2022届辽宁省高考联合模拟考试数学试题带答案

2022年高考联合模拟考试数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.已知全集〃=1<,集合A={x|-2Wx<3},B={y|y=2",xWl},则4口8=()

B.{x|-2<x<2}C.{x|0<x<2}{x|0<x<l}

2.已知复数z满足|z|z=3+4i,则|z|=(

B.亚c.Vio

3.“一5<k<0”是“函数y=x2-kx-k的值恒为正值”的(

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.己知sin巳=二，则cos(a-i)=()

24

1515

A.—B.C.一一D.一一

2828

5.已知单位向量£和坂满足,一4=码£+年则£与办的夹角为()

7i卜2乃丁冗c5万

A.-B.—C.—D.—

6336

6.已知直线/：“优一丁一3m+1=0恒过点p,过点P作直线与圆。：(*一lp+(y—2)2=25相交于A,

8两点，则|A用的最小值为()

A.475B.2C.4D.2出

7.河图是上古时代神话传说中伏羲通过黄河中浮出龙马身上的图案，与自己的观察，画出的“八卦”，而龙

马身上的图案就叫做“河图把一到十分成五组，如图，其口诀：一六共宗，为水居北；二七同道，为火

居南；三八为朋，为木居东；四九为友，为金居西；五十同途，为土居中.“河图''将一到十分成五行属性

分别为金，木，水，火，土的五组，在五行的五种属性中，五行相克的规律为：金克木，木克土，土克

水，水克火，火克金；五行相生的规律为：木生火，火生土，土生金，金生水，水生木.现从这十个数中

随机抽取3个数，则这3个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字的概率为()

o

CMXXMXX)

8.已知函数y=/(x),若/(x)>0且/'(x)+?(x)>0,则有()

A.7(x)可能是奇函数，也可能是偶函数B.

7t71cos2xi—

C时，/(sinx)<e2/(cosx)D./(0)<<e/(1)

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9.下列说法中正确的是()

1Q

A.已知随机变量X服从二项分布8(4,］),则O(X)=g

B.已知随机变量X服从正态分布M3,。2)且尸(X<5)=0.85,则尸(I<XW3)=0.3

C.已知随机变量X的方差为O(X),则Z)(2X-3)=4O(X)-3

D.以模型y=c、ek(c>0)去拟合一组数据时，设z=lny,将其变换后得到线性回归方程z=2x-l,则

1

c=­

e

10.已知函数“X)对任意xeR都有,f(x+2)+/(x)=0,且函数〃x+l)的图象关于(一1,0)对称.当

时，〃x)=sinx.则下列结论正确的是()

A.函数y=f(x)的图象关于点伏,0)(左GZ)中心对称

B.函数y=|/(x)|的最小正周期为2

C.当xw[2,3]时，〃x)=sin(2-x)

D.函数y=/(附在［2k,2k+1］仕eZ)上单调递减

11.已知抛物线C:y2=2px,C的准线与x轴交于K,过焦点F的直线/与C交于A、B两点，连接AK、

BK,设A3的中点为P,过P作A3的垂线交x轴于。，下列结论正确的是()

A.网•网=网忸|B.tanZAKF=cosNPQF

c.AAXB的面积最小值为；D.\AB\=2\FQ\

12.已知正四棱台ABC。-的上下底面边长分别为4,6,高为、历，E是的中点，则

（）

C.AE〃平面

D.4到平面Bq。的距离为生叵

5

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知双曲线C的一条渐近线方程为/：y=2x,且其实轴长小于4,则C的一个标准方程可以为

14.在（6-；工）"的展开式中，第3项和第6项的二项式系数相等，则展开式中的系数为.

15.在棱长为2的正方体A8CO—44G。中，£是的中点，F是CG上的动点，则三棱锥

A-DEF外接球表面积的最小值为.

16.已知三棱锥O-ABC,P是面ABC内任意一点，数列｛q｝共9项，q=1,%+佝=2%且满足

OP=（见一4一了砺一3a“OB+3（。,r+l）0C（2<H<9,neN*）,满足上述条件数列共有

个.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.己知等差数列｛&｝的公差为正实数，满足4=4,且q,4，%+4成等比数列.

（1）求数列｛4｝的通项公式；

（2）设数列｛d｝的前〃项和为S“，若4=1,且___________,求数列｛为也,｝的前项和为，，以下有三

个条件：①S"=2"-②5,=22—③5,出=25,一1,〃eN*从中选一个合适的条

件，填入上面横线处，使得数列｛〃,｝为等比数列，并根据题意解决问题.

18.已知△A8C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asinC=bcsin'+'.

2

（1）求角A的大小；

71

（2）若点。在边BC上，且CE>=33D=3,NBAD=—,求△ABC的面积.

6

19.如图，在直四棱柱ABC。一4四。。1中，底面ABC。为菱形，且N84£>=60。，E为AB中点，F为

8G与四C的交点.

DiCi

（1）求证：平面DEF，平面CDD£；

（2）若。。=A。，求二面角R—OE一夕的余弦值.

20.某汽车生产厂家为了解某型号电动汽车的“实际平均续航里程数”，收集了使用该型号电动汽车1年

以上的部分客户的相关数据，得到他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”.从年龄在40岁以下的客

户中抽取10位归为A组，从年龄在40岁（含40岁）以上的客户中抽取10位归为B组，将他们的电动

汽车的“实际平均续航里程数”整理成下图，其中“+”表示A组的客户，表示B组的客户.

实际续航

里程(km)।

lo

4501

4001O

+।

350

+++1oo°

300+1

+1°

250

1

200++++oo°o

1「

10203040506070年龄(岁)

注：“实际平均续航里程数”是指电动汽车的行驶总里程与充电次数的比值.

(I)记4B两组客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”的平均值分别为机，〃，根据图中数据，

试比较加，〃的大小(结论不要求证明)；

(H)从4B两组客户中随机抽取2位，求其中至少有一位是A组的客户的概率；

(III)如果客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”不小于350,那么称该客户为“驾驶达人”.从

4B两组客户中，各随机抽取1位，记“驾驶达人”的人数为求随机变量。的分布列及其数学期望

转.

22

21.已知椭圆C:=+与=1(。＞匕＞0)的左顶点为A,上顶点为3,右焦点为尸(1,0),。为坐标原点，

aZr

线段04的中点为D,且忸q=|OE|.

(1)求C的方程；

(2)已知点M,N均在直线1=2上，以为直径的圆经过。点，圆心为点T，直线AM,4V分别交椭

圆。于另一点RQ,证明直线与直线07垂直.

im

22已知函数/(%)=%—/sinx-mlnx+l.

(1)当m=2时，试判断函数/(幻在(兀,+8)上的单调性；

(2)存在和%e(0,+oo),占工工2，/(与)=/(巧)，求证：王々＜，〃2.

2022年高考联合模拟考试数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.已知全集。=1<,集合A={x|-2Wx<3},B={y|y=2",xWl},则4口8=()

A.{x|-2<x<l}B.{x|-2<x<2}C.{x|0<x<2}D.{x|0<x<l}

【1题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】根据指数函数的性质求出集合8,再根据交集的定义即可得出答案.

【详解】解：因为A={x|-2Wx<3},B={y|y=2、,x<l}={y[0<y<2},

所以An3={x[0<xW2}.

故选；B.

2.已知复数z满足|z|z=3+4i,则目=()

A.1B.75C.V10D.5

【2题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】将等式|z|z=3+4i两边同时取模可求解.

【详解】将等式|z|z=3+4i两边同时取模，有||z|z|=|3+4i|=再不=5,

即||z|zHz『=5,所以|z|=6.

故选：B

3.“—5<女<0”是“函数y=xi-kx-k的值恒为正值”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【3题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】根据函数y=/一行一z的值恒为正值求出人的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可判断.

【详解】函数y=Y一丘一上的值恒为正值，

则△<（）=>女2+4攵<0=>-4<%<0，

V（-4,0）（-5,0）,

，“一5<k<0”是“函数y=x2-kx-k的值恒为正值”的必要不充分条件.

故选：B.

4.己知$血1里=乂^，则cos（a—万）=（）

24

1515

A.—B.C.一一D.一一

2828

【4题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】利用诱导公式以及余弦的二倍角公式即可求出结果.

?ci5

【详解】cos（6Z--T）=-cos=2sin

故选：D.

5.已知单位向量［和B满足归―q=百.+耳，则£与弓的夹角为（）

nc2乃八n-5万

A.-B.—C.—D.—

6336

【5题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】利用向量数量积的运算律，将已知条件转化为7+4-5+广=0,即可求［与B的夹角.

【详解】由题设，k-q=3.+闸,则-2a巨+斤=3（，+2a3+市），

^a+4a-b+b=0>又£和」为单位向量，

--1

/.cos<a,b>=——又V>£［（）,»］，

2

,一T27r

/.<a,b>=—.

3

故选：B

6.已知直线/：〃穴一丁一3加+1=0恒过点P,过点P作直线与圆。：（x—lp+（y—2）2=25相交于4

8两点，则|A卸的最小值为（）

A.475B.2C.4D.245

【6题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】根据|4目=2/7万将最小值问题转化为d取得最大值问题，然后结合图形可解.

【详解】将如—y—3m+l=0,变形为y—1=加（工一3）,故直线/恒过点P（3,l）,

圆心。（1,2）,半径r=5,已知点P在圆内，

过点P作直线与圆（为一1）2+（丁一2）2=25相交于4,B两点,记圆心到直线的距离为乩则

上卸=2,2—筋=2,25-1,所以当d取得最大值时，|A8|有最小值，

结合图形易知，当直线与线段0P垂直的时候，d取得最大值，即取得最小值，

此时|0P|=’（3-1）2+（1—2/二y［5，

所以|=2ylr2-\OPf=2xJ25-5=475.

故选：A.

7.河图是上古时代神话传说中伏羲通过黄河中浮出龙马身上的图案，与自己的观察，画出的“八卦”，而龙

马身上的图案就叫做“河图把一到十分成五组，如图，其口诀：一六共宗，为水居北；二七同道，为火

居南；三八为朋，为木居东；四九为友，为金居西；五十同途，为土居中.“河图''将一到十分成五行属性

分别为金，木，水，火，土的五组，在五行的五种属性中，五行相克的规律为：金克木，木克土，土克

水，水克火，火克金；五行相生的规律为：木生火，火生土，土生金，金生水，水生木.现从这十个数中

随机抽取3个数，则这3个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字的概率为（）

o

【7题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】

从这十个数中随机抽取3个数，这3个数字的属性互不相克，包含的基本事件个数

n=C；(C；C；+C；C1)=2(),这3个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字包含的基本事件

个数为：m=+C；C；)=8,,由此能求出这3个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的

数字的概率.

【详解】由题意得数字4,9属性为金，3,8属性为木，1,6属性为水，

2,7属性为火，5,10属性为土，

从这十个数中随机抽取3个数，这3个数字的属性互不相克，

包含的基本事件个数〃=+=2(),

这3个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字包含的基本事件个数为：

m=C；(C；C；+C；C；)=8,,

Q。

...这3个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字的概率p=-=—=-.

n205

故选：C.

【点睛】此题考查古典概型，关键在于根据计数原理准确求解基本事件总数和某一事件包含的基本事件个

数.

8.已知函数y=〃x),若〃x)>0且/'(x)+4(x)>0,则有()

A./(x)可能是奇函数，也可能是偶函数B./(-1)>/(1)

7171.cos2xI—

C时，/(sinx)<e2/(cosx)D./(0)<<e/(1)

【8题答案】

【答案】D

【解析】

2

【分析】根据奇函数的定义结合/(x)>0即可判断A；令g(x)=e5/(x)，利用导数结合已知判断函数

g(x)的单调性，再根据函数g(x)的单调性逐一判断BCD即可得解.

【详解】解：若/(X)是奇函数，则"T)=―/(X)，

又因为〃无)>0,与/'(T)=-f(X)矛盾,

所有函数y=/(x)不可能时奇函数，故A错误；

令g(x)=e2/(x)，

则g'(x)=xe2/(x)+e2/'(x)=e2+

因为看〉()，/'(x)+V(x)>。,

所以g'(x)>0,所以函数g(x)为增函数，

所以g(—l)<g(l)，即//(—1)<e。⑴，

所以/(一1)</(1),故B错误；

冗兀/2

因为:所以0<COSJC<——，——<sinx<1»

4222

所以sinx>cosx,

故g(smx)>g(cosx),即e2/(sinx)>e2/(cosx),

cos'x-sin、xcos2x、

所以/(sinx)〉e2/(cosx)=e2/(cosx),故C错送；

有g(0)<g(l)，即〃0)<府⑴,故D正确.

故选：D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9.下列说法中正确的是()

1Q

A.已知随机变量X服从二项分布6(4,§),则。(X)=§

B.己知随机变量X服从正态分布N(3,『)且P(X<5)=0.85,则尸(1<X<3)=0.3

C.已知随机变量X的方差为O(X),则。(2X—3)=4D(X)—3

D.以模型y=c、e，c>0)去拟合一组数据时，设z=lny,将其变换后得到线性回归方程z=2x—l,则

1

C--

e

【9题答案】

【答案】AD

【解析】

【分析】根据二项分布得方差公式即可判断A；

根据正态分布得对称性求出P(X<1),从而可判断B；

根据方差得性质即可判断C；

根据题意求出A,C,即可判断D.

【详解】解：对于A,由随机变量X服从二项分布8(4,；),

得Q(X)=4乂5乂(1_§)=§,故A正确；

对于B,因为随机变量X服从正态分布N(3,4),则对称轴为X=3,

又P(X45)=0.85,所以尸(X51)=0.15,

所以P(1<XW3)=0.5-尸(XW1)=0.35,故B错误；

对于C,因为随机变量X的方差为O(x),则。(2X-3)=4O(X),故C错误；

对于D,模型y=ce"(c>0),则lny=lnc+Zix,

又因z=lny,z=2x-l,

所以左=2,lnc=-l,所以c=L,故D正确.

e

故选：AD.

10.已知函数/(X)对任意xeR都有〃x+2)+/(x)=0,且函数的图象关于(—1,0)对称.当

时，.f(x)=sinx.则下列结论正确的是()

A.函数y=f(x)的图象关于点(NO)仅GZ)中心对称

B.函数y=|/(x)|的最小正周期为2

C.当xe[2,3]时，./1(x)=sin(2-x)

D.函数y=/(附在[2k,2k+1](AeZ)上单调递减

【10题答案】

【答案】BC

【解析】

【分析】先求出y=/(x)周期和解析式，画出图像，对四个选项一一验证：

对于A：由图像可判断函数>=/'(X)的中心对称；

对于B：利用图像变换作出函数y=|/(x)|的图象，即可判断；

对于C：直接求出解析式即可判断;

对于D：利用图像变换作出y=/(国)的图像，即可判断；

【详解】因为函数/(x)对任意xeR都有/(x+2)+/(x)=0,

所以/(x-2+2)+/(x-2)=0,即/(x)+/(尤一2)=0,所以/(x+2)=/(x-2)

所以/(x+2+2)=.f(x+2—2),即〃力=“％+4)恒成立,所以“X)的周期为4.

因为函数/(%+1)的图象关于(-1,0)对称，所以将y=/(x+l)的图象向右平移一个单位，得到

y=/(x)的图象，所以y=/(x)关于(0,0)对称.

任取xw[l,3],则

因为函数〃尤)对任意xeR都有〃尤+2)+f(x)=0,即〃x)+/(x—2)=0,所以

/M=-/(^-2)=-sin(x-2).

[sinx,-l<x<1

所以4x)=[_sg.2),』《3’

作出>=/(》)的图象如图所示：

/X、疝，/V、

d-356\

-sinl

对于A：由图象可知：函数y=/(x)的图象关于点(2Z,0)(丘Z)中心对称，故A错误；

对于B：函数y=『(x)|的图象可以看成y=/(x)的图象x轴上方的图象保留，把x轴上方的图象轴下方

的图象翻折到x轴上方，所以函数y=|/(x)|的最小正周期为2.故B正确；

-4-3-2-1__9123456

-sinl

对于C：由前面的推导可得:当xe[l,3],〃x)=-sin(x-2)=sin(2-x).故C正确;

对于D：作出y=/（|x|）的图像如图所示，在上函数y=/（|x|）单调递增.故D错误.

V

-1O~i1-2\3^/456\；

7-sinl

故选：BC

11.已知抛物线C:：/=2px,C的准线与x轴交于K,过焦点产的直线/与C交于A、8两点，连接AK、

BK,设AB的中点为P，过P作A8的垂线交x轴于。，下列结论正确的是（）

A.|呵|明=|阻网B.tanZAKF=cosZ-PQF

2

c.AAXB的面积最小值为2D.|阴=2|同

2

【11题答案】

【答案】BD

【解析】

【分析】设直线A8的倾斜角为a,即NA&=a,设A（x，y）,6（生%），尸（％人）.可根据角平分线的

性质判断A；

过A作AOLx轴，垂足为。，表示出tan/AKF、cos/PQF,即可判断B；

SJKB=S&AK/+S/KF，数形结合即可判断C;

求出?。方程，令y=0求出。的横坐标，求出即可判断它们的关系，由此判断D.

【详解】设直线AB的倾斜角为a,即NAEr=a,设A（m,y）,8（々,%），尸（知儿），

①若|A斗忸K|=|AKHM|,则四=粤，则根据角平分线的性质可知，x轴为乙4KB的角平分线,

\BF\16Kl

但x轴不一定是NAK8的平分线，故A错误;

②过4作A£>_Lx轴，垂足为

ZAKF=cos/PQF=cos一a)=sinaXy

则tanp,1^1

X,4--x+K'

1212

，tan/AKF=cos/PQE,故B正确；

③LKB=SAW+S/KF=3，/斗|>1-必|=号帆一为>3，2〃=22,当|y—=|AB|=2〃，即

A8，x轴时，取等号，故八4/®的面积最小值为p?,故C错误；

1募=(%+%)叱力2〃(-2)，则tu急于

对于£>：<

；.Q(p+Xo,O),

..PP

尸Q|=P+xo~~=~+xo，

二|AB|=玉+W+〃=2xo+〃=2|F0|,故D正确.

故选：BD.

12.已知正四棱台A3CO-A与GR的上下底面边长分别为4,6,高为血，E是A4的中点，则

A.正四棱台A3CQ-AgGR的体积为必叵

3

B.正四棱台ABCD-ABCA的外接球的表面积为104万

C.AE〃平面BC\D

D.A到平面8G。的距离为生的

5

【12题答案】

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用正四棱台ABC。—AgG2的体积计算可判断A；连接AC、3。相交于。2,连接AG、BR

相交于。，分外接球的球心。在正四棱台ABCD-A4G。的内部、内部，

2

根据”502-£>0：+《DO?-DO；=002、SO-DQ；-^D0-D0l=0102，求出齐可判断

B；取24的中点广，利用面面平行的判断定理可判断平面GBO〃平面AEE，从而可判断C；以。2为

原点，。。、。所在的直线分别为、、建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面

2O2A.QXyz

的一个法向量，利用点到平面8G。的距离的向量求法可判断D.

【详解】正四棱台ABCO—A4GA的体积为V=g(SAB1G4+sABCD+^sAACiDsABCD)h,

V=1(16+36+V24)V2=52^+4^,故A错误；

连接AC、3。相交于。2,连接AG、耳。相交于。

如果外接球的球心。在正四棱台ABCD-44G。的内部，

则。在002上，002=拒,

因为上下底面边长分别为4,6,所以0a=；旦口=2四，=<06=30,

设外接球。的半径为尺，所以个D。_D0；+JDCP_DO；=OR,即

正一8+五一18=桓,无解，所以外接球的球心。在正四棱台—的外部，如下图,

则。在延长线上，0,0=72,

因为上下底面边长分别为4,6,所以4。=2&,D02=；DB=3上,

设外接球。的半径为R,所以-DQ；D0?-DO；=QQ，即

，炉-8-，店一18=万解得R2=26，

所以正四棱台ABC。—45cq外接球的表面积为4万箱=104%，故B正确;

取〃4的中点尸，连接AREF,AGC\EF=G,连接AG,

所以DiBJ/EF,所以G是4a的中点，因为4G=4八，所以Gq=30,

又AQ=3拒，所以GC|=AC>2,又因为GG〃AC)2,所以四边形GCQ2A是平行四边形,

所以G4〃GQ，G4a平面GB。，C。2U平面G8。，所以G4//平面C/。，

因为所以EF//BD,

平面G8O,BDu平面G8O,所以防〃平面C/。,

因为瓦'cAG=G,所以平面G8。〃平面AEF,

因为AGu平面AEE,所以AE〃平面GBD〃，

故C正确;

以。2为原点，Q。、02A,02a所在的直线分别为X、八Z建立如图所示的空间直角坐标系，则

£>(372,0,0),川―3a,0,0),G(。，-2及，闾，4(0,2逝,0),

西=(-3后,-2a词，Bq=(372,-272,72),福=(0,-4a,0)

设平面BCQ的一个法向量为3=(x,y,z),

[DC.lnf-3缶-2夜y+及z=0-/、

所以一，即《二厂厂，令丁=1可得〃=(0」,2),

[BC]ln[3y/2x-2yl2y+y/2z=0

八|"，AG|4724V10

A到平面Bq。的距离为I口1=石=周一,故D正确.

故选：BCD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知双曲线C的一条渐近线方程为/：y=2x,且其实轴长小于4,则C的一个标准方程可以为

【13题答案】

2

【答案】/_21=]

4

【解析】

2

【分析】可设双曲线的方程为炉一亍=2(x^0),假设2>0,则双曲线的实轴为2再根据实轴长

小于4,求得此时2的范围，即可写出符合题意的双曲线方程.

【详解】解：可设双曲线的方程为/一号=2(/1N0),

22

即土-匕=l(/lwO),

A44

当；1>（）时，双曲线的实轴为2日，

则2jl<4,所以0<4<4,

可取4=1,

2

则C的一个标准方程可以为—匕=1.

4

2

故答案为：/一v匕=］.（答案不唯一）

4

14.在（6-；幻”的展开式中，第3项和第6项的二项式系数相等，则展开式中炉的系数为.

【14题答案】

【答案】一］35

【解析】

【分析】根据二项式的第3项和第6项的二项式系数相等，求得〃，再求出展开式的通项，令x的指数等于

5,从而可得出答案.

【详解】解：因为二项式的第3项和第6项的二项式系数相等，

所以C；=C；,所以〃=7,

则二项式（«-；x）7展开式的通项为&=4（4厂｛一且=1_£）.&/,

7+厂

令=5,则r=3,

所以展开式中V的系数为（—1］仁=—生.

I2）8

35

故答案：---.

8

15.在棱长为2的正方体ABC0-中，E是CD的中点，R是CG上的动点，则三棱锥

A-£）所外接球表面积的最小值为.

【15题答案】

【答案】13"

【解析】

【分析】

作出图形，设CV=x,利用基本不等式可求得tanNOEE的最大值，可求得sin/DEE的最小值，利用正

弦定理求得△/）匠户外接圆直径2r的最小值，可求得该三棱锥外接球直径的最小值，由此可求得结果.

【详解】如下图所示，设圆柱的底面半径为，母线长为肌圆柱的外接球半径为A,

取圆柱的轴截面，则该圆柱的轴截面矩形的对角线的中点。到圆柱底面圆上每个点的距离都等于R,则。

为圆柱的外接球球心，由勾股定理可得⑵『+〃2=（2R）2.

本题中，平面OEE，设△£＞所的外接圆为圆。I,可将三棱锥4一。£厂内接于圆柱。1。2，如

下图所示：

设尸的外接圆直径为2r，AD=h,该三棱锥的外接球直径为2H，则（2/?『=（2r『+/?.

如下图所示：

Y

设CF=x,则0<x<2,tanZCEF=x,tanZCDF=—,

2

X

tanZCEF-tanZCDFX——x

tanZDFE=tan(ZC£F-NCDF)=2

1+tanZCEFtanZCDF,尤x2+2

AL-rX--

2

2行4

当且仅当x=0时，tan/DEE取得最大值注,

4

'小”sinNDFE拒

tanZDFE=---------=——

cosZDFE4

由《sin2Z£)FE+cos2ZDFE=1,sinZDFE=-,cosZDFE20

sinZZ)FE>0

iDE

所以，sinNDEE的最大值为不，由正弦定理得--------二3,即2厂的最小值为3,

3sinZDFE

因此，(2H)2=(2r)2+/?2N32+22=13,

所以，三棱锥A-£>£尸外接球的表面积为5=4万4213乃.

故三棱锥A-。斯外接球的表面积的最小值为13乃.

故答案为：13%.

【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：

①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中

去求解；

②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；

③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则

球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.

16.已知三棱锥O-ABC,P是面ABC内任意一点，数列｛6,｝共9项，q=1,%+佝=2%且满足

丽=(q,_41T)2±4_3a“赤+3(a,i+l)OC(2<n<9,neN*),满足上述条件的数列共有

个.

【16题答案】

【答案】2

【解析】

【分析】根据题意可得(凡一a,-)?-3/+3(。1+D=1.从而可求得一”,1=1或%=2,再分

4,一。,1=1和%一=2讨论结合等差数列的通项公式即可得出答案・

【详解】解：因为P是面ABC内任意一点，

所以P,A,B,C四点共面，

因为丽=(4,_an_^OA-3a„OB+3(a„_,+1)OC(2W〃W9,〃eN*),

所以(a“一-3%+3(a“_1+1)=1,即(a“一4一3(%-q_J+2=0,

解得a“一a,-=1或。“一%=2,

当。"一=1时，

则数列｛4｝是以1为首项，1为公差的等差数列，

所以见=〃，

则q+佝=10=2%，符合题意；

当a“-a“T=2时，数列｛a,,｝是以1为首项，2为公差的等差数列，

所以a“=2〃-1,

则q+%=18=2%,符合题意,

所以满足上述条件的数列共有2个.

故答案为：2.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.己知等差数列｛q｝的公差为正实数，满足4=4,且q,%,%+4成等比数列.

(1)求数列｛为｝的通项公式；

(2)设数列｛d｝的前”项和为S,,若仇=1,且,求数列｛«„-bn｝的前项和为T“,以下有三

个条件:①S”=2"-1/eN*；②S.=2"—1,〃€N*；③S,阳=2S,-1,及eN*从中选一个合适的条

件，填入上面横线处，使得数列｛〃｝为等比数列，并根据题意解决问题.

【17~18题答案】

【答案】⑴an=2n+2

（2）7；=（2〃-3b2"+3

【解析】

【分析】（1）设等差数列｛%｝的公差为d,d>0,根据题意求得公差，从而可得出答案；

（2）根据数列通项与数列前〃项和的关系求出数列｛〃｝的通项公式，然后利用错位相减法即可得出答案.

【小问1详解】

解：设等差数列｛为｝的公差为”/>0,

因为6,%,。5+4成等比数列，

所以a/="（织+4）,即（4+2d）?=4（4d+8）,

解得d=±2（负值舍去），所以d=2,

所以=2〃+2；

【小问2详解】

解：选①，由S“=2"—

当〃22时，2=S,,—S,I=2"T，

当〃=1时等式也成立，

所以"=2"，

则可也=（2〃-1）?"）

所以7；=1+3x2+5x22+…+（2〃-1）2”,

则27；=2+3X22+5X23+...+（2〃-3>2"T+（2〃-1>2”,

两式相减得一北=1+2?+23+…+2”-（2〃-1）•2"

=1+——广一^一（2〃—1卜2”

=_（2“_3）—3,

所以7；=（2〃一3>2"+3.

选②，由Sn=2仇,一1,〃eN”,

当〃22时，，bn-Sn-Sn_t-2bli_2b,

b

所以/-=2,

bn.\

所以数列｛d｝为以1为首项2为公比的等比数列，

所以勿=2"T,

则%也,=（2〃一1>2"、

以下步骤同①.

选③，由5n+1=25„-l,neN,,

得S”=2s-1,

两式相减得：b“+、=2b",

又b[=1,

所以数列｛4｝为以1为首项2为公比的等比数列，

所以2=2"、

则a“・d=（2〃_l>2"T,

以下步骤同①.

18.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asinC=Gcsin',..

2

（1）求角A的大小；

TT

（2）若点。在边BC上，且8=350=3,NBAD=—,求△ABC的面积.

6

【18~19题答案】

27c

【答案】（1）A=W；

⑵王

19

【解析】

LA

【分析】（1）由正弦定理的边角关系、三角形内角的性质可得sinA=6cosu，再应用二倍角正弦公式化

2

简可得sind=",即可求A的大小.

22

(2)由题设可得ND4C=二，法一：由正弦定理及NAD5+NADC=TI可得至2=£,再由余弦定理

2CDb

得到加2=3，最后根据三角形面积公式求△ABC面积；法二：根据三角形面积公式有沙=三，由

192b

△B4O的边BO与△ADC的边QC上的高相等及已知条件可得£■=’,再由余弦定理得到相？=3,

2b319

最后根据三角形面积公式求△ABC面积；

【小问1详解】

由己知及正弦定理得：sinAsinC=6sinCsin'+。,又B+C=K-A,

2

B+C71A一八

-----=------,又sinCw（）,

222

・•AGAAAITAAn

・・sinA=<3cos—,则2sm—cos—=A/3COS—,而n。<一<一,

222222

COS-9^0,则sin&=@,故4=四，得A=&

222233

【小问2详解】

27r7T7T

由NB4C='，ZBAD=-,则NDAC=±.

362

BDc

法一：在△河）中，.