第三章函数3.2函数与方程、不等式之间的关系

第三章函数

3.2函数与方程、不等式之间的关系

一、选择题

1.已知不等式。/+"+2>0的解集为{对_1<》<2},则不等式2，+从+。<0的解集为()

iX>_}

A.{x\x<2,或x>l}B.{x|x<-l,或2

,[x|-1<X<-1

C.{x|-2<x<l]D.I2J

【答案】D

【解析】

;不等式的解集为{川-1VxV2},

.\ax1+bx+2=0的两根为-1,2,且«<0

b

即-1+2-%

_2

(-1)x2%

解得〃=-1,b=l则不等式可化为27+x-1<0,

解得{x|-*

故选：D.

2.如果二次函数丁=/+2相尢+(租+2)有两个不同的零点，那么m的取值范围为()

A.(-2,1)B.(-12)c.(-8,-1)U(2,+8)D.(-8,-2)U(l,+8)

【答案】C

【解析】

•.•二次函数)，=¥+公+(w-2)有两个不同的零点，.♦.△=4租2-4(m+2)>0,

求得m<-\或m>2,

故选：C.

3.已知关于x的方程--。*+3=0有一根大于1,另一根小于1,则实数。的取值范围是()

A.(4,+oo)B.(-8,4)C.(-8,2)D.(2,+8)

【答案】A

【解析】

•.•关于x的方程/-。*+3=0的一根大于1,另一根小于1,

令/(x)=x2-ax+3,开口向上，

=

只需/(I)\-a+3=4-a<0t得公>4,

故选：A.

4.关于X的不等式以-力〉0的解集是(l,+oo),则关于x的不等式(OX+与(无-3)>0的解集是()

A.(e,-l)(3,-FW)B.(-1,3)

C.(L3)D.(2,1)(3收)

【答案】A

【解析】

由ar-/?>0的解集为(1,+8)可知：«>0R-=1

a

令(依+。)(工一3)=0,解得：罚=一1,(%2_41+2/(2-%)4+%2-4%=()

a>()的解集为：(-00,-1)53,+°0)

本题正确选项：A

5.已知函数/(x)=巾+1的零点在区间(1,2)内，则加的取值范围是()

1,111

A.(—00,---)B.—1,---C.D.(—oo,—l)(---,+°0)

2\2y2

【答案】B

【解析】

由题知f(x)单调，故/⑴♦/⑵<0,(m+l)(2m+l)<0,-l</n<-p

故选B.

6.函数f(x)=af+bx+c满足/'(1)>0,>2)<0,则/'(乃在(1,2)上的零点(〉

A.至多有一个B.有1个或2个

C.有且仅有一个D.一个也没有

【答案】C

【解析】

若a=0,则/(x)=bx+c是一次函数

v/(l)>0,/(2)<0,

.-J(l)-/,(2)<0,可得其零点只有一个

若。K0,则/'(x)=。,+从+<7是二次函数

若f(x)在(1,2)上有两个零点

则必有f(D,f(2)>0,与已知矛盾

故f(x)在(1,2)上有且只有一个零点

综上所述，则八为在(1Z上的零点有且仅有•个

故选C

7.不等式(x+fe)[(a-l)x+(l-b)]>0的解集为(-8,-1)u(3,+co),则不等式公+bx-2a<0的解

集为()

A.(-2,5)B.(一赤)C.(-2,1)D.(-24)

【答案】A

【解析】

根据题意，不等式(x+b)[(a-1)x+(1-b)]>0的解集为(-oo,-1)U(3,+oo),

则方程(x+b)[(a-1)x+(1-b)]=0的两根为(-1)和3,

则有t(b+3)(3"b-2)=0,

解可得：a=5,b=-3,

则不等式x2+bx-2a<0即x2-3x-10<0,

解可得：-2<x<5>

即不等式x?+bx-2a<0的解集为(-2,5)；

故选：A.

8.已知函数/(x)=(or-l)(x+6),如果不等式/(x)>0的解集为(一1,3),那么不等式/(-2x)<0的

解集为()

,3、1、

A.(-co,--)(-,+co)

22

C.(■|,+00)

【答案】A

【解析】

由/(x)=(ar-l)(x+b)>0的解集是(-1,3),则a<0

故有,=-1,—〃=3,即。=-1,6=-3.

a

/(x)=-x2+2x+3

/.f(-2x)=^x2-4x+3

由-4X2-4X+3<0

13

解得x>一或％<——

22

31

故不等式/(-2x)<0的解集是(一8,—R(-,+«))

22

故选A.

(a2-ab,a<b

9.对于实数a和b定义运算“*”：a«b=U2-ab.a>b,设f㈠)=(2x-l)•(x-2),如果关于x的方

程f(x)=m(mSR)恰有三个互不相等的实数根xi，x2,x3,则m的取值范是()

【答案】C

【解析】

(2x2+x-l,x<-1

(x-2)=I-x2+x+2,x>-1其图象如下:

因为f(x)=m恰有三个互不相等实根，

则y=m与y=f(x)图像恰有三个不同的交点，

9

所以0cm<4

故选：C.

二、填空题

10.方程f+(»3)x+，〃=0是一个根大于1,一个根小于1,则加的取值范围

【答案】加<1

【解析】

令f(x)=x2+(m-3)x+m,

方程x?+(m-3)x+m=O是一个根大于1,一个根小于1,

由题意可得,f(1)=l+m-3+mV0,

故答案为：m<l.

11.关于X的不等式。/+加+1>0的解集为(-3,2),则。=,b=.

11

【答案】6~6

【解析】

由题意得-3,2为方程af+bx+l=。两根，

b11,1

-3+2=——,一3X2=—・•・Q=——,b=——.

所以aQ66

12.二次函数y=a？+&x+c(xGR)的部分对应值如表,

X-3-2-101234

y60-4-6-6-406

则不等式ax2+bx+c<0的解集是.

【答案】(-2,3)

【解析】

由二次函数y=ax?+bx+c(xGR)的部分对应值知，

x=-2时，y=0；x=3时'y=0；

且函数y的图象开口向上，

，不等式ax'bx+cVO的解集是(-2,3).

故答案为：(・2,3).

13.己知函数八幻='-2"+。2-1,若关于X的不等式八/'(》))<o的解集为空集，则实数a的取值

范围是.

【答案】a<-2.

【解析】

因为f(f(x))<0=>-1+a</-(X)<1+a=a<(x-a)2<2+a,所以当且仅当2+a<0时等式

<0的解集为空集，因此实数a的取值范围是(-8,-2]

三、解答题

14.已知函数f(x)=--2|x|.

(1)在所给坐标系中，画出函数/(尤)的图象并写出/(尤)的单调递增区间:

(2)若函数9(x)=f⑶+3a-1有4个零点，求«的取值范围.

【答案】(1)见解析；(2)33

【解析】

⑴=[x2-2x心0

U2+2XX<0,其图象如图:

由图象可知:/(乃单调递增区间为：[-1,0],口，+8)；

(2)因为函数g(x)=/(x)+3a-1有4个零点

=/(x)+3a-1=0有4个实根

=/(x)=-3a+1有4个实根

=函数y=f(%)与函数y=-3a+1的图象有4个交点，

由图可知：-l<-3a+l<0,

12

—<a<—

解得：33,

故实数a的取值范围是

15.已知函数/(力=-%2+办+》.

(1)若关于X的不等式/(x)〉o的解集为(一1,3),求实数。力的值:

(2)当方=-4时，对任意xeR,/(x)WO恒成立，求。的取值范围.

【答案】(1)a=2,b=3；(2)[^,4].

【解析】

⑴因为/(£)=-*2+依+8>0的解集为(一1,3),

所以关于X的方程—/+以+匕=。的两个根为-1,3.

所以a=-1+3,-/?=—1x3,解得。=2,6=3.

(2)由题意得=一幺+以一4Vo对任意xeR恒成立，

所以△="—4x(—1)x(-4)=a2-16<0,

解得一4Wa<4,即。的取值范围是[T,4].

16.已知函数/(1)=2/+/KX—2机一3.

(1)若函数在区间(-8,0)与(1,+8)内各有一个零点，求实数机的取值范围;

(2)解关于x的不等式/(%)„(2-m)x2+(4m+2)x-2m-9.

【答案】⑴(一1,中功；⑵见解析.

【解析】

(1)由于+mx-2m-3的图象开口向上,

且在区间(3,0)与(1,伊)内各有一零点,

〃(0)<0-2/n-3<0

故t

1/0)<0-m—1<0

解得加>-1,即实数机的取值范围为(—1,”).

(2)原不等式可化为(x—3)(〃式一2),,0.

2

当机<0时，原不等式的解集为无(一或x>3｝；

m

当"z=0时，原不等式的解集为｛%|%23集

22

当0<加(不时•，原不等式的解集为｛x|x<3或x>一｝；

3m

2

当机=§时，原不等式的解集为｛幻元=3｝；

22

当机,一时，原不等式的解集为｛x|x<一或尤>3｝.

3m

17.已知函数/(工)=办2_3办+/一3.

(I)若不等式/(九)<。的解集是“|/<%<圻，求实数。与人的值；

(II)若〃<0,且不等式/(x)v4对任意尤£[-3,3]恒成立，求实数。的取值范围.

,7

【答案】(I)a=3,b=2(II)——<a<0

4

【解析】

(I)因为不等式〃可<0的解集是｛x[l<x<H，

所以1,〃为ox2—36+。2—3=o两根，且。>0,

[1+/?=3「

b=2

因此〈/—3

h=-----[。=3

a

72

(II)因为a<0,所以不等式/(x)<4可化为3%>匕幺

a

I大I为当xw[-3,3]时，%2—3x=x-—

244

97—。27

所以—三>一L,因为a<0,解得一一<。<0.

4a4

18.已知函数fO)=--2ax+a

(1)设叼、々为f(x)=0的两根，且无1<1,叼>2,试求a的取值范围

(2)当久e[-1,1]时,f(x)的最大值为2,试求a

41

a>——

【答案】⑴3(2)a=-l或3

【解析】

(1)由题意可得X[、*2为/'(X)=0的两根，且*1<1,x2>2,

a>1

4

[/(I)<0a>-

1人2<。’解得I3