2024年高考数学二轮复习专题突破专题突破练4　利用导数研究函数的单调性、极值与最值（附答案）

专题突破练4利用导数研究函数的单调性、极值与最值一、单项选择题1.若函数f(x)=(x-a)3-3x+b的极大值是M,极小值是m,则M-m的值()A.与a有关,且与b有关B.与a有关,且与b无关C.与a无关,且与b无关D.与a无关,且与b有关2.若函数f(x)=x2-ax+lnx在区间(1,e)内单调递增,则实数a的取值范围是()A.[3,+∞) B.(-∞,3]C.[3,e2+1] D.[-e2+1,3]3.已知函数f(x)=3xex,则下列关于函数f(xA.在区间(-∞,+∞)内单调递增B.在区间(-∞,1)内单调递减C.有极大值3eD.有极小值3e4.已知直线y=kx(k>0)和曲线f(x)=x-alnx(a≠0)相切,则实数a的取值范围是()A.(-∞,0)∪(0,e) B.(0,e)C.(0,1)∪(1,e) D.(-∞,0)∪(1,e)5.(2023·河北保定检测)若函数f(x)=e2x4-axex有两个极值点,则实数aA.(-∞,-12) B.(-1C.(12,+∞) D.(0,16.已知P是曲线y=-sinx(x∈[0,π])上的动点,点Q在直线x-2y-6=0上运动,则当|PQ|取最小值时,点P的横坐标为()A.π4 B.π2 C.2π37.已知a=3132,b=cos14,c=4sin14A.c>b>a B.b>a>cC.a>b>c D.a>c>b二、多项选择题8.已知函数f(x)=x3-3lnx-1,则()A.f(x)的极大值为0B.曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线为x轴C.f(x)的最小值为0D.f(x)在定义域内单调9.(2023·浙江绍兴高三期末)已知定义域为R的函数f(x)的导数为f'(x),若f(1)=1,且0<f'(x)<f(x),则()A.f(12)>12 B.f(2)C.2f(-12)>f(-14) D.f(12)f10.(2022·新高考Ⅱ,9)已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象关于点2π3,A.f(x)在0,B.f(x)在-πC.直线x=7π6是曲线y=f(D.直线y=32-x是曲线y=f(x三、填空题11.(2023·山东东营胜利一中校考)若函数f(x)=x3-3x在区间(a2-6,a)内有最大值,则实数a的取值范围是.

12.试写出实数a的一个取值范围,使函数f(x)=sinx-a13.(2022·新高考Ⅰ,15)若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是.

四、解答题14.(2023·河南周口模拟)已知函数f(x)=13x3-ax2+(a2-1)x+b(a,b∈R),其图象在点(1,f(1))处的切线方程为x+y-3=0(1)求a,b的值;(2)求函数f(x)的单调区间和极值;(3)求函数f(x)在区间[-2,5]上的最值.15.已知函数f(x)=aex-x-1(a∈R),g(x)=x2.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)当a>0时,若曲线C1:y1=f(x)+x+1与曲线C2:y2=g(x)存在唯一的公切线,求实数a的值.16.已知f(x)=a2lnx-12ax2-(a2-a)x(a≠0)(1)当a=1时,求f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在x=1处取得极大值,求实数a的取值范围.

专题突破练4利用导数研究函数的单调性、极值与最值一、单项选择题1.C解析因为f(x)=(x-a)3-3x+b,所以f'(x)=3(x-a)2-3,令f'(x)=3(x-a)2-3=0,得x=a-1或x=a+1,判断可得函数的极大值M=f(a-1)=-1-3(a-1)+b=2-3a+b,极小值m=f(a+1)=1-3(a+1)+b=-2-3a+b,因此M-m=4.故选C.2.B解析依题意f'(x)=2x-a+1x≥0在区间(1,e)内恒成立,即a≤2x+1x在区间(1,e)内恒成立,令g(x)=2x+1x(1<x<e),则g'(x)=2-1x2=2x2-1x2=(2x+1)(2x-1)x2>0,所以g3.C解析由题意得函数f(x)的定义域为R,f'(x)=3(1-x)ex.令f'(x)=0,得x=1,当x<1时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x>1时,f'(x)<0,f(x)单调递减,故f(1)是函数f(x)的极大值,也是最大值,且f(1)=3e,函数4.A解析设直线y=kx(k>0)与曲线f(x)=x-alnx(a≠0)相切于点P(x0,x0-alnx0)(x0>0).由题意得,f'(x)=1-ax,则以P为切点的切线方程为y-x0+alnx0=(1-ax0)(x-x0),因为该切线过原点,所以-x0+alnx0=(1-ax0)(-x0),因此lnx0=1,即x0=e,所以k=1-ae>0,得a<e,又a≠0,故实数a的取值范围是(-∞,0)5.C解析f'(x)=e2x2-aex-axex=ex2(ex-2ax-2a),因为f(x)有两个极值点,所以ex-2ax-2a=0有两个根,即y=ex和y=2a(x+1)的图象有两个交点显然a≠0.若a<0,函数y=ex和y=2a(x+1)的图象只有1个交点,不合题意;若a>0,设直线y=2a(x+1)和y=ex相切于点(x0,ex0),则2a=ex0,2a(x0+1)=ex0,解得x0=0,故切点是(0,1),分析知,当2a>1时,函数y=ex和y=6.C解析如图所示,要使|PQ|取得最小值,则曲线y=-sinx(x∈[0,π])在点P处的切线与直线x-2y-6=0平行,对函数y=-sinx求导得y'=-cosx,令y'=12,可得cosx=-12,由于0≤x≤π,所以x=2π7.A解析因为cb=4tan14,当x∈(0,π2)时,sinx<x<tanx,所以tan14>14,即cb>1,所以c>b;设f(x)=cosx+12x2-1,则f'(x)=-sinx+x,当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,所以f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,则f)14)>f(0)=0,所以二、多项选择题8.BC解析函数f(x)=x3-3lnx-1的定义域为(0,+∞),f'(x)=3x2-3x=3x(x令f'(x)=3x(x3-1)=0,得x=1,列表得x(0,1)1(1,+∞)f'(x)-0+f(x)单调递减极小值单调递增所以f(x)的极小值,也是最小值为f(1)=0,无极大值,在定义域内不单调,故C正确,A,D错误;对于B,由f(1)=0及f'(1)=0,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-0=0(x-1),即y=0,故B正确,故选BC.9.AC解析构造函数g(x)=f(x)ex,则g'(x)=f'(x)-f(x)ex<0,所以g(x)=f(x)ex在R上是减函数.所以f(12)e12>f(1)e=1e,所以f12>1e12>12,所以A正确;f(2)e2<f(1)e=1e,于是f(2)<e,但f10.AD解析由题意得,f(2π3)=sin(4π3+φ)=0,所以4π3+φ=kπ,k∈Z,即φ=-4π又0<φ<π,所以k=2,φ=2故f(x)=sin(2x+2π3选项A,当x∈(0,5π12)时,2x+2π3∈(2π3,3π2),所以f(x选项B,当x∈(-π12,11π12)时,2由函数f(x)的图象(图略),易知y=f(x)只有一个极值点,由2x+2π3=3π2,可得极值点为x=选项C,当x=7π6时,2x+2π3=3π,f(7π6)=0,所以直线x=7π6不是曲线y=f(选项D,结合该选项,若f'(x)=2cos(2x+2π3)=-1,得cos(2x+2π3)=-12,解得2x+2π3=2π3+2kπ或2x+2π3=4π3+2kπ,k∈Z,从而得x=kπ或x=π3+kπ,k∈Z,当x=kπ(k∈Z)时,f(x)=32,则由32=32-kπ(k∈Z),得k=0;当x=π3+kπ(k∈Z)时,f(x)=-32,则-32=32−π3-kπ(k∈Z),无解.所以函数y=f(x)的图象在点三、填空题11.(-1,2]解析由题意,得f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1).由f'(x)>0,得x<-1或x>1,则f(x)在区间(-∞,-1)和(1,+∞)内单调递增,由f'(x)<0,得-1<x<1,则f(x)在区间(-1,1)内单调递减,所以a2-6<-1,a故实数a的取值范围为(-1,2].12.(-2,2)(答案不唯一)解析f(x)=sinx-aex的定义域为R,f'(x)=cosx-sinx+aex,由于函数f(x)=sinx-aex有极值,所以f'(x)=cosx-sinx+aex有变号零点,因此由cosx-sinx+a=13.(-∞,-4)∪(0,+∞)解析由题意可得,y'=ex+(x+a)ex=(1+x+a)ex.设切点为(x0,(x0+a)ex0),则切线方程为y-(x0+a)ex0=(1+x0+a)ex又切线过原点,∴-(x0+a)ex0=-x0(1+x0+a)ex0,整理得x0∵曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,∴x02+ax0-a=0有∴Δ=a2+4a>0,解得a>0或a<-4.故a的取值范围是(-∞,-4)∪(0,+∞).四、解答题14.解(1)由题意得,f'(x)=x2-2ax+a2-1,f'(1)=1-2a+a2-1=a2-2a,f(1)=13-a+a2-1+b=a2-a+b-2又图象在点(1,f(1))处的切线方程为x+y-3=0,所以a解得a(2)由(1)得f(x)=13x3-x2+83,f'(x)=x2-2x=x(当x<0或x>2时,f'(x)>0,当0<x<2时,f'(x)<0,所以f(x)的单调递增区间是(-∞,0)和(2,+∞),单调递减区间是(0,2),极大值是f(0)=83,极小值是f(2)=(3)由(2)知f(x)在区间[-2,0]和[2,5]上单调递增,在区间(0,2)内单调递减,又f(-2)=-4,f(5)=583所以f(x)在区间[-2,5]上的最大值是583,最小值是-415.解(1)f'(x)=aex-1.当a≤0时,f'(x)<0恒成立,f(x)在区间(-∞,+∞)内单调递减.当a>0时,由f'(x)=0,得x=-lna.当x<-lna时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x>-lna时,f'(x)>0,f(x)单调递增.综上,当a≤0时,f(x)在区间(-∞,+∞)内单调递减;当a>0时,f(x)在区间(-∞,-lna)内单调递减,在区间(-lna,+∞)内单调递增.(2)因为曲线C1:y1=aex与曲线C2:y2=x2存在唯一的公切线,设该公切线与曲线C1,C2分别切于点(x1,aex1),(x2,x22),显然x1由于y1'=aex,y2'=2x,所以aex1=2x2=因此2x2x1-2x22=aex1−x22=2x2-x22,所以2x1x2-x22=2x由于a>0,故x2>0,从而x2=2x1-2>0,因此x1>1.此时a=2x2ex1=设F(x)=4(x-1)ex(x>1),则问题等价于当x>1时,直线y=a又F'(x)=4(2-x)ex,令F'(x)=0,解得x=2,所以F(x)在区间(1,2)内单调递增,而F(2)=4e2,F(1)=0,当x→+∞时,F(x)→0,所以F(x)的值域为(0,4e216.解(1)由题意得,当a=1时,函数f(x)=lnx-12x2,其定义域为(0,+∞),因此f'(x)=1x令f'(x)>0,即1-x2>0,得0<x<1,所以f(x)在区间(0,1)内单调递增;令f'(x)<0,即1-x2<0,得x>1,所以f(x)在区间(1,+∞)内单调递减.故函数f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞).(2)由题意,函数f(x)=a2lnx-12ax2-(a2-a)x(a≠0)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=a2x-ax-(a2-a当a<0时,-a>0.①若-1<a<0.令f'(x)>0,即(x+a)(x-1)>0,得x>1或0<x<-a;令f'(x)<0,即(x+a)(x-1)<0,得-a<x<1.所以函数f(x)在区间(1,+∞),(0,-a)内单调递增,在区间(-a,1)内单调递减.所以当x=1时,函数f(x)取得极小值,不符合题意.②若a=-1,可得f'(x)=(x-1)2x≥0,此时函数f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,函数f③若a<-1.令f'(x)>0,即(x+a)(