江西省萍乡市安源第六学校高三数学理期末试卷含解析

江西省萍乡市安源第六学校高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知向量与向量的夹角为，，则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D试题分析：，当然也可数形结合考点：向量的模2.已知三棱锥P﹣ABC中，PA=AB=AC=1，PA⊥面ABC，∠BAC=，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为（）A．3π B．4π C．5π D．8π参考答案：C【考点】球内接多面体．【专题】综合题；方程思想；综合法；立体几何．【分析】求出BC，可得△ABC外接圆的半径，进而可得三棱锥P﹣ABC的外接球的半径，即可求出三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积．【解答】解：△ABC中，BC==．设△ABC外接圆的半径为r，则2r=，∴r=1，∴三棱锥P﹣ABC的外接球的半径为=，∴三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为=5π．故选：C．【点评】本题考查三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积，考查学生的计算能力，确定三棱锥P﹣ABC的外接球的半径是关键．3.如图画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A．16 B．32 C．48 D．60参考答案：A由三视图可得，该几何体是一个四棱锥，高为4，底面为上底、下底分别为2,4，高为4的直角梯形，故此四棱锥的体积为。选A。

4.在数列中，，若数列为等差数列，则等于

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B5.若双曲线上不存在点P使得右焦点F关于直线OP（O为双曲线的中心）的对称点在y轴上,则该双曲线离心率的取值范围为

(

）A．

B．

C．

D．参考答案：C这里给出否定形式,直接思考比较困难,按照正难则反,考虑存在点P使得右焦点F关于直线OP（O为双曲线的中心）的对称点在y轴上,因此只要在这个双曲线上存在点P使得OP斜率为1即可,所以只要渐进线的斜率大于1,也就是离心率大于,求其在大于1的补集;该题通过否定形式考查反证法的思想,又考查数形结合、双曲线的方程及其几何性质,是中档题.6.设函数．则在区间内（

）

A．存在唯一的零点,且数列单调递增

B．存在唯一的零点,且数列单调递减

C．存在唯一的零点,且数列非单调数列

D．不存在零点参考答案：A,因为，所以，所以函数在上单调递增。，，因为，所以，所以函数在上只有一个零点，选A.7.若直线和曲线的图象交于，，三点时，曲线在点、点处的切线总是平行的，则过点可作曲线的（

）条切线.A．0

B．1

C.2

D．3参考答案：C8.等差数列{an}的前n项和为Sn，其中n∈N*，则下列命题错误的是（）A．若an＞0，则Sn＞0B．若Sn＞0，则an＞0C．若an＞0，则{Sn}是单调递增数列D．若{Sn}是单调递增数列，则an＞0参考答案：D【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由等差数列的性质可得：?n∈N*，an＞0，则Sn＞0，反之也成立．an＞0，d＞0，则{Sn}是单调递增数列．若{Sn}是单调递增数列，则d＞0，而an＞0不一定成立．即可判断出正误．【解答】解：由等差数列的性质可得：?n∈N*，an＞0，则Sn＞0，反之也成立．an＞0，d＞0，则{Sn}是单调递增数列．因此A，B，C正确．对于D：{Sn}是单调递增数列，则d＞0，而an＞0不一定成立．故选：D．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与前n项和直角的关系、等差数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.已知复数z=，其中a为整数，且z在复平面对应的点在第四象限，则a的最大值等于（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：复数z===+i，z在复平面对应的点在第四象限，∴＞0，＜0，解得﹣1＜a＜4，又a为整数，则a的最大值等于3．故选：C．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10.设，，若对于任意，总存在，使得成立，则的取值范围是（

）(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数f（x）=，若有三个不同的实数a，b，c，使得f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围为

．参考答案：（2π，2016π）考点：分段函数的应用．专题：三角函数的图像与性质．分析：如图所示，不妨设a＜b＜c，由于f（a）=f（b）=f（c），可得0＜a＜b＜π＜c＜2015π，a+b=π，即可得出．解答： 解：如图所示，当x∈时，f（x）=sinx．不妨设a＜b＜c，若满足f（a）=f（b）=f（c），则0＜a＜b＜π＜c＜2015π，a+b=π，∴2π＜a+b+c＜2016π．∴a+b+c的取值范围为（2π，2016π）．故答案为：（2π，2016π）．点评：本题考查了三角函数与对数函数的图象与性质、函数图象的交点，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.若定义在区间上的函数满足：对，使得恒成立，则称函数在区间上有界，则下列函数中有界的是

.①；②；③；④；⑤，其中.参考答案：①④⑤【解析】本题主要考查函数的性质.对于①,显然存在对,使得恒成立,所以①是有界的;对于②,该函数为奇函数,定义域为,当时,,故不存在,使得恒成立,所以②不是有界的;对于③,由于其值域为,故不存在,使得恒成立,所以③不是有界的;对于④,设,则,故存在对,使得恒成立,所以④是有界的;对于⑤,其中,由于函数是闭区间上的连续函数,故必存在,对,使得恒成立,所以⑤,其中是有界的,故答案为①④⑤.13.若函数f（x）=（k为常数）在定义域上为奇函数，则k的值为

．参考答案：±1【考点】函数奇偶性的性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】由函数f（x）为在定义域上为奇函数，则必有f（﹣x）=﹣f（x），然后利用待定系数法求解．【解答】解：∵函数f（x）=∴f（﹣x）=﹣f（x）∴∴（k2﹣1）（2x）2=1﹣k2∴（k2﹣1）=0∴k=±1故答案为：±1．【点评】本题主要考查奇偶性的定义的应用，要注意判断和应用的区别，判断时一定要从两个方面，一是定义域是否关于原点对称，二是模型是否满足．应用时，已经知道奇偶性了，则对于定义域中任一变量都满足模型，做大题时用待定系数法求参数，做客观题时可用特殊值求解．14.已知函数的反函数是，则

；

．参考答案：答案：解析：由互反函数点之间的对称关系，取特殊点求解。在上取点，得点

在上，故得；又上有点，则点在

点评：本题主要考察反函数的概念及其对称性的应用。直接求反函数也可，较为简单。易错点：运算错误导致填写其他错误答案。15.已知，，则__________．参考答案：【分析】根据三角函数的基本关系式求得，进而求得，即可求解，得到答案．【详解】根据三角函数的基本关系式可得，又因为，所以，所以．【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式的化简、求值，其中解答中合理应用三角函数的基本关系式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．16.已知P是抛物线y2=4x上的动点，过P作抛物线准线的垂线，垂足为M、N是圆（x﹣2）2+（y﹣5）2=1上的动点，则|PM|+|PN|的最小值是

．参考答案：﹣1考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先根据抛物线方程求得焦点坐标，根据圆的方程求得圆心坐标，根据抛物线的定义可知P到准线的距离等于点P到焦点的距离，进而问题转化为求点P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小值，根据图象可知当P，Q，F三点共线时P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小，为圆心到焦点F的距离减去圆的半径．解答： 解：抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），圆（x﹣2）2+（y﹣5）2=1的圆心为Q（2，5），根据抛物线的定义可知点P到准线的距离等于点P到焦点的距离，进而推断出当P，Q，F三点共线时P到点N的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小为：﹣1=﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题主要考查了抛物线的应用．考查了学生转化和化归，数形结合等数学思想．17.某企业三月中旬生产，A、B、C三种产品共3000件，根据分层抽样的结果；企业统计员制作了如下的统计表格：产品类别ABC产品数量（件）

1300

样本容量（件）

130

由于不小心，表格中A、C产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C的产品数量是

件。参考答案：800

略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值（单位：元，）的平方成正比，已知商品单价每降低2元时，一星期多卖出24件。（1）请将一个星期的商品销售利润表示成的函数；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

（2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大，最大值是多少？参考答案：解析：1）设商品降价元，则多卖的商品数为，若记商品在一个星期的获利为，则依题意有，┈4分又由已知条件，，于是有，┈5分w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

所以．┈7分2）根据1），我们有．┈8分21200↘极小↗极大↘故时，达到极大值．因为，，┈11分所以定价为元能使一个星期的商品销售利润最大，最大值为11264元。14分19.已知函数，其中.（1）若直线为曲线在（0，f（0））处的切线方程，求a，并求f（x）的单调区间；（2）当时，恒成立，求a的取值范围.参考答案：（1）单调递增区间为，单调递减区间为（-1，1）（2）【分析】（1）求导函数，利用导数的几何意义及曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程建立方程，即可求得a的值；利用导数的正负，可得f（x）的单调区间.(2)只需最大值处即可.【详解】（1）.，由题意可得，得.所以，令，得或，令，得，所以f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为（-1，1）（2）.由题意成立，故。又由(1)令得或.当时，，可得f（x）在，（1，2）上递增，在上递减，故只需即可.，解得，综合可得号【点睛】本题考查导数的几何意义,利用导数求单调区间,最值,难题.20.已知函数f（x）=ax，g（x）=lnx，其中a∈R，（e≈2.718）．（1）若函数F（x）=f（x）﹣g（x）有极值1，求a的值；（2）若函数G（x）=f（sin（x﹣1））﹣g（x）在区间（0，1）上为减函数，求a的取值范围；（3）证明：．参考答案：考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：（1）F（x）=ax﹣lnx，（x＞0），，对a分类讨论，利用导数研究函数的单调性极值即可得出；（2）解法1：由函数G（x）=f（sin（x﹣1））﹣g（x）=asin（x﹣1）﹣lnx在区间（0，1）上为减函数，可得在（0，1）上恒成立在（0，1）上恒成立，设，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出；解法2：由函数G（x）=f（sin（x﹣1））﹣g（x）=asin（x﹣1）﹣lnx在区间（0，1）上为减函数，可得对?x∈（0，1），（*）恒成立，由x∈（0，1），可得cos（x﹣1）＞0，对a分类讨论：当a≤0时，（*）式显然成立；当a＞0时，（*）式?在（0，1）上恒成立，设h（x）=xcos（x﹣1），利用其单调性即可得出．（3）证法1：由（2）知，当a=1时，G（x）=sin（x﹣1）﹣lnx＞G（1）=0，?sin（x﹣1）＞lnx．对任意的k∈N*有，可得，因此，利用对数的运算性质、“累加求和”即可得出；证法2：利用导数先证明当时，sinx＜x，由于对任意的k∈N*，，而．可得，利用“累加求和”即可证明．解答： 解：（1）∵F（x）=ax﹣lnx，（x＞0）∴，①若a≤0，则对任意的x∈（0，+∞）都有F'（x）＜0，即函数F（x）在（0，+∞）上单调递减，函数F（x）在（0，+∞）上无极值；②若a＞0，由F'（x）=0得，当时，F'（x）＜0；当时，F'（x）＞0，即函数F（x）在单调递减，在单调递增，∴函数F（x）在处有极小值，∴=，∴a=1．（2）解法1：∵函数G（x）=f（sin（x﹣1））﹣g（x）=asin（x﹣1）﹣lnx在区间（0，1）上为减函数，且当x∈（0，1）时，cos（x﹣1）＞0，∴在（0，1）上恒成立在（0，1）上恒成立，设，则，当x∈（0，1）时，sin（x﹣1）＜0，cos（x﹣1）＞0，∴H'（x）＜0在（0，1）上恒成立，即函数H（x）在（0，1）上单调递减，∴当x∈（0，1）时，H（x）＞H（1）=1，∴a≤1．解法2：∵函数G（x）=f（sin（x﹣1））﹣g（x）=asin（x﹣1）﹣lnx在区间（0，1）上为减函数，∴对?x∈（0，1），（*）恒成立，∵x∈（0，1），∴cos（x﹣1）＞0，当a≤0时，（*）式显然成立；当a＞0时，（*）式?在（0，1）上恒成立，设h（x）=xcos（x﹣1），易知h（x）在（0，1）上单调递增，∴h（x）＜h（1）=1，∴?0＜a≤1，综上得a∈（﹣∞，1]．（3）证法1：由（2）知，当a=1时，G（x）=sin（x﹣1）﹣lnx＞G（1）=0，?sin（x﹣1）＞lnx，∵对任意的k∈N*有，∴∴，∴=＜ln2，即．证法2：先证明当时，sinx＜x，令p（x）=sinx﹣x，则p'（x）=cosx﹣1＜0对任意的恒成立，∴函数p（x）在区间上单调递减，∴当时，p（x）＜p（0）=0，∴sinx＜x，∵对任意的k∈N*，而．∴，∴．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、利用函数的单调性证明不等式、“累加求和”，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21.已知椭圆：=l（a＞b＞0）的一个顶点坐标为B（0，1），若该椭圆的离心率等于．（1）求椭圆的方程．（2）Q是椭圆上位于x轴下方的一点，F1F2分别是椭圆的左、右焦点，直线QF1的倾斜角为，求△QF1F2的面积；（3）以B为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形ABC，判断这样的三角形存在吗？若存在，有几个？若不存在，请说明理由．参考答案：考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）易知b=1，由离心率为，得，再由a2=b2+c2可求得a，于是得到椭圆方程；（2）易求直线QF1的方程，与椭圆方程联立可求得点Q的坐标，由三角形面积公式得=，代入即可求得答案；（3）假设这样的三角形存在，设AB的方程为y=kx+1（k＞0），则BC的方程为y=﹣x+1，分别于椭圆方程联立可求得点A、C的横坐标，由|AB|=|BC|得点A、C的横坐标的方程，综上可得关于k的方程，解出即可；解答：解：（1）依题意，b=1，因为离心率等于，所以，解