初中数学中考数学各类考点分项专解80 一线三等角模型

几何模型3—一线三等角模型【模型介绍】一线三等角：两个三角形中相等的两个角落在同一条直线上，另外两条边所构成的角与这两个角相等，这三个相等的角落在同一直线上，故称“一线三等角”如下图所示，一线三等角包括一线三直角、一线三锐角、一线三钝角【解题关键】构造相似或是全等三角形【典型例题】【题型一：一线三直角模型】如图，若∠1、∠2、∠3都为直角，则有△ACP∽△BPD．【例1】如图1所示，已知△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC，直线m经过点C，过A、B（1）如图1，当直线m在A、B两点同侧时，求证：EF=（2）若直线m绕点C旋转到图2所示的位置时（BF<AE），其余条件不变，猜想EF与AE，（3）若直线m绕点C旋转到图3所示的位置时（BF>AE）其余条件不变，问EF与AE，【答案】（1）见解析；（2）EF=（3）EF=【解析】（1）证明：∵AE⊥EF，BF∴∠AEC=∠BFC=∠ACB=90°，∴∠EAC+∠ECA=90°，∠FCB+∠ECA=90°，∴∠EAC=∠FCB，在△EAC和△∠AEC∴△EAC∴CE=BF∵EF=∴EF=（2）解：EF=∵AE⊥EF，BF∴∠AEC=∠BFC=∠ACB=90°，∴∠EAC+∠ECA=90°，∠FCB+∠ECA=90°，∴∠EAC=∠FCB，在△EAC和△∠AEC∴△EAC∴CE=BF∵EF=∴EF=（3）解：EF=∵AE⊥EF，BF∴∠AEC=∠BFC=∠ACB=90°，∴∠EAC+∠ECA=90°，∠FCB+∠ECA=90°，∴∠EAC=∠FCB，在△EAC和△∠AEC∴△EAC∴CE=BF∵EF=∴EF=【练1】如图，在平面直角坐标系中，将直线y=-3x向上平移3个单位，与y轴、x轴分别交于点A、B，以线段AB为斜边在第一象限内作等腰直角三角形ABC．若反比例函数y=kx(x>0)的A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【解析】解：过点C作CE⊥x轴于点E，作CF⊥y轴于点F，如图所示，∵CE⊥x轴，CF⊥y轴，∴∠ECF＝90°．∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ACF＋∠FCB＝∠FCB＋∠BCE＝90°，AC＝BC，∴∠ACF＝∠BCE．在△ACF和△BCE中，∠AFC∴△ACF≌△BCE（AAS），∴S△ACF＝S△BCE，∴S矩形OECF＝S四边形OBCA＝S△AOB＋S△ABC．∵将直线y＝−3x向上平移3个单位可得出直线AB，∴直线AB的表达式为y＝−3x＋3，∴点A（0，3），点B（1，0），∴AB＝∵△ABC为等腰直角三角形，∴AC=∴S矩形OECF＝S△AOB＋S△ABC＝12×1×3＋12×∵反比例函数y=kx（x＞0）的图象∴k＝4，故选C．【练2】如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OBA=60°，若点A在反比例函数y=3x(xA．y=-3x B．y=3x【答案】C【解析】解：作AD⊥x轴于D，BC⊥∵∠AOB=90°，∴∠BAO∴OB=∵点A在反比例函数y=3x∴xy=∵∠AOD+∠BOC∴∠BOC∴Rt△BOC∽Rt△OAD，∴S△∵S△∴S△即12∴k=1∵k<0∴k=-1∴经过点B的反比例函数解析式为y=-故选：C．【练3】如图，已知l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角A．13B.617C．5【答案】D【解析】如图，过点A作AD⊥l1于点D，过点B作BE⊥l1于点B，设l1，l2∵∠CAD+∠ACD=90°，∠BCE+∠ACD=90°∴∠CAD=∠BCE在等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ADC=∠BEC=90°∴△ACD≌△CBE∴CD=BE=1在Rt△ACD中AC=AD在等腰直角△ABC中AB=2AC=2∴sin故选：D【练4】如图1，等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CB＝BA，直线ED经过点B，过A作AD⊥ED于D，过C作CE⊥ED于E.则易证△ADB≌△BEC．这个模型我们称之为“一线三垂直”.它可以把倾斜的线段AB和直角∠ABC转化为横平竖直的线段和直角，所以在平面直角坐标系中被大量使用.模型应用：(1)如图2，点A（0，4)，点B(3，0），△ABC是等腰直角三角形．①若∠ABC＝90°，且点C在第一象限，求点C的坐标；②若AB为直角边，求点C的坐标；(2)如图3，长方形MFNO，O为坐标原点，F的坐标为（8，6），M、N分别在坐标轴上，P是线段NF上动点，设PN＝n，已知点G在第一象限，且是直线y＝2x一6上的一点，若△MPG是以G为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点G的坐标.【答案】（1）①（7,3）；②（7,3）、（4,7）、（-4,1）、（-1,-3）；（2）（4，2）、(20【解析】解：（1）①如图，过C作CD垂直于x轴，根据“一线三垂直”可得△AOB≌△BDC，∴AO=BD，OB=CD，∵点A（0，4)，点B(3，0），∴AO=4，OB=3

，∴OD=3+4=7，∴点C的坐标为（7,3）；②如图，若AB为直角边，点C的位置可有4处，a、若点C在①的位置处，则点C的坐标为（7,3）；b、若点C在C1的位置处，同理可得，则点C1的坐标为（4,c、若点C在C2的位置处，则C1、C1∵点A（0，4)，点C1（4,7），∴点C2的坐标为（-4,d、若点C在C3的位置处，则C3、C关于点∵点B(3，0），点C（7,3），∴点C3的坐标为（-1,-3综上，点C的坐标为（7,3）、（4,7）、（-4,1）、（-1,-3）；（2）当点G位于直线y=2x-6上时，分两种情况：①当点G在矩形MFNO的内部时，如图，过G作x轴的平行线AB，交y轴于A，交直线NF于点B，设G（x，2x-6）；则OA=2x-6，AM=6-（2x-6）=12-2x，BG=AB-AG=8-x；则△MAG≌△GBP，得AM=BG，即：12-2x=8-x，解得x=4，∴G（4，2）；当点G在矩形MFNO的外部时，如图，过G作x轴的平行线AB，交y轴于A，交直线NF的延长线于点B，设G（x，2x-6）；则OA=2x-6，AM=（2x-6）-6=2x-12，BG=AB-AG=8-x；则△MAG≌△GBP，得AM=BG，即：2x-12=8-x，解得x=∴G(20综上，G点的坐标为（4，2）、(20【题型二：一线三锐角与一线三钝角】如图，若∠1、∠2、∠3都为锐角，则有△ACP∽△BPD．证明：∵∠DPB＝180°－∠3－∠CPA，∠C＝180°－∠1－∠CPA，而∠1＝∠3∴∠C＝∠DPB，∵∠1＝∠2，∴△ACP∽△BPD如图，若∠1、∠2、∠3都为钝角，则有△ACP∽△BPD．（证明同锐角）【例2】如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝2，点D是BC边上的一个动点（不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE＝30°．（1）设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；（2）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．【答案】（1）y(2)AE＝4－23或AE＝【解析】解（1）∵△ABC是等腰三角形，且∠BAC＝120°，∴∠ABD＝∠ACB＝30°，∴∠ABD＝∠ADE＝30°，∵∠ADC＝∠ADE＋∠EDC＝∠ABD＋∠DAB，∴∠EDC＝∠DAB，∴△ABD∽△DCE；∵AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，过A作AF⊥BC于F，∴∠AFB＝90°，∵AB＝2，∠ABF＝30°，∴AF＝12AB＝∴BF＝3，∴BC＝2BF＝23则DC＝23-x，EC＝∵△ABD∽△DCE，∴ABBD∴2x化简得：y=（2）①当AD＝DE时，如图，△ABD≌△DCE，则AB＝CD，即2＝23x＝23-解得：y＝4-23，即AE②当AE＝ED时，如图，∠EAD＝∠EDA＝30°，∠AED＝120°，所以∠DEC＝60°，∠EDC＝90°则ED＝12EC，即y＝12（2－解得y＝23，即AE＝2③当AD＝AE时，有∠AED－∠EDA＝30°，∠EAD＝120°此时点D和点B重合，与题目不符，此情况不存在．所以当△是ADE等腰三角形时，AE＝4－23或AE＝【练1】如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于点E．（1）当∠BDA=115°时，∠EDC=______°，∠AED=______°；（2）线段DC的长度为何值时，△ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．【答案】（1）25°，65°；（2）2，理由见解析；（3）可以，110°或80°.【解析】解：（1）∵∠B=40°∠ADB=115°，∴∠BAD=180°-∠B-∠ADB=180°-115°-40°=25°，∵AB=AC，∴∠C=∠B=40°，∵∠EDC=180°-∠ADB-∠ADE=25°，∴∠DEC=180°-∠EDC-∠C=115°，∴∠AED=180°-∠DEC=180°-115°=65°；（2）当DC=2时，△ABD≌△DCE，理由：∵∠C=40°，∴∠DEC+∠EDC=140°，又∵∠ADE=40°，∴∠ADB+∠EDC=140°，∴∠ADB=∠DEC，又∵AB=DC=2，在△ABD和△DCE中，∠ADB∴△ABD≌△DCE（AAS）；（3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形，∵∠BDA=110°时，∴∠ADC=70°，∵∠C=40°，∴∠DAC=70°，∴△ADE的形状是等腰三角形；∵当∠BDA的度数为80°时，∴∠ADC=100°，∵∠C=40°，∴∠DAC=40°，∴△ADE的形状是等腰三角形．【练2】阅读材料：小胖同学遇到这样一个问题，如图1，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝22，AD＝AE，∠DAE＝90°，CE＝5，求CD的长；小胖经过思考后，在CD上取点F使得∠DEF＝∠ADB（如图2），进而得到∠EFD＝45°，试图构建“一线三等角”图形解决问题，于是他继续分析，又意外发现△CEF∽△CDE．（1）请按照小胖的思路完成这个题目的解答过程．（2）参考小胖的解题思路解决下面的问题：如图3，在△ABC中，∠ACB＝∠DAC＝∠ABC，AD＝AE，12∠EAD+∠EBD＝90°，求BE：ED【答案】CD=5；（1）证明见解析；（2）1【解析】解：（1）在CD上取点F，使∠DEF＝∠ADB，∵AD＝AE，∠DAE＝90°，∴DE＝2AD＝2AE，∵∠ABC＝45°，∠ADE＝45°，且∠ADC＝∠ADE+∠EDC，∴∠BAD＝∠EDC，∵∠BDA＝∠DEF，∴△ADB∽△DEF，∴DFAB=DE∵AB＝22，∴DF＝4，又∵∠CDE+∠C＝45°，∴∠CEF＝∠CDE，∴△CEF∽△CDE，∴CECF又∵DF＝4，CE＝5，∴5CF∴CF＝1或CF＝5（舍去），∴CD＝CF+4＝5；（2）如图3，作∠DAT＝∠BDE，作∠RAT＝∠DAE，∵∠ACB＝∠DAC＝∠ABC，∴AB＝AC，AD＝CD，∵AD＝AE，∴∠AED＝∠ADE，∵12∠EAD+∠EBD＝90°∴∠EAD+2∠EBD＝180°，且∠EAD+2∠AED＝180°，∴∠EBD＝∠AED＝∠ADE，∵∠BDA＝∠DAT+∠ATD＝∠BDE+∠ADE，∴∠ADE＝∠ATD＝∠EBD，且∠BDE＝∠DAT，∴△DBE∽△ATD，∴BEDT=DEAD，∠ADT∴BEDE=DTAD，且∴BEDE∵∠RAT＝∠DAE，∠ADE＝∠ATD，∴∠RAE＝∠DAT，∠AED＝∠ART＝∠ADE＝∠ATD，∴AR＝AT，且∠RAE＝∠DAT，∠ARE＝∠ATD，∴△ARE≌△ATD（ASA）∴∠ADT＝∠AER，DT＝ER，∴∠BED＝∠AER，∴∠AED＝∠BER＝∠EBD，∴RE＝RB＝DT，∵AB＝AC，∠ABC＝∠ACB，∠ARB＝∠ATC，∴△ABR≌△ACT（AAS）∴BR＝TC，∴DT＝TC，∴CD＝2DT，∴BEDE=【练3】数学模型（“一线三等角”模型）(1)如图1，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD⊥AD于点D，CE⊥AD于点E．求证：△ABD≌△CAE．(2)如图2，在△ABC中，AB＝AC，点D，A，E都在直线l上，并且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α．若CE＝a，BD＝b，求DE的长度（用含a，b的代数式表示）；(3)如图3，D，E是直线l上的动点，若△ABF和△ACF都是等边三角形，且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，试判断△DEF的形状，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)a+b(3)△DEF是等边三角形，理由见解析．【解析】(1)证明：∵∠1+∠2＝∠2+∠C＝90°，∴∠1＝∠C，在△ABD和△CAE中，∠1=∠C∠∴△ABD≌△CAE（AAS），(2)解：∵∠BDA＝∠BAC＝α，∴∠DBA+∠BAD＝180°﹣α＝∠BAD+∠CAE，∴∠CAE＝∠ABD，在△ABD和△CAE中，∠ABD∴△ABD≌△CAE（AAS），∴AD＝CE，BD＝AE，∵CE＝a，BD＝b，∴DE＝AD+AE＝BD+CE＝a+b；(3)解：△DEF是等边三角形，理由如下：∵△ABF和△ACF都是等边三角形∴AB＝AC，由（2）知：△ABD≌△CAE，∴BD＝AE，∠ABD＝∠CAE，∵△ACF是等边三角形，△ABF是等边三角形，∴∠CAF＝60°，AB＝AF，∴∠ABD+∠ABF＝∠CAE+∠CAF，即∠DBF＝∠FAE，在△BDF和△AEF中，FB=FA∴△BDF≌△AEF（SAS），∴DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，∴∠DFE＝∠AFD+∠AFE＝∠AFD+∠BFD＝60°，∴△DEF是等边三角形．【练4】数学模型学习与应用．【学习】如图1，∠BAD=90°，AB=AD，BC⊥AC于点C，DE⊥AC于点E．由∠1+∠2=∠2+∠D=90°，得∠1=∠