河南省开封市第十五中学高一数学理模拟试卷含解析

河南省开封市第十五中学高一数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知等腰三角形顶角的余弦值等于,则这个三角形底角的正弦值为（

）A

B

C

D

参考答案：C略2.在△ABC中，D为边BC的中点，AB=2，AC=4，，则∠BAC为（

）A．30°

B．60°

C．120°

D．150°参考答案：D3.已知，，则的值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B4.数列中，如果数列是等差数列，则

（

）

(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：B5.在直角梯形ACBD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B=45°，AB=2CD=2，M为腰BC的中点，则=（）A．1B．2C．3D．4参考答案：B【考点】向量在几何中的应用．【分析】以直角梯形的两个直角边为坐标轴，写出点的坐标，求出向量的坐标，利用向量数量积的坐标形式的公式求．【解答】解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，建立直角坐标系．则：A（0，0），B（2，0），D（0，1），C（1，1），M（．因为AB=2CD=2，∠B=45，所以AD=DC=1，M为腰BC的中点，则M点到AD的距离=（DC+AB）=，M点到AB的距离=DA=所以，，所以=9/4﹣1/4=2．故答案为B6.已知△ABC中，a＝1，b＝2，c=，则∠C＝A．30°

B．30°或150°

C．60°

D．120°

参考答案：D7.已知其中为常数，若，则的值等于(

)A．－10

B．－6

C．－4

D．－2参考答案：A，则，所以，故选A。

8.下列函数中值域是的是（

）． A． B． C． D．参考答案：B∵的值域为，的值域为，的值域为，选择．9.已知函数y=|x﹣3|+1在区间[0，9]上的值域是（）A．[4，7] B．[0，7] C．[1，7] D．[2，7]参考答案：C【考点】函数的值域．【分析】对x进行讨论，去掉绝对值，利用函数的单调性，求解即可．【解答】解：由题意：函数y=|x﹣3|+1，定义域为[0，9]；当x≥3时，函数y=x﹣2，x在[3，9]是增函数；当x＜3时，函数y=4﹣x，x在[0，3）是减函数；故得x=3时，函数y的值最小为：1；x=9时，函数y的值最大为：7；故得函数y=|x﹣3|+1在区间[0，9]上的值域为[1，7]．故选：C．10.已知

，若，则的值是（

）A．1

B．1或

C．

D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若四面体ABCD中，AB=CD=BC=AD=，AC=BD=，则四面体的外接球的表面积为．参考答案：6π【考点】球的体积和表面积．【分析】将四面体补成长方体，通过求解长方体的对角线就是球的直径，然后求解外接球的表面积．【解答】解：由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以，，为三边的三角形作为底面，且以分别x，y，z长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，并且x2+y2=5，x2+z2=5，y2+z2=2，则有（2R）2=x2+y2+z2=6（R为球的半径），所以球的表面积为S=4πR2=6π．故答案为：6π．12.已知数列{an}的前n项和为，则数列{an}的通项公式为________.参考答案：【分析】利用数列与的关系可求出通项公式.【详解】数列的前项和为，当n=1时，，当时，，检验，当n=1时，适合上式，所以，故答案为：【点睛】数列的通项与前n项和的关系式，常利用这个关系式实现与之间的相互转化.13.设变量x,y满足约束条件则目标函数的最小值为_____.参考答案：略14.边长为a的正三角形ABC的边AB、AC的中点为E、F，将△AEF沿EF折起，此时A点的新位置A'使平面A'EF⊥平面BCFE，则A'B=．参考答案：【考点】直线与平面垂直的判定．【分析】取BC的中点N，连接AN交EF于点M，连接A′M，可证A′M⊥BM，由已知可得AM=MN==A′M，在Rt△MNB中，利用勾股定理可求MB，进而在Rt△A′MB中，利用勾股定理可求A′B的值．【解答】解：取BC的中点N，连接AN交EF于点M，连接A′M，则A′M⊥EF．∵平面A′EF⊥平面BCFE，∴A′M⊥平面BCFE，∴A′M⊥BM，∵AM=MN=，∴A′M=，在Rt△MNB中，MB===，在Rt△A′MB中，A′B===．故答案为：．【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判断，考查了勾股定理在解三角形中的应用，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．15.若集合.当集合中有2个元素时，实数k的取值范围是

▲

参考答案：；16.已知点,点是圆上任意一点，则面积的最大值是

参考答案：略17.设i为虚数单位，复数的模为______。参考答案：5【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，然后代入复数模的公式，即可求得答案．【详解】由题意，复数，则复数的模为．故答案为：5【点睛】本题主要考查了复数的乘法运算，以及复数模的计算，其中熟记复数的运算法则，和复数模的公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）如图，△OAB是边长为4的正三角形，记△OAB位于直线x=t（0＜t＜6）左侧的图形的面积为f（t），试求f（t）的解析式．参考答案：考点： 函数解析式的求解及常用方法．专题： 函数的性质及应用．分析： 根据“0＜t＜6”和图形，分三种情况进行讨论．解答： 当0＜t＜2时，f（t）=，当2≤t≤4时，==，当4＜t＜6时，，所以f（t）的解析式为．点评： 本题考察分段函数解析式的求解，求解时让“直线x=t”动起来，先观察直线左侧图形是什么图形，再根据对应的面积公式来求解．19.（12分）已知函数，且对任意的实数x都有成立.（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）利用单调性的定义证明函数f(x)在区间[1，＋∞上是增函数.参考答案：（Ⅰ）由f(1+x)=f(1－x)得，(1＋x)2＋a(1＋x)＋b＝(1－x)2＋a(1－x)＋b，整理得：(a＋2)x＝0，由于对任意的x都成立，∴a＝－2.----------------(6分)（Ⅱ）根据（Ⅰ）可知f(x)=x2－2x+b，下面证明函数f(x)在区间[1，＋∞上是增函数.设，则＝（）－（）＝（）－2（）＝（）（－2）∵，则＞0，且－2＞2－2＝0，∴＞0，即，故函数f(x)在区间[1，＋∞上是增函数.---------------(12分)20.为了参加全运会，对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度（m/s）的数据如表．（1）画出茎叶图甲273830373531乙332938342836（2）分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度（m/s）数据的平均数、标准差，并判断说明选谁参加比赛更合适．参考答案：【考点】BA：茎叶图．【分析】（1）由茎叶图的特点确定茎叶图的茎和叶，得到茎叶图；（2）利用平均数公式以及标准差公式得到数据，然后比较．【解答】解：（1）由已知得到茎叶图如图：（2）甲的中位数是33，乙的中位数是33.5甲的平均数是=33，乙的平均数是=33甲的方差是15.67，标准差是3.96，乙的方差是12.67；标准差是3.56，乙比较稳定一点，综合比较选乙参加比赛较为合适．21.在四面体ABCD中，过棱AB的上一点E作平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H（1）求证：截面EFGH为平行四边形（2）若P、Q在线段BD、AC上，，且P、F不重合，证明：PQ∥截面EFGH参考答案：（1）证明：，∵AD∥平面EFGH，平面ADB平面EHGH=EF，AD平面ABD，∴AD∥EF∵AD∥平面EHGH，平面ADC平面EHGH=GH，AD平面ADC，.∴AD∥GH由平行公理可得EF∥GH同理可得EH∥FG∴四边形EFGH为平行四边形.（2）如图在CD上取点M，使，连接MQ则PM∥BC∥FG，，则QM∥AD∥HGPMQM=M∴平面PMQ∥平面EHGH∵PQ平面PMQ∴PQ∥截面EFGH22.如图，正三棱锥的三条侧棱、、两两垂直，且长度均为2．、分别是、的中点，是的中点，过作平面与侧棱、、或其延长线分别相交于、、，已知.（1）求证：⊥平面；（2）求二面角的大小.参考答案：(1)证明:依题设,是的中位线,所以∥,

则∥平面,所以∥。

又是的中点,所以⊥,则⊥。

因为⊥,⊥,

所以⊥面,则⊥,

因此⊥面.

(2)作⊥于,连。因为⊥平面,

根据三垂线定理知,⊥,

就是