数值分析、计算方法试题库及答案

x~x学年第1学期《计算方法》课程考试试卷（A）开课二级学院：理学院，考试时间：x年__月_日时考试形式：闭卷√□、开卷□，允许带计算器入场装订线考生姓名：学号：专业：装订线题序一二三四五六七总分得分评卷人一、填空（每个空3分，共27分）1，设，则有__________位有效数字2，是经四舍五入得到的近似值，则其相对误差___________3，设，则___________，___________4，设,则由梯形公式计算的近似值T和定积分的值的大小关系为___________5,设，___________6,对点拟建立模型，则满足的正规方程组为______________________7，若满足的正规方程组为：则之间的关系式为______________________8，对幂法迭代公式当充分大时有常数使，则的按模最大的特征值________寂涯网络xx~~~xx学年第1学期《计算方法》课程试卷A第1页共4页二、设，求使,；又设，则估计余项的大小。（15分）三、设，，（1）计算，（2）估计截断误差的大小（12分）寂涯网络xx~~~xx学年第1学期《计算方法》课程试卷A第2页共4页四、设方程在[]内有实根，试写出迭代公式使，并说明迭代公式的收敛性。（10分）装装订线五、设有线性方程组，其中（1）求分解;(2)求方程组的解(3)判断矩阵的正定性（14分）寂涯网络xx~~~xx学年第1学期《计算方法》课程试卷A第3页共4页六、设有线性方程组，其中，试讨论Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的收敛性。（14分）七、设是阶实对称正定矩阵，经过一次高斯消元计算变为，其中为行向量，是零列向量，试证明是对称正定矩阵（8分）xx~xx学年第1学期《计算方法》课程考试试卷（B）开课二级学院：理学院，考试时间：xx年_12__月_31_日时考试形式：闭卷√□、开卷□，允许带计算器入场装订线考生姓名：学号：专业：装订线题序一二三四五六七八总分得分评卷人一、填空（每空3分，共27分）1，牛顿—柯特斯求积公式的系数______________________2,设的相对误差为，则的相对误差为___________3,设是经四舍五入得到的近似值，则___________4,设，则___________，___________5，对实验数据拟建立模型，则满足的正规方程组为______________________________6,若满足的正规方程组为：则之间的关系式为______________________7，若是的按模最大的特征值，则的按模最小的特征值为___________8，对幂法迭代公式当充分大时有常数使六、设方程在[]内有实根，试写出迭代公式使。（10分）七、设是非奇异矩阵，矩阵序列满足，若，证明：（8分）xx~xx学年第1学期《计算方法》课程试卷（A）参考答案及评分标准开课二级学院：理学院，学生班级：07数学,07信算1,2教师：何满喜一、填空（共27分，每空3分）1，32，3，1164，5，6，7，8，二（共15分）、由公式得三（共12分）、根据给定数据点的个数应该用复化simpson公式计算由公式得=若用其它公式计算正确，且误差比以上的误差大时只给过程分数8分，扣除方法分数4分。四、（10分）把方程等价变为以下方程：《计算方法》课程试卷A参考答案及评分标准第1页共3页即迭代公式收敛于方程在区间内根上。五、（14分）因为（1）=LU=(2)方程组的解为;（3）由于A==所以矩阵A是对称正定的六（14分）、所以，由定理可知简单（Jacobi）迭代法收敛。所以，由定理可知Seidel迭代法不收敛。《计算方法》课程试卷A参考答案及评分标准第2页共3页七（8分）、证：的元素为，因此为对称矩阵。记，则对任意n-1维非零向量，作，记，则，而，从而为正定矩阵。《计算方法》课程试卷A参考答案及评分标准第3页共3页课程编号：12000044北京理工大学2010-2011学年第一学期xx级计算机学院《数值分析》期末试卷A卷班级学号姓名成绩注意：①答题方式为闭卷。②可以使用计算器。请将填空题和选择题的答案直接填在试卷上，计算题答在答题纸上。填空题（20×2′）设x=0.231是精确值x*=0.229的近似值，则x有位有效数字。设，‖A‖∞＝_______，‖X‖∞＝_______，‖AX‖∞≤_______(注意：不计算‖AX‖∞的值)。非线性方程f(x)=0的迭代函数x=(x)在有解区间满足，则使用该迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的。若f(x)=x7－x3＋1，则f[20,21,22,23,24,25,26,27]=，f[20,21,22,23,24,25,26,27,28]=。区间[a,b]上的三次样条插值函数S(x)在[a,b]上具有直到阶的连续导数。当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的（填写前插公式、后插公式或中心差分公式），若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的（填写前插公式、后插公式或中心差分公式）；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的。拉格朗日插值公式中f(xi)的系数ai(x)的特点是：；所以当系数ai(x)满足，计算时不会放大f(xi)的误差。要使的近似值的相对误差小于0.1%，至少要取位有效数字。对任意初始向量X(0)及任意向量g，线性方程组的迭代公式x(k+1)=Bx(k)+g(k=0,1,…)收敛于方程组的精确解x*的充分必要条件是。由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是。x00.511.522.5y=f(x)-2-1.75-10.2524.25牛顿下山法的下山条件为。线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差ri(i=0,1,…,n)来实现的，其中的残差ri＝，(i=0,1,…,n)。在非线性方程f(x)=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f(x)的二阶导数不变号，则初始点x0的选取依据为。使用迭代计算的步骤为建立迭代函数、、迭代计算。判断题(在题目后的()中填上“√”或“×”。)（10×1′）若A是n阶非奇异矩阵，则线性方程组AX＝b一定可以使用高斯消元法求解。()解非线性方程f(x)=0的牛顿迭代法在单根x*附近是平方收敛的。()若A为n阶方阵，且其元素满足不等式则解线性方程组AX＝b的高斯——塞德尔迭代法一定收敛。()样条插值一种分段插值。()如果插值结点相同，在满足相同插值条件下所有的插值多项式是等价的。()从实际问题的精确解到实际的计算结果间的误差有模型误差、观测误差、截断误差及舍入误差。()解线性方程组的的平方根直接解法适用于任何线性方程组AX＝b。()迭代解法的舍入误差估计要从第一步迭代计算的舍入误差开始估计,直到最后一步迭代计算的舍入误差。()数值计算中的总误差如果只考虑截断误差和舍入误差，则误差的最佳分配原则是截断误差＝舍入误差。()10、插值计算中避免外插是为了减少舍入误差。()计算题（5×8′+10′）1、用列主元高斯消元法解线性方程组。(计算时小数点后保留5位)。2、用牛顿——埃尔米特插值法求满足下列表中插值条件的四次插值多项式P4(x)，并写出其截断误差的表达式(设f(x)在插值区间上具有直到五阶连续导数)。xi012f(xi)1-13f’(xi)153、对下面的线性方程组变化为等价的线性方程组，使之应用雅克比迭代法和高斯——赛德尔迭代法均收敛，写出变化后的线性方程组及雅克比迭代法和高斯——赛德尔迭代法的迭代公式，并简单说明收敛的理由。4、设y=sinx，当取x0=1.74,x1=1.76,x2=1.78建立拉格朗日插值公式计算x=1.75的函数值时，函数值y0,y1,y2应取几位小数?5、已知单调连续函数y=f(x)的如下数据：xi-0.110.001.501.80f(xi)-1.23-8若用插值法计算，x约为多少时f(x)=1。(计算时小数点后保留5位)。6、应用牛顿法于方程，导出求的迭代公式，并用此公式求的值。（计算时小数点后保留4位)。课程编号：12000044北京理工大学xx-2010学年第二学期xx级计算机学院《数值分析》期末试卷A卷班级学号姓名成绩注意：①答题方式为闭卷。②可以使用计算器。请将填空题和选择题的答案直接填在试卷上，计算题答在答题纸上。填空题（20×2′）设x=0.231是精确值x*=0.229的近似值，则x有2位有效数字。设，‖A‖∞＝___5____，‖X‖∞＝__3_____，‖AX‖∞≤_15___。非线性方程f(x)=0的迭代函数x=(x)在有解区间满足|’(x)|<1，则使用该迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的。若f(x)=x7－x3＋1，则f[20,21,22,23,24,25,26,27]=1，f[20,21,22,23,24,25,26,27,28]=0。区间[a,b]上的三次样条插值函数S(x)在[a,b]上具有直到2阶的连续导数。当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的前插公式，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的后插公式；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的拉格朗日插值公式。拉格朗日插值公式中f(xi)的系数ai(x)的特点是：1；所以当系数ai(x)满足ai(x)>1，计算时不会放大f(xi)的误差。要使的近似值的相对误差小于0.1%，至少要取4位有效数字。对任意初始向量X(0)及任意向量g，线性方程组的迭代公式x(k+1)=Bx(k)+g(k=0,1,…)收敛于方程组的精确解x*的充分必要条件是(B)<1。由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是5。x00.511.522.5y=f(x)-2-1.75-10.2524.25牛顿下山法的下山条件为|f(xn+1)|<|f(xn)|。线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差ri(i=0,1,…,n)来实现的，其中的残差ri＝(bi-ai1x1-ai2x2-…-ainxn)/aii，(i=0,1,…,n)。在非线性方程f(x)=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f(x)的二阶导数不变号，则初始点x0的选取依据为f(x0)f”(x0)>0。使用迭代计算的步骤为建立迭代函数、选取初值、迭代计算。判断题（10×1′）若A是n阶非奇异矩阵，则线性方程组AX＝b一定可以使用高斯消元法求解。(×)解非线性方程f(x)=0的牛顿迭代法在单根x*附近是平方收敛的。()若A为n阶方阵，且其元素满足不等式则解线性方程组AX＝b的高斯——塞德尔迭代法一定收敛。(×)样条插值一种分段插值。()如果插值结点相同，在满足相同插值条件下所有的插值多项式是等价的。()从实际问题的精确解到实际的计算结果间的误差有模型误差、观测误差、截断误差及舍入误差。()解线性方程组的的平方根直接解法适用于任何线性方程组AX＝b。(×)迭代解法的舍入误差估计要从第一步迭代计算的舍入误差开始估计,直到最后一步迭代计算的舍入误差。(×)数值计算中的总误差如果只考虑截断误差和舍入误差，则误差的最佳分配原则是截断误差＝舍入误差。()10、插值计算中避免外插是为了减少舍入误差。(×)计算题（5×10′）1、用列主元高斯消元法解线性方程组。解答：（1，5，2）最大元5在第二行，交换第一与第二行：L21=1/5=0.2,l31=2/5=0.4方程化为：（-0.2,2.6）最大元在第三行，交换第二与第三行：L32=-0.2/2.6=-0.076923,方程化为：回代得：2、用牛顿——埃尔米特插值法求满足下列表中插值条件的四次插值多项式P4(x)，并写出其截断误差的表达式(设f(x)在插值区间上具有直到五阶连续导数)。xi012f(xi)1-13f’(xi)15解答：做差商表xiF(xi)F[xi,xi+1]F[xi.xi+1.xi+2]F[xi,xi+1,xi+2,xi+3]F[xi,xi+1,xi+2,xi+3,xi+4]011-1-21-113234302351-2-1P4(x)=1-2x-3x(x-1)-x(x-1)(x-1)(x-2)R4(x)=f(5)()/5!x(x-1)(x-1)(x-2)(x-2)3、对下面的线性方程组变化为等价的线性方程组，使之应用雅克比迭代法和高斯——赛德尔迭代法均收敛，写出变化后的线性方程组及雅克比迭代法和高斯——赛德尔迭代法的迭代公式，并简单说明收敛的理由。解答：交换第二和第四个方程，使系数矩阵为严格对角占优：雅克比迭代公式：4、设y=sinx，当取x0=1.74,x1=1.76,x2=1.78建立拉格朗日插值公式计算x=1.75的函数值时，函数值y0,y1,y2应取几位小数?5、已知单调连续函数y=f(x)的如下数据：xi-0.110.001.501.80f(xi)-1.23-8若用插值法计算，x约为多少时f(x)=1。(计算时小数点后保留5位)。6、应用牛顿法于方程，导出求的迭代公式，并用此公式求的值。（计算时小数点后保留4位)。华南农业大学期末考试试卷（A卷）2007学年第二学期考试科目：数值分析考试时间：120分钟学号姓名年级专业题号一二三四总分123456得分评阅人一、判断题（每小题2分，共10分）用计算机求时，应按照从小到大的顺序相加。（）为了减少误差,应将表达式改写为进行计算。（）用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。（）采用龙格－库塔法求解常微分方程的初值问题时，公式阶数越高，数值解越精确。（）用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有关，与常数项无关。（）二、填空题（每空2分，共36分）已知数a的有效数为0.01，则它的绝对误差限为________，相对误差限为_________.设则_____，______，_____.已知则,.为使求积公式的代数精度尽量高，应使，，，此时公式具有次的代数精度。阶方阵A的谱半径与它的任意一种范数的关系是.用迭代法解线性方程组时，使迭代公式产生的向量序列收敛的充分必要条件是.使用消元法解线性方程组时，系数矩阵可以分解为下三角矩阵和上三角矩阵的乘积，即若采用高斯消元法解，其中，则_______________，______________；若使用克劳特消元法解，则____；若使用平方根方法解，则与的大小关系为_____（选填：>，<，=，不一定）。以步长为1的二阶泰勒级数法求解初值问题的数值解，其迭代公式为___________________________.三、计算题（第1～3、6小题每题8分，第4、5小题每题7分，共46分）以为初值用牛顿迭代法求方程在区间内的根，要求证明用牛顿法解此方程是收敛的；给出用牛顿法解此方程的迭代公式，并求出这个根（只需计算计算结果取到小数点后4位）。给定线性方程组分别写出用Jacobi和Gauss-Seidel迭代法求解上述方程组的迭代公式；试分析以上两种迭代方法的敛散性。已知函数在如下节点处的函数值-10121430建立以上数据的差分表；根据后三个节点建立二阶牛顿后插公式，并计算的近似值；采用事后估计法计算（2）中近似值的截断误差（结果保留四位小数）。已知如下数据表，试用最小二乘法求它的二次最小平方逼近多项式。x-1012y1250已知函数在以下节点处的函数值，利用差商表求和的近似值。x134y218写出前进欧拉公式、后退欧拉公式，并由这两个公式构造一个预估－校正公式求解下列常微分方程的数值解。四、（8分）已知n+1个数据点，请用多种方法建立这些数据点之间的函数关系，并说明各种函数的适用条件。华南农业大学期末考试答案及评分标准（A卷）2007学年第二学期考试科目：数值分析一、判断题：（每小题2分，共10分）1.×2.√3.×4.×5.×二、填空题：（每空2分，共36分）1.或，2.3.4.5.6.7.8.或三、解答题（第1～4小题每题8分，第5、6小题每题7分，共46分）（1）证明：，由于即在上不变号，对于初值，满足所以用牛顿迭代法求解此方程是收敛的。………4分（2）解：牛顿迭代法的迭代公式为………2分取初值进行迭代，得………1分………1分解：（1）Jacobi迭代公式为……………2分Gauss-Seidel迭代公式为……………2分（2）Jacobi迭代矩阵的特征方程为，展开得，即，从而得，（或由单调性易判断必有一个大于1的特征根，）因此迭代矩阵的谱半径等于必大于1，所以Jacobi迭代法发散。……………2分Gauss-Seidel迭代矩阵的特征方程为，展开得，解得迭代矩阵的谱半径小于1，所以Gauss-Seidel迭代法收敛。……………2分解：（1）建立差分表………2分（2）建立牛顿后插公式为则所求近似值为………3分（3）根据前三个节点建立牛顿后插公式为则根据事后误差估计法故截断误差………3分解：设所求二次最小平方逼近多项式为根据已知数据，得……………2分则……………1分建立法方程组为……………2分解得……………1分从而得所求一次最小平方逼近多项式为……………1分解：设为已知节点数据的插值二次多项式。构造如下差商表：一阶差商二阶差商……………2分因为二次多项式的二阶差商为常数，又是的插值函数，故有……………2分而，因此得，……………1分由于，从而得……………2分解：前进欧拉公式：…………1分后退欧拉公式：……1分预估时采用欧拉公式……………1分校正时采用后退欧拉公式……………1分由初值知，节点分别为当，……………1分当.……………1分当.……………1分当.……………1分当.四、（8分）答：1、可以建立插值函数：（1）Newton基本差商公式……………1分（2）Lagrange插值多项式其中.……………1分这两类插值函数的适用条件是：n不太大；而且要求函数严格通过已知数据点。……………2分2、可以建立拟合函数：……………1分其中系数满足法方程组,……………1分拟合函数的适用条件是：n比较大，而且并不要求函数严格通过已知数据点，或者已知数据点本身的误差较大。……………2分数值分析模拟试卷1一、填空（共30分，每空3分）1设，则A的谱半径______，A的条件数=________.2设，则＝________,＝________.3设，是以0，1，2为节点的三次样条函数，则b=________,c=________.4设是区间［0，1］上权函数为的最高项系数为1的正交多项式族，其中，则________，________.5设，当________时，必有分解式，其中L为下三角阵，当其对角线元素满足条件________时，这种分解是唯一的.二、（14分）设,

（1）试求在上的三次Hermite插值多项式使满足，.

（2）写出余项的表达式.三、（14分）设有解方程的迭代公式为，

（1）证明均有（为方程的根）；

（2）取，用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过，列出各次迭代值；

（3）此迭代的收敛阶是多少？证明你的结论.四、(16分)试确定常数A，B，C和，使得数值积分公式

有尽可能高的代数精度.试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss型的？五、（15分）设有常微分方程的初值问题，试用Taylor展开原理构造形如的方法，使其具有二阶精度，并推导其局部截断误差主项.六、（15分）已知方程组，其中，

（1）试讨论用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解此方程组的收敛性.

（2）若有迭代公式，试确定一个的取值范围，在这个范围内任取一个值均能使该迭代公式收敛.七、（8分）方程组，其中，A是对称的且非奇异.设A有误差，则原方程组变化为，其中为解的误差向量，试证明.

其中和分别为A的按模最大和最小的特征值.数值分析模拟试卷2填空题（每空2分，共30分）近似数关于真值有____________位有效数字；设可微，求方程根的牛顿迭代格式是_______________________________________________；对，差商_________________；________；已知，则________________，______________________；用二分法求方程在区间[0,1]内的根，进行一步后根所在区间为_________，进行二步后根所在区间为_________________；求解线性方程组的高斯—赛德尔迭代格式为_______________________________________；该迭代格式迭代矩阵的谱半径_______________；为使两点数值求积公式：具有最高的代数精确度，其求积节点应为_____,_____,__________.求积公式是否是插值型的__________，其代数精度为___________。二、（12分）(1)设，其中为下三角阵，为单位上三角阵。已知，求，。(2)设为矩阵，将进行三角分解：，为单位下三角阵，为上三角阵，试写出中的元素和中的元素的计算公式。三、（12分）设函数在区间[0,3]上具有四阶连续导数,试确定一个次数不超过3的多项式，满足，并写出插值余项。（12分）线性方程组请写出解此方程组的赛德尔迭代法的迭代格式，并讨论收敛性。设，给定松弛因子，请写出解此方程组的SOR方法的迭代格式，并讨论收敛性。五、（7分）改写方程为的形式，问能否用迭代法求所给方程在[1,2]内的实根？六、（7分）证明解方程求的牛顿迭代法仅为线性收敛。七、（12分）已知（1）推导以这3个点作为求积节点在[0,1]上的插值型求积公式；（2）指明求积公式具有的代数精度；用所求公式计算。八、（8分）若互异，求的值，这里数值分析模拟试卷3填空题（每空3分，共30分）设，则差商；2．在用松弛法(SOR)解线性方程组时，若松弛因子满足，则迭代法；3．设要使求的Newton迭代法至少三阶收敛，需要满足；4.设,用Newton迭代法求具有二阶收敛的迭代格式为________________；求具有二阶收敛的迭代格式为___________________；5．已知，则__________,______6.若，改变计算式=___________________，使计算结果更为精确；7．过节点的插值多项式为_____________；8.利用抛物(Simpson)公式求=。二、（14分）已知方阵，(1)证明：A不能被分解成一个单位下三角阵L和一个上三角阵U的乘积；(2)给出A的选主元的Doolittle分解，并求出排列阵；(3)用上述分解求解方程组，其中。三、（12分）设函数在区间[0,3]上具有四阶连续导数,试确定一个次数不超过3的多项式，满足，并写出插值余项。（10分）证明对任意的初值，迭代格式均收敛于方程的根，且具有线性收敛速度。（12分）在区间[-1,1]上给定函数，求其在中关于权函数的最佳平方逼近多项式。（可用数据：）(12分)(1)试导出切比雪夫(Chebyshev)正交多项式的三项递推关系式：（2）用高斯—切比雪夫求积公式计算积分，问当节点数取何值时，能得到积分的精确值？并计算它。七、（10分）验证对为2阶格式.参考答案1一、1．，=6.2．=3，=0.3．b=－2，c=3.4．；.5．二、(1)(2)三、（1）;（2）;（3）线性收敛.四、;求积公式具有5次代数精度，是Gauss型的.五、；截断误差主项为.六、（1）因此两种迭代法均收敛.（2）当时，该迭代公式收敛.参考答案2一、1．22．3．1,04．7,5．6.7.;18.是,1二、(1)(2)三、四、(1),时收敛(2),收敛五、收敛七、（1）（2）2(3)八、参考答案3一、1．42．发散3．4．,5．,496.7.8.二、(2)先交换2、3两行，交换1、2两行，(3)三、五、六、，已知都有6位有效数字，求绝对误差限。（4分）解：由已知可知,n=62分2分已知求（6分）解：1分1分1分=2分1分设（6分）写出f(x)=0解的Newton迭代格式当a为何值时，（k=0,1……）产生的序列收敛于解：①Newton迭代格式为：3分②3分给定线性方程组Ax=b，其中：，用迭代公式（k=0,1……）求解Ax=b，问取什么实数，可使迭代收敛（8分）解：所给迭代公式的迭代矩阵为2分其特征方程为2分即，解得2分要使其满足题意，须使，当且仅当2分设方程Ax=b，其中，试讨论解此方程的Jacobi迭代法的收敛性，并建立Gauss-Seidel迭代格式（9分）解：3分2分即，由此可知Jacobi迭代收敛1分Gauss-Seidel迭代格式：（k=0,1,2,3……）3分用Doolittle分解计算下列3个线性代数方程组：（i=1,2,3）其中，（12分）解：①A==LU3分由Ly=b1，即y=得y=1分由Ux1=y，即x1=得x1=2分②x2=由Ly=b2=x1，即y=得y=1分由Ux2=y，即x2=得x2=2分③x3=由Ly=b3=x2，即y=得y=1分由Ux3=y，即x3=得x3=2分已知函数y=f(x)有关数据如下：要求一次数不超过3的H插值多项式，使（6分）解：作重点的差分表，如下：3分=-1+(x+1)-x(x+1)+2x.x(x+1)=3分有如下函数表：试计算此列表函数的差分表，并利用Newton前插公式给出它的插值多项式（7分）解：由已知条件可作差分表，3分（i=0,1,2,3）为等距插值节点，则Newton向前插值公式为：=4+5x+x(x-1)=4分求f(x)=x在[-1,1]上的二次最佳平方逼近多项式，并求出平方误差（8分）解：令2分取m=1,n=x,k=,计算得：(m,m)==0(m,n)==1(m,k)==0(n,k)==0.5(k,k)==0(m,y)==1(n,y)==0(k,y)==0.5得方程组：3分解之得（c为任意实数，且不为零）即二次最佳平方逼近多项式1分平方误差：2分已知如下数据：用复合梯形公式，复合Simpson公式计算的近似值（保留小数点后三位）（8分）解：用复合梯形公式：=3.1394分用复合Simpson公式：=3.1424分计算积分，若用复合Simpson公式要使误差不超过，问区间要分为多少等分?若改用复合梯形公式达到同样精确度，区间应分为多少等分?（10分）解：①由Simpson公式余项及得2分即，取n=62分即区间分为12等分可使误差不超过1分②对梯形公式同样，由余项公式得2分即2分即区间分为510等分可使误差不超过1分用改进Euler格式求解初值问题：要求取步长h为0.1，计算y（1.1）的近似值（保留小数点后三位）[提示：sin1=0.84,sin1.1=0.89]（6分）解：改进Euler格式为：2分于是有（n=0,1,2……）2分由y(1)==1，计算得2分即y(1.1)的近似值为0.838（4分）证明：4分证明：设，为任意矩阵范数，则（6分）证明：设为A的按模最大特征值，x为相对应的特征向量，则有Ax=x1分且，若是实数，则x也是实数，得1分而2分由于1分故1分当是复数时，一般来说x也是复数，上述结论依旧成立1、（本题5分）试确定作为的近似值具有几位有效数字，并确定其相对误差限。解因为=3.142857…==3.141592…所以（2分）这里，由有效数字的定义可知作为的近似值具有3位有效数字。（1分）而相对误差限（2分）2、（本题6分）用改进平方根法解方程组：；解设由矩阵乘法得：（3分）由解得（3分）3、（本题6分）给定线性方程组1）写出Jacoib迭代格式和Gauss-Seidel迭代格式；2）考查Jacoib迭代格式和Gauss-Seidel迭代格式的敛散性；解1）Jacoib迭代格式为（2分）Gauss-Seidel迭代格式为（2分）2）由于所给线性方程组的系数矩阵是严格对角占优的，所以Jacoib迭代格式和Gauss-Seidel迭代格式均是收敛的。（2分）4、（本题6分）已知方程在附近有一个根。将此方程改写成如下2个等价形式：构造如下两个迭代格式：1）2）判断这两个迭代格式是否收敛；解1）记，则，（2分）所以该迭代格式是局部收敛的。（1分）2）记，则，（2分）所以该迭代格式是发散的（1分）5、（本题6分）设（1）写出解的牛顿迭代格式；（2）证明此迭代格式是线性收敛的。解（1）因，故，由牛顿迭代公式，（1分）得，（2分）（2）因迭代函数，，（1分）故此牛顿迭代格式是线性收敛的。（2分）6、（本题9分）给定数据x0x0235f(x)1-3-42写出的3次Lagrange插值多项式；写出的3次Newton插值多项式；解（1）由题意知（3分）（2分）（2）用牛顿插值公式，构造差商表010123523（3分）则有（1分）7、（本题6分）作一个5次多项式使得解构造有重节点的牛顿插商表13131322215114324320（4分）则有（2分）8、（本题6分）已知数据如下，试用二次多项式来拟合：012345615141414141516解设，则上表可化为01231000012这时，取，并设所求二次多项式为，容易得到，，，，，，（3分）得正规方程组如下：解得即（2分）回代得（1分）9、（本题5分）给定求积节点试推出计算积分的插值型求积公式解由于所以（1分）（1分）（1分）（1分）故求积公式为（1分）10、（本题6分）分别用梯形公式和辛普森公式计算积分：解（1）用梯形公式，（3分）（2）用辛普森公式（3分）11、（本题8分）求高斯型求积公式的系数解令：（1分）由得再由（2分）（1分）得所以的根为（2分）（2分）12、（本题6分）设为次多项式，为个互异点，为的次插值多项式。若，试证。解：因为为次多项式，所以，（2分）又因为，故有（2分）由插值关系可知：（2分）所以，13、（本题10分）设，求及谱半径。解由定义得（2分）（2分）又由于，而（2分）所以，。（2分）因为所以（2分）14、（本题6分）写出用4阶经典龙格-库塔法求解初值问题的计算公式，并取步长，计算的近似值，小数点后至少保留4位。解，于是（4分）故，由于故（2分）15、（本题9分）给定矩阵试用幂法求出的按模最大的特征值，精确至5位有效数解幂法计算公式：取，作如下迭代：，，，其中表示中（首次出现的）绝对值最大的分量，则（1分）计算如下：（2分）（2分）（2分）（2分）1．（5分）测量一物体的长度为945cm，问测量数据的相对误差限多大？（实际问题所截取的近似数，其绝对误差限一般不超过最小刻度的半个单位。）解：x=945cm，（1分）（3分）（1分）2．（5分）已知，求，，解：=2（1.5分）=3（1.5分）==（2分）3．（5分）写出求解下列方程组的Jacobi迭代格式=解：（5分）4．（5分）给定线性方程组：=讨论用Gauss-Seidel迭代法求解时的收敛性。解：A=L+D+U=++（2分）=（2分）,Gauss-Seidel迭代发散。（1分）5．（5分）设，求解：（5分）6．（10分）用平方根法解方程组=解：=（2分）L=（2分）Ly=b（2分）（2分）（2分）7．（10分）设，写出的牛顿迭代格式，并证明此迭代格式是线性收敛的。解：（2分）牛顿迭代格式（4分）迭代函数（2分）的精确解为，故（2分）所以该迭代格式的线性收敛的。8．（10分）用列主元Gauss消去法解下列方程组解：（2分）（2分）（2分）（2分）等价方程组，，（2分）9．（10分）设有函数值表x134679y976431试求各阶差商，并写出Newton插值多项式。解：197-146-1064-10073-100091-10000（6分）（4分）10．（10分）试用最小二乘法，求解下列超定方程组：解：将该方程组两边同时左乘以，得=（2分）=（2分）=（4分）解得：（2分）11．（10分）已知的函数值如下：x2.02.87.3899.02511.02313.46416.445用复合梯形公式和复合Simpson公式求的近似值解：复合梯形公式：h=（2.8-2.0）/4=0.2=9.0858（5分）复合Simpson公式h=(2.8-2.0)/2=0.49.0557（5分）12．（15分）确定下列公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指出代数精度的次数。解：当=1时，左=2，右==2，左=右（2分）当=x时，左=0，右=（2分）当=时，左=，右=（2分）要使所给求积公式至少具有2次代数精度当且仅当，满足（2分），（2分）（1）（1分）（2）（1分）当=时，左=1（1）（2）的右边均1（1）（2）的代数精度均为2（3分）

一、单项选择题（每小题3分，共15分）1.3.142和3.141分别作为的近似数具有（）和（）位有效数字.

A．4和3

B．3和2

C．3和4

D．4和42.已知求积公式，则＝（）A．

B．

C．

D．3.通过点的拉格朗日插值基函数满足（

）

A．＝0，

B．＝0，

C．＝1，

D．＝1，4.设求方程的根的牛顿法收敛，则它具有（

）敛速。

A．超线性

B．平方

C．线性

D．三次5.用列主元消元法解线性方程组

作第一次消元后得到的第3个方程（

）.

A．

B．

C．

D．单项选择题答案1.A2.D3.D4.C5.B得分评卷人

二、填空题（每小题3分，共15分）

1.设,则

，

.

2.一阶均差

3.已知时，科茨系数，那么

4.因为方程在区间上满足

，所以在区间内有根。5.取步长，用欧拉法解初值问题的计算公式

.填空题答案1.

9和2.

3.

4.

5.

得分评卷人

三、计算题（每题15分，共60分）1.已知函数的一组数据：求分段线性插值函数，并计算的近似值.计算题1.答案1.

解，

，所以分段线性插值函数为

2.已知线性方程组（1）

写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式；（2）

对于初始值，应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算（保留小数点后五位数字）.计算题2.答案

1.解原方程组同解变形为

雅可比迭代公式为

高斯－塞德尔迭代法公式

用雅可比迭代公式得

用高斯－塞德尔迭代公式得3.用牛顿法求方程在之间的近似根（1）请指出为什么初值应取2？（2）请用牛顿法求出近似根，精确到0.0001.计算题3.答案

3.解，，，，，故取作初始值迭代公式为，，，，

方程的根4.写出梯形公式和辛卜生公式，并用来分别计算积分.计算题4.答案4解

梯形公式

应用梯形公式得

辛卜生公式为

应用辛卜生公式得

得分评卷人

四、证明题（本题10分）确定下列求积公式中的待定系数，并证明确定后的求积公式具有3次代数精确度证明题答案证明：求积公式中含有三个待定系数，即，将分别代入求积公式，并令其左右相等，得

得，。所求公式至少有两次代数精确度。

又由于

故具有三次代数精确度。

一、

填空（共20分，每题2分）1.设，取5位有效数字，则所得的近似值x=

.2.设一阶差商，

则二阶差商3.设,则

，

。4．求方程

的近似根，用迭代公式，取初始值，那么

5．解初始值问题近似解的梯形公式是

6、，则A的谱半径＝

。7、设

，则

和

。

8、若线性代数方程组AX=b的系数矩阵A为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都

。9、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler）方法的局部截断误差为

。

10、为了使计算的乘除法运算次数尽量的少,应将表达式改写成

。填空题答案1、2.3150

2、3、6和4、1.5

5、6、7、8、收敛9、

10、二、计算题

（共75分，每题15分）1．设

（1）试求在上的三次Hermite插值多项式使满足以升幂形式给出。

（2）写出余项的表达式计算题1.答案1、（1）

（2）2．已知的满足，试问如何利用构造一个收敛的简单迭代函数，使0，1…收敛？计算题2.答案2、由，可得，

3．试确定常数A，B，C和a，使得数值积分公式

有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss