问题，故不同的选派方案共有，故答案为：8402．（2022·上海·高三专题练习）第14届国际数学教育大会将于7月在上海举办，大会一共进行8天.若有4位学者分别作个人大会报告，一天只能安排一个报告，且第一天和最后一天不安排报告，则不同的安排方案种数为(用数字作答).【答案】360【分析】根据题意，只需在中间的6天中，任选4天，安排4位学者作报告即可，由排列数公式计算可得答案.【详解】根据题意，大会一共进行8天，第一天和最后一天不安排报告，只需在中间的6天中，任选4天，安排4位学者作报告即可，则有种安排方法，故答案为：360.考点二、简单组合之组合数计算1．（2023·陕西·高三校考阶段练习）某高中政治组准备组织学生进行一场辩论赛，需要从6位老师中选出3位组成评审委员会，则组成该评审委员会不同方式的种数为（

）A．15 B．20 C．30 D．120【答案】B【分析】根据组合数计算即可【详解】由题意，组成该评审委员会不同方式的种数为种故选：B2．（2022·全国·统考高考真题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有种不同的取法，若两数不互质，不同的取法有：，共7种，故所求概率.故选：D.3．（海南·统考高考真题）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（

）A．120种 B．90种C．60种 D．30种【答案】C【分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.【详解】首先从名同学中选名去甲场馆，方法数有；然后从其余名同学中选名去乙场馆，方法数有；最后剩下的名同学去丙场馆.故不同的安排方法共有种.故选：C【点睛】本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题.1．（2023·全国·统考高考真题）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用古典概率的概率公式，结合组合的知识即可得解.【详解】依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有件，其中这2名学生来自不同年级的基本事件有，所以这2名学生来自不同年级的概率为.故选：D.2．（2023·山东·山东省实验中学校联考模拟预测）某学校门口现有2辆共享电动单车，8辆共享自行车.现从中一次性随机租用3辆，则恰好有2辆共享自行车被租用的概率为.【答案】【分析】根据古典概型列式结合组合数计算求解概率即可.【详解】恰好有2辆共享自行车被租用的概率为故答案为:.3．（2023秋·北京·高三北京四中校考开学考试）有10名学生，其中4名男生，6名女生，从中任选2名学生，其中恰好有1名男生的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用古典概型结合组合数计算概率即可.【详解】由题意可得恰有一名男生的概率为：.故选：A考点三、先选后排之排列组合综合1．（山东·统考高考真题）现从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，分别担任5门不同学科的课代表，则不同安排方法的种数是（

）A．12 B．120 C．1440 D．17280【答案】C【分析】首先选3名男生和2名女生，再全排列，共有种不同安排方法.【详解】首先从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，共有种情况，再分别担任5门不同学科的课代表，共有种情况.所以共有种不同安排方法.故选：C2．（海南·高考真题）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（

）A．2种 B．3种 C．6种 D．8种【答案】C【分析】首先将3名学生分成两个组，然后将2组学生安排到2个村即可.【详解】第一步，将3名学生分成两个组，有种分法第二步，将2组学生安排到2个村，有种安排方法所以，不同的安排方法共有种故选：C【点睛】解答本类问题时一般采取先组后排的策略.1．（2023秋·内蒙古包头·高三统考开学考试）将3名优秀教师分配到2个不同的学校进行教学交流，每名优秀教师只分配到1个学校，每个学校至少分配1名优秀教师，则不同的分配方案共有（

）A．3种 B．4种 C．5种 D．6种【答案】D【分析】先将3名教师分组，然后再分配即可.【详解】将3名教师分组，有种方法，再分配到2个不同的学校得，即不同的分配方案共有6种.故选：D.2．（2023·全国·高三专题练习）党的二十大报告既鼓舞人心，又催人奋进．为学习贯彻党的二十大精神，某宣讲小分队将5名宣讲员分配到4个社区，每个宣讲员只分配到1个社区，每个社区至少分配1名宣讲员，则不同的分配方案共有（

）A．480种 B．240种 C．120种 D．60种【答案】B【分析】先选出2人为1组有种，再将4组人员分配到4个社区有，根据分步计数原理，即可求出结果.【详解】5名宣讲员分配到4个社区，每个社区至少1人，则分配方式为1，1，1，2，先选出2人为1组有种，再将4组人员分配到4个社区有，所以不同的分配方案共有.故选：B.3．（2023秋·海南儋州·高三海南省洋浦中学校考阶段练习）某高校计划在今年暑假安排编号为A，B，C，D，E，F的6名教师，到4个不同的学校进行宣讲，每个学校至少安排1人，其中B，D必须安排在同一个学校.则不同的安排方法共有（

）A．96种 B．144种 C．240种 D．384种【答案】C【分析】先将6名教师分成4组，然后再分配到学校即可.，则不同的安排方法种数为：种；若教师人数依次为，则不同的安排方法种数为：种，故不同的安排方法共有种.故选：C.考点四、捆绑法1．（2023春·重庆·高三校考）有3名男生和2名女生排成一排，女生相邻的不同排法有（

）A．36种 B．48种 C．72种 D．108种【答案】B【分析】根据捆绑法进行求解即可.【详解】不同排法种数为种，故选：B.2．（2023·全国·高三专题练习）个完全相同的“宸宸”，甲、乙、丙位体育爱好者要与这个“宸宸”站成一排拍照留念，则有且只有个“宸宸”相邻的排队方法数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先将位体育爱好者进行排序，将其中两个“宸宸”捆绑，形成一个“大元素”，再将“大元素”与另外一个“宸宸”插入位体育爱好者所形成的空位中（包括两端），结合分步乘法原理可得结果.【详解】先将位体育爱好者进行排序，共有种排法，因为个“宸宸”完全相同，将其中两个“宸宸”捆绑，形成一个“大元素”，再将“大元素”与另外一个“宸宸”插入位体育爱好者所形成的空位中（包括两端），由分步乘法计数原理可知，不同的排队方法种数为种.故选：C.3．（2023·全国·高三专题练习）某社区活动需要连续六天有志愿者参加服务，每天只需要一名志愿者，现有甲、乙、丙、丁、戊、己6名志愿者，计划依次安排到该社区参加服务，要求甲不安排第一天，乙和丙在相邻两天参加服务，则不同的安排方案共有（

）A．72种 B．81种 C．144种 D．192种【答案】D【分析】先计算乙和丙在相邻两天参加服务的排法，排除乙和丙在相邻两天且甲安排在第一天参加服务的排法，即可得出答案.【详解】解：若乙和丙在相邻两天参加服务，不同的排法种数为，若乙和丙在相邻两天且甲安排在第一天参加服务，不同的排法种数为，由间接法可知，满足条件的排法种数为种.故选：D.4．（2023·全国·高三专题练习）某校实行选科走班制度(语文、数学、英语为必选科目，此外学生需在物理、化学、生物、历史、地理、政治六科中任选三科)．根据学生选科情况，该校计划利用三天请专家对九个学科分别进行学法指导，每天依次安排三节课，每节课一个学科．语文、数学、英语只排在第二节．物理、政治排在同天．化学、地理排在同一天，生物、历史排在同一天，则不同的排课方案的种数为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】先将语文、数学、英语排在第二节，有种排法，将物理和政治，化学和地理，生物和历史分别“捆绑”，有种排法，将捆绑后的三个元素排在三天，有种排法，则不同的排课方案的种数为种．故选D．1．（2023春·广东中山·高三统考期末）6名同学排成一排，其中甲、乙、丙三人必须在一起的不同排法共有（

）A．36种 B．72种 C．144种 D．720种【答案】C【分析】利用捆绑法可求不同的排法.【详解】甲、乙、丙三人在一起，有种不同的排法，把甲、乙、丙看成一个整体，与其余的3个人混排，共有种不同的排法，故共有种，故选：C.2．（2023秋·安徽·高三校考阶段练习）将3名男生，2名女生排成一排，要求男生甲必须站在中间，2名女生必须相邻的排法种数有（

）A．4种 B．8种 C．12种 D．48种【答案】B【分析】根据分步乘法原理结合排列数求解即可.【详解】先让甲站好中间位置，再让2名女生相邻有两种选法，最后再排剩余的2名男生，根据分步乘法原理得，有种不同的排法.故选：B3．（2023·北京·校考模拟预测）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（

）A．12种 B．24种 C．32种 D．40种【答案】B【分析】利用捆绑法求出丙和丁相邻的不同排列方式，再减去甲站在两端的情况即可求出结果．【详解】把丙和丁捆绑在一起，4个人任意排列，有种情况，甲站在两端的情况有种情况，甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有种.故选：B．4．（2023秋·重庆·高三统考阶段练习）雅礼女篮一直是雅礼中学的一张靓丽的名片，在刚刚结束的2022到2023赛季中国高中篮球联赛女子组总决赛中，雅礼中学女篮队员们敢打敢拼，最终获得了冠军．在颁奖仪式上，女篮队员12人（其中1人为队长），教练组3人，站成一排照相，要求队长必须站中间，教练组三人要求相邻并站在边上，总共有多少种站法（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据捆绑法以及特殊元素优先安排的原则，即可由排列组合以及分步乘法计数原理求解.【详解】选择左右两边其中一边将教练组3人捆绑看作一个整体安排共有种排法，将剩余的11名队员全排列共有，由分步乘法计数原理可得总的站法有，故选:B.考点五、插空法1．（2023秋·黑龙江·高三校考）甲、乙、丙、丁、戊五人排成一排，甲和乙不相邻，排法种数为（）A．12 B．36 C．48 D．72【答案】D【分析】甲和乙不相邻，先排丙、丁、戊三人，再将甲乙插空即可．【详解】先排丙、丁、戊三人，共有种排法，甲和乙不相邻，再将甲、乙插空，共有种排法，故排法种数为．故选：D2．（2023春·河北石家庄高三校考）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”，有着可爱的外表和丰富的寓意，深受各国人民的喜爱．某商店有4个不同造型的“冰墩墩”吉祥物和3个不同造型的“雪容融”吉祥物展示在柜台上，要求“雪容融”甲和“雪容融”乙相邻，且均不与“雪容融”丙相邻的不同的排列方法总数为（

）A．480 B．960 C．1080 D．1440【答案】B【分析】先用捆绑法再用插空法计算.【详解】现将4个不同造型的“冰墩墩”排好，有种排法，排好后包括左右两边有5个空，再将“雪容融”甲和“雪容融”乙捆绑，有种方法，将捆绑后的“雪容融”与“雪容融”丙分别插入前面的5个空中，有种方法；所以总的排列方法数为：；故选：B.3．（2023·四川·校联考模拟预测）甲、乙两个家庭周末到附近景区游玩，其中甲家庭有2个大人和2个小孩，乙家庭有2个大人和3个小孩，他们9人在景区门口站成一排照相，要求每个家庭的成员要站在一起，且同一家庭的大人不能相邻，则所有不同站法的种数为（

）A．144 B．864 C．1728 D．2880【答案】C【分析】利用捆绑以及插空法求得正确答案.【详解】甲家庭的站法有种，乙家庭的站法有种，最后将两个家庭的整体全排列，有种站法，则所有不同站法的种数为．故选：C4．（2023春·江苏校考阶段练习）阳春三月，草长莺飞；丝绦拂堤，尽飘香玉．三个家庭的3位妈妈带着3名女宝和2名男宝共8人踏春．在沿行一条小溪时，为了安全起见，他们排队前进，三位母亲互不相邻照顾孩子；3名女宝相邻且不排最前面也不排最后面；为了防止2名男宝打闹，2人不相邻，且不排最前面也不排最后面．则不同的排法种数共有(

)A．144种 B．216种 C．288种 D．432种【答案】C【分析】利用捆绑法和插空法进行求解．【详解】第一步：先将3名母亲全排，共有种排法；第二步：将3名女宝“捆绑”在一起，共有种排法；第三步：将“捆绑”在一起的3名女宝作为一个元素，在第一步形成的2个空中选择1个插入，有种排法；第四步：首先将2名男宝之中的一人，插入第三步后相邻的两个妈妈中间，然后将另一个男宝插入由女宝与妈妈形成的2个空中的其中1个，共有种排法．∴不同的排法种数有：种．故选：C．1．（2023·全国高三专题练习）某种产品的加工需要经过道工序，如果工序C，D必须不能相邻，那么有种加工顺序（数字作答）【答案】72【分析】利用插空法，先排其余的3道工序，出现4个空位，再将这2道工序插空.【详解】先排其余的3道工序，有种不同的排法，出现4个空位，再将C，D这2道工序插空，有种不同的排法，所以由分步乘法原理可得，共有种加工顺序.故答案为：722．（2022秋高三课时练习）根据新课改要求，昆明市艺卓中学对学校的课程进行重新编排，其中对高二理科班的课程科目：语文、数学、英语、物理、化学、生物这六个科目进行重新编排（排某一天连续六节课的课程，其中每一节课是一个科目），编排课程要求如下：数学与物理不能相邻，语文与生物要相邻，则针对这六个课程不同的排课顺序共有（

）A．144种 B．72种 C．36种 D．18种【答案】A【分析】由题意知，语文生物相邻用捆绑法“捆绑法”，先与不受限学科全排列，数学物理不相邻，用“插空法”后排列，最后要考虑语文生物的顺序，根据排列数公式以及分步乘法原理即可求出结果.【详解】语文与生物要相邻，将语文与生物捆绑看作一个整体.数学与物理不能相邻，采用插空法，后排.第一步，将语文与生物捆绑看作一个整体后，与英语、化学共3个，排列种类为；第二步，第一步完成后共有4个位置，将物理和数学排好，排列种类为；第三步，语文与生物的排列种类为.所以，总的排列顺序有.故选：A.3．（2023春·浙江台州高三统考）第19届亚运会将于今年9月23日到10月08日在杭州举行.其吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人.三个吉祥物分别取名“琮琮”、“莲莲”和“宸宸”，分别代表世界遗产“良渚古城遗址”、“西湖”、“京杭大运河”.某校开展了一系列的“迎亚运”活动，其中一项是由志愿者扮演吉祥物和同学们合影留念.甲乙两位同学和三个吉祥物一起合影，站成一行，要求甲乙不相邻，且甲乙均不站在两端，则不同的站法种数为（

）A．24 B．18 C．12 D．9【答案】C【分析】利用插空法即可求解.【详解】先将三个吉祥物进行全排列，则有种；再将甲乙进行插孔，因为甲乙不相邻，所以有种，所以共有种不同的站法，故选：C.4．（2023春·陕西高三校考）某中学于2023年4月25日召开春季运动会，在开幕式之前，由高一，高二学生自发准备了7个娱乐节目，其中有2个歌曲节目，3个乐器独奏，2个舞蹈节目，要求舞蹈节目一定排在首尾，另外2个歌曲节目不相邻．则这7个节目出场的不同编排种数为（

）A．288 B．72 C．144 D．48【答案】C【分析】先把舞蹈节目排好，再在2个舞蹈节目中间排好3个乐器独奏，再利用插空法排2个歌唱节目即可.【详解】先把舞蹈节目排好，共种，再在2个舞蹈节目中间排好3个乐器独奏，共种，这样3个乐器独奏与2个舞蹈节目中间共产生4个空档（不包括两边），2个歌唱节目排在4个空档上，共种．故这7个节目出场的不同编排种数为种．故选：C．考点六、特殊元素法1．（2023·全国·高三对口高考）运输公司从5名男司机，4名女司机中选派出3名男司机，2名女司机，到，，，，这五个不同地区执行任务，要求地只能派男司机，地只能派女司机，则不同的方案种数是（

）A．360 B．720 C．1080 D．2160【答案】D【分析】根据分步乘法，先抽取司机，再分配去不同地方，有限制条件的先排.【详解】第一步，先从5名男司机，4名女司机中选派出3名男司机，2名女司机，共有种方法，第二步，从抽取到的司机中，派1名男司机去地，派一名女司机去地，共有种方法，第三步，剩下3名司机随机去，，三地，共有种方法，故不同方案种数为，故选：D2．（2023·全国·高三专题练习）某地区为发展，，，，五个村的经济，引入了“林果、茶园、养殖、旅游、农业特色深加工”五个项目，不同的村安排不同的项目，且每个村只安排一个项目．由于条件限制，村无法实施“农业特色深加工”项目，村无法实施“养殖”项目，，，三个村可以实施任何项目，则符合条件的不同安排方式共有（

）A．60种 B．72种 C．78种 D．120种【答案】C【分析】分村实施“农业特色深加工”项目与村不实施“农业特色深加工”项目两种情况讨论，按照分类、分步计数原理计算可得.【详解】解：依题意，①若村实施“农业特色深加工”项目，则其余个村庄无限制，则有种安排方法；②若村不实施“农业特色深加工”项目，则从剩下的个村庄选一个实施“农业特色深加工”项目，有种方法，再从除村以外的个村庄选择一个实施“养殖”项目，有种方法，剩下个村庄与项目全排列即可，有种方法，按照分步计数原理可得有种方法，综上可得一共有种方法；故选：C3．（2023春·新疆·高三校考）某校为深入开展劳动教育，通过学校的电子屏幕播放“我的校园我打扫”，大力宣传劳动的价值意义，使学生树立正确的劳动观某日甲、乙、丙、丁四名同学值日打扫卫生，卫生区域划分为，，，四块，每个区域安排一个同学去打扫，其中甲不去打扫区域，乙不去打扫区域，则不同的安排方法的种数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分甲取打扫区域和甲去打扫或区域两种情况，结合分步乘法计数原理和分类加法计数原理求解.【详解】因为甲不去打扫区域，所以可以安排甲去打扫中的一个区域，若甲去打扫区域，则甲的安排方法只有一种，再安排乙，丙，丁三人共种安排方法，由分步乘法计数原理可得有种安排方法，若甲去打扫区域或区域，则甲的安排方法只有两种，再安排乙，由于乙不能去打扫区域，故乙的安排方法有两种，再安排丙，丁两人，共种安排方法，由分步乘法计数原理可得有种安排方法，由分类加法计数原理可得共有种安排方法.故选：B.4．（2023·全国·高三专题练习）第届世界大学生夏季运动会于月日至月日在成都举办，现在从男女共名青年志愿者中，选出男女共名志愿者，安排到编号为、、、、的个赛场，每个赛场只有一名志愿者，其中女志愿者甲不能安排在编号为、的赛场，编号为的赛场必须安排女志愿者，那么不同安排方案有（

）A．种 B．种 C．种 D．种【答案】D【分析】对女志愿者甲是否被选中进行分类讨论，分别确定各赛场的人员安排，结合分类加法计数原理可得结果.【详解】分以下两种情况讨论：①女志愿者甲被选中，则还需从剩余的人中选出男女，选法种数为，则女志愿者甲可安排在号或号或号赛场，另一位女志愿者安排在号赛场，余下个男志愿者随意安排，此时，不同的安排种数为；②女志愿者甲没被选中，则还需从剩余人中选出男女，选法种数为，编号为的赛场必须安排女志愿者，只需从名女志愿者中抽人安排在号赛场，余下人可随意安排，此时，不同的安排方法种数为.由分类加法计数原理可知，不同的安排方法种数为种.故选：D.1．（2023春·四川绵阳·高三期末）第31届世界大学生夏季运动会，将于2023年7月28日在成都举办，是中国西部第一次举办世界性综合运动会．某高校有甲，乙，丙，丁，戊5名翻译志愿者去参加A，B，C，D，E，五个场馆的服务工作，每人服务一个场馆且每个场馆需要一人．由于特殊原因甲不去A场馆，乙不去场馆，则不同的安排方法有（

）A．120种 B．96种C．78种 D．48种【答案】C【分析】先进行5人全排列，再减五考虑将甲去A场馆，乙去B场馆，最后加回甲去A场馆，同时乙去B场馆，即可.【详解】先将五人全排列放入五个场馆，共有种方法，再考虑将甲去A场馆，其他四个人全排列，共有种方法，乙去B场馆，其他四个人全排列，共有种方法，而甲去A场馆，同时乙去B场馆，共有种方法，所以满足要求的方法有种.故选：C2．（2023春·天津·高三统考期末）某学校社团举办一年一度的“五四”青年节展演．现从《歌唱祖国》《我的未来不是梦》《爱拼才会赢》《走进新时代》这4首独唱歌曲和《光荣啊，中国共青团》《我爱你中国》这2首合唱歌曲中共选出4首歌曲安排演出，最后一首歌曲必须是合唱歌曲，则不同的安排方法共有（

）A．14种 B．48种 C．72种 D．120种【答案】D【分析】按照合唱歌曲的个数来分类：可能选出两首，可能是一首，合唱歌曲有要求，则需要先排，然后进行排列.【详解】（1）若只选取一首合唱歌曲，有种方法，那么独唱歌曲要选首，有种方法，然后先排合唱歌曲在最后，其余的全排列，共种；（2）若选取两首合唱歌曲，有种方法，那么独唱歌曲要选首，有种方法，然后先排选一首合唱歌曲在最后有种方法，其余的全排列，共种.因此一共种.故选：D3．（2023春·北京·高三统考）某班一天上午有4节课，下午有2节课．现要安排该班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6堂课的课程表，要求数学课排在上午，体育课排在下午，不同排法种数有（

）A．48种 B．96种 C．144种 D．192种【答案】D【分析】先排数学、体育，再排其余4节，利用乘法原理，即可得到结论．【详解】由题意，要求数学课排在上午，体育课排在下午，有种，再排其余4节，有种，根据乘法原理，共有种方法，故选：D．4．（2023春·山东青岛·高三统考阶段练习）五个人站队排成一行，若甲不站排头，乙不站排尾，则不同排法的种数为（

）A．36 B．72 C．78 D．120【答案】C【分析】首先对甲的站位进行分类，再按照分步原理进行计算.【详解】由题意，分成2种情况，一种情况是甲站排尾，则其余4人全排列，有种方法，另一种情况是甲不占排尾，则甲有3种方法，乙有3种方法，其余3人全排列，有种方法，综上可知，共有种方法.故选：C考点七、特殊位置法1．（2022·全国·统考高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（

）A．12种 B．24种 C．36种 D．48种【答案】B【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式，故选：B2．（2023·江苏·高三校考期末）某餐厅并排有7个座位，甲、乙、丙三位顾客就餐，每人必须选择且只能选择一个座位，要求两端座位不能坐人，并且连续空座至多有2个，则不同的坐法有（

）A．24种 B．36种 C．48种 D．56种【答案】C【分析】先安排甲、乙、丙在去掉两端的个位子，再将连续空座超过个的情况减去，得到答案.【详解】因为7个座位两端座位不能坐人，所以甲、乙、丙可以在剩余的个位子有顺序的就坐，坐法有种，因为连续空座至多有个，所以出现连续个空座的情况为最左端的个为空座，甲、乙、丙三人坐在第、、个位子上，第个位子是最右端，只能空着，则这种情况为，同理，连续个空座的情况为最右端的个为空座，这种情况为，所以，满足要求的坐法有种.故选：C.【点睛】本题考查排列问题的应用，正确的分类和分布是解决问题的关键，利用问题的反面，将不符合要求的情况缺掉，属于中档题.3．（2023·河北·高三统考）包括甲、乙、丙3人的7名同学站成一排拍纪念照，其中丙站中间，甲不站在乙的左边，且不与乙相邻，则不同的站法有（

）A．240种 B．252种 C．264种 D．288种【答案】C【解析】先排甲、乙、丙外的4人，再对甲、乙、丙三人分类讨论即可得解.【详解】先排甲、乙、丙外的4人，有种排法，再排甲、乙2人，有两类方法：一类是甲、乙2人插空，又甲排在乙的左边，然后丙排在中间，故有种不同的站法；另一类是把甲、乙、丙按乙、丙、甲的顺序插入中间，有种不同的站法，所以共有264种不同的站法.故选：C【点睛】此题考查计数原理的应用，利用排列组合相关知识解决排位问题，需要熟练掌握计数原理相关知识.4．（2023·北京·高三统考）某单位安排7位员工在春节期间大年初一到初七值班，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻的两天，丙不排在初一，丁不排在初七，则不同的安排方案共有（

）A．504种 B．960种 C．1008种 D．1108种【答案】C【分析】根据题意，用间接法分析：先计算甲乙相邻的排法种数，进而计算其中“甲乙相邻且丙排在初一”、“甲乙相邻且丁排在初七”和“甲乙相邻且丙排在初一同时丁排在初七”的排法种数，据此分析可得答案．【详解】根据题意，用间接法分析：甲乙相邻，即甲乙排在相邻的两天，有＝1440种情况，其中，甲乙相邻且丙排在初一的排法有＝240种，甲乙相邻且丁排在初七排法有＝240种，甲乙相邻且丙排在初一同时丁排在初七排法有＝48种，则不同的安排方案共有1440－240－240＋48＝1008种，故选：C．5．（2023·重庆·高三统考）2010年广州亚运会结束了，某运动队的7名队员合影留念，计划站成一横排，但甲不站最左端，乙不站最右端，丙不站正中间.则理论上他们的排法有(

)A．3864种 B．3216种 C．3144种 D．2952种【答案】B【分析】根据题意，分3种情况讨论：①、甲在右端，分乙在中间与乙不在中间，再安排丙的位置，最后再将剩余的4个人全排列；②、若甲在中间，分丙在右端与丙不在右端两种，情况同①.③、若甲不在中间也不在右端，先排甲，有4种方法，再排乙，分乙在中间与乙不在中间，再安排丙的位置，最后再将剩余的4个人全排列；最后由分类计数原理计算可得答案．【详解】根据题意，分3种情况讨论：①、甲在右端，若乙在中间，则丙有5个位置可选，再将剩余的4个人全排列，安排在其余的4个位置，有种情况；甲在右端，若乙不在中间，则乙还有5个位置可选，此时丙还有4个位置可选，再将剩余的4个人全排列，安排在其余的4个位置，有种情况；两种情况合并，共有种情况；②、若甲在中间，分丙在右端与丙不在右端两种，情况同①.共有种情况；③、若甲不在中间也不在右端，先排甲，有4种方法，再排乙，乙若在中间，则丙有5种排法；乙若不在中间，则乙有4种排法，此时丙有4种排法；最后，将剩余的4个人全排列，安排在其余的4个位置，共有种情况；综上，则共有种不同的站法．故选：B.1．（2023·广东·高三校联考）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若丙不站在两端，甲和丁相邻，则不同排列方式共有（

）A．12种 B．24种 C．36种 D．48种【答案】B【分析】利用捆绑法和特殊位置优先法结合分步乘法原理求解即可【详解】将甲和丁看作一个整体，有种方法，从乙、戊和甲丁的整体中选两个安排在两端，则有种方法，再安排丙和剩下的人，有种方法，根据分步乘法原理可知共有种方法，故选：B2．（2023·贵州·高三校考阶段练习）高三毕业来临之际，甲乙两名教师和三名学生参加毕业拍照合影留念，排成一排，甲老师在正中间且甲乙教师相邻的排法共有（

）种.A．36 B．24 C．20 D．12【答案】D【分析】分类讨论结合分步计数原理计算即可.【详解】甲乙两名教师和三名学生参加毕业拍照合影，排成一排有五个位置，第一步先排老师，甲老师在正中间且甲乙教师相邻有两种安排，即乙老师在甲老师左侧或右侧，第二步剩余三人三个位置全排列有种排法，故共有种排法.故选：D3．（2023·湖南长沙·高三校考阶段练习）某小学班级星期一要排5节课,语文、数学、英语、音乐、体育各1节,考虑到学生学习的效果,第一节不排数学,语文和英语相邻,且音乐和体育不相邻,则不同的排课方式有(

)A．种 B．种 C．种 D．种【答案】C【分析】利用间接法,先求出第一节没有要求的排列的种数,再排除第一节排数学的种数,即可求得答案.【详解】把语文和英语看作一个复合元素和数学全排,形成了三个空,把音乐和体育插入到其中个空中.有种,又第节排数学,第节只能排语文和英语,第节只能排音乐和体育,有种,第节不排数学,语文和英语相邻.且音乐和体育不相邻,不同的排课方式有种,故选：C.【点睛】本题考查组合计数问题的求解.对于限制条件较多的组合计数问题,通常采用间接法来进行求解,易错点是忽略限制条件的彼此影响,造成求解错误,考查了分析能力,属于中档题.4．（2023·全国·高三开学考试）在“学宪法､讲宪法”活动中，将甲､乙､丙､丁四位法律老师分配到A､B､C､DA班，丁不分配到D班，则分配方案的种数为（

）A．12 B．14 C．16 D．24【答案】B【解析】先分配甲，按甲分到班和不分到班分类讨论．再分配丁，最后考虑乙和丙即可得．【详解】甲分到班，有种方法；甲分到或班，有方法数，总共有方法数为种．故选：B．【点睛】关键点点睛：本题考查排列组合的综合运算，解题关键是确定完成事件的方法，对于特殊元素特殊位置需优先安排．本题完成分配方案可先安排甲，然后安排丁，最后安排乙和丙，安排甲时需分类讨论：甲安排在班时，另外三人随便安排即可，甲安排在两班之一，由丁只有两个班可安排，最后再安排乙丙，由此应用乘法原理和加法原理可得结论．5．（2023·全国·高三专题练习）5名同学坐成一排照相，要求甲不在正中间，且甲、乙不相邻，则这5名同学不同坐法的种数为（

）A．24 B．36 C．60 D．72【答案】C【分析】根据特殊元素及特殊位置优先考虑，再利用分步加法计数原理及排列数公式即可求解.【详解】由题意可知，有的5个座位，如图所示12345先安排甲：①甲坐1或5，有2种坐法，则乙有3种坐法，剩下的3名同学有种坐法，共有种坐法；②甲坐2或4，有2种坐法，则乙有2种坐法，剩下的3名同学有种坐法，共有（种）.故选:C.6．（2023·全国·高三专题练习）因演出需要，身高互不相等的9名演员要排成一排成一个“波浪形”，即演员们的身高从最左边数起：第一个到第三个依次递增，第三个到第七个依次递减，第七、八、九个依次递增，则不同的排列方式有（

）种．A．379 B．360 C．243 D．217【答案】A【分析】依题意，重点要先排好7号位和3号位，余下的按部就班即可.【详解】依题意作图如下：上面的数字表示排列的位置，必须按照上图的方式排列，其中3号位必须比124567要高，1，7两处是排列里最低的，3，9两处是最高点，设9个演员按照从矮到高的顺序依次编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，则3号位最少是7，最大是9，下面分类讨论：第3个位置选7号：先从1，2，3，4，5，6号中选两个放入前两个位置，余下的4个号中最小的放入7号位置，剩下的三个放入中间三个位置，8，9号放入最后两个位置，即；第3个位置选8号：先从1，2，3，4，5，6，7号中选两个放入前两个位置，余下的5个号中最小的放入7号位置，剩下4个选3个放入中间三个位置，余下的号和9号放入最后两个位置，即；第3个位置选9号：先从1，2，3，4，5，6，7，8号中选两个放入前两个位置，余下的6个号中最小的放入7号位置，剩下5个选3个放入中间三个位置，余下的2个号放入最后两个位置，即；由分类计数原理可得共有种排列方式；故选：A.考点八、间接法1．（2023春·广东·高三统考阶段练习）2022年在贵州省黔东南州台盘乡举办的贵州省“美丽乡村”篮球联赛，经由短视频火爆全网，被称为“村BA”，中国驻美大使及外交部发言人在海外媒体发文推荐．某高三班主任从网上找到6个与此相关的短视频，，，，，，准备从这6个短视频中再选出3个向学生推荐，则，，至少选1个的方法种数为（

）A．8 B．18 C．19 D．24【答案】C【分析】利用间接法进行求解，先求总数，去掉不合要求的，可得答案.【详解】不同选法种数为.故选:C．2．（2023春·重庆·高三校考）甲乙等五名学生参加数学、物理、化学、生物这四门学科竞赛，已知每人恰参加一门学科竞赛，每门学科竞赛都有人参加，且甲乙两人不参加同一学科竞赛，则一共有（

）种不同的参加方法A．72 B．144 C．216 D．240【答案】C【分析】先不考虑甲乙两名同学，利用分组分配法求出安排总数，再减去甲乙参加同一学科的情况，即可得解.【详解】依题意将名同学分成、、、四组，再分配到四门学科中有种，其中甲乙两人恰好参加同一学科竞赛的有种，所以不同的参加方法有种.故选：C3．（2023·江西南昌·校考模拟预测）四面体的顶点和各棱的中点共10个点．在这10点中取4个不共面的点，则不同的取法种数为（

）A．141 B．144 C．150 D．155【答案】A【分析】求出从10个点中任取4个点的取法，减去不合题意的结果可得答案．【详解】从10个点中任取4个点有种取法，其中4点共面的情况有三类．第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面上，有种；第二类，取任一条棱上的3个点及该棱所对棱的中点，这4点共面，有6种；第三类，由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），它的4顶点共面，有3种．以上三类情况不合要求应减掉，∴不同的取法共有种．故选：A．4．（2023·江苏·高三校考）某校组织一次认识大自然的活动，有10名同学参加，其中有6名男生､4名女生，现要从这10名同学中随机抽取3名同学去采集自然标本.抽取人中既有男生又有女生的抽取方法共（

）A．192种 B．120种 C．96种 D．24种【答案】C【分析】根据给定条件，利用排除法、组合应用问题列式计算作答.【详解】从10名同学中随机抽取3名同学有种方法，抽取的人全是男生的有种，全是女生的有种，所以抽取人中既有男生又有女生的抽取方法共（种）.故选：C5．（2022·河北·高三校考）现有16张不同的卡片，其中红色，黄色，蓝色，绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一颜色，且绿色卡片至多1张，则不同的取法种数为（

）A．484 B．472C．252 D．232【答案】B【分析】用间接法分析.先求出“从16张卡片中任取3张的所有取法数”，再分析“取出的3张为同一种颜色”和“取出的3张有2张绿色卡片”的取法数，从而可求出答案.【详解】根据题意，不考虑限制，从16张卡片中任取3张，共有种取法，如果取出的3张为同一种颜色，则有种情况，如果取出的3张有2张绿色卡片，则有种情况，故所求的取法共有种.故选：B.1．（2022·辽宁·校考一模）2022年2月4日，中国北京第24届奥林匹克冬季运动会开幕式以二十四节气的方式开始倒计时创意新颖，惊破了全球观众，衡阳市某中学力了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”、“惊蛰”、“清明”、“立夏”、“芒种”、“小暑”六张知识展板分别放置在六个并排的文化橱窗里，要求“立春”和“惊蛰”两块展板相邻，且“清明”与“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式有多少种？（

）A．192 B．240 C．120 D．288【答案】A【分析】先用捆绑法得到，只有“立春”和“惊蛰”相邻的情况，再减去“清明”和“惊蛰”相邻的情况即可.【详解】由题，只考虑“立春”和“惊蛰”时，利用捆绑法得到,当“立春”和“惊蛰”和“清明”均相邻时，只有2种排法，即“惊蛰”在中间，“立春”“清明”分布两侧，此时再用捆绑法，将三者捆在一起即，所以最终满足题意的排法为24048=192.故选：A2．（2023·上海·高三专题练习）2021年7月20日郑州特大暴雨引发洪灾，各地志愿者积极赴郑州救灾.某志愿小组共5人，随机分配4人去值班，每人只需值班一天，若前两天每天1人，第三天2人，且其中的甲、乙两人不同在第三天值班，则满足条件的排法共有（

）A．72种 B．60种 C．54种 D．48种【答案】C【分析】分随机选4人只含甲乙中的一个、含甲乙两人两种情况，结合分步计算及间接法分别求得安排方法数，最后加总即可.【详解】若随机选4人中只含甲乙中的一个，则种，前两天每天1人，第三天2人，有种，此时，共有种；若随机选4人中含甲乙两人，则种，前两天每天1人，第三天2人且甲、乙不同在第三天值班，有种，此时，共有种.综上，共有54种.故选：C3．（2023·江苏·高三校考）中国空间站（ChinaSpaceStation）的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.年月日分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕.年，中国空间站将正式进入运营阶段.假设空间站要安排甲、乙等名航天员都去开展实验，三舱中每个舱至少一人，且甲、乙两人不同舱，则不同的安排方法有（）A．种 B．种 C．种 D．以上都不对【答案】B【分析】利用间接法，：先考虑将四人分为三组，每组人数分别为、、，再将这三组人分配给三个舱；其次考虑虑甲、乙两人在同一舱时，分配的方法种数，作差可得结果.【详解】利用间接法：先考虑将四人分为三组，每组人数分别为、、，再将这三组人分配给三个舱，不同的分配方法种数为；然后考虑甲、乙两人在同一舱的情形，只需将另外两人分成两组，每组一人，再将这三组人分配给三个舱，此时，不同的分配方法种数为种.综上所述，甲、乙两人不同舱，则不同的安排方法种数为种.故选：B.4．（2023·江苏·高三校考）将4名乡村振兴志愿者分配到科技助农，文艺文化，科普宣传和乡村环境治理4个项目进行培训（每个项目都有志愿者参加），每名志愿者只分配到1个项目，志愿者小王不去文艺文化项目，则不同的分配方案共有（

）A．12种 B．24种 C．18种 D．48种【答案】C【分析】应用排列数求任意分配方法数及小王去文艺文化项目的分配方法数，再利用间接法求不同的分配方案数.【详解】由题意，4名志愿者任意分配共有种分法，若志愿者小王去文艺文化项目，其它3名任意分配有种分法，所以志愿者小王不去文艺文化项目的分配方法有种.故选：C5．（2023·河南·高三校考）某班团支部换届选举，从已产生的甲、乙、丙、丁四名候选人中选出三人分别担任书记、副书记和组织委员，并且规定：上届任职的甲、乙、丙三人不能连任原职，则不同的任职结果有（

）.A．15 B．11 C．14 D．23【答案】B【分析】利用正难则反的方法，求出总的方法数，利用分类讨论的方法，分一、二、三个职位连任，可得答案.【详解】四人中选出三人分别任职三个不同的岗位，其方法数为，三个职位中有一位连任，假设上届任职的甲、乙、丙三人分别担任书记、副书记和组织委员，假设甲连任书记，副书记可选的人选分别为丙和丁，当丁担任了副书记，则组织委员只能选乙；当丙担任了副书记，则组织委员只能选乙和丁，故其方法数为；三个职位中有两位连任，其方法数为；三个职位中三位都连任，其方法数为1.故符合题意的方法数为.故选：B.考点九、隔板法1．（2023·甘肃·高三校联考阶段练习）某学校购买了10个相同的篮球分配给高三年级6个班，要求每个班至少一个篮球，则不同的分配方法有（

）A．126种 B．84种 C．72种 D．48种【答案】A【分析】由排列、组合及简单计数问题，结合相同元素分组问题隔板法求解即可.【详解】将10个篮球排成一排，形成9个空，插入5个挡板将篮球分成6组，所以不同的分配方案有种.故选:A.2．（2023·高三课时练习）中小学校车安全引起社会的关注，为了彻底消除校车安全隐患，某市购进了50台完全相同的校车，准备发放给10所学校，每所学校至少2台，则不同的发放方案的种数有A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意，每所学校1台，还剩40台，再在中间39空中，插入9个挡板，即可求出不同的发放方案种数．【详解】首先每个学校配备一台，这个没有顺序和情况之分，剩下40台；将剩下的40台排队一样排列好，则这40台校车之间有39个空．对这39个空进行插空，比如说用9面小旗子隔开，就可以隔成10部分了，所以是在39个空里选9个空进行插空，所以是.故选D.【点睛】本题主要考查了元素相同的分配问题——隔板法，属于常见的组合问题，属于典型问题.3．（2023·河北·高三校考阶段练习）小明同学去文具店购买文具，现有四种不同样式的笔记本可供选择（可以有笔记本不被选择），单价均为一元一本，小明只有元钱且要求全部花完，则不同的选购方法共有（

）A．种 B．种 C．种 D．种【答案】B【解析】将问题等价转化为将个完全相同的小球放入个盒子里，允许有空盒，进一步转化为：将个完全相同的小球放入个盒子里，每个盒子里至少有个球，利用隔板法可得出结果.【详解】问题等价转化为将个完全相同的小球放入个盒子里，允许有空盒.进一步转化为：将个完全相同的小球放入个盒子里，每个盒子里至少有个球.由隔板法可知，不同的选购方法有种.故选：B.【点睛】本题考查利用隔板法解决实际问题，将问题进行等价转化是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.4．（2023·黑龙江·高三校考）小明去文具店购买中性笔，现有黑色､红色､蓝色三种中性笔可供选择，每支单价均为1元.小明只有6元钱，且全部用来买中性笔，则不同的选购方法有（

）A．10种 B．15种 C．21种 D．28种【答案】D【分析】将6支中性笔看成6个相同的小球，原问题可以转化为将6个小球用2个相同的挡板分成3组，每组对应一种颜色的中性笔，利用隔板法求解.【详解】解：根据题意，小明只有6元钱且要求全部花完，则小明需要买6支中性笔，将6支中性笔看成6个相同的小球，原问题可以转化为将6个小球用2个相同的挡板分成3组，每组对应一种颜色的中性笔，6个小球､2个挡板共8个位置，在其中任选6个安排小球，剩下2个安排挡板，有种；故选：D.【点睛】方法点睛：排列组合常用的方法有：简单问题原理法、小数问题列举法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、至少问题间接法、复杂问题分类法、等概率问题缩倍法.要根据已知条件灵活选择方法求解.5．（2023·全国·高三专题练习）设集合，其中为自然数且，则符合条件的集合A的个数为（

）A．833 B．884 C．5050 D．5151【答案】A【分析】利用隔板法，然后排除有两个数相同的结果，再结合集合元素的无序性可得.【详解】将100个小球排成一列，在101个空位（包括两段的空位）中插入第一个挡板，再在产生的102个空位中插入第二个挡板，将小球分成三段，分别记每段中的小球个数为a、b、c，共有种结果，因为，所以a、b、c中含有两个0,1,2，…，50各有3种结果，所以a、b、c三个数各不相等的结果共有个因为三个元素的每种取值有6种不同顺序，所以，由集合元素的无序性可知符合条件的集合A的个数为个.故选：A1．（2022·高三课时练习）现有15个数学竞赛参赛名额分给五个班，其中一、二班每班至少3个名额，三、四、五班每班至少2个名额，则名额分配方式共有（）A．15种 B．35种 C．70种 D．125种【答案】B【分析】利用隔板法求解.【详解】根据题意，先将15个名额分配给一班、二班每班2个，三、四、五班每班1个，还剩下8个名额，将剩下的8个名额进行分组，每组至少一人，利用“隔板法”求解，8个有7个间隔，要分成组，7个间隔选4个即可，则有种分配方法.故选：.2．（2023·安徽·高三校考）将7个相同的球放入4个不同的盒子中，则每个盒子都有球的放法种数为（

）A．840 B．35 C．20 D．15【答案】C【分析】利用“隔板法”即可得解．【详解】将7个相同的球放入4个不同的盒子中，即把7个相同的球分成4组，因为每个盒子都有球，所以每个盒子至少有一个球，不妨将7个球摆成一排，中间形成6个空，只需在这6个空插入3个隔板将它们隔开，即分成4组，不同插入方法共有种，所以每个盒子都有球的放法种数为20．故选：C．3．（2024·全国·高三专题练习）方程的非负整数解的组的个数为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】将问题转化为：将排成一列的14个完全相同的小球分成部分，利用隔板法即可得解.【详解】依题意，可知为非负整数，因为，所以，从而将问题转化为：将排成一列的14个完全相同的小球分成部分，一共有13个间隔，利用4个隔板插入即可，故共有种.故选：A4．（2022·高三课时练习）有30个完全相同的苹果，分给4个不同的小朋友，每个小朋友至少分得4个苹果，问有多少种不同的分配方案？A．680 B．816 C．1360 D．1456【答案】A【详解】先给每个小朋友分三个苹果，剩余个苹果利用“隔板法”，个苹果有个空，插入三个“板”，共有680种方法.故选：A.5．（2023·北京·高三校考阶段练习）已知，且，记为，，中的最大值，（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据隔板法得到的解有组，然后列举得到有6组解，最后求概率即可.【详解】根据隔板法，将10看做10和完全相同的小球排成一排，中间形成9个空，放入两个隔板，可求得的解有组，时，或或或或或，所以.故选：A.考点十、定序倍缩法1．（2023·浙江·高三统考）将甲、乙、丙等六位同学排成一排，且甲、乙在丙的两侧，则不同的排法种数共有(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】根据排列中的定序问题的除法处理即可求解【详解】将甲、乙、丙等六位同学进行全排可得种，甲、乙、丙的排列为种，因为甲、乙在丙的两侧，所以可能为甲丙乙或乙丙甲，所以不同的排法种数共有种．故选：D.2．（2023·甘肃·高三校考）由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数，其中百位、十位、个位数字总是从小到大排列的共有（

）A．120个 B．100个 C．300个 D．600个【答案】B【分析】先计算所有组成的六位数的情况，再根据对特定的3个数字排到百十个位，共种情况求解即可.【详解】数字0,1,2,3,4,5可组成个没有重复数字的六位数，又因为对特定的3个数字排到百十个位，共种情况，从小到大排列只有1种情况，故共有个.故选：B.3．（2023·全国·高三专题练习）在一次学校组织的研究性学习成果报告会上，有共6项成果要汇报，如果B成果不能最先汇报，而A､C､D按先后顺序汇报（不一定相邻），那么不同的汇报安排种数为（

）A．100 B．120 C．300 D．600【答案】A【分析】利用间接法和缩倍法求解.【详解】不考虑限制条件共有种，最先汇报共有种，如果不能最先汇报，而､C､D按先后顺序汇报（不一定相邻）有.故选：A.4．（2023·全国·高三专题练习）某学校组织6×100接力跑比赛，某班级决定派出A，B，C，D，E，F等6位同学参加比赛．在安排这6人的比赛顺序时要保证A要在B之前，D和F的顺序不能相邻，则符合要求的安排共有（

）A．240种 B．180种 C．120种 D．150种【答案】A【分析】先考虑D和F的顺序不能相邻，用插空法，然后考虑A要安排在B之前与A要安排在B之后的数量一样多，从而可得结论．【详解】解：6位同学参加接力赛跑，先考虑D和F的顺序不能相邻，其他四人的顺序数为种，D和F进行插空共有种，在所有符合条件的排序中，A要安排在B之前与A要安排在B之后的数量一样多，所以，符合要求的顺序有＝240种．故选：A．1．（2023·辽宁·高三校考阶段练习）现有5名学生：甲、乙、丙、丁、戊排成一队照相，要求甲与乙相邻，且甲、乙、丁的左右顺序固定，站法种数为（

）A．36 B．24 C．20 D．12【答案】D【分析】由题意结合相邻问题、定序问题的解法直接计算即可得解.【详解】因为甲与乙相邻，且甲、乙、丁的左右顺序固定，所以可将甲和乙看作一个整体，共有1种站法，再与其余三人进行排列，共有种站法.故选：D.【点睛】本题考查了计数原理的应用，考查了相邻问题、定序问题的求解，熟练掌握相邻问题、定序问题的解决方法是解题关键，属于中档题.2．（2023春·江苏·高三校联考阶段练习）《红楼梦》四十一回中，凤姐为刘姥姥准备了一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有（

）A．6种 B．12种 C．36种 D．72种【答案】B【分析】将香菌、新笋、豆腐干看作一个元素，利用捆绑法结合倍缩法求解.【详解】因为香菌、新笋、豆腐干一起下锅，把它们捆绑在一起，看作一个元素，此时共有5个元素，其中鸡汤最后下锅，放在最后一个位置，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，定序问题用倍缩法，共有种不同的排列方式.故选：B.3．（2023·贵州·高三校考阶段练习）小武是1993年12月18日出生的，他设置家里的电子门锁的时候打算用他的出生年、月、日中的8个数字进行排列得到一个8位数的密码，那么小武同学可以设置的不同密码的个数为（

）A．2760 B．3180 C．3200 D．3360【答案】D【分析】先将8个数字进行全排列，再利用定序倍缩法除以重复的情况即可.【详解】先将这8个数字进行全排列，有种情况，而这8个数字中有三个1和两个9，可将这三个1和两个9看作是顺序固定的排列方法，所以一共可以组成个六位数，即可以设置的不同密码的个数为．故选：D．4．（2023·四川·高三统考）某学习小组、、、、、、七名同学站成一排照相，要求与相邻，并且在的左边，在的右边，则不同的站队方法种数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】将与捆绑，然后要求在的左边，在的右边，结合倍缩法可得结果.【详解】由题意可知，与相邻，则将与捆绑，然后要求在的左边，在的右边，由捆绑法和倍缩法可知，不同的排法种数为种.故选：C.考点十一、平均分组1．（2023·全国·高三专题练习）已知有6本不同的书.分成三堆，每堆2本，有种不同的分堆方法.【答案】15【分析】根据题意先对6本书进行分组，因为平均分成的组，不管他们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后要除以，进而求解.【详解】6本书平均分成3堆，所以不同的分堆方法的种数为.故答案为:.2．（2023·重庆·高三校考）有6名大学生到甲､乙､丙三所学校去实习，每名大学生只去一所学校，若甲､乙､丙三所学校都需要2名大学生，则不同安排方法的种数为.(用数字作答)【答案】【分析】按照分步计数原理，直接分配.【详解】利用分步计数原理，不同的安排方法共有.故答案为：3．（2023·福建·高三校考阶段练习）为提高教学质量，教育厅派6位教研员，平均分成3组，去某地3所重点高中调研，且甲、乙两位教研员不去同一所高中，则不同的调研安排方案有（

）种．A．66 B．72 C．85 D．96【答案】B【分析】首先不考虑甲、乙两位教研员利用平均分组分配问题的方法求出总安排数，再减去甲、乙两位教研员去同一所高中的情况.【详解】依题意若不考虑甲、乙两位教研员则有种安排方法，若甲、乙两位教研员去同一所高中则有种安排方法，综上可得不同的调研安排方案有种.故选：B1．（2023春·江苏·高三统考）将3位教师分到6个班级任教，每位教师教2个班，共有种不同的分法．【答案】90【分析】先将6个班分成3组，然后分配给3个教师，从而可求得结果.【详解】由题意可得先将6个班分成3组，然后分配给3个教师，所以共有种不同的分法，故答案为：902．（2023·云南·高三阶段练习）哈市某公司有五个不同部门，现有4名在校大学生来该公司实习，要求安排到该公司的两个部门，且每部门安排两名，则不同的安排方案种数为（）A．60 B．80 C．120 D．240【答案】A【分析】利用分组分配办法求解即可.【详解】可分为两步求解，第一步将四名大学生分为两组，由于分法为2，2，考虑到重复一半，故分组方案应为种，第二步将此两组大学生分到5个部门中的两个部门中，不同的安排方式有，故不同的安排方案有种，故选：A．3．（2023·宁夏·高三校考）9名志愿者到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每个小区安排3名志愿者，则不同的安排方法共有种．【答案】1680【分析】把9个人分成3组，每组3人，再分配到3个小区即可.【详解】把9个人分成3组，每组3人，有种不同的方法.再将这3组分配到3个小区，不同的安排方法种数为．故答案为：1680．考点十二、部分平均分组1．（2023·安徽·高三校考）将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，至多两人，则甲乙不在同一路口的分配方案共有（

）A．81种 B．72种 C．63种 D．36种【答案】B【分析】根据题意，分2步进行分析：①将5名交警分为1、2、2的三组，要求甲乙不在同一组，②将分好的三组安排到三个路口，由分步计数原理计算可得答案．【详解】根据题意，分2步进行分析：①将5名交警分为1、2、2的三组，要求甲乙不在同一组，有种分组方法，②将分好的三组安排到三个路口，有种安排方法，则有种分派方法，故选：B．2．（2023·吉林·高三校联考）中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了国际形象，增进了国际友谊．现有6支救援队前往三个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，其中受灾点至少需要2支救援队，则不同的安排方法种数是（

）A．180 B．240 C．320 D．360【答案】D【分析】将6支救援队按1，1，4、1，2，3或2，2，2分成3组，分别求出其不同的安排方法种数，再由分类加法计算原理即可得出答案.【详解】若6支救援队按1，1，4分成3组，则不同的安排方法种数是·=30，若6支救援队按1，2，3分成3组，则不同的安排方法种数是=240，若6支救援队按2，2，2分成3组，则不同的安排方法种数是·=90，故不同的安排方法种数是360.故选：D.3．（2023·重庆·高三校联考阶段练习）教育扶贫是我国重点扶贫项目，为了缩小教育资源的差距，国家鼓励教师去乡村支教，某校选派了5名教师到A、B、C三个乡村学校去支教，每个学校至少去1人，每名教师只能去一个学校，不同的选派方法数有（

）种A．25 B．60 C．90 D．150【答案】D【分析】按照分类分步计数原理可先将5人分成3组，再将3组人员分配到3个学校去，即可计算出结果.【详解】由题意可知，先将5人分成三组有2类分法，第一类：各组人数分别为1，1，3，共有种分法；第二类：各组人数分别为1，2，2，共有种分法，再将三组人员分配到A、B、C三个乡村学校去，共有种，所以不同的选派方法共有种.故选：D4．（2023春·湖南·高三校考）某高校大一新生中的6名同学打算参加学校组织的“雅荷文学社”、“青春风街舞社”、“羽乒协会”、“演讲团”、“吉他协会”五个社团，若每名同学必须参加且只能参加1个社团且每个社团至多两人参加，则这6个人中至多有1人参加“演讲团”的不同参加方法数为A．4680 B．4770 C．5040 D．5200【答案】C【详解】若有人参加“演讲团”，则从人选人参加该社团，其余人去剩下个社团，人数安排有种情况：和，故人参加“演讲团”的不同参加方法数为，若无人参加“演讲团”，则人参加剩下个社团，人数安排安排有种情况：和，故无人参加“演讲团”的不同参加方法数为，故满足条件的方法数为，故选C.【方法点睛】本题主要考查分组分配问题及排列组合的综合应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.1．（2023·江苏·高三统考）某市为了实施教育振兴计划，依托本市一些优质教育资源，每年都对本市所有在高校就读的定向师范生实施教育教学技能培训，以提高定向师范生的毕业质量.现有5名即将毕业的定向师范生拟分配到3所学校进行跟岗培训，每名师范生只能跟岗1所学校，每所学校至少分配1名师范生，则不同的跟岗分配方案共有（

）A．150种 B．300种 C．360种 D．540种【答案】A【分析】分类讨论人数的配比，结合捆绑法和部分平均分组法运算求解.【详解】若3所学校分配1名师范生的人数为时，先取3人看成一个整体，再进行排列，所以不同的跟岗分配方案有种；若3所学校分配1名师范生的人数为时，注意到有2个学校均分配2名师范生，所以不同的跟岗分配方案有种；综上所述：不同的跟岗分配方案共有种.故选：A.2．（2023·宁夏·高三校考）上海世博会期间，有4名同学参加志愿工作，将这4名同学分配到3个不同场馆工作，要求每个场馆至少一人，则不同的分配方案有（

）A．36 B．30 C．24 D．42【答案】A【分析】先将4名志愿者分成3组，两组1人，一组2人，再分别分配给3个场馆，即可得出答案.【详解】先将4名志愿者分成3组，两组各1人，一组2人，若两组各1人，一组2人，分别分配给3个场馆，则有种分法，因此不同的分配方案共36种.故选：A.3．（2023·全国·高三专题练习）为进一步在全市掀起全民健身热潮，兴义市于9月10日在万峰林举办半程马拉松比赛.已知本次比赛设有4个服务点，现将6名志愿者分配到4个服务点，要求每位志愿者都要到一个服务点服务，每个服务点都要安排志愿者，且最后一个服务点至少安排2名志愿者，有（

）种分配方式A．540 B．660 C．980 D．1200【答案】B【分析】按照最后一个服务区有2名志愿者和3名志愿者进行分配，即和，分别求出其方法种数，即可得出答案.【详解】由题知可按照最后一个服务区有2名志愿者和3名志愿者进行分配，①，有；②，有，共有（种）.故选：B.4．（2023·山东·高三校考期中）某校有5名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至少有1名学生且至多2名学生前往，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有（

）A．48 B．54 C．60 D．72【答案】C【分析】先分组，再考虑甲的特殊情况.【详解】将5名大学生分为122三组，即第一组1个人，第二组2个人，第三组