多元函数微分学省公开课金奖全国赛课一等奖微课获奖课件

多元函数微分学（续）

与矩阵理论第四章1数理经济学（MathematicalEconomics），刘树林，©20051/31第四章基本内容

数学基础Rn中中值定理与Taylor定理矩阵负定和半负定性数学和经济学上应用凹（或凸）函数拟凹（拟凸）函数优化理论二充分阶条件2数理经济学（MathematicalEconomics），刘树林，©20052/31数学基础几个空间

Rn中极限与点集矩阵负定和半负定性3数理经济学（MathematicalEconomics），刘树林，©20053/31数学基础—几个空间线性空间（向量空间）任给一个非空集合V，在V中定义一个加法和一个纯量乘法运算，满足

x,y

V有x+y

V；

x

V，

R有

x

V；且有

(L-1)结合律x+(y+z)=(x+y)+z；

(L-2)交换律x+y=y+x；

(L-3)一个称作0元素使得x+0=0+x=x；(L-4)

x

V，存在一个元素

x使x+(

x)=0;(L-5)结合律

(

x)=(

)x;(L-6)分配律

(x+y)=

x+

y;(L-7)分配律(

+

)x=

x+

x;(L-8)1x=x；这里

,

R，x,y,z

V．则称V是（实）线性空间或向量空间，V中元素称作向量．4数理经济学（MathematicalEconomics），刘树林，©20054/31数学基础—几个空间例4.1.1Rn={(x1,x2,

,xn)|xi

R,i=1,2,

,n}．

x,y

Rn，

R，定义一个加法和一个纯量乘法运算以下：

x+y=(x1+y1,

,xn+yn)，

x=(

x1,

,

xn)，

则轻易验证(L-1)

(L-8)成立．所以Rn是一个向量空间．

5数理经济学（MathematicalEconomics），刘树林，©20055/31数学基础—几个空间内积与内积空间

设V是一个实向量空间，若

x,y

V有一个确定实数（记作x

y）与它们对应，并满足以下条件：(I-1)x

y=y

x(I-2)(

x+

y)

z=

(x

z)+

(y

z)(I-3)x

x

0且x

x=0

x=0，这里x,y,z

V，

R．则x

y叫做向量x与y内积，定义了内积向量空间V称作内积空间．例4.1.2设Rn是一个实向量空间，

x=(x1,x2,

,xn),y=(y1,y2,

,yn)

Rn，定义易验证Rn满足(I-1)

(I-3)，故是一个内积空间，称作Euclidean空间6数理经济学（MathematicalEconomics），刘树林，©20056/31数学基础—几个空间距离与度量空间

设V

，d：V

V

R为一映射，若

x,y,z

V有（M-1）非负性：d(x,y)

0且d(x,y)=0

x=y

（M-2）对称性：d(x,y)

=d(y,x)（M-3）三角不等式：d(x,z)

d(x,y)

+d(y,z)则称d为V一个度量，偶对（V，d）称为度量空间，实数d(x，y)称两点x与y之间距离．例4.1.3设Rn是一个实向量空间，

(x1,x2,

,xn),y=(y1,y2,

,yn)

Rn，定义则可验证映射d满足(M-1)

(M-3)，故(Rn，d)是一个度量空间．7数理经济学（MathematicalEconomics），刘树林，©20057/31数学基础—几个空间范数与赋范线性空间

设V是一个实线性空间，若V上实值函数‖.‖：x

‖x‖满足：（N-1）非负性：‖x‖

0且‖x‖=0

x=0；（N-2）三角不等式：‖x+y‖

‖x‖+‖y‖；（N-3）‖

x‖

|

|‖x‖其中x,y

V，a

R，则‖.‖称为范数，‖x‖称为向量x范数．（V，‖.‖）称为一个赋范线性空间．例4.1.4设Rn是一个实向量空间，

(x1,x2,

,xn)

Rn，定义则‖.‖满足(N-1)

(N-3)，所以（Rn，‖.‖）是一个赋范线性空间，‖.‖称作欧氏范数．8数理经济学（MathematicalEconomics），刘树林，©20058/31数学基础—几个空间向量x

Rn长度可计算为‖x‖向量x与y间夹角可计算为：由例4.1.2

4.1.4知下面关系式成立：9数理经济学（MathematicalEconomics），刘树林，©20059/31Rn中极限与点集Rn中序列Rn中序列：Rn中序列可表示为｛xm｝，对每个m，xm=（x1m,x2m,

,xnm）

Rn．邻域：以x0为中心邻域定义为几何意义：当n=2或3时，N

(x0)表示以x0为圆心以

为半径圆或球内部．收敛定义称序列｛xm｝收敛于x

Rn或以x为极限，若

>0，存在正整数M

，使得当m>M

时有10数理经济学（MathematicalEconomics），刘树林，©200510/31Rn中极限与点集收敛定理{xm}

Rn收敛

｛xim｝收敛，i=1，2，…，n．这里xm=（x1m,x2m,

,xnm）．=(x1,x2,

,xn)

i=1，2，…，n．定理若这里，m=1，2，…，+

．则11数理经济学（MathematicalEconomics），刘树林，©200511/31Rn中极限与点集Rn中点集内点、内部与开集定义称x0为集合X内点，若存在N

(x0)，使N

(x0)

X．X内部，记作intX，是指X全部内点所组成集合．若X=intX，即X

每一个点都是它内点，则称X是一个开集．定理有限个开集交集是开集；任意数目（有限或无限）开集并集是开集．极限点、导集与闭集称x0为X极限点（或聚点），若存在序列{xm}，xm

X互异，使得

X全体极限点组成集合（记作X‘）叫做X导集．称X

X

为X闭包，记作cl(X)．若cl(X)=X，则称X为闭集12数理经济学（MathematicalEconomics），刘树林，©200512/31Rn中极限与点集边界点与孤立点定义4.1.6称x0为集合X边界点，若

>0，N

(x0)中既含有X点，又含有不属于X点；称x0为X孤立点，若x0

X且x0不是X极限点．定义4.1.7称X

Rn为有界点集，若对于常数M>0，使

x

X有||x||

M．（Bolzano-Weierstrass定理）设X

Rn是一个有界无限点集，则存在{xm}

X，使设是一个无界点集，则存在{xm}

X，使13数理经济学（MathematicalEconomics），刘树林，©200513/31Rn中极限与点集紧集与连续函数定义4.1.8称X

Rn是紧集，若X是有界闭集．定理4.1.9X

Rn是紧集

X中任一序列一定有收敛于X一点子序列．定理4.1.10设X

Rn是紧集，f：X→Rk是连续函数，则f(X)={y

Rk|y=f(x)，x

X}Rk是紧集；若k=1，则在X上有最大值与最小值．注记4.1.1定理4.1.10是闭区间上连续函数一定在该区间上有最大与最小值定理推广．14数理经济学（MathematicalEconomics），刘树林，©200514/31Rn中凸集与凸集分离定理凸集称集合X

Rn是凸集，若对任意x，y

X，对任意

[0，1]，恒有

x+(1

)y

X

几何意义：X是凸集是指对任意x，y

X，包含连接两点x和y线段．例4.1.5轻易验证集合X={x

Rn|Am

nx

bm

1是凸集，称作凸多面体（集）．15数理经济学（MathematicalEconomics），刘树林，©200515/31Rn中凸集与凸集分离定理（续）凸集运算定理4.1.11任意多个凸集交是凸集；凸集并未必是凸集集合S

Rn凸包定义为几何上看，C0(S)是凸集，且表示包含集合S最小凸集或是包含集合S全部凸集交集．16数理经济学（MathematicalEconomics），刘树林，©200516/31Rn中凸集与凸集分离定理（续）极点

定义4.1.11设X

Rn是凸集，称x

X是X极点，若对任意y，z

X和

(0，1)，x不能表示为x=

y+(1

)z．

超平面与半空间

定义4.1.12给定p

Rn且p

0，c

R，由p和c生成超平面是集合：Hp,c={x

Rn|p

x=

c}．集合{x

Rn|p

x

c}和{x

Rn|p

x

c}分别叫做上半空间和下半空间．

例4.1.5令p=(1，2)，c=2，则得超平面（直线）Hp,c={(x1,x2)|x1+2x2=2}、上半空间{(x1,x2)|x1+2x2

2}和下半空间{(x1,x2)|x1+2x2

2}．

17数理经济学（MathematicalEconomics），刘树林，©200517/31Rn中凸集与凸集分离定理（续）分离超平面定理定理4.1.12设X

Rn是凸集且是闭集，x

X，则存在p

Rn且p

0，c

R，使p

x>c

p

y<c对任意y

X更普通地，设集合A，B

Rn是凸集且A

B=

，则存在p

Rn且p

0，c

R，使p

x

c

对任意x

Ap

y

c对任意y

B

即存在一个分离集合A和集合B平面{x

Rn|p

x=

c}，使集合A和B分别位于该平面不一样侧．

18数理经济学（MathematicalEconomics），刘树林，©200518/31x0xy

pXRn中凸集与凸集分离定理（续）支撑超平面定理设X

Rn是凸集，xint

X，则存在则存在p

Rn且p

0，使对任意y

X有p

x

p

y．19数理经济学（MathematicalEconomics），刘树林，©200519/31矩阵负定和半负定性负定和半负定性定义4.3.1设A是n

n阶实对称矩阵（1）称A或二次型Q(z)=zTAz是半负定，若

z

Rn有zTAz

0；（2）称A或二次型Q(z)=zTAz是负定，若

z

Rn且z

0有zTAz<0；将上面（1）和（2）中不等式反向，即得到半正定矩阵和正定矩阵概念．显然有：A是半正定（正定）

A是半负定（负定）．应用（1）A半负（正）定性用于无约束最优化问题极大（小）值充分条件判断；函数凹（凸）性判断。（2）A负（正）定性用于无约束最优化问题严格极大（小）值充分条件判断；函数严格凹（凸）性判断．20数理经济学（MathematicalEconomics），刘树林，©200520/31矩阵负定和半负定性continued...Ak阶次序主子式设M是m

n阶矩阵，由矩阵M前k行组成（或去掉A最终m

k行所得）矩阵，叫做矩阵Mk

n阶子阵，记作kM；由矩阵M前k列组成（或去掉A最终n

k列所得）矩阵，叫做矩阵Mm

k阶子阵，记作Mk；由矩阵M前k行和前k列组成矩阵，叫做矩阵Mk

k阶子阵，记作kMk

．设A是n

n阶矩阵，由矩阵A前k行和前k列元素组成（或去掉A最终n

k行和对应最终n

k列后所得）矩阵，叫做Ak阶次序主子阵，记作kAk；称|kAk|为矩阵Ak阶次序主子式，k=1，2，

，n易知n

n阶矩阵A全部次序主子式有n个（每阶有一个）21数理经济学（MathematicalEconomics），刘树林，©200521/31矩阵负定和半负定性continued...Ak阶主子阵设A是n

n阶矩阵，由矩阵A第j1,j2,

,jk行和对应第j1,j2,

,jk列元素组成k阶矩阵，叫做Ak阶主子阵，记作kAk

；称|kAk

|为矩阵Ak阶主子式，k=1，2，

，n．Ak阶主子式有Cnk个A全部主子式有2n

1个22数理经济学（MathematicalEconomics），刘树林，©200522/31矩阵负定和半负定性continued...负定和半负定性判定方法行列式法定理设A是一个n

n阶对称矩阵，则（1）A是正定

|kAk

|>0，k=1，2，

，n；（2）A是半正定

|kAk

|

0，k=1，2，

，n；（3）A是负定(1)k|kAk

|>0，k=1，2，

，n；（4）A是半负定(1)k

|kAk

|

0，k=1，2，

，n．（5）A是正定（无须是对称）

|kAk

|>0，k=1，2，

，n；（6）A是负定（无须是对称）(1)k

|kAk

|>0，k=1，2，

，n．23数理经济学（MathematicalEconomics），刘树林，©200523/31矩阵负定和半负定性continued...矩阵特征值法定理设A是一个n

n阶对称矩阵，则（1）A是正（负）定

A每个特征值是正（负）；（2）A是半正（半负）定

A全部特征值是非负（正）正负定性与最优性设有二次型Q(x1,x2,

,xn)=xTAx，这里AT=A，则x=0是Q唯一最大值点

A是负定；x=0是Q唯一最小值点

A是正定．24数理经济学（MathematicalEconomics），刘树林，©200524/31矩阵负定和半负定性continued...线性约束下二次型正负定性定义4.3.4设A是一个n

n阶对称矩阵，B是一个秩为m（m

n）m

n阶矩阵．称二次型Q(x)=xTAx在约束集SB={x

Rn|Bx=0}上是负定，若x

SB且x0，都有Q(x)<0；称二次型Q(x)=xTAx在约束集SB上是半负定，若x

SB，都有Q(x)

0．将上面不定式反向，即得到二次型Q(x)=xTAx在约束集SB={x

Rn|Bx=0}上是正定和半正定定义．应用：（1）线性约束下二次型半负（正）定性用于约束最优化问题极大（小）值充分条件判断；函数拟凹（凸）性判断。（2）线性约束下二次型负（正）定性用于约束最优化问题严格极大（小）值充分条件判断；函数严格拟凹（凸）性判断。25数理经济学（MathematicalEconomics），刘树林，©200525/31线性约束下二次型正负定性判断法（I）定理（Simon和Blume）设Q(x)=xTAx，约束集SB={x

Rn|Bx=0}．其中A是一个n

n阶对称矩阵，B是一个秩为mm

n阶矩阵，且m<n．结构(m+n)

(m+n)阶对称（加边）矩阵（1）若|H|符号为(

1)n，且H后n

m个次序主子式符号交替出现，则Q(x)在SB上是负定，且x=0是Q(x)在约束集SB上严格极大值点（2）若|H|和H后n

m个次序主子式符号都为(

1)m，则Q(x)在SB上是正定，且x=0是Q(x)在约束集SB上严格极小值点．（3）若有非零次序主子式违反条件（1）和（2），则Q(x)在SB上是不定，且x=０既不是二次型Q(x)在约束集SB上极大值点，也不是极小值点．从|H|开始，检验H后n

m个次序主子式（阶数分别为2m+1，2m+2，

，m+n）符号H=Hm+n

=（4）令m=1，若H1+n后n个次序主子式符号交替出现，则Q(x)在一个线性约束下是负定；若H1+n后n个次序主子式有一样符号（

），则Q(x)此线性约束下是正定．

26数理经济学（MathematicalEconomics），刘树林，©200526/31线性约束下二次型正负定性判断法（II）定理（Mas-Colell，Whinston和Gree）设A是一个n

n阶对称矩阵，B是一个秩为mm

n阶矩阵，且m<n．为了确定n个变量二次型Q(x)=在约束集SB={x

Rn|Bx=0}上是负定或正定，结构以下(m+k)

(m+k)阶对称（加边）矩阵k=m+1，

，n这里kAk是Ak阶次序主子阵，Bk是由矩阵B前k列组成矩阵（1）二次型Q(x)在约束集SB上是负定

(

1)k|Hm+k|>0，k=m+1，

，n．（2）二次型Q(x)在约束集SB上是正定

(

1)m|Hm+k|>0，k=m+1，

，n．注：|Hm+k|（k=m+1，

，n）恰好是H后n

m个次序主子式27数理经济学（MathematicalEconomics），刘树林，©200527/31线性约束下二次型半正和半负定性判断法定理（Mas-Colell，Whinston和Gree）设A是一个n

n阶对称矩阵，B是一个秩为mm

n阶矩阵，且m<n．为了确定n个变量二次型Q(x)=xTAx在约束集SB={x

Rn|Bx=0}上半负定性或半正定性，结构以下(m+k)

(m+k)阶对称（加边）矩阵k=m+1，

，n这里kAk

是Ak阶主子阵，是由矩阵A第j1,j2,

,jk行和对应第j1,j2,

,jk列元素组成矩阵，j1,j2,

,jk是集合{1，2，

，n}中任意k个数组成一个组合（这么组合共有Cnk个）；Bk

是由矩阵B第j1,j2,

,