高考数学复习第九章立体几何初步53立体几何综合文市赛课公开课一等奖省名师获奖课件

第九章立体几何初步1/44第53课立体几何综合2/44课前热身3/441.(必修2P56练习2改编)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1上一点，若BD1∥平面AEC，则点E为DD1________．【解析】连接BD交AC于点O，连接OE，因为BD1∥平面AEC，平面AEC∩平面BDD1＝EO，所以BD1∥OE，又O为BD中点，所以E是DD1中点．激活思维中点(第1题)

4/442.(必修2P49练习4改编)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，若AB＝AD＝3cm，AA1＝2cm，则四棱锥ABB1D1D体积为________cm3.(第2题)

65/443.(必修2P40练习3改编)如图，若六棱锥PABCDEF底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则以下命题中正确是________．(填序号)①PA⊥AD；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面PAE；④直线PD与平面ABC所成角为30°.【解析】①中，因为PA⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，所以PA⊥AD，故①正确；②中两平面不垂直，故②错误；③中，AD与平面PAE相交，BC∥AD，故③错误；④中，PD与平面ABC所成角为45°，故④错误．①(第3题)

6/444.(必修2P40练习5改编)已知a，b是两条不一样直线，α，β是两个不重合平面，给出以下四个命题：①若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则b∥α；②若a∥α，a⊥β，则α⊥β；③若a⊥β，α⊥β，则a∥α或a⊂α；④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β.其中正确命题个数为________．47/44【解析】对于①，因为a⊥b，a⊥α，所以b∥α或b⊂α，又b⊄α，所以b∥α，故①正确；对于②，因为a∥α，所以存在直线a1⊂α，且a1∥a，又a⊥β，所以a1⊥β，所以α⊥β，故②正确；对于③，因为a⊥β，α⊥β，所以a∥α或a⊂α，故③正确；对于④，因为a⊥b，a⊥α，所以b∥α或b⊂α.又因为b⊥β，所以α⊥β，故④正确，综上，正确命题个数为4.8/44空间中平行和垂直关系能够按照下表进行类比：知识梳理9/44课堂导学10/44

(·徐州、连云港、宿迁三检)如图(1)，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝AC，M，N，P分别为BC，CC1，BB1中点．(1)求证：平面AMP⊥平面BB1C1C；【解答】因为ABCA1B1C1是直三棱柱，所以BB1⊥底面ABC.又AM⊂底面ABC，所以BB1⊥AM.因为M为BC中点，且AB＝AC，所以AM⊥BC.平行和垂直综合问题例1(例1(1))

11/44又BB1∩BC＝B，BB1⊂平面BB1C1C，BC⊂平面BB1C1C，所以AM⊥平面BB1C1C.因为AM⊂平面APM，所以平面APM⊥平面BB1C1C.12/44(2)求证：A1N∥平面AMP.【解答】如图(2)，取C1B1中点D，连接A1D，DN，DM，B1C.在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，M分别为C1B1，CB中点，所以DM∥CC1且DM＝CC1，所以DM∥AA1且DM＝AA1，所以四边形A1AMD为平行四边形，所以A1D∥AM.又A1D⊄平面APM，AM⊂平面APM，所以A1D∥平面APM.(例1(2))

13/44因为D，N分别为C1B1，CC1中点，所以DN∥B1C.又P，M分别为BB1，CB中点，所以MP∥B1C，所以DN∥MP.因为DN⊄平面APM，MP⊂平面APM，所以DN∥平面APM.又A1D∩DN＝D，A1D，DN⊂平面A1DN，所以平面A1DN∥平面APM.因为A1N⊂平面A1DN，所以A1N∥平面APM.14/44【精关键点评】(1)空间位置关系判定主要包含平行和垂直两个方面，主要是线线、线面、面面相互转化以及空间问题转化为平面问题降维思想利用．(2)条件与结论之间怎样利用定理进行转化是关键，空间中线线平行和垂直常见证法要熟悉．15/44

(·南通一调)如图(1)，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，E是A1C1中点．(1)求证：BE⊥AC；【解答】如图(2)，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，连接BD交AC于点F，连接B1D1交A1C1于点E.变式(变式(1))

(变式(2))

16/44因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC.因为四棱柱ABCDA1B1C1D1为直四棱柱，所以BB1⊥平面ABCD.又AC⊂平面ABCD，所以BB1⊥AC.又BD∩BB1＝B，BD⊂平面B1BDD1，BB1⊂平面B1BDD1，所以AC⊥平面B1BDD1.因为BE⊂平面B1BDD1，所以BE⊥AC.17/44(2)求证：BE∥平面ACD1.【解答】连接D1F，因为四棱柱ABCDA1B1C1D1为直棱柱，所以四边形B1BDD1为矩形．又E，F分别是B1D1，BD中点，所以BF＝D1E，且BF∥D1E，所以四边形BED1F是平行四边形，所以BE∥D1F.又D1F⊂平面ACD1，BE⊄平面ACD1，所以BE∥平面ACD1.18/44 如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，DB＝BC，DB⊥AC，点M是棱BB1上一点．(1)求证：MD⊥AC；【思维引导】(1)经过证实AC⊥平面BB1D1D，来证实AC⊥DM；(2)经过结构与平面CC1D1D垂直直线，进行平移寻找所求点正确位置．【解答】连接B1D1，因为BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以BB1⊥AC.探索性问题例2(例2)

19/44又因为BD⊥AC，且BD∩BB1＝B，BD，BB1⊂平面B1BDD1，所以AC⊥平面B1BDD1.因为MD⊂平面B1BDD1，所以MD⊥AC.20/44(2)试确定点M位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.【解答】当M为棱BB1中点时，可使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.取DC中点N，D1C1中点N1，连接NN1交DC1于O，连接OM.因为N是DC中点，BD＝BC，所以BN⊥DC.又因为平面ABCD∩平面DCC1D1＝DC，平面ABCD⊥平面DCC1D1，BN⊂平面ABCD，所以BN⊥平面DCC1D1.又因为O是NN1中点，21/44所以BM∥ON，且BM＝ON，即四边形BMON是平行四边形，所以BN∥OM，所以OM⊥平面CC1D1D.又因为OM⊂平面DMC1，所以平面DMC1⊥平面CC1D1D.【精关键点评】探求符合要求点或线问题时，能够先假设存在，即增加条件后再证实；或经过先结构平行或垂直特殊位置上点或线，经过对其进行平移，来寻找正确结果，然后再反过来证实．22/44 如图(1)，三棱柱ABCA1B1C1底面是边长为2正三角形，侧棱A1A⊥底面ABC，点E，F分别是棱CC1，BB1上点，点M是线段AC上动点，EC＝2FB＝2.问：当点M在什么位置时，BM∥平面AEF?变式(变式(1))

【解答】如图(2)，取AE中点O，连接OF，过点O作OM⊥AC于点M.

(变式(2))

23/44因为侧棱A1A⊥底面ABC，AA1⊂平面A1ACC1，所以侧面A1ACC1⊥底面ABC.又平面ABC∩平面ACC1A1＝AC，OM⊥AC，所以OM⊥底面ABC.又因为EC＝2FB＝2，所以四边形OMBF为矩形，故BM∥OF.又BM⊄平面AEF，OF⊂平面AEF，所以BM∥平面AEF，此时点M为AC中点．24/44 在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2BC＝4，CD＝3，E为AB中点，过点E作EF⊥CD，垂足为F(图(1))，将此梯形沿EF折成一个直二面角AEFC(图(2))．翻折问题例3图(1)

图(2)

25/44(1)求证：BF∥平面ACD；【思维引导】先分析翻折前后图形中线段长度改变以及线线位置关系改变，再利用定理证实位置关系并计算体积．【解答】如图，连接EC交BF于点O，取AC中点P，

连接PO，PD，所以DF∥PO，且DF＝PO，所以四边形DPOF为平行四边形，所以FO∥PD，即BF∥PD.又PD⊂平面ACD，BF⊄平面ACD，所以BF∥平面ACD.(例3)

26/44(2)求多面体ADFCBE体积．【解答】因为二面角AEFC为直二面角，且AE⊥EF，所以AE⊥平面BCFE.又BC⊂平面BCFE，所以AE⊥BC.因为BC⊥BE，BE∩AE＝E，BE，AE⊂平面AEB，所以BC⊥平面AEB，所以BC是三棱锥CABE高．同理可证CF是四棱锥CAEFD高，所以多面体ADFCBE体积27/44【精关键点评】对于翻折问题通常在折痕同侧其位置关系和线长度、角大小不变，异侧就会发生改变．因为图形被翻折后从平面图形变成了空间图形，所以很多原始位置关系和平面几何条件都不能使用．28/44 请你设计一个包装盒，ABCD是边长为60cm正方形硬纸片，切去如图(1)所表示阴影部分四个全等等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中点P，恰好形成一个如图(2)所表示正四棱柱形状包装盒，E，F在AB上且E，F是被切去等腰直角三角形斜边两个端点，设AE＝FB＝xcm.立体几何模型实际应用问题例4图(1)

图(2)

(例4)

29/44(1)若广告商要求包装盒侧面积S(单位：cm2)最大，试问：x应取何值？【思维引导】本题求解前提是找到盒子底面边长与高，继而求得底面面积，再求其体积．而解题关键是正确地求得“盒子”体积函数式．因为题中包括了三次函数最值，所以要考虑结合导数求最值．【解答】依据题意有S＝602－4x2－(60－2x)2＝240x－8x2＝－8(x－15)2＋1800(0<x<30)，所以x＝15时包装盒侧面积S最大．答：当x＝15时，包装盒侧面积最大．30/44(2)若广告商要求包装盒容积V(单位：cm3)最大，试问：x应取何值？并求出此时包装盒高与底面边长比值．当0<x<20时，V′>0，V单调递增；当20<x<30时，V′<0，V单调递减．31/44【精关键点评】(1)本题主要考查空间想象能力、数学阅读能力、利用数学知识处理实际问题能力、建立数学函数模型求解问题能力等，属于中等题；(2)合理、正确地构建函数式是处理这类问题关键，在给出函数式时要考虑到其定义域；(3)包括求高次函数最值时要考虑结合导数求最值．

32/44 如图，四边形ABCD为直角梯形，∠C＝∠CDA＝90°，AD＝2BC＝2CD，P为平面ABCD外一点，且PB⊥BD.(1)求证：PA⊥BD；【解答】因为四边形ABCD为直角梯形，又PB⊥BD，AB∩PB＝B，AB，PB⊂平面PAB，所以BD⊥平面PAB.因为PA⊂平面PAB，所以PA⊥BD.备用例题(备用例题)

33/44(2)若PC与CD不垂直，求证：PA≠PD.【解答】假设PA＝PD，取AD中点N，连接PN，BN，则PN⊥AD，BN⊥AD.因为PN∩BN＝N，PN，BN⊂平面PBN，所以AD⊥平面PNB，所以PB⊥AD.又PB⊥BD，BD∩AD＝D，BD，AD⊂平面ABCD，所以PB⊥平面ABCD.因为CD⊂平面ABCD，所以PB⊥CD.又因为BC⊥CD，BC∩PB＝B，BC，PB⊂平面PBC，所以CD⊥平面PBC.又PC⊂平面PBC，所以CD⊥PC，这与已知条件PC与CD不垂直矛盾，所以PA≠PD.34/44课堂评价35/441.给定以下四个命题：①若一个平面内两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一条直线两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们交线不垂直直线与另一个平面也不垂直．其中正确命题是________.(填序号)②④36/44【解析】①中没有说明是两条相交直线，故①错误；由平面垂直判定定理可得②正确；③中两条直线能够相交也能够异面，故③错误；由平面垂直性质定理可得④正确．37/442.一块边长为10cm正方形铁片按如图(1)所表示将阴影部分裁下，然后用余下四个全等等腰三角形作侧面，以它们公共顶点P为顶点，加工成一个如图(2)所表示正四棱锥容器，则当x＝6cm时，该容器容积为________cm3.图(1)图(2)(第2题)

4838/44【解析】由题知AB＝6cm，所以底面ABCD面积为36cm2,结合图形可求得正四棱锥高为4cm，所以该容器容积为48cm3.39/44(第3题)

90°40/44【解析】因为AB＝AD＝1，BD＝，所以AB⊥AD,所以A′B⊥A′D.又因为平面A′BD⊥平面BCD，平面A′BD∩平面BCD＝BD，CD⊥BD，CD⊂平面BCD，所以CD⊥平面A′BD.因为A′B⊂平面A′BD，所以CD⊥A′B.又CD∩A′D＝D，CD，A′D⊂平面A′CD，所以A′B⊥平面A′CD.因为A′C⊂平面A′CD，所以A′B⊥A′C，所以∠BA′C＝9