超几何分布高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

超几何分布一、知识回顾1.二项分布：

如果随机变量X的分布列具有上式的形式,则称随机变量X服

从二项分布，记作X～B(n，p).

一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的

概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数,则X的分布列为3.二项分布的均值和方差：

3.确定一个二项分布模型的步骤如下:(1)明确伯努利试验及事件A的意义,确定事件A发生的概率P；

(2)确定重复试验的次数n，并判断各次试验的独立性；

(3)设X为n次独立重复试验中事件A发生的次数,则X～B(n，p).E(X)=npD(X)=np(1-p）二、探究新知问题

已知100件产品中有8件次品，分别采用有放回和不放回的方

式随机抽取4件．设抽取的4件产品中次品数为X,求随机变量

X的分布列.

我们知道，如果采用有放回抽样，则每次抽到次品的概率为0.08，且各次抽样的结果相互独立，此时X服从二项分布,即X～B(4，0.08).二、探究新知

如果采用不放回抽样，那么抽取的4件产品中次品数X是否也服从二项分布?如果不服从，那么X的分布列是什么?

采用不放回抽样，虽然每次抽到次品的概率都是0.08，但每次抽取不是同一个试验，而且各次抽取的结果也不独立，不符合n重伯努利试验的特征，因此X不服从二项分布.

可以根据古典概型求X的分布列.由题意可知,X可能的取值为0、1、2、3、4.从100件产品中任取4件，样本空间包含

个样本点，且每个样本点都是等可能发生的.其中4件产品中恰有k件次品的结果数为

．由古典概型的知识,得X的分布列为

计算的具体结果(精确到0.00001)如下表所示：二、探究新知X01234P0.712570.256210.029890.001310.00002

计算结果数时，考虑抽取的次序和不考虑抽取的次序，对分布列的计算有影响吗?为什么?三、超几何分布

一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为

其中n、N、M∈N*，M≤N，n≤N，m=max{0，n-N+M}，r=min{n，M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布.四、典型例题例1

从50名学生中随机选出5名学生代表，求甲被选中的概率.

容易发现，每个人被抽到的概率都是

，这个结论非常直观,这里给出了严格的推导.四、典型例题例2

一批零件共有30个，其中有3个不合格.随机抽取10个零件进行

检测，求至少有1件不合格的概率.五、探究新知

服从超几何分布的随机变量的均值是什么?

设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数.令p=，则p是N件产品的次品率，而

是抽取的n件产品的次品率，我们猜想E()=p，即E(X)=np.

实际上，由随机变量均值的定义，令m=max(0，n-N+M)，r=min(n，M)，有因为

，所以六、超几何分布的均值E(X)=np

服从超几何分布的随机变量的均值：七、典型例题例3

一袋子中有100个大小相同的球,其中有40个黄球、60个白球,

从中随机地摸出20个球作为样本.用X表示样本中黄球的个数.

(1)分别就有放回摸球和不放回摸球,求X的分布列；

(2)分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中黄球的比例估

计总体中黄球的比例，求误差不超过0.1的概率.七、典型例题

二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取的n件产品中次品数的分布规律，并且二者的均值相同.对于不放回抽样，当n远远小于N时，每抽取一次后，对N的影响很小，此时,超几何分布可以用二项分布近似.八、课堂小结1.超几何分布：

2.超几何分布的均值：

E(X)=np

一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产

品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数,

则X的分布列为

其中n、N、M∈N*，M≤N，n≤N，m=max{0，n-N+M}，r=min

{n，M}.如果随机变量X的分布列具有上