数学初二上学期压轴题强化综合检测试卷含答案001

数学初二上学期压轴题强化综合检测试卷含答案1、我们不妨约定：把“有一组邻边相等”的凸四边形叫做“菠菜四边形”．(1)如下：①平行四边形，②矩形，③菱形，④正方形，一定是“菠菜四边形”的是________（填序号）；(2)如图1，四边形ABCD为“菠菜四边形”，且∠BAD＝∠BCD＝90°，AD＝AB，AE⊥CD于点E，若AE＝4，求四边形ABCD的面积；(3)①如图2，四边形ABCD为“菠菜四边形”，且AB＝AD，记四边形ABCD，△BOC，△AOD的面积依次为S，，，若．求证：ADBC；②在①的条件下，延长BA、CD交于点E，记BC＝m，DC＝n，求证：．2、如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与轴交于点A、与轴交于点B，且∠ABO＝45°，A（－6，0），直线BC与直线AB关于轴对称.(1)求△ABC的面积；(2)如图2，D为OA延长线上一动点，以BD为直角边，D为直角顶点，作等腰直角△BDE，求证：AB⊥AE；(3)如图3，点E是轴正半轴上一点，且∠OAE＝30°，AF平分∠OAE，点M是射线AF上一动点，点N是线段AO上一动点，判断是否存在这样的点M，N，使OM＋NM的值最小？若存在，请写出其最小值，并加以说明.3、△ABC、△DPC都是等边三角形．(1)如图1，求证：AP＝BD；(2)如图2，点P在△ABC内，M为AC的中点，连PM、PA、PB，若PA⊥PM，且PB＝2PM．①求证：BP⊥BD；②判断PC与PA的数量关系并证明．4、已知△ABC是等边三角形，△ADE的顶点D在边BC上（1）如图1，若AD＝DE，∠AED＝60°，求∠ACE的度数；（2）如图2，若点D为BC的中点，AE＝AC，∠EAC＝90°，连CE，求证：CE＝2BF；（3）如图3，若点D为BC的一动点，∠AED＝90°，∠ADE＝30°，已知△ABC的面积为4，当点D在BC上运动时，△ABE的面积是否发生变化？若不变，请求出其面积；若变化请说明理由．5、在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴、y轴于点A（–a，0）、点B（0，b），且a、b满足a2+b2–4a–8b+20=0，点P在直线AB的右侧，且∠APB＝45°．（1）a＝；b＝．（2）若点P在x轴上，请在图中画出图形（BP为虚线），并写出点P的坐标；（3）若点P不在x轴上，是否存在点P，使△ABP为直角三角形？若存在，请求出此时P的坐标；若不存在，请说明理由．6、已知：AD为△ABC的中线，分别以AB和AC为一边在△ABC的外部作等腰三角形ABE和等腰三角形ACF，且AE＝AB，AF＝AC，连接EF，∠EAF+∠BAC＝180°．(1)如图1，若∠ABE＝65°，∠ACF＝75°，求∠BAC的度数．(2)如图1，求证：EF＝2AD．(3)如图2，设EF交AB于点G，交AC于点R，FC与EB交于点M，若点G为EF中点，且∠BAE＝60°，请探究∠GAF和∠CAF的数量关系，并证明你的结论．7、如图1，在平面直角坐标系中，点在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，设，且．（1）直接写出的度数．（2）如图2，点D为AB的中点，点P为y轴负半轴上一点，以AP为边作等边三角形APQ，连接DQ并延长交x轴于点M，若，求点M的坐标．（3）如图3，点C与点A关于y轴对称，点E为OC的中点，连接BE，过点B作，且，连接AF交BC于点P，求的值．8、【阅读材料】小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形如图1，在“手拉手”图形中，小明发现若∠BAC=∠DAE，AB=AC，AD=AE，则ABD≌ACE．【材料理解】（1）在图1中证明小明的发现．【深入探究】（2）如图2，ABC和AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，连接AO，下列结论：①BD=EC；②∠BOC=60°；③∠AOE=60°，其中正确的有_____．(将所有正确的序号填在横线上）【延伸应用】（3）如图3，在四边形ABCD中，BD=CD，AB=BE，∠ABE=∠BDC=60°，试探究∠A与∠BED的数量关系，并证明．【参考答案】1、(1)③④(2)16(3)①见解析；②见解析【分析】（1）根据菠菜四边形的定义结合各个特殊四边形的定义即可得出结论；（2）过A作，交CB的延长线于F，求出四边形AFCE是矩形，则，求出，得【解析】(1)③④(2)16(3)①见解析；②见解析【分析】（1）根据菠菜四边形的定义结合各个特殊四边形的定义即可得出结论；（2）过A作，交CB的延长线于F，求出四边形AFCE是矩形，则，求出，得出，有全等的出AE=AF=3，，求出，求出，代入求解即可；（3）记面积为，则，，根据已知条件可得，进而可得，得出由平分线的性质结合等腰三角形的性质可得BD平分，过点D作于点H，作于点N，则DH=DN,则，由此即可得出结论．（1）根据菱形于正方形的定义值，一定是菠菜四边形的是菱形与正方形，故答案为：③④（2）如图，过A作，交CB的延长线于F，∴四边形AFCE是矩形则四边形AFCE是正方形，即四边形ABCD的面积为16（3）①记，∴∵∴∴∵∴∴∴∴如图：作，∴∴AMAD∴四边形AMND为平行四边形∴ADMN∴ADBC②∵ADBC∴又∵AD＝AB∴∴∴BD平分如图：∵∴∴又∵∴∴【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定，三角形的面积，角平分线的性质，对于同第登高的三角形的面积相等的推到是关键．2、（1）36；（2）证明见解析；（3）3，理由见解析.【分析】(1)根据直线与坐标轴的交点易得A,C的坐标，从而得出AC=12，OB=6，根据三角形面积公式可求解；(2)过E作EF⊥x轴于点F，【解析】（1）36；（2）证明见解析；（3）3，理由见解析.【分析】(1)根据直线与坐标轴的交点易得A,C的坐标，从而得出AC=12，OB=6，根据三角形面积公式可求解；(2)过E作EF⊥x轴于点F，延长EA交y轴于点H，证△DEF≌△BDO，得出EF＝OD＝AF，有，得出∠BAE＝90°.(3)由已知条件可在线段OA上任取一点N,再在AE作关于OF的对称点,当点N运动时，最短为点O到直线AE的距离.再由，在直角三角形中,即可得解.【详解】解：（1）由已知条件得：

AC=12，OB=6

∴（2）过E作EF⊥x轴于点F，延长EA交y轴于点H,∵△BDE是等腰直角三角形，∴DE=DB,∠BDE=90°,∴∵∴∴∵EF轴，∴∴DF=BO=AO,EF=OD∴AF=EF∴∴∠BAE＝90°（3）由已知条件可在线段OA上任取一点N,再在AE作关于OF的对称点,当点N运动时，最短为点O到直线AE的距离,即点O到直线AE的垂线段的长，∵，OA=6，∴OM+ON=3【点睛】本题考查的知识点主要是直角三角形的性质及应用，轴对称在最短路径问题中的应用，弄懂题意，作出合理的辅助线是解题的关键.3、(1)证明过程见解析；(2)①证明过程见解析；②PC=2PA，理由见解析．【分析】（1）证明△BCD≌△ACP（SAS），可得结论；（2）①如图2中，延长PM到K，使得MK=PM，连接CK．证【解析】(1)证明过程见解析；(2)①证明过程见解析；②PC=2PA，理由见解析．【分析】（1）证明△BCD≌△ACP（SAS），可得结论；（2）①如图2中，延长PM到K，使得MK=PM，连接CK．证明△AMP≌△CMK（SAS），推出MP=MK，AP=CK，∠APM=∠K=90°，再证明△PDB≌△PCK（SSS），可得结论；②结论：PC=2PA．想办法证明∠DPB=30°，可得结论．（1）证明：如图1中，∵△ABC，△CDP都是等边三角形，∴CB=CA，CD=CP，∠ACB=∠DCP=60°，∴∠BCD=∠ACP，在△BCD和△ACP中，，∴△BCD≌△ACP（SAS），∴BD=AP；（2）证明：如图2中，延长PM到K，使得MK=PM，连接CK．∵AP⊥PM，∴∠APM=90°，在△AMP和△CMK中，，∴△AMP≌△CMK（SAS），∴MP=MK，AP=CK，∠APM=∠K=90°，同法可证△BCD≌△ACP，∴BD=PA=CK，∵PB=2PM，∴PB=PK，∵PD=PC，∴△PDB≌△PCK（SSS），∴∠PBD=∠K=90°，∴PB⊥BD．②解：结论：PC=2PA．∵△PDB≌△PCK，∴∠DPB=∠CPK，设∠DPB=∠CPK=x，则∠BDP=90°-x，∵∠APC=∠CDB，∴90°+x=60°+90°-x，∴x=30°，∴∠DPB=30°，∵∠PBD=90°，∴PD=2BD，∵PC=PD，BD=PA，∴PC=2PA．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形30°角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，关注全等三角形解决问题．4、（1）60°；（2）见解析；（3）不变，【分析】（1）由题意，先证△ADE是等边三角形，再证△BAD≌△CAE，得∠ACE=∠B=60°；（2）由题意，先求出∠BEC=30°，然后求出∠CFE=【解析】（1）60°；（2）见解析；（3）不变，【分析】（1）由题意，先证△ADE是等边三角形，再证△BAD≌△CAE，得∠ACE=∠B=60°；（2）由题意，先求出∠BEC=30°，然后求出∠CFE=90°，利用直角三角形中30度角所对直角边等于斜边的一半，即可得证；（3）延长AE至F，使EF=AE，连DF、CF，先证明△ADF是等边三角形，然后证明△EGF≌△EHA，结合HG是定值，即可得到答案．【详解】解：（1）根据题意，∵AD＝DE，∠AED＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴AD=AE，∠DAE=60°，∵AB=AC，∠BAC=60°，∴，即，∴△BAD≌△CAE，∴∠ACE=∠B=60°；（2）连CF，如图：∵AB=AC=AE，∴∠AEB=∠ABE，∵∠BAC=60°，∠EAC=90°，∴∠BAE=150°，∴∠AEB=∠ABE=15°；∵△ACE是等腰直角三角形，∴∠AEC=45°，∴∠BEC=30°，∠EBC=45°，∵AD垂直平分BC，点F在AD上，∴CF=BF，∴∠FCB=∠EBC=45°，∴∠CFE=90°，在直角△CEF中，∠CFE=90°，∠CEF=30°，∴CE=2CF=2BF；（3）延长AE至F，使EF=AE，连DF、CF，如图：∵∠AED＝90°，EF=AE，∴DE是中线，也是高，∴△ADF是等腰三角形，∵∠ADE＝30°，∴∠DAE=60°，∴△ADF是等边三角形；由（1）同理可求∠ACF=∠ABC=60°，∴∠ACF=∠BAC=60°，∴CF∥AB，过E作EG⊥CF于G，延长GE交BA的延长线于点H，易证△EGF≌△EHA，∴EH=EG=HG，∵HG是两平行线之间的距离，是定值，∴S△ABE＝S△ABC＝；【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行解题．5、（1）2，4；（2）见解析，（4，0）；（3）P（4，2）或（2，﹣2）．【分析】（1）将已知等式变形，利用乘方的非负性即可求出a值；（2）根据题意画出图形，由（1）得出OB的长，结合∠APB＝【解析】（1）2，4；（2）见解析，（4，0）；（3）P（4，2）或（2，﹣2）．【分析】（1）将已知等式变形，利用乘方的非负性即可求出a值；（2）根据题意画出图形，由（1）得出OB的长，结合∠APB＝45°，得出OP＝OB，可得点B的坐标；（3）分当∠ABP＝90°时和当∠BAP＝90°时两种情况进行讨论，结合全等三角形的判定和性质即可求出点P坐标.【详解】解：（1）∵a2+b2–4a–8b+20=0，∴（a2–4a+4）+（b2–8b+16）＝0，∴（a–2）2+（b–4）2＝0∴a＝2，b＝4，故答案为：2，4；（2）如图1，由（1）知，b＝4，∴B（0，4），∴OB＝4，点P在直线AB的右侧，且在x轴上，∵∠APB＝45°，∴OP＝OB＝4，∴P（4，0），故答案为：（4，0）；（3）存在．理由如下：由（1）知a＝﹣2，b＝4，∴A（﹣2，0），B（0，4），∴OA＝2，OB＝4，∵△ABP是直角三角形，且∠APB＝45°，∴只有∠ABP＝90°或∠BAP＝90°，Ⅰ、如图2，当∠ABP＝90°时，∵∠APB＝∠BAP＝45°，∴AB＝PB，过点P作PC⊥OB于C，∴∠BPC+∠CBP＝90°，∵∠CBP+∠ABO＝90°，∴∠ABO＝∠BPC，在△AOB和△BCP中，，∴△AOB≌△BCP（AAS），∴PC＝OB＝4，BC＝OA＝2，∴OC＝OB﹣BC＝2，∴P（4，2），Ⅱ、如图3，当∠BAP＝90°时，过点P'作P'D⊥OA于D，同Ⅰ的方法得，△ADP'≌△BOA，∴DP'＝OA＝2，AD＝OB＝4，∴OD＝AD﹣OA＝2，∴P'（2，﹣2）；即：满足条件的点P（4，2）或（2，﹣2）；【点睛】本题考查了非负数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，难度不大，解题的关键是要根据直角三角形的性质进行分类讨论.6、(1)∠BAC＝50°(2)见解析(3)∠GAF﹣∠CAF＝60°，理由见解析【分析】（1）利用三角形的内角和定理求出∠EAB，∠CAF，再根据∠EAF+∠BAC＝180°构建方程即可解决问题【解析】(1)∠BAC＝50°(2)见解析(3)∠GAF﹣∠CAF＝60°，理由见解析【分析】（1）利用三角形的内角和定理求出∠EAB，∠CAF，再根据∠EAF+∠BAC＝180°构建方程即可解决问题；（2）延长AD至H，使DH＝AD，连接BH，想办法证明△ABH≌△EAF即可解决问题；（3）结论：∠GAF﹣∠CAF＝60°．想办法证明△ACD≌△FAG，推出∠ACD＝∠FAG，再证明∠BCF＝150°即可．(1)解：∵AE＝AB，∴∠AEB＝∠ABE＝65°，∴∠EAB＝50°，∵AC＝AF，∴∠ACF＝∠AFC＝75°，∴∠CAF＝30°，∵∠EAF+∠BAC＝180°，∴∠EAB+2∠ABC+∠FAC＝180°，∴50°+2∠BAC+30°＝180°，∴∠BAC＝50°．(2)证明：证明：如图，延长AD至点H，使DH=AD，连接BH∵AD是△ABC的中线，∴BD=DC，又∵DH=AD，∠BDH=∠ADC∴△ADC≌△HDB（SAS），∴BH=AC，∠BHD=∠DAC，∴BH=AF，∵∠BHD=∠DAC，∴BH∥AC，∴∠BAC+∠ABH=180°，又∵∠EAF+∠BAC=180°，

∴∠ABH=∠EAF，又∵AB=AE，BH=AF，∴△AEF≌△BAH（SAS），∴EF=AH=2AD，∴EF＝2AD；(3)结论：∠GAF﹣∠CAF＝60°．理由：由（2）得，AD＝EF，又点G为EF中点，∴EG＝AD，由（2）△AEF≌△BAH，∴∠AEG=∠BAD，在△EAG和△ABD中，，∴△EAG≌△ABD，∴∠EAG＝∠ABC＝60°，AG=BD，∴△AEB是等边三角形，AG=CD，∴∠ABE＝60°，∴∠CBM＝60°，在△ACD和△FAG中，，∴△ACD≌△FAG，∴∠ACD＝∠FAG，∵AC＝AF，∴∠ACF＝∠AFC，在四边形ABCF中，∠ABC+∠BCF+∠CFA+∠BAF＝360°，∴60°+2∠BCF＝360°，∴∠BCF＝150°，∴∠BCA+∠ACF＝150°，∴∠GAF+（180°﹣∠CAF）＝150°，∴∠GAF﹣∠CAF＝60°．【点睛】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．7、（1）；（2）；（3）．【分析】（1）根据坐标系写出的坐标，进而根据，因式分解可得，进而可得，在x轴的正半轴上取点C，使，连接BC，证明是等边三角形，进而即可求得；（2）连接BM，，进而证明为等【解析】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）根据坐标系写出的坐标，进而根据，因式分解可得，进而可得，在x轴的正半轴上取点C，使，连接BC，证明是等边三角形，进而即可求得；（2）连接BM，，进而证明为等边三角形，根据含30度角的直角三角形的性质即可求得（3）过点F作轴交CB的延长线于点N，证明，，设，则等边三角形ABC的边长是4a，，进而计算可得，，即可求得的值．【详解】（1）∵点在x轴负半轴上，∴，，∵，，∴，∵，∴，∴，如答图1，在x轴的正半轴上取点C，使，连接BC，∵，∴，又∵，∴，∴，∴是等边三角形，∴；（2）如答图2，连接BM，∴是等边三角形，∵，，∵∠，∴，∴，∵D为AB的中点，∴，∵，∴，∴，在和中，∴，∴，即，∴，∴为等边三角形，∴，∴；（3）如答图3，过点F作轴交CB的延长线于点N，则，∵，∴，在和中，∴，∴，，∵，∴，又∵E是OC的中点，设，∴等边三角形ABC的边长是4a，，∵，∴，在和中，∴，∴，又∵，∴，，∴．【点睛】本题考查了坐标与图形，三角形全等的性质与判定，等边三角形的性质与判定，因式分解的应用，掌握三角形全等的性质与判定并正确的添加辅助线是解题的关键．8、（1）见解析；（2）①②③；（3），证明见解析【分析】（1）利用等式的性质得出∠BAD＝∠CAE，即可得出结论；（2）同（1）的方法判断出△ABD≌△ACE，得出BD＝CE，再利用对顶角和三角形【解析】（1）见解析；（2）①②③；（3），证明见解析【分析】（1）利用等式的性质得出∠BAD＝∠CAE，即可得出结论；（2）同（1）的方法判断出△ABD≌△ACE，得出BD＝CE，再利用对顶角和三角形的内角和定理判断出∠BOC＝60°，再判断出△BCF≌△ACO，得出∠AOC＝120°，进而得出∠AOE＝60°，再判断出BF＜CF，进而判断出∠OBC＞30°，即可得出结论；（3）先判断出△BDC是