构造函数题目1

极坐标方程的综合应用1.在直角坐标系xOy中，圆C1的参数方程为〔是参数〕，圆C2的参数方程为〔是参数〕，以O为极点，戈轴正半轴为极轴建立极坐标系．(I)求圆C1，圆C2的极坐标方程；(Ⅱ)射线=(0≤<2)同时与圆C1交于O，M两点，与圆C2交于O，N两点，求|OM|+|ON|的最大值．解：〔1〕圆，圆---------2分圆，圆------4分〔2〕时，极坐标---------6分----------8分所以当时，取得最大值为4--------------10分2.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为〔α为参数〕，曲线C2的参数方程为〔β为参数〕，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．〔Ⅰ〕求曲线C1和曲线C2的极坐标方程；〔Ⅱ〕射线l1：θ＝α〔0＜α＜〕，将射线l1顺时针旋转得到射线l2：θ＝α－，且射线l1与曲线C1交于O、P两点，射线l2与曲线C2交于O、Q两点，求｜OP｜·｜OQ｜的最大值．解：〔1〕曲线的直角坐标方程为，所以极坐标方程为曲线的直角坐标方程为，所以极坐标方程为4分〔2〕设点极点坐标，即点极坐标为即那么=…….8分，，当即时，取最大值4．…….10分3．曲线C的参数方程为〔θ为参数〕，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin〔+θ〕=2〔1〕将曲线C上各点的纵坐标伸长为原来的两倍，得到曲线C1，写出曲线C1的极坐标方程．〔2〕射线θ=与C1、l的交点分别为A、B，射线θ=﹣与C1、l的交点分别为A1、B1，求△OAA1与△OBB1的面积之比．【解答】解：〔1〕在曲线C的参数方程〔θ为参数〕中用代y，得到曲线C1的参数方程〔θ为参数〕，化为普通方程为x2+y2=4，故曲线C1的极坐标方程ρ=2；〔2〕依题意知点A、A1的极坐标分别为〔2，〕，〔2，﹣〕，设B、B1的极坐标分别为〔ρ1，〕，〔ρ2，﹣〕，那么ρ1ρ2=•===32，所以=2sin=，=ρ1ρ2sin=16×=8，故=．4.极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．曲线C1的极坐标方程为ρ＝2sin〔θ＋〕，曲线C2的极坐标方程为ρsinθ＝a〔a＞0〕，射线θ＝，θ＝＋，θ＝－，θ＝＋与曲线C1分别交异于极点O的四点A，B，C，D．〔1〕假设曲线C1关于曲线C2对称，求a的值，并把曲线C1和C2化成直角坐标方程；〔2〕求｜OA｜·｜OC｜＋｜OB｜·｜OD｜的值．解：〔1〕：，……………………2分：，……………4分因为曲线关于曲线对称，，：…………………5分〔2〕；，……………………8分……利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题的方法经过点，倾斜角为α的直线的参数方程为。其中为直线上的任意一点，参数t的几何意义是从点P到M的位移，可以用有向线段的数量来表示。假设A,B为直线上两点，其对应的参数分别为，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为，那么以下结论在解题中经常用到：，注意：直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且其几何意义为：是直线上任一点到点的距离，即。1.在直角坐标系中，过点的直线的倾斜角为．以坐标原点为极点，轴正半轴为极坐标建立极坐标系，曲线的极坐标方程为,直线和曲线的交点为．〔1〕求直线的参数方程；〔2〕求．【解析】〔1〕∵直线过点，且倾斜角为．∴直线的参数方程为〔为参数〕，即直线的参数方程为〔为参数〕．〔2〕∵，∴，∵，，∴曲线的直角坐标方程为，∵，∴，∴，∴，∴2.在直角坐标系中，以原点为极点，z轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C：QUOTE_x0001_(a>0)，过点P〔-4，-2〕的直线L的参数方程为QUOTE_x0001_〔t为参数〕，L与C分别交于点M，N.〔1〕写出C的直角坐标方程和L的普通方程；〔2〕假设QUOTE_x0001_，QUOTE_x0001_，QUOTE_x0001_成等比数列，求a的值，解：〔1〕曲线C的直角坐标方程为：x2=2ay(a˃0)，···············································2分直线L的普通方程为x-y+2=0.····························································4分〔2〕将直线L的参数方程与C的直角坐标方程联立，得t2-2(4+a)QUOTE_x0001_t+8(4+a)=0，··············〔*〕5分Δ=8a(4+a)˃0.··········································································6分设点M,N分别对应参数t1，t2，恰为上述方程的根。那么QUOTE_x0001_·7分由题设得〔t1-t2〕2=QUOTE_x0001_，即〔t1+t2〕2-4t1t2=QUOTE_x0001_··········································8分由〔*〕得t1+t2=2(4+a)，t1t2=8(4+a)˃0那么有(4+a)2-5(4+a)=0，解得a=1，a=-4。····················································9分因为a˃0，所以a=1···································································10分3．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位,直线的参数方程为〔t为参数，〕，曲线C的极坐标方程为．〔Ⅰ〕求曲线C的直角坐标方程。〔Ⅱ〕设直线与曲线C相交于A，B两点，当a变化时，求的最小值【解析】试题分析：〔Ⅰ〕将两边乘以得，，将代入上式得曲线C的直角坐标方程；〔Ⅱ〕将将直线的参数方程代入曲线C的普通方程中，整理关于t的二次方程，设M，N两点对应的参数分别为，利用一元二次方程根与系数将，用表示出来，利用直线参数方程中参数t的几何意义得，|AB|=，再转化为关于与的函数，利用前面，关于的表示式，将上述函数化为关于的函数，利用求最值的方法即可求出|AB|的最小值．试题解析：〔Ⅰ〕由,得所以曲线C的直角坐标方程为〔4分〕〔Ⅱ〕将直线l的参数方程代入,得设A、B两点对应的参数分别为t1、t2,那么t1+t2=,t1t2=,∴|AB|=|t1-t2|==,当时,|AB|的最小值为4〔10分〕构造函数解题为R上的可导函数，且，均有，那么有〔〕函数满足，且的导数，那么的解集为设函数的导函数为，且，那么以下不等式成立的是〔〕定义在R上的可导函数满足：，那么与的大小关系是_______函数的定义域是R，，对任意，那么不等式的解集为〔〕6.定义在R上的可导函数的导函数为，满足，，那么不等式的解集为〔〕7.设分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当时，且，那么不等式的解集是()8.(2015全国卷Ⅱ)设函数是奇函数的导函数，，当时，，那么使得成立的的取值范围是〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕9.定义域为，为的导函数，且满足，那么不等式的解集是〔〕10.设函数在R上存在导函数为，，在上，假设，那么实数的取值范围为_____________11.假设函数满足，其中为的导函数，那么当时，的最大值为_________12.函数对任意的满足〔其中是函数的导函数〕，那么以下不等式成立的是〔〕13.函数的定义域为，是它的导函数，且恒成立，那么〔〕14.设函数在R上存在导函数为，在上且都有，那么以下大小关系一定正确的选项是〔〕15.为定义在上可导函数，且恒成立，那么不等式的解集为____________16.定义在R上的奇函数的导函数为，当时，满足，那么在R上的零点个数为〔〕A.1