第六章 平行四边形 章末检测（培优卷）-2023-2024学年北师大版数学八年级下册

【培优卷】2024年北师大版数学八（下）第六章平行四边形章末检测一、选择题（每题3分，共30分）1．一个多边形的每一个内角都等于140°，那么从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是（）A．6条 B．7条 C．8条 D．9条2．如图，将▱ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，交BC于点F，若∠ABD=48°，∠CFD=40°，则∠E为()A．102° B．112° C．122° D．92°3．在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，有下列条件：①OA=OC，OB=OD；②AD∥BC，AB∥DC；③AB=DC，AD=BC；④AB∥DC，AD=BC.其中能判定四边形ABCD为平行四边形的是（）A．①④ B．②③ C．①②③ D．②③④4．如图，四边形ABCD中，BD为对角线，AB=2，CD=2.8，E，F分别是边AD，BC的中点，则A．0.4＜EF≤2.C．0.8＜EF≤4.5．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5，DC=7，AB=13，点P从点A出发以3个单位/s的速度沿AD→DC向终点C运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/s的速度沿BA向终点A运动．当四边形PQBC为平行四边形时，运动时间为（）A．4s B．3s C．2s D．1s6．如图，一块长方形场地ABCD的长AB与宽BC的比是2：1，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别是E、F两点.现计划在四边形DEBF区域种植花草，则四边形DEBF与长方形ABCD的面积比等于（）A．1：3 B．2：3 C．1：2 D．1：47．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，给出下列四个条件：①AE=CF；②DE=BF；③∠ADE=∠CBF；④∠ABE=∠CDF．其中能判定四边形A．① B．①④ C．①③④ D．①②③④8．如图，在▱ABCD中，∠ABC=120°，BC=2AB，DE平分∠ADC，对角线AC、BD相交于点O，连接OE，下列结论中正确的有（）①∠ADB=30°；②AB=2OE；③DE=AB；④OD=CD；⑤SA．2个 B．3个 C．4个 D．5个9．如图1，用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形．用n个全等的正五边形按这种方式拼接，如图2，若围成一圈后中间也形成一个正多边形，则n的值为（）A．6 B．8 C．10 D．1210．如图，依次连接周长为1的小等边三角形各边的中点，得到第二个小等边三角形，再依次连接第二个小等边三角形各边的中点，得到第三个小等边三角形……按这样的规律，第2023个小等边三角形的周长为（）A．122023 B．122022 C．二、填空题（每题3分，共15分）11．如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上一个动点，点M、N分别是AB、BC边上的中点，则MP+NP的最小值是．12．如图，已知在△ABC中，AB=4，AC=3，AD，AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于点F，交AB于点G，连结EF，则线段EF的长为.13．如图是由射线AB，BC，CD，DE，EA组成的平面图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=．14．如图，在平行四边形ABCD中，AD=4，∠A=60°，E是边DC延长线上一点，连接BE，以BE为边作等边三角形BEF，连接FC，则FC的最小值是．15．如图，四边形ABCD中，AB//DC，DC=6cm，AB=9cm，点P以1cm/s的速度由A点向B点运动，同时点Q以2cm/s的速度由C点向D点运动，其中一点到达终点时，另一点也停止运动，当线段PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形时，此时的运动时间为s．三、解答题（共10题，共75分）16．如图，在▱ABCD中，AE是∠BAD的平分线．请仅用无刻度直尺分别按下列要求作图．（保留作图痕迹）（1）在图（1）中，以AD为腰作一个等腰三角形；（2）在图（2）中，以AE为边作▱AECF．17．如图（1）如图1，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数；（2）如图2，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数。18．如图，在▱ABCD中，AF平分∠BAD，交BC于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E.（1）若AD=12，AB=8，求CF的长.（2）连结BE，与AF相交于点G，连结DF，与CE相交于点H，连结EF，GH相交于点O.求证：EF和GH互相平分.19．在△ABC中，BE，CD分别是边AC，AB上的中线，BE与CD相交于点O．（1）如图1，M是OB中点，N是CO中点，①求证：DE=MN；②求证：BO=2OE；（2）如图2，若BE⊥CD，则AB2，BC2，20．（1）用一条直线去截多边形，使得到的新多边形分别满足下列条件(在对应的图中画出图形，把截去的部分打上阴影)：①在图1中，新多边形的内角和比原多边形的内角和增加了180°.②在图2中，新多边形的内角和与原多边形的内角和相等.③在图3中，新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了180°.（2）若将一个多边形截去一个角后，得到的新多边形的内角和为2520°，求原多边形的边数.21．如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，∠ABC=60°，AD=5，BC=13，点O是对角线BD的中点．点E为边BC上一动点，联结EO．（1）求AB的长；（2）如果点E为边BC的中点，联结CO，求△OEC的面积；（3）如图2，延长EO交射线DA于点F，联结DE、BF，如果EF平分∠BED，求四边形BEDF的周长．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=12x+4的图像l1与x轴交于点A，一次函数y=−43x+（1）求△ABC的面积；（2）若点P在y轴的负半轴上，且△PBC是轴对称图形，求点P的坐标；（3）若以P、Q、B、C为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点Q的坐标．23．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．如图1，小明在证明这个定理时，通过延长DE到点F，使EF＝DE，连接CF，证明△ADE≌△CFE，再证明四边形DBCF是平行四边形，即可得证．（1）【类比迁移】如图2，AD是BC边的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AC＝BF，求证：AE＝EF．小明发现可以类比以上思路进行证明．证明：如图2，延长AD至点M，使MD＝FD，连接MC，……请你根据小明的思路完成证明过程．（2）【方法运用】如图3，在菱形ABCD中，∠D＝60°，点E为射线BC上一个动点(在点C右侧)，把线段EC绕点E逆时针旋转120°得到线段BC′，连接BC′，点F是BC′的中点，连接AE、CF、EF．①请你判断线段EF和AE的数量关系是▲，并说明理由；②若菱形ABCD的边长为6，CF＝1224．（1）问题提出在平面内，已知线段AB=5，AC=3，则线段BC的最小值为．（2）问题探究如图1，在平行四边形ABCD中，AB=8，AD=4，∠D=60°，P是边AD的中点，Q是边CD上一动点，将三角形PDQ沿PQ所在直线翻折，得到三角形PEQ，连接BE，求BE的最小值．（3）问题解决如图2，平行四边形ABCD为某公园平面示意图，扇形BMN为该公园的人口广场，已知AB=150m，BC=130m，AC=140m，BM=BN=20m．为了提升游客体验感，工作人员准备在弧MN上找一点P，沿AP，CP修两条绿色通道，并在AP上方和CP右方区域种植花卉供游客观赏，其余地方修建其他设施，求其他设施区域APCD面积的最小值．25．在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，使点A与点F重合，点C与点D重合（如图1），其中∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF＝3cm，AC＝DF＝4cm，并进行如下研究活动.（1）活动一：将图1中的纸片DEF沿AC方向平移，连结AE，BD（如图2），当点F与点C重合时停止平移.

（思考）图2中的四边形ABDE是平行四边形吗？请说明理由.（2）（发现）当纸片DEF平移到某一位置时，小兵发现四边形ABDE为矩形（如图3）.求AF的长.（3）活动二：在图3中，取AD的中点O，再将纸片DEF绕点O顺时针方向旋转α度（0≤α≤90），连结OB，OE（如图4）.

（探究）当EF平分∠AEO时，探究OF与BD的数量关系，并说明理由.

答案解析部分1．【答案】A2．【答案】B3．【答案】C4．【答案】A5．【答案】B6．【答案】A7．【答案】C8．【答案】C9．【答案】C10．【答案】B11．【答案】112．【答案】113．【答案】360°14．【答案】215．【答案】2或316．【答案】（1）解：在图1中，延长DC和AE交于点F，△ADF即为所作．（2）解：在图2中，连接AC和BD交于一点O，再连接EO并延长交AD于点F，四边形AECF即为所作．17．【答案】（1）解：在四边形BCDM中，∠C+∠B+∠D+∠2=360°，在四边形MEFN中，∠1+∠3+∠E+∠F=360°∵∠1=∠A+∠G，∠2+∠3=180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=360°+360°-180°=540°.（2）解：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=∠2+∠3+∠7+∠8=360°18．【答案】（1）解：∵平行四边形ABCD，

∴AD∥BC，AD=BC，

∴∠DAF=∠AFB，

∵AF平分∠BAD，

∴∠DAF=∠BAF，

∴∠BAF=∠AFB，

∴AB=BF=8，

∴CF=BC-BF=12-8=4（2）证明：同理可证DE=DC=8，

∴AE=AD-DE=12-8=4，

∵CF=4，BF=8，

∴AE=CF，BF=DE，

∵AD∥BC，

∴四边形AECF和四边形BFDE是平行四边形，

∴AF∥CE，BE∥DF，

∴四边形EHFG是平行四边形，

∴EF和GH互相平分.19．【答案】（1）解：证明：①∵BE，CD分别是边AC，AB上的中线，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=1又∵M是OB中点，N是CO中点，∴MN是△BOC的中位线，∴MN=1∴DE=MN；②由①可知，DE是△ABC的中位线，MN是△BOC的中位线，DE=MN，∴DE∥BC，MN∥BC，OM=BM=1∴DE∥MN，∴∠OED=∠OMN，∠ODE=∠ONM，∴△EOD≌△MON(ASA)，∴OE=OM，∴BO=2OE；（2）A20．【答案】（1）解：如图，

（2）解：设多边形的边数为n，

则（n-2）·180°=2520°，解得：n=16，

①若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为15；

②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为16；

③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为17.

故原多边形的边数可以为15、16、17.21．【答案】（1）解：过A作AM⊥BC，过D作DN⊥BC，垂足分别为M、N，则∠AMB=∠AMC=∠DNC=90°，∴AM∥DN，∵AD∥MN，∴四边形AMND是平行四边形，∴MN=AD=5，AM=DN，∵AB=CD，∴Rt△ABM≌Rt△DCN(HL)，∴BM=CN，∵BC=13，MN=5，∴BM=CN=4，在Rt△ABM中，∵∠ABC=60°∴∠BAM=30°，∴BM=1∴AB=8．（2）解：过点O作OQ⊥BC，垂足为点Q，则∠OQE=90°，∵O是BD的中点，E是BC的中点，∴OE=12CD=12∴∠OEB=∠C=60°，∴∠QOE=90°−∠OEQ=30°，∴在Rt△OEQ中，EQ=12OE=2∴S△（3）解：∵AD∥BC，∴∠DFO=∠OEB，∵O是BD的中点，∴OB=OD，在△DOF和△BOE中，∠DFO=∠OEB∠FOD=∠EOB∴△DOF≌△BOE(AAS)，∴DF=BE，∵DF∥BE，∴四边形BEDF是平行四边形，∵EF平分∠BED，∴∠BEF=∠DEF，∵∠BEF=∠DFE，∴∠DEF=∠DFE，∴DE=DF，∴四边形BEDF是菱形，过点D作DN⊥BC于点N，由（1）可知，CN=4，∴BN=BC−CN=13−4=9，由勾股定理得DN=C设DE=BE=x，则EN=9−x，在Rt△END中，EN即(9−x)2解得x=43∴四边形BEDF的周长=4DE=4×4322．【答案】（1）解：把y=0代入y=12x+4解得：x=−8，∴点A的坐标为(−8，把y=0代入y=−43x+解得：x=14，∴点B的坐标为(14，∴AB=14−(−8)=22，联立y=1解得：x=8y=8∴点C的坐标(8，∴S（2）解：设点P的坐标为：(0，∵△PBC是轴对称图形，则△PBC是等腰三角形，

根据勾股定理得

BC2=(14−8)2+82=100，PB2=142∴点P的坐标为：(0，（3）解：设点Q（m，n），

当以BC为平行四边形的一边，CQ为另一边时，

∵BP∥CQ，

∴设直线BP的解析式为y=12x+b，

∵点B（14，0），

∴12×14+b=0

解之：b=-7，

∴y=12x−7，

当x=0时y=-7，

∴此时点P（0，-7），

将点B向左平移6个单位，再向上平移8个单位得到点C，

∴将点P向左平移6个单位，再向上平移8个单位得到点Q，

∴点Q（-6，1）；

当BC为平行四边形的一边，CQ为对角线时

∵PQ∥BC，

0-m=8-14，

解之：m=6，

∴n=12×6+4=7，

∴点Q（6，7）

当BC为对角线时

∵BP∥CQ，

∴此时点P的坐标为（0，-7），

∴14-0=m-8，8-（-7）=n-0

解之：m=22，n=15，

∴点Q（22，15）

∴23．【答案】（1）证明：延长AD至M，使MD=FD，连接MC，在ΔBDF和ΔCDM中，BD=CD∠BDF=∠CDM∴ΔBDF≅ΔCDM(SAS)，∴MC=BF，∠M=∠BFM，∵AE=EF，∴∠EAF=∠EFA，∵∠EFA=∠BFM，∴∠M=∠MAC，∴AC=MC，∴AC=BF；（2）解：①AE=2EF线段EF与AE的数量关系为：AE=2EF，理由：延长EF至点M，使EF=FM，连接BM、AM，∵点F为BC∴BF=C在ΔBFM和ΔCFE中，BF=C∴ΔBFM≅ΔC∴BM=C'E∴BM//∵线段EC绕点E逆时针旋转120°得到线段EC∴CE=C'E=BM∴∠MBE=180°−120°=60°，∵四边形是ABCD菱形，∠D=60°，∴∠ABC=60°，AB=BC，∴ΔABC是等边三角形，∴AB=AC，∠ABC=∠ACB=60°，∴∠ABM=∠ABC+∠MBE=60°+60°=120°，∵∠ACE=180°−∠ACB=180°−60°=120°，∴∠ABM=∠ACE，在ΔABM和ΔACE中，AB=AC∠ABM=∠ACE∴ΔABM≅ΔACE(SAS)，∴AM=AE，∠BAM=∠CAE，∴∠MAE=∠MAC+∠CAE=∠MAC+∠BAM=∠BAC=60°，∴ΔAME是等边三角形，∴AE=EM=2EF；故答案为：AE=2EF；②3或324．【答案】（1）2（2）解：如图，过点P作PF⊥AB交BA延长线于点F，连接BP．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，

∴∠PAF=∠D=60°，

∴∠APF=30°．∵P是AD的中点，AD=4，

∴AP=DP=2，∴AF=1，PF=3在Rt△PFB中，由勾股定理，得PB=P由折叠得PE=PD=2，∴BE≥PB−PE=221∴点E在线段PB上时，BE取最小值221−2，

即BE的最小值为（3