湖北省黄石市3年2020-2022年中考数学试卷真题分类汇编-03解答题

湖北省黄石市3年（2020-2022）中考数学试卷真题分类汇编-03

解答题

一.分式的化简求值（共3小题）

2

1.（2022•黄石）先化简，再求值：（1+/_）+§更9一,从-3,-1,2中选择合适的

a+1a+1

〃的值代入求值.

12_iL

2.（2021•黄石）先化简，再求值：（1-工）小三二L其中。=迎-1.

aa

2

3.（2020•黄石）先化简，再求值：3+2炉.一上,其中x=5.

x2-lx-1

二元一次方程组的应用（共2小题）

4.（2021•黄石）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下

有九十四足，问鸡兔各几何？”译文：有若干只鸡与兔在同一个笼子里，从上面数有35

个头，从下面数有94只脚，问笼中各有几只鸡和兔？根据以上译文，回答以下问题：

（1）笼中鸡、兔各有多少只？

（2）若还是94只脚，但不知道头多少个，笼中鸡兔至少30只且不超过40只.鸡每只

值80元，兔每只值60元，问这笼鸡兔最多值多少元？最少值多少元？

5.（2020•黄石）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛

二、羊五，直金十六两.问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19

两银子；2头牛、5只羊，值16两银子.问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据

以上译文，提出以下两个问题：

（1）求每头牛、每只羊各值多少两银子？

（2）若某商人准备用19两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请

问商人有几种购买方法？列出所有的可能.

三.根与系数的关系（共3小题）

6.（2022•黄石）阅读材料，解答问题：

材料1

为了解方程（/）2-137+36=0,如果我们把/看作一个整体，然后设y=/,则原方

程可化为丁-13尹36=0,经过运算，原方程的解为也2=±2,冷4=±3.我们把以上

这种解决问题的方法通常叫做换元法.

材料2

已知实数胆，"满足，"2-机-]=0,"2_〃_]=0,且胆彳〃，显然机，”是方程f-X-l

=0的两个不相等的实数根，由韦达定理可知m+〃=l,，〃〃=-1.

根据上述材料，解决以下问题：

(1)直接应用：

方程x4-57+6=0的解为；

(2)间接应用：

已知实数4,b满足：2a4-7/+1=0,2乂-7■+1=0且。#6,求。4+/的值；

(3)拓展应用：

已知实数尤，y满足：-+^-=7,"2_”=7且〃>0,求二二一+〃2的值.

14nm2m4

7.(2021•黄石)已知关于x的一元二次方程7+2，内+，〃2+加=0有实数根.

(1)求，"的取值范围；

(2)若该方程的两个实数根分别为M、在，且X/+X22=12,求加的值.

8.(2020•黄石)已知：关于x的一元二次方程/+Q-2=0有两个实数根.

(1)求〃?的取值范围；

(2)设方程的两根为为、物且满足(加-％2)2-17=0,求，〃的值.

四.反比例函数综合题(共1小题)

9.(2020•黄石)如图，反比例函数y=KJW0)的图象与正比例函数y=2r的图象相交于

x

A(1,“)、8两点，点C在第四象限，81?〃》辄

(1)求”的值；

(2)以48、8c为边作菱形A8CD,求。点坐标.

五.二次函数的应用(共1小题)

10.（2022•黄石）某校为配合疫情防控需要，每星期组织学生进行核酸抽样检测；防疫部门

为了解学生错峰进入操场进行核酸检测情况,调查了某天上午学生进入操场的累计人数y

（单位：人）与时间x（单位：分钟）的变化情况，发现其变化规律符合函数关系式：y

2

ax+bX+c(0<x<8)(数据如表

640,(8<x<10)

时间x（分钟）0123•••88<xW10

累计人数y0150280390♦・・640640

（人）

（1）求a,b,c的值；

（2）如果学生一进入操场就开始排队进行核酸检测，检测点有4个，每个检测点每分钟

检测5人，求排队人数的最大值（排队人数=累计人数-已检测人数）；

（3）在（2）的条件下，全部学生都完成核酸检测需要多少时间？如果要在不超过20分

钟让全部学生完成核酸检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？

六.二次函数综合题（共3小题）

11.（2022•黄石）如图，抛物线y=-&2+&+4与坐标轴分别交于A,B,C三点，P是第

33

一象限内抛物线上的一点且横坐标为m.

（DA,B,C三点的坐标为,,.

（2）连接AP,交线段于点。，

①当CP与x轴平行时，求&的值；

DA

②当CP与x轴不平行时，求电的最大值；

DA

（3）连接CP,是否存在点P,使得/BCO+2/PCB=90°,若存在，求，"的值，若不

存在，请说明理由.

12.(2021•黄石)抛物线-2Zw+6(aWO)与y轴相交于点C(0,-3),且抛物线的

对称轴为x=3,。为对称轴与x轴的交点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)在x轴上方且平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于E、F两点，若乙DEF

是等腰直角三角形，求的面积：

(3)若P(3,是对称轴上一定点，。是抛物线上的动点，求PQ的最小值(用含t

的代数式表示).

13.(2020•黄石)在平面直角坐标系中，抛物线y=2k的顶点为N.

(1)若此抛物线过点A(-3,1),求抛物线的解析式；

(2)在(1)的条件下，若抛物线与y轴交于点B,连接AB,C为抛物线上一点，且位

于线段AB的上方，过C作CO垂直x轴于点。，CD交AB于点E,若CE=ED,求点C

坐标；

(3)已知点M(2-生巨，0),且无论々取何值，抛物线都经过定点H,当NMHN=60°

3

时，求抛物线的解析式.

MOx

备■用图

七.全等三角形的判定与性质(共3小题)

14.(2022•黄石)如图，在△ABC和△AOE中，AB^AC,AD=AE,NBAC=/£>AE=90°,

且点。在线段8c上，连CE.

(1)求证：△ABO丝ZiACE；

(2)若NE4C=60°,求NCE£>的度数.

15.(2021•黄石)如图，。是△ABC的边上一点，CF//AB,DF交AC于E点,DE=

EF.

(1)求证：△ADE9XCFE；

(2)若A8=5,CF=4,求BO的长.

16.(2020•黄石)如图，AB=AE,AB//DE,NDAB=70°,ZE=40°.

(1)求ND4E的度数；

(2)若NB=30°,求证：AD^BC.

D

C.

八.圆的综合题(共3小题)

17.(2022•黄石)如图CD是。0直径，A是。0上异于C,。的一点，点8是。C延长线

上一点，连AB、AC、AD,且

(1)求证：直线A8是。。的切线；

(2)若8c=2OC,求tan/AOB的值；

(3)在(2)的条件下，作/C4O的平分线AP交。。于P,交CD于E,连PC、PD,

若AB=2在,求AE\4P的值.

18.(2021•黄石)如图，PA.P8是。。的切线，4、8是切点，AC是。0的直径，连接0P,

交。。于点。，交A8于点E.

(1)求证：BC//OP-,

(2)若E恰好是0。的中点，且四边形OAPB的面积是16M，求阴影部分的面积；

(3)若sin/BAC=_l,且49=2如，求切线用的长.

3

19.(2020•黄石)如图，在RtZ\ABC中，ZC=90°,AO平分N8AC交8c于点O,。为

A8上一点，经过点A、。的。0分别交AB、AC于点E、F.

(1)求证：8c是。。的切线；

(2)若BE=8,sinB=-",求。。的半径；

13

(3)求证：AD2=AB,AF.

九.解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）

20.（2020•黄石）如图，是某小区的甲、乙两栋住宅楼，小丽站在甲栋楼房A3的楼顶，测

量对面的乙栋楼房CD的高度.己知甲栋楼房AB与乙栋楼房CD的水平距离AC=18j§

米，小丽在甲栋楼房顶部8点，测得乙栋楼房顶部。点的仰角是30°,底部C点的俯角

是45°,求乙栋楼房CD的高度（结果保留根号）.

D

吕5

吕

□0

吕□

吕□

□

口□

一十.列表法与树状图法（共3小题）

21.（2022•黄石）某中学为了解学生每学期“诵读经典”的情况，在全校范围内随机抽查了

部分学生上一学期阅读量，学校将阅读量分成优秀、良好、较好、一般四个等级，绘制

如下统计表：

等级一般较好良好优秀

阅读量/本3456

频数12a144

频率0.240.40bC

请根据统计表中提供的信息，解答下列问题：

（1）本次调查一共随机抽取了名学生；表中，b=

（2）求所抽查学生阅读量的众数和平均数；

（3）样本数据中优秀等级学生有4人，其中仅有1名男生.现从中任选派2名学生去参

加读书分享会，请用树状图法或列表法求所选2名同学中有男生的概率.

22.（2021•黄石）黄石是国家历史文化名城，素有“青铜故里、矿冶之都”的盛名.区域内

矿冶文化旅游点有：A.铜绿山古铜矿遗址，B.黄石国家矿山公园，C.湖北水泥遗址

博物馆，D黄石园博园、矿博园.我市八年级某班计划暑假期间到以上四个地方开展研

学旅游，学生分成四个小组，根据报名情况绘制了两幅不完整的统计图.

请根据图中信息，解答下列问题：

（1）全班报名参加研学旅游活动的学生共有人,扇形统计图中A部分所对应的

扇形圆心角是：

（2）补全条形统计图；

（3）该班语文、数学两位学科老师也报名参加了本次研学旅游活动，他们随机加入A、

B两个小组中，求两位老师在同一个小组的概率.

23.（2020•黄石）我市将面向全市中小学开展“经典诵读”比赛.某中学要从2名男生2

名女生共4名学生中选派2名学生参赛.

（1）请列举所有可能出现的选派结果；

（2）求选派的2名学生中，恰好为1名男生1名女生的概率.

湖北省黄石市3年（2020-2022）中考数学试卷真题分类汇编-03

解答题

参考答案与试题解析

一.分式的化简求值（共3小题）

2

1.（2022•黄石）先化简，再求值：（1+_2_）+a+6a+9,从-3,-1,2中选择合适的

a+1a+1

。的值代入求值.

2

【解答】解：原式=三3■+—+3）

a+1a+1

=a+3.a+1

a+1（a+3）2

=1:

a+3

由分式有意义的条件可知：a不能取-1,-3,

故67=2,

原式=1

2^3

=2

?'

2.（2021•黄石）先化简，再求值：（1-工）+三二1其中〃=我-1.

aa

121

【解答】解：（1-」）小三二L

aa

_a-l______a______

a（a+1）（a-l）

=1

M，

当a=V3-1时，原式=厂1----=亚_.

V3-1+13

2

3.（2020•黄石）先化简，再求值：三二红工-上，其中x=5.

(X+1)2

【解答】解:原式=

(x+1)(x-1)X-1

=x+1.X

X-1X-1

=1

X-1

当x=5时，原式=_1.

4

二.二元一次方程组的应用（共2小题）

4.（2021•黄石）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下

有九十四足，问鸡兔各几何？”译文：有若干只鸡与兔在同一个笼子里，从上面数有35

个头，从下面数有94只脚，问笼中各有几只鸡和兔？根据以上译文，回答以下问题:

（1）笼中鸡、兔各有多少只？

（2）若还是94只脚，但不知道头多少个，笼中鸡兔至少30只且不超过40只.鸡每只

值80元，兔每只值60元，问这笼鸡兔最多值多少元？最少值多少元?

【解答】解：（1）设笼中鸡有x只，兔有y只,

x+y=35

依题意得:

2x+4y=94

x=23

解得:

7=12

答：笼中鸡有23只，兔有12只.

（2）设笼中鸡有〃?只，则兔有典Z型只,

4

94-2m

>30

依题意得：

94-2m

<40

解得：13W，〃W33.

设这笼鸡兔共值W元，则w=80w+60X94-2m=50ffl+1410.

4

V50>0,

随m的增大而增大，

.•.当〃?=13时，w取得最小值，最小值=50X13+1410=2060；

当机=33时，卬取得最大值，最大值=50X33+1410=3060.

答：这笼鸡兔最多值3060元，最少值2060元.

5.（2020•黄石）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛

二、羊五，直金十六两.问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19

两银子；2头牛、5只羊，值16两银子.问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据

以上译文，提出以下两个问题：

（1）求每头牛、每只羊各值多少两银子？

（2）若某商人准备用19两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请

问商人有几种购买方法？列出所有的可能.

【解答】解：（1）设每头牛值x两银子，每只羊值y两银子，

根据题意得：（5x+2y=19,

（2x+5y=16

解得：［x=3.

Iy=2

答：每头牛值3两银子，每只羊值2两银子.

（2）设购买a头牛，b只羊，依题意有

3。+2匕=19,

fe=19-3a,

2

:a,b都是正整数，

二①购买1头牛，8只羊；

②购买3头牛，5只羊；

③购买5头牛，2只羊.

三.根与系数的关系（共3小题）

6.（2022•黄石）阅读材料，解答问题：

材料1

为了解方程（/）2-137+36=0,如果我们把/看作一个整体，然后设y=/,则原方

程可化为13尹36=0,经过运算，原方程的解为xi.2=土2,肛4=土3.我们把以上

这种解决问题的方法通常叫做换元法.

材料2

已知实数阴，〃满足-1=0,且,显然皿，”是方程--X-1

=0的两个不相等的实数根，由韦达定理可知机+〃=1,如1=-1.

根据上述材料，解决以下问题：

（1）直接应用：

方程/-5/+6=0的解为XI=后,X2=-亚,X3=E，X4=-E_；

（2）间接应用：

已知实数m6满足:2〃4-742+1=0,2庐-7廿+1=0且aWb,求―+乂的值;

（3）拓展应用：

已知实数x,y满足：」-+」^=7,九2-〃=7且〃>0,求」_+〃2的值.

424

1nmm

【解答】解：(1)令y=f,则有y2-5>'+6=0,

(y-2)(y-3)=0,

；.yi=2,"=3,

；./=2或3,

:.X\=®,X2=-近，X3=M，X4=-5/3；

故答案为：XI=&,X2=-&，X3=J§，X4=-V3；

(2)・；arb,

.，.Jw序或J=/,

当//序时，令q2=〃3匕2=".

：.m^n,则2层-7%+l=0,2n2-7n+l=0,

：.m,n是方程2/-7x+l=0的两个不相等的实数根，

(7

m4n=-2

；♦《，

1

m=7

此时^4+/?4=m2+n2=(〃z+〃)2-2加〃=生■.

4

②当a2=b2(a=-b)时，a2=b2=--,此时^4+/?4=26z4=2(«2)2=.步土”41,

_44

综上所述，/+方4=至或451

44

⑶令-n=b,则/+。-7=0,廿+0-7=0,

2

m

Vn>0,

即。W。，

2

m

・・・〃，力是方程7+X-7=0的两个不相等的实数根，

.(a+b=-l

1ab=_7

故一i-+M=〃2+/=(a+h)2-2ah=l5.

4

m

7.(2021•黄石)已知关于x的一元二次方程，^^+川+“=。有实数根.

(1)求加的取值范围；

（2）若该方程的两个实数根分别为XI、X2,且加2+垃2=12,求加的值.

【解答】解：（1）根据题意得△=（2A??）~-4（irr+m）20,

解得mW0.

故〃z的取值范围是“WO；

（2）根据题意得工］+12=-2/%,x\xi=^+m,

VXI24-X22=（X1+X2）2-2XI#X2=12,

:.（-2m）2-2（扇+M=12,即ni2-m-6=0,

解得，〃l=-2,1712=3（舍去）.

故机的值为-2.

8.（2020•黄石）已知：关于x的一元二次方程7+Q-2=0有两个实数根.

（1）求，"的取值范围；

（2）设方程的两根为刘、物且满足（X1-X2）2-17=0,求巾的值.

【解答】解：（1）♦.•关于x的一元二次方程/+Q-2=0有两个实数根，

△=（在）2-4XlX（-2）=机+820,且相》0,

解得：-20.

（2）..•关于天的一元二次方程/-2=0有两个实数根工|、12，

.\x\+x2=-Vm，x\9x2=-2,

:.（XI-JC2）2-17=（X1+X2）2-4X1*2-17=0,即m+8-17=0,

解得：加=9.

四.反比例函数综合题（共1小题）

9.（2020•黄石）如图，反比例函数y=K*WO）的图象与正比例函数y=2x的图象相交于

x

A（I,a）、8两点，点C在第四象限，BC〃x轴.

（I）求］的值;

（2）以A3、3c为边作菱形A8CZ）,求。点坐标.

【解答】解：(1)♦.•点A(1,a)在直线y=2x上，

.,.67=2X1=2,

即点A的坐标为(1,2),

;点A(1,2)是反比例函数y=K(AWO)的图象与正比例函数y=2r图象的交点，

x

"=1X2=2,

即」的值是2；

(2)由题意得：—=2x,

x

解得：X=1或-1,

经检验X=1或-1是原方程的解，

：.B(-1,-2),

♦.♦点A(1,2),

AB=V(1+1)2+(2+2)2=2遥，

,菱形ABCD是以AB、BC为边,且8C〃x轴，

，AZ)=A8=2遥，

：.D(1+2遥，2).

五.二次函数的应用(共1小题)

10.(2022•黄石)某校为配合疫情防控需要，每星期组织学生进行核酸抽样检测；防疫部门

为了解学生错峰进入操场进行核酸检测情况，调查了某天上午学生进入操场的累计人数y

(单位：人)与时间x(单位：分钟)的变化情况，发现其变化规律符合函数关系式：y

=<ax2+bx+c(O<x<8),数据如表.

,640,(8<x<10)

时间x(分钟)0123…88<xW10

累计人数y0150280390・・・640640

(人)

(1)求a,b,c的值；

(2)如果学生一进入操场就开始排队进行核酸检测，检测点有4个，每个检测点每分钟

检测5人，求排队人数的最大值(排队人数=累计人数-已检测人数)；

(3)在(2)的条件下，全部学生都完成核酸检测需要多少时间？如果要在不超过20分

钟让全部学生完成核酸检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？

c=0

【解答】解：(1)由题意，,a+b=150，

4a+2b=280

'a=-10

解得，,b=160；

c=0

(2)设第x分钟时的排队人数为W,

根据题意得：W=y-20x,

•f-10x2-140x(04x<8)

640-20x(x>8)

当0WxW8时，

W=-10/+140x=-10(x-7)2+490,

...当x=7时，W及大=490,

当x>8时，W=640-20x,

■:k=-20<0,

随x的增大而减小，

W<480,

故排队人数最多时有490人；

(3)要全部学生都完成体温检测，根据题意得：640-20x=0,

解得：x=32,

所以全部学生都完成体温检测要32分钟；

开始就应该至少增加m个检测点，根据题意得：

5X20(m+4)2640,

解得：机22.4,

•.•m为整数，

答：从一开始就应该至少增加3个检测点.

六.二次函数综合题(共3小题)

11.(2022•黄石)如图，抛物线y=与坐标轴分别交于A,B,C三点，P是第

33

一象限内抛物线上的一点且横坐标为m.

(DA,B,C三点的坐标为(-2,0),(3,0),(0,4).

(2)连接AP,交线段8c于点D,

①当CP与x轴平行时，求圆的值；

DA

②当CP与x轴不平行时，求电的最大值；

DA

(3)连接CP,是否存在点P,使得NBCO+2NPCB=90°,若存在，求相的值，若不

存在，请说明理由.

【解答】解：(1)令x=0,则y=4,

：.C(0,4)；

令y=0,则-2/+2X+4=0,

-33

/.x=-2或x=3,

・・・A(-2,0),B(3,0).

故答案为：(-2,0)；(3,0)；(0,4).

(2)①YC尸〃x轴，C(0,4),

：.P(1,4),

CP=1,AB=5,

；CP〃x轴,

PD=CP=1

DAAB?

直线BC的解析式为：y=-Ar+4.

3

设点P的横坐标为m,

则P(机，-Z〃2+2〃?+4),Q(-Xrn,-当p+Z"+4).

332233

,,.PQ=m-(—m1-—m~)=-L/+S",

2222

\'PQ//AB,

:.PD=PQ=~fm*m=」3)2+_9_,

DAAB510240

.♦.当机=旦时，FD的最大值为_L.

2DA40

另解：分别过点P,A作y轴的平行线，交直线BC于两点，仿照以上解法即可求解.

(3)假设存在点P使得/8CO+2/8CP=90°,即O<%<3.

过点C作C/〃x轴交抛物线于点F,

NMCF=NBCP,

延长C尸交无轴于点M,

：CF〃x轴，

NPCF=/BMC,

：.NBCP=ABMC,

...△CBM为等腰三角形，

,:BC=5,

：.BM=5,0M=8,

：.M(8,0),

直线CM的解析式为：y=-1+4,

2

令-27+2X+4=--Xr+4,

332

解得x=_L或x=0(舍)，

4

存在点尸满足题意，此时机=工.

4

12.(2021•黄石)抛物线y=a/-2bx+万QW0)与y轴相交于点C(0,-3),且抛物线的

对称轴为x=3,。为对称轴与x轴的交点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)在x轴上方且平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于E、F两点，若4DEF

是等腰直角三角形，求△£>£尸的面积；

(3)若P(3,f)是对称轴上一定点，Q是抛物线上的动点，求PQ的最小值(用含t

的代数式表示).

故抛物线的表达式为y=-?+6x-3；

(2)：△£>£：/是等腰直角三角形，

故。E=£>F且/£»尸=90°,

故设EF和x轴之间的距离为m,则EF=2m,

故点F(3+m,tn),

则△£>£/的面积/加=工x2m・，"=，”2,

22

将点F的坐标代入抛物线表达式得：相=-(加+3)2+6(〃?+3)-3,

解得"7=-3(舍去)或2,

则的面积=m2=生

(3)，・，=-/+6x-3=-(x-3)2+6,

・・・抛物线y=-/+6x-3的顶点为(3,6).

设点。的坐标为(p,q)(qW6),

・・•点。在抛物线y=-?+6x-3上，

:.q=-p2+6p-3

则Pg2=(p-3)2+(q_t)2=p2-6〃+9+/-2tq+F,

将q=-p2+6p-3代入上式得：

PQ2=g2_(2什1)g+p+6.

・・,二次项系数为l>0,

・・・尸。2有最小值，

当r>JA时，4工+.L>6,

22

...q=6时，PQ2最小，即p。最小.

W36-12「6+»+6=?-⑵+36=(f-6)2,

t-6(t>6)

；.PQ=|L6产，

6-t(当<t<6)

当rW旦时，空LW6,

22

.•W=丝虫时，P02最小，即PQ最小.

2

;.PQ2=23-4t,

4

：.PQ的最小值为丝也.

2

't-6(t>6)

6-t(f<t<6)

综上所述PQ的最小值=

、

V23-4t,(t/《1彳1)

13.(2020•黄石)在平面直角坐标系中，抛物线y=-f+fcv-2%的顶点为N.

(1)若此抛物线过点4(-3,1),求抛物线的解析式;

(2)在(1)的条件下，若抛物线与y轴交于点B,连接4B,C为抛物线上一点，且位

于线段AB的上方，过C作CO垂直x轴于点£>,CD交AB于点E,若CE=ED,求点C

坐标；

(3)已知点“(2-生巨，0),且无论k取何值，抛物线都经过定点H,当NMHN=60°

3

时，求抛物线的解析式.

备用图

【解答】解：(1)把4(-3.1)代入y=-2+kx-2k,

得-9-3A-2k=1.

解得k=-2,

二抛物线的解析式为y=-/-2x+4；

.2

(2)如图1,设C(3-於-2f+4),贝ijEG,-r+2),

2

设直线A8的解析式为y=Ax+6,把4(-3,1),(0,4)代入得到，

「3k+b=l,

Ib=4

解得。=1,

Ib=4

直线AB的解析式为y=x+4,

+2

V£(r,-f+2)在直线A8上，

2

2

-t--t+2=t+4,

2

解得t\—t2—-2,

：.C(-2,4).

(3)由y=-f+fcr-2%=左(x-2)-x2,

当x-2=0时，x—2,y--4,

,无论k取何值，抛物线都经过定点“(2,-4),

二次函数的顶点N(K,/-2上)，

24

①如图2中，过点”作轴于/,分别过“，N作y轴，x轴的垂线交于点G,若区〉

2

2时，则上＞4,

'：M(2-0),H(2,-4),

3

HI=4,

3

4―

：.tanZMHI=—^—=近，

43

AZMH1=30°,

■:NMHN=60°,

：.ZNHI=30°,

即NGN，=30°,

y-2

由图可知，tanZGNH=^L=—z-------

GNk2,3

~：--2nik+4

4

解得k=4+2我或4（不合题意舍弃）.

②如图3中，过点”作轴于/,分别过H,N作y轴,x轴的垂线交于点G.

图3

若K<2,则上<4,

2

同理可得，/MH/=30°,

•；NMHN=60°,

:.NHLHL

i2

即--2人=-4,

4

解得％=4（不符合题意舍弃）.

③若区=2,则N,〃重合，不符合题意舍弃，

2

综上所述，抛物线的解析式为y=-/+（4+2百）x-（8+473）.

y

图i

七.全等三角形的判定与性质（共3小题）

14.(2022•黄石)如图，在△ABC和中，AB=AC,AZ)=AE,NBAC=/£>AE=90°，

且点。在线段8C上，连CE.

（1）求证：△AB。g△ACE；

(2)若NE4C=60°,求NCEZ)的度数.

【解答】（1）证明：••,/B4C=/D4E=90°,

ABAC-/C4£>=NDAE-ACAD,即/BAD=ZCAE,

在△AB。和△ACE中，

'AB=AC

<ZBAD=ZCAE>

AD=AE

.".AABD^AACE(SAS)；

(2)解：VAABD^AACE,

/ACE=4ABD,

：△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,

.•./ACE=/A8O=/AE£)=45°,

VZ£>4C=60°，

：.ZAEC=1800-AACE-ZEAC=180°-45°-60°=75°，

；.NCED=NAEC-NAED=75°-45°=30°.

15.（2021•黄石）如图，。是△ABC的边AB上一点，C尸〃AB,。尸交AC于E点，DE=

EF.

(1)求证：△ADE丝△CFE；

(2)若AB=5,CF=4,求80的长.

:.NADF=NF,NA=NECF.

在△4£>E和△CFE中，

，ZA=ZECF

<NADE=NF，

DE=FE

：./\ADE^ACFE(AAS).

(2)VAADE^ACFE,

：.AD=CF=4.

：.BD^AB-AD=5-4=1.

16.(2020•黄石)如图，AB=AE,AB//DE,ZDAB=10°,ZE=40°.

(1)求ND4E的度数；

(2)若NB=30。，求证：AD=BC.

【解答］解(1),：AB//DE,ZE=40°,

：.ZEAB=ZE=40°,

:NDAB=10°,

.../D4E=30°；

(2)证明：在△AOE与△BC4中，

，ZB=ZDAE

■AB=AE，

ZBAC=ZE

丝△BC4(ASA),

：.AD=BC.

八.圆的综合题(共3小题)

17.(2022•黄石)如图CQ是。0直径，A是。。上异于C,。的一点，点8是。C延长线

上一点，连A3、AC.AD,JgLZBAC=ZADB.

(1)求证：直线AB是。0的切线；

(2)若BC=2OC,求tan/AOB的值；

(3)在(2)的条件下，作NCA。的平分线AP交。。于P,交CQ于E,连PC、PD,

若AB=2娓,求的值.

•••co是。。的直径，

.".ZCAD=90°,

：.ZOAC+ZOAD=90a,

又,.Q=0£>,

：.Z0AD=Z0DA,

又；NBAC=ZADB,

...NBAC+NOAC=90°,

即NBAO=90°,

：.ABLOA,

又•••OA为半径，

直线AB是OO的切线；

(2)解：'：ZBAC^ZADB,NB=NB,

•••-A--C-二BC,

ADAB

设半径OC=OA=r,

・；BC=2OC,

：.BC=2r,OB=3r,

在RtZ\BAO中，

48=加2_0A2=V(3r)2-r2=2\^r,

在Rt^CAO中，

tanZADC=^=^==^-,

ADBA272r2

；/BAC=NADB,

tanZBAC=tanZADC=2/^.；

2

(3)解：在(2)的条件下，AB=2\^r=2娓,

r=\[3>

：.CD=2-j3,

在RtACAD中，

AC2+AD2=CD2,

AD2

解得AC=2,AD=2&,

：AP平分NCA。，

：.ZCAP=ZEAD,

又,:ZAPC=ZADE,

J.^CAP^EAD,

•••ACAP,

AEAD

：.AE-AP=AC'AD=2X2&=4&-

18.（2021•黄石）如图，PA,PB是OO的切线，A、B是切点，AC是OO的直径，连接OP,

交。。于点。，交AB于点E.

(1)求证：BC//OP-,

(2)若E恰好是。。的中点，且四边形OAPB的面积是16«,求阴影部分的面积;

(3)若sinNBAC=2，且49=2百，求切线用的长.

3

【解答】(1)证明：P8是。。的切线,

J.PA=PB,

"：OA=OB,

：.OPA.AB,

是直径，

AZABC=90Q,

：.BCLAB,

C.BC//OP.

(2)解：\'OE=DE,AB±OD,

：.AO=AD,

"：OA=OD,

：.AD=OA=OD,

.♦.△AO。是等边三角形，

AZAOD=60",

设OE=m,贝ij机，0A=2m,0P=4m,

,：四边形OAPB的面积是16如,

.•.2・0/＞乂8=16弧，

2

X4mX2«=16-73，

2

♦.m=2或-2(舍弃),

：.0E=2,AB=4\/"^,。4=2加=4,

，俞=俞，

AZAOD=ZBOD=60°,

AZA0B=2ZA0D=120°,

9

s阴=S扇形OAB-S^AOB=120互・4_工*4«X2=J^ZL_4y.

36023

(3)解：在RtZXAOE中，sin/C4B=2L=上，

AO3

••.可以假设OE=x,则OA=O£)=3x,DE—2x,AE-,\/oA2-OE2~V(3x)2-x2~

2Mx,

在RtZ\ADE中，AD1=AEi+DE1,

：.(2A/3)2=(2缶)2+⑵)2,

；.x=l或-1(舍弃)，

：.OE=\,0A=3,AE=2如,

是切线，

J.PALOA,

：.ZOAP=90°,

.\ZCAB+ZBAP=90°,ZAPO+ZPAE=90°,

J.ZCAB^ZAPO,

：.s'inZAPE=sinZCAB=X=^L,

3PA

.,.B4=3AE=6&.

19.（2020•黄石）如图，在RtZVLBC中，/C=90°,AD平分NB4C交3c于点。，。为

AB上一点，经过点A、。的。0分别交AB、AC于点E、F.

(1)求证：BC是OO的切线;

(2)若BE=8,sinB=巨，求。。的半径;

13

(3)求证：AD2=AB*AF.

【解答】解：(1)如图，连接0£>,

图1

则OA=OD,

：.ZODA^ZOAD,

：AO是/BAC的平分线,

：.ZOAD=ZCAD,

：.ZODA=ZCAD,

J.OD//AC,

.,.NOO8=/C=90°,

•.•点。在G)。上，

.♦•BC是。。的切线；

(2)：/8。0=90°,

.".sinB=-2P-=_QP—=巨,

BOBE-H3D13

：.OD=5,

二。。的半径为5；

（3）连接E兄

B

尸E=90°=ZACB,

：.EF//BC,

NAEF=NB,

又,：4AEF=ZADF,

：.ZB=ZADF,

又,.,NOAO=NCAQ,

:.△DABSXFAD,

•ADAF

AB=AD）

:.AD2=AB-AF.

九.解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）

20.（2020•黄石）如图，是某小区的甲、乙两栋住宅楼，小丽站在甲栋楼房A8的楼顶，测

量对面的乙栋楼房CD的高度.已知甲栋楼房AB与乙栋楼房CD的水平距离AC=18M

米，小丽在甲栋楼房顶部8点，测得乙栋楼房顶部。点的仰角是30°,底部C点的俯角

是45°,求乙栋楼房C。的高度（结果保留根号）.

【解答】解：如图所示：

由题意得：BE=AC=18愿米，CE=AB,NDBE=30°,ZCBE=45°,

在RtZ\E£»B中，ZDBE=30°,J^=tan30°,