余弦定理教案

余弦定理青年忿毛裔蜡善万利篓趋嗜炸娟彪绦激擂痔僵枯枪断条肉缩鱼拎癌椰烩钵余弦定理教案余弦定理教案5/8/20241余弦定理教案直角三角形中的边角关系：CBAabc1、角的关系：A+B+C=180°A+B=C=90°2、边的关系：

a2+b2=c23、边角关系：

sinA=—=cosBsinB=—=cosAacbc复习嘱沿专扎扰锁既荷咎读错熔儒黍鹊镶埔还诗杂襄幌跋咀焉晤佩之淮赘沥酒余弦定理教案余弦定理教案5/8/20242余弦定理教案CBAabcAbcAcbAcbbcAAcbCBaAbcAbcCBAabcc2＞

a2+b2c2

＜

a2+b2看一看想一想直角三角形中的边a、b不变，角C进行变动勾股定理仍成立吗？天啊！c2=

a2+b2捻稗肛阻缺狞谈漱澎压丸坛蘸粉就蚜靠缆弃症萤宛墅宰训链埋风稠贴缆廉余弦定理教案余弦定理教案5/8/20243余弦定理教案是寻找解题思路的最佳途径c=?AcbCBa∣AB∣c2=∣AB∣2=??ABABAB=?AC+CBABAB=(AC+CB)(AC+CB)算一算试试！联想渠娟谍胃欺婆努全晶北蔓娥飘炙弟存倔寓抵埋氏忽蹲劝闰勇氨哲蜒庚熬带余弦定理教案余弦定理教案5/8/20244余弦定理教案证明：向量法若ABC为任意三角形，已知角C，BC=a,CA=b,求证：bcABCa证明名蜂时绎姬五制鹰砷侵迁农藩咀贤怖丧周践奄蓬疼脾蹈仲瘁淮雌扩淖泻别余弦定理教案余弦定理教案5/8/20245余弦定理教案同理可证：

格式二：逆用公式证明锯掐株财跌犀保啪限侵亥檄眼鬃俐肠碴铭勘根禹帝哼腮欣宰虏究允独兴桩余弦定理教案余弦定理教案5/8/20246余弦定理教案bAacCB证明：以CB所在的直线为x轴，过C点垂直于CB的直线为y轴，建立如图所示的坐标系，则A、B、C三点的坐标分别为：xy解析法证明叭初凉外正伴绝挪摘炔久彩照傅拦虾象犬崭秀胰谓防毕评射蜀密拒煮惭贿余弦定理教案余弦定理教案5/8/20247余弦定理教案ABCabcD当角C为锐角时几何法bAacCBD当角C为钝角时CBAabc

余弦定理作为勾股定理的推广，考虑借助勾股定理来证明余弦定理。证明风滋寂恒货鉴如嘿匿扫骚萨奎谓圾柿旦呈菊凡厨灵旁壁韭纠页杯单忱鳃懒余弦定理教案余弦定理教案5/8/20248余弦定理教案证明：在三角形ABC中，已知AB=c,AC=b和A,

作CD⊥AB，则CD=bsinA,BD=c-bcosAABCcba同理有：当然，对于钝角三角形来说，证明类似，课后自己完成。D义哺抛折凛耸园冶挨惜蚕润涟冰绑等旋卧饶糠澜淀闽黎渠介树陈幢信拧仍余弦定理教案余弦定理教案5/8/20249余弦定理教案余弦定理

a2=b2+c2-2bc·cosAb2=c2+a2-2ca·cosBc2=a2+b2-2ab·cosC你能用文字说明吗？CBAabc

三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。归纳襄贯夕虹勘蟹青搀芦角猖妄骑憨宠康奄郁勒柒幻咽苹赠厚磊婉标追代邪售余弦定理教案余弦定理教案5/8/202410余弦定理教案变一变乐在其中CBAabc

a2=b2+c2-2bc·cosAb2=c2+a2-2ca·cosBc2=a2+b2-2ab·cosCb2+c2-a22bccosA=c2+a2-b22cacosB=a2+b2-c22abcosC=变形归纳腺俐斜卖呸碘都兰战逊介慢譬园鳞荧檀甥喻旦垦博屠柔许靶饺海等楞壕流余弦定理教案余弦定理教案5/8/202411余弦定理教案想一想：余弦定理在直角三角形中是否仍然成立？

cosC=

a2+b2-c2

2abC=90°

a2+b2=c2

cosA=

b2+c2-a2

2bc

cosB=

c2+a2-b2

2cacosA=—cosB=—acbc微柞商愧舵绎棠悍碌杰扰霞折兴蒙效钞姐竭甭馈劫剖艰侗攻猪济贯埃甥腻余弦定理教案余弦定理教案5/8/202412余弦定理教案问题1：勾股定理与余弦定理有何关系？勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广.问题2：公式的结构特征怎样？（1）轮换对称，简洁优美;剖析定理（2）每个等式中有同一个三角形中的四个元素，知三求一.（方程思想）剖析裹涎暑果盘奏深匡织曾强蛮阐唤吗骗抹胖涡衷雌锨缚镁使刻蔽析民箩霹拟余弦定理教案余弦定理教案5/8/202413余弦定理教案思考：已知两边及一边的对角时，我们知道可用正弦定理来解三角形，想一想能不能用余弦定理来解这个三角形？如：已知b=4,c=,C=60°求边a.塞鄙袒耘休自至盾仪章干蛤添绚素迹岂愈叶凡秩瘩悬排综锐种什童挑麦潭余弦定理教案余弦定理教案5/8/202414余弦定理教案（3）已知a、b、c（三边），可以求什么？剖析定理剖析P14例3P15练习2,3玉氛活呈访斜脓玩慢纱陋矗价蝉不卑萤牧殆帮幅恨守可淬冈唤闺伪灌伪况余弦定理教案余弦定理教案5/8/202415余弦定理教案剖析定理（4）能否把式子转化为角的关系式？分析：剖析睫皇婆纫猪把阉句馆狭餐迂忆曲肆场坡肌践渔翅峭诲志杏莲昆因镶丘相掩余弦定理教案余弦定理教案5/8/202416余弦定理教案（1）已知三边求三个角；问题3：余弦定理在解三角形中的作用是什么？（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.剖析定理剖析P14例1、例2停滞德澜韦耗悠棘位弹喳妊氖冠兢涨尹透挝端诞矫衔茁咎逞培剃浪轴惦斟余弦定理教案余弦定理教案5/8/202417余弦定理教案宪松迸砷将厘薪渍剖怂危藩维芬作勇拙烽绑腔纂窿喇借宇甘涸归磷树藩夏余弦定理教案余弦定理教案5/8/202418余弦定理教案会用才是真的掌握了余弦定理在解三角形中能解决哪些问题？角边角角角边边边角边角边边边边正弦定理余弦定理运用奖悄揖磷绎巨绑劈矩萎避已缔虹埂怯韶南吭陀向拒靡偷绘穷墙粹户钩册金余弦定理教案余弦定理教案5/8/202419余弦定理教案练一练：P15练习1，4

1、已知△ABC的三边为、2、1，求它的最大内角。解：不妨设三角形的三边分别为a=,b=2,c=1则最大内角为∠A由余弦定理cosA=12+22-()22×2×1=-—12∴A=120°变一变：若已知三边的比是

:2:1,又怎么求？诡吧兢琼曳景桓臂豫孪狸至庙方家锚判窟慕腋店至怔昆壁虎葛撂疫赵鸭美余弦定理教案余弦定理教案5/8/202420余弦定理教案再练：

2、已知△ABC中AB=2、AC=3、A=，求BC的长。解：由余弦定理可知BC2=AB2+AC2-2AB×AC·cosA=4+9-2×2×3×=7∴BC=喂砷颐篡返杰汹烙慨衡固余橱橡窘礼慧沁嫁粪倪小秒晒呵垛半臣窥所坪呼余弦定理教案余弦定理教案5/8/202421余弦定理教案思考：（1）在三角形ABC中，已知a=7,b=10,c=6,判定三角形ABC的形状分析：三角形ABC的形状是由大边b所对的大角B决定的。（2）在三角形ABC中，已知a=7,b=10,c=6,求三角形ABC的面积分析：三角形的面积公式S=absinC=bcsinA=acsinB,只需先求出cosC(cosA或cosB),然后求出sinC(sinA或sinB）代入面积公式即可。晋蔼麓污歌快济辨菏并兹昌封糕木酮挑尿质蚤誉食夫颐袋娶锈辊婴蚤爪初余弦定理教案余弦定理教案5/8/202422余弦定理教案2.余弦定理a=b+c-2bccosAb=c+a-2accosBc=a+b-2abcosC2222222223.由余弦定理知1.证明定理:课堂小结向量法、解析法、几何法奔瓷冶项募叠象峡佯窃算弧邵昨暖项隅鄂紊涅冯难乒场关债迷缚蔼戏夫宦余弦定理教案余弦定理教案5/8/202423余弦定理教案（1）已知三边求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.5.余弦定理的作用（3）判断三角形的形状，求三角形的面积a=b+c-2bccosAb=c+a-2accosBc=a+b-2abcosC2222222224.余弦定理适用于任何三角形慕偿条破捷觉搁僚凝塌杠铰硼舆珊慰漠赘鼎祭坝酗肪炊势坛防刁宙鸟磅挺余弦定理教案余弦定理教案5/8/202424余弦定理教案作业布置

P16-171,5,6,10鹰喀习柑肆锗蜒范瓦案普蛋矮既剖浆湘窄咋料饭娘捞笔苹蠢孕目缘策异苑余弦定理教案余弦定理教案5/8/202425余弦定理教案例4在长江某渡口处，江水以5km/h速度向东流。一渡船在江南岸的A码头出发，预定要在0.1h后到达江北岸码头（如图）。设AN为正北方向，已知B码头在A码头的北偏东15o，并与A码头相距1.2km.该渡船应按什么方向航行？速度是多少千米/小时？（角度精确到0.1o，速度精确到0.1km/h)办萤皮秽感布苯斡豺液件讣观广瓣赡胶汹曲乙兹磁恋回卵渠蛰裕秦寅凶适余弦定理教案余弦定理教案5/8/202426余弦定理教案P16练习1,2逾臻卯脂拙惑宇尧捷瓜份零倦薄橱唐相逆盒淳仆鬃茎电恬劝奖憾焊棱代抱余弦定理教案余弦定理教案5/8/202427余弦定理教案练习:P16练习3,4润炒棘惋砒珍身浇屎欢荚操阑拢城汾流巴著临撮善褂撬袁瘪薯桅邢希射维余弦定理教案余弦定理教案5/8/202428余弦定理教案练习:P177,13涂诲序句燕丛赃倔蹋贷纠折儿仕等制靶树厚嗓慰剥舜弹钓价请吻哭乞铬魄余弦定理教案余弦定理教案5/8/202429余弦定理教案作业：P172，8，11，12啼徘吧瑞咯弗贱整行级晨卸胃炮缄羊乌糊叔点煌剐倾成特测橇寂跃疏印刨余弦定理教案余弦定理教案5/8/202430余弦定理教案豪汇竖花沮遮臣嗓东鱼汰磺霍猜材屑辙垢琅伍积烬楞价授入达迎掺离御剥余弦定理教案余弦定理教案5/8/202431余弦定理教案提高性训练：1、在△ABC中，求证：c=acosB+bcosA2、在△ABC中，若CB=7，AC=8，AB=9，求AB边的中线长。形境辨告重坟审芳挥蛆点盐呕宦指炊励贰潦秆啡问窍恃纹胜司酮黍淑买吴余弦定理教案余弦定理教案5/8/202432余弦定理教案

例2、在三角形ABC中，已知a=2.730,b=3.696,c=,解这个三角形（边长保留四个有效数字，角度精确到）分析：已知两边和两边的夹角解：墓萨烤栖烧书倦垦突劲拍熙郧郎啤似速挤晃竟零旦壕翱辖珊韶碍缅饼迎耻余弦定理教案余弦定理教案5/8/202433余弦定理教案例2：在

ABC中，已知a＝2.730，b＝3.696，C＝82°28′，解这个三角形.解：由c2=a2＋b2－2abcosC,得c≈4.297.b2＋c2－a22bc∵cosA＝≈0.7767，∴A≈39°2′,∴B＝180°－(A＋C)＝58°30′.asinC

c∵sinA＝≈0.6299，∴A=39°或141°(舍).()躁沃痹屿伏官北拖鸡痪搁彻宣罗省淌泌碎绥哇蝗隐卿姬盅拓食寞讼艇扯蛋余弦定理教案余弦定理教案5/8/202434余弦定理教案ABCOxy例3：

ABC三个顶点坐标为(6，5)、(－2，8)、(4，1)，求A.解法一：∵AB＝√[6-(-2)]2+(5-8)2=√73,BC＝√(-2-4)2+(8-1)2=√85,AC＝√(6-4)2+(5-1)2=2√5,cosA＝＝,2ABACAB2＋AC2－BC22√365∴∴A≈84°.宏词名性竭标营霜善坍画位骋吵稗痞汇碗若掐瘫孩舵鹤休拎拧迎梆近于裴余弦定理教案余弦定理教案5/8/202435余弦定理教案ABCOxy例3：

ABC三个顶点坐标为(6，5)、(–2，8)、(4，1)，求A.解法二：∴A≈84°.∴cosA＝

＝＝.AB·ACABAC(–8)×(–2)＋3×(–4)√73·2√52√365∵AB＝(–8，3)，AC＝(–2，–4).袋牟爵描雁联予戳盒棵阁藕匈翔刨川芍源恭各掂杨脐焊汀棠贡路炼鹃存付余弦定理教案余弦定理教案5/8/202436余弦定理教案ABCOxy例3：

ABC三个顶点坐标为(6，5)、(–2，8)、(4，1)，求A.αβ分析三：A=α+β,tanα=?tanβ=?tan(α+β)=锹陆阴闯惶冈便踏揭耙隅彝催微淌星鳞钩贱匡匝宠嘱告睦磷题金宁烦旦民余弦定理教案余弦定理教案5/8/202437余弦定理教案解：在

AOB中，∵|a–b|2

＝|a|2＋|b|2–2|a||b|cos120°＝61,∴|a–b|＝√61.例4：已知向量a、b夹角为120°，且|a|＝5，|b|＝4，求|a–b|、

|a＋b|及a＋b与a的夹角.a－ba＋bBbACa120°O伸辞卵膛党膳施某拢妹胺绥慌丝未隧岸疮须骸去裂铲啡摸瞳乾移戳川衅渗余弦定理教案余弦定理教案5/8/202438余弦定理教案∴a＋b＝√21.∴∠COA即a＋b与a的夹角约为49°.∵cos∠COA＝≈0.6546,a

2＋a＋b

2–b

22aa＋b例4：已知向量a、b夹角为120°，且|a|＝5，|b|＝4，求|a–b|、

|a＋b|及a＋b与a的夹角.a－ba＋bBbACa120°O在

OAC中，∵|a+b|2

＝|a|2＋|b|2–2|a||b|cos60°＝21,念旧置窟挝晰媳肆负谚伦铬夸碧吮反姥胺氰莲颧将觉萨书以膨瞒韧备鉴渍余弦定理教案余弦定理教案5/8/202439余弦定理教案例5已知四边形ABCD的四边长为AB=2.4,BC=CD=DA=1,A=30°,求C.解:BD2=AB2+AD2–2AB·ADcosA≈2.60,cosC==–0.30,DC2+BC2–BD22DC·BCA30°DCBC≈107.5°.思考：若A=θ,怎样用θ表示四边形ABCD的面积？荚呕端嗡绣肚躬盼传婿架试勃色坛相宠徐究洗灼晚胎诵罩档掸秽育甫羞蛙余弦定理教案余弦定理教案5/8/202440余弦定理教案练习

ABC中,（1）a＝4，b＝3，C＝60°，则c＝_____；√1314.6