导数构造专题

导数构造专题1．函数f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，f'（x）为其导函数，若xf'（x）+f（x）＝（1﹣x）ex，且f（2）＝0，则f（x）＞0的解集为（）A．（0，1） B．（0，2） C．（1，2） D．（1，4）2．已知定义域为R的函数f（x），对任意x∈R有f'（x）＞f（x）（f'（x）是函数f（x）的导函数），若y＝f（x）﹣1为奇函数，则满足不等式f（x）＞ex的x的取值范围是（）A．（﹣∞，0） B．（﹣∞，1） C．（0，+∞） D．（1，+∞）3．已知定义域为R的奇函数f（x）的导函数为f'（x），当x＞0时，xf'（x）＞f（x）．若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a4．已知定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），满足f（x）＝f（﹣x）．且对任意x∈（0，），有f'（x）cosx+f（x）sinx＞0，若．则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜b＜a5．e为自然对数的底数，定义在R上的函数f（x）满足f'（x）﹣f（x）＜2ex，其中f'（x）为f（x）的导函数，若f（2）＝4e2，则f（x）＞2xex的解集为（）A．（﹣∞，1） B．（1，+∞） C．（﹣∞，2） D．（2，+∞）6．定义在（1，+∞）上的函数f（x）满足x2f′（x）+1＞0（f′（x）为函数f（x）的导函数），f（3）＝，则关于x的不等式f（log2x）﹣1＞logx2的解集为（）A．（1，8） B．（2，+∞） C．（4，+∞） D．（8，+∞）7．已知函数f（x）在x＞0上可导且满足xf'（x）﹣f（x）＞0，则下列一定成立的为（）A．ef（π）＞πf（e） B．f（π）＜f（e） C． D．f（π）＞f（e）8．定义在R上的偶函数f（x）的导函数为f′（x），且当x＞0时，xf′（x）+2f（x）＜0．则（）A． B．9f（3）＞f（1） C． D．9．已知函数f（x）是定义在R上的函数，且满足f′（x）+f（x）＞0，其中f′（x）为f（x）的导数，设a＝f（0），b＝2f（ln2），c＝ef（1），则a、b、c的大小关系是（）A．c＞b＞a B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a10．定义在R上的函数f（x）满足f（x）﹣f（﹣x）＝2x，当x＞0时，f′（x）＞1，若f（2x﹣1）﹣f（x）≥x﹣1，则x的取值范围是（）A．[1，+∞） B．（﹣∞，1] C． D．11．定义域为R的函数f（x）满足f（﹣3）＝6，且f'（x）＞x2+1对x∈R恒成立，则的解集为A．（﹣3，+∞） B．（﹣∞，﹣3） C．（﹣∞，3） D．（3，+∞）12．设函数f（x）在R上可导，∀x∈R，有f（x）+f（﹣x）＝x2且f（2）＝2；对∀x∈（0，+∞），有f′（x）＞x恒成立，则＞的解集为（）A．（﹣2，0）∪（0，2） B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） C．（﹣2，0）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）13．已知定义在R上的函数f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）﹣f（x）＜﹣1，且f（x+2）为偶函数，f（4）＝2，则不等式f（x）＜ex+1的解集是（）A．（﹣∞，﹣1） B．（0，+∞） C．（﹣∞，0） D．（1，+∞）导数构造专题1．函数f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，f'（x）为其导函数，若xf'（x）+f（x）＝（1﹣x）ex，且f（2）＝0，则f（x）＞0的解集为（）A．（0，1） B．（0，2） C．（1，2） D．（1，4）【解】：令g（x）＝xf（x），则g′（x）＝xf′（x）+f（x）＝（1﹣x）ex，当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，函数单调递减，又因为f（2）＝0，所以g（2）＝2f（2）＝0，g（0）＝0，由f（x）＞0可得，xf（x）＞0即g（x）＞0，所以0＜x＜2．故选：B．2．已知定义域为R的函数f（x），对任意x∈R有f'（x）＞f（x）（f'（x）是函数f（x）的导函数），若y＝f（x）﹣1为奇函数，则满足不等式f（x）＞ex的x的取值范围是（）A．（﹣∞，0） B．（﹣∞，1） C．（0，+∞） D．（1，+∞）【解】：令g（x）＝，又f'（x）＞f（x），则g′（x）＝＞0，∴函数g（x）在R上单调递增．∵y＝f（x）﹣1为奇函数，∴f（0）﹣1＝0，∴g（0）＝＝1．∴不等式＜1，即g（x）＜g（0）的解集为：{x|x＜0}．故选：A．3．已知定义域为R的奇函数f（x）的导函数为f'（x），当x＞0时，xf'（x）＞f（x）．若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a【解】：令g（x）＝（x≠0），由于f（x）为R上的奇函数，所以g（x）＝（x≠0）为定义域上的偶函数，又当x＞0时，xf'（x）＞f（x），所以，当x＞0时，g′（x）＝＞0，所以，偶函数g（x）在（0，+∞）上单调递增；又0＜sin＜1＜log46＜log49＝log23，所以g（sin）＜g（log46）＜g（log49）＝g（log23）＝g（﹣log23），即c＜b＜a，故选：C．4．已知定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），满足f（x）＝f（﹣x）．且对任意x∈（0，），有f'（x）cosx+f（x）sinx＞0，若．则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜b＜a【解】：构造函数g（x）＝，x∈（0，），∴g'（x）＝＞0，∴函数g（x）在（0，）上单调递增，∵函数f（x）满足f（x）＝f（﹣x）．∴函数f（x）为偶函数，∴a＝＝f（）＝＝＝g（），b＝＝＝＝＝g（），c＝2＝＝＝g（），∵，且函数g（x）在（0，）上单调递增，∴，即a＜b＜c，故选：A．5．e为自然对数的底数，定义在R上的函数f（x）满足f'（x）﹣f（x）＜2ex，其中f'（x）为f（x）的导函数，若f（2）＝4e2，则f（x）＞2xex的解集为（）A．（﹣∞，1） B．（1，+∞） C．（﹣∞，2） D．（2，+∞）【解】：令g（x）＝﹣2x，∵f'（x）﹣f（x）＜2ex，则g′（x）＝﹣2＜0即g（x）在R上单调递减，∵f（2）＝4e2，则g（2）＝0，由f（x）＞2xex可得，g（x）＞0，解可得，x＜2，故不等式的解集为（﹣∞，2）．故选：C．6．定义在（1，+∞）上的函数f（x）满足x2f′（x）+1＞0（f′（x）为函数f（x）的导函数），f（3）＝，则关于x的不等式f（log2x）﹣1＞logx2的解集为（）A．（1，8） B．（2，+∞） C．（4，+∞） D．（8，+∞）【解】：构造函数F（x）＝f（x）﹣，x∈（1，+∞），∴F'（x）＝f'（x）＝，∵函数f（x）在（1，+∞）上满足x2f′（x）+1＞0，∴F'（x）＞0在（1，+∞）上恒成立，∴函数F（x）在（1，+∞）上单调递增，∵不等式f（log2x）﹣1＞logx2，∴f（log2x）﹣logx2＞1，即f（log2x）﹣＞1，又∵F（3）＝f（3）﹣＝﹣＝1，∴不等式可转化为F（log2x）＞F（3），又∵函数F（x）在（1，+∞）上单调递增，∴log2x＞3，解得：x＞8，故选：D．7．已知函数f（x）在x＞0上可导且满足xf'（x）﹣f（x）＞0，则下列一定成立的为（）A．ef（π）＞πf（e） B．f（π）＜f（e） C． D．f（π）＞f（e）【解】：令g（x）＝（x＞0），则g'（x）＝，由已知xf′（x）﹣f（x）＞0恒成立得，当x＞0时，g'（x）＞0．故函数g（x）在（0，+∞）上是增函数，又π＞e＞0，故g（π）＞g（e），即，即ef（π）＞πf（e）．故选：A．8．定义在R上的偶函数f（x）的导函数为f′（x），且当x＞0时，xf′（x）+2f（x）＜0．则（）A． B．9f（3）＞f（1） C． D．【解】：令g（x）＝x2f（x），当x＞0时，xf′（x）+2f（x）＜0，则g′（x）＝2xf（x）+x2f′（x）＝x[2f（x）+f′（x）]＜0即g（x）在（0，+∞）上单调递减，因为f（﹣x）＝f（x），所以g（﹣x）＝（﹣x）2f（﹣x）＝x2f（x）＝g（x）即g（x）为偶函数，根据偶函数的对称性可知，g（x）在（﹣∞，0）上单调递增，g（e）＞g（3），所以＝，故选：D．9．已知函数f（x）是定义在R上的函数，且满足f′（x）+f（x）＞0，其中f′（x）为f（x）的导数，设a＝f（0），b＝2f（ln2），c＝ef（1），则a、b、c的大小关系是（）A．c＞b＞a B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a【解答】解：令g（x）＝exf（x），则g′（x）＝ex[f（x）+f′（x）]＞0，∴g（x）在R上单调递增，又0＜ln2＜1，∴g（0）＜g（ln2）＜g（1），即f（0）＜2f（ln2）＜ef（1），故选：A．10．定义在R上的函数f（x）满足f（x）﹣f（﹣x）＝2x，当x＞0时，f′（x）＞1，若f（2x﹣1）﹣f（x）≥x﹣1，则x的取值范围是（）A．[1，+∞） B．（﹣∞，1] C． D．【解】：∵定义在R上的函数f（x）满足f（x）﹣f（﹣x）＝2x＝x﹣（﹣x），∴f（x）﹣x＝f（﹣x）﹣（﹣x），令g（x）＝f（x）﹣x，则g（﹣x）＝g（x），∴g（x）＝f（x）﹣x为偶函数，又x＞0时，g′（x）＝f′（x）﹣1＞0，所以g（x）在（0，+∞）单调递增，f（2x﹣1）﹣f（x）≥x﹣1⇔f（2x﹣1）﹣（2x﹣1）≥f（x）﹣x，⇔g（2x﹣1）≥g（x），∴|2x﹣1|≥|x|，两边平方得，3x2﹣4x+1≥0，解得，x≥1或x≤，故选：C．11．定义域为R的函数f（x）满足f（﹣3）＝6，且f'（x）＞x2+1对x∈R恒成立，则的解集为A．（﹣3，+∞） B．（﹣∞，﹣3） C．（﹣∞，3） D．（3，+∞）【解】：构造函数F（x）＝f（x）﹣x3，则有，且F'（x）＝f'（x）﹣x2．由f'（x）＞x2+1，可知，则F（x）为增函数，故．故选：A．12．设函数f（x）在R上可导，∀x∈R，有f（x）+f（﹣x）＝x2且f（2）＝2；对∀x∈（0，+∞），有f′（x）＞x恒成立，则＞的解集为（）A．（﹣2，0）∪（0，2） B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） C．（﹣2，0）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）【解】：令，∵g（﹣x）+g（x）＝，∴函数g（x）为奇函数．∵x∈（0，+∞）时，g′（x）＝f′（x）﹣x＞0，∴函数g（x）在（0，+∞）上是增函数，∴函数g（x）在（﹣∞，0）上也是增函数，∴g（x）在（﹣∞，0）和（0，+∞）上是增函数，由，得，即g（x）＞0，∵f（2）＝2，∴，g（﹣2）＝0，∴x∈（2，+∞）或x∈（﹣2，0）时，g（x）＞0，故x∈（﹣2，0）⋃（2，+∞）时，．故选：C．13．已知定义在R上的函数f（x）的导函数为f′（x），满