高等数学讲稿1

课程名称：高等数学

授课时间：2009-2010学年第一学期

(第五至第二十周，二1/2,四1/2,五3/4)

授课地点：J102

授课班级：机械0901、0902、0903、0904

第一章函数与极限

函数是现代数学的基本概念之一，是高等数学的主要研究对象.极限概念是微积分的理

论基础，极限方法是微积分的基本分析方法，因此，掌握、运用好极限方法是学好微积分的

关键。本章将介绍函数与极限的基本知识和有关的基本方法，为今后的学习打下必要的基础.

第一节函数

在现实世界中，一切事物都在一定的空间中运动着.17世纪初，数学首先从对运动(如

天文、航海问题等)的研究中引出了函数这个基本概念.在那以后的二百多年里，这个概念

在几乎所有的科学研究工作中占据了中心位置.

本节将介绍函数的概念、函数关系的构建与函数的特性.

内容要点

一、集合

集合的概念、运算；有限区间，无限区间；领域的定义、中心、半径。

二、映射

映射的概念，满射、单射、双射。

三、函数的概念

函数是描述变量间相互依赖关系的•种数学模型•函数的定义、图形、表示法。

四、函数特性

函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性。

五、反函数：反函数的概念；函数存在反函数的条件；在同一个坐标平面内，直接函数

y=/(x)和反函数y=夕(x)的图形关于直线y=x是对称的.

六、基本初等函数：界函数；指数函数：对数函数；三角函数；反三角函数.

七、复合函数的概念

八、初等函数：由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所

构成并可用•个式子表示的函数，称为初等函数.初等函数的基本特征：在函数有定义的区

间内初等函数的图形是不间断的.

九、双曲函数和反双曲函数的概念.

十、数学建模——函数关系的建立

为解决实际应用问题，首先要将该问题量化，从而建立起该问题的数学模型，即建立函

数关系：依题意建立函数关系；依据经验数据建立近似函数关系。

例题选讲

函数举例

例1绝对值函数)，=51=卜’

[-x,x<0

定义域D=(-00,+00),

值域匕=[0,+00).

注：常用绝对值的运算性质：

1划1=|巾|；申=：；H-M^|x±y|<|x|+|y|.

设a>0,贝Ia---a<x<a\

|x|>a-->x>a^x<-a.

例2判断下面函数是否相同，并说明理由.

(1)y=1与y=sirrx+cos-x;

(2)y=2x+1与x=2y+1.

解(1)虽然这两个函数的表现形式不同，但它们的定义域(-8,+8)与对应法则均相

同，所以这两个函数相同.

(2)虽然它们的自变量与因变量所用的字母不同，但其定义域(-«),«»)和对应法则均相同

(如图)，所以这两个函数相同.

分段函数举例

在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同的表达方式来表示的函数，称为分段函

数.

(1)符号函数

1,x〉0,

y-sgnx=<0,x=0,x=sgnx.\x\.

—1,x<0.

(2)取整函数y=[x],其中，[幻表示不超过x的最大整数.

(3)狄利克雷函数

~、(1,当x是有理数时

"1o,当x是无理数时

(4)函数=L，

1+x,X>1.

2

1

例3求函数y=,+/宝的定义域.

-1-x2

解

1-X2H0"±1

=>D—[-2,-1)u(—1,1)kJ(l,4-oo).

元+220x>-i

例4求函数/(x)=lg0二义+J5+4X—Y的定义域.

sinx

解要使有意义，显然x要满足：

3-x>0x<3

<sinxwO即<xh(人为整数)

5+4x-x2>0

所以“X)的定义域为

Df={x\<x<3,x^3,x^0}=[-1,0}u(0,3).

例5设

1,0<x<1

/(X)=,

-2,1<x<2'

求函数/(X+3)的定义域.

1,0<x<l

解f(x)=<

—2,1<x<2

1,0<X+3<11,-34x4—2

/(x+3)=

—2,1<x+342—2,-2<x<-1

故函数f(x+3)的定义域:[-3,-1].

例6证明

X

(1)函数y=—；——在(-8,+0。)上是有界的.(E05)

x+1

(2)函数>=上在(0,1)上是无界的.

X

证⑴因为(1-N)2wo,所以|l+x22纲，故|/(x)|=|云:=4普

对一切X£(-8,+00)都成立.由上可知题设函数在(-00,+00)上是有界函数.

1

(2)对于无论怎样大的M>0,总可在(0,1)内找到相应的X.例如取x0=,e(0,1),

VM+1

使得|/(/)|=』=--1——=M+\>M

X0(12

VM+I

3

所以/(x)=(在(0,1)上是无界函数.

X

例7证明函数)，=上在(-1,+8)内是单调增加的函数.

14-X

证在(-1,8)内任取两点七,出，且不<工2,则

fM-f(£，x、)=­x\[-----x-2=----X-\——~X2-——

122

1+x)l+x2(1+国)(1+巧)

因为和工2是(-1，8)内任意两点，所以1+西>0,1+。2>°，

又因为再一为<0，故/(西)一f。2)V0，即/(阳)Vf为2)

所以〃M卷在(T+8)内是单调增加的.

例8判断函数丁=上(工+7177)的奇偶性.

解f(—%)=ln(—x+yj1+(-x)~)—ln(—x+Jl+厂)

(-X+Vl+x2)(%4-71+X2)

=In

x+y/\+x2

=ln-------=-ln(x+71+x2)=-/(x).

X4-V1+X2

由定义知/(x)为奇函数.

1当X是有理数时(L

例9设Z)(x)=二；=工1m求。仙1-扬，。(。⑼.并讨论其性

0,是无理数时I5J

质.

解£>(-y)=l,D(l-V2)=0,D(D(x))=l,

函数是单值、有界的，偶函数，但不是单调函数,是周期函数，但无最小正周期.

例10若/(x)对其定义域上的一切，恒有

f(x)=f(2a-x),

则称/(x)对称于x=a.

证明：若/(x)对称于x=a及x=b(a<b),则/(x)是以T=2(。—。)为周期的周期函数.

证由f(x)对称于x="及x=b，则有

/(x)=/(2a-x),(1)

f(x)=f(2b-x),(2)

在式(2)中，把x换为2"x,得

f(2a-x)=f[2b-(2a-x)]=f[x+2{b-a).

由式⑴/(x)=f(2a-x)=/[x+2(b-a),可见,/(x)以T=2(b-a)为周期.

4

求反函数

例U求函数y=>J+4x的反函数.

14-71+4%

解令z=Jl+4x,则y='—故z匕士即疝嬴二匕2

1+z1+V1+V

解得T片―y

(1+)产

改变变量的记号，即得到所求反函数:X

(1+无产

例12已知

1,x>0

sgnx=v0,X=O(符号函数)

—1,x<0

求y=(l+x2)sgnx的反函数.

解由题设，易得

1+x2,x>0

y=(l+x2)sgnx=<0,x=0(=>x=<0,y=0

—(1+%2),x<0-J-(i+y)，y<T

故所求反函数为

Vx-l,X>1

0,x=0.

—J-(1+X),X<—1

函数的复合

设y~f(i4)-arctanw,u=(p(t)=+,

例13t=y/{x)=x2-\,求/{例以x)]}.

11

解/{例〃(幻]}=arctanu=arctan—7=-arctan—；=

例14将下列型竺成基本初等函数的复合.

(1)j=Vlnsin2x;(2)yue"ctan./；(3)y=cos21n(2+Jl+—).

解(l)y=Jlnsin?x是由y=八,w=Inv,v=w2,w=sinx四个函数复合而成；

⑵y=^rctan?是由产e\u=arctanv,v=x2三个函数复合而成；

2

(3)y=cos21n(2+J1+/2)是由=〃2,w_cosv,v=Iniv,w=2+f,t=4h,h=l+x

六个函数复合在而成.

分段函数的复合运算

5

x

例15设/(x)e(,必x<1，«)=，Ix+_2],,xM<O0'求,四机

*"),e(x)<i

解f[<pM]=<

(p(x),(p{x}>\

(1)当s(x)<1时，或x<0,夕(无)=x+2<l^>x<-1,或x20,9(x)=x2—1<1^>0<X<

(2)当<p(x)>1时，或x<0，s(尤)=x+221n—14x<0,或0,p(x)=x?—12nx>41.

"2,x<-\

x+2,-14x<0

所以/S(x)]=，

Z-1,0<x<V2

x2-1,x>42

例16设/(\+工]=苫2+乂,求/(%).

kX)X

解因为/[工+_]=/+：=[工+-)-2,所以/(%)=炉—2.

课堂练习

1.用分段函数表示函数y=3-\x-l\.

2.判别函数/(x)=,*+x，*2°的奇偶性.

[一元+x,x<0

3.下列函数能否复合为函数y=/[g(x)],若能，写出其解析式、定义域、值域.

⑴>=/(〃)=6，u=g(x)=x-x2;

(2)y=/(w)=Inw,u=^(x)=sinx-1.

4.分析函数y=Varctancose2x的复合结构.

6

第二节极限

1.2.1数列极限

极限思想是由于求某些实际问题的精确解答而产生的.例如，我国古代数学家刘徽(公

元3世纪)利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法--割圆术(参看光盘演示)，就是极

限思想在几何学上的应用.又如，春秋战国时期的哲学家庄子(公元4世纪)在《庄子.天下

篇》一书中对“截丈问题”(参看光盘演示)有一段名言：“一尺之梅，日截其半，万世不竭”,

其中也隐含了深刻的极限思想.

极限是研究变量的变化趋势的基本工具，高等数学中许多基本概念，例如连续、导数、

定积分、无穷级数等都是建立在极限的基础上.极限方法又是研究函数的一种最基本的方法.

本节将首先给出数列极限的定义.

内容要点

一、数列的定义

二、数列的极限

£-N论证法，其论证步骤为：

(1)对于任意给定的正数£,令

(2)由上式开始分析倒推，推出〃＞夕(£);

(3)取N=S(£)],再用语言顺述结论.

三、收敛数列的有界性

四、极限的唯一性

五、收敛数列的保号性

六、子数列的收敛性

例题选讲

数列的极限

例1(E01)下列各数列是否收敛，若收敛，试指出其收敛于何值.

⑴卜｝;⑵.卜⑶｛(-D叫；(4).

解(D数歹"2"｝即为

2,4,8,…,2",…

易见，当〃无限增大时，2〃也无限增大，故该数列是发散的;

(2)数歹IJ即为

7

易见，当〃无限增大时，1无限接近于0,故该数列是收敛于0;

n

⑶数列｛（-1）叫即为

1,-1,1,-1,

易见,当“无限增大时，（-1）"“无休止地反复取1、-1两个数，而不会接近于任何一个确定的

常数,故该数列是发散的；

（4）数歹|J｛一｝即为

23n-\

易见，当〃无限增大时，上1无限接近于1,故该数列是收敛于1.

n

例2(E02)证明lim-+(-1)—=1.

“一>8n

£>0,要使IX,,-11<£，只要！<£,

n

即

〃T8n

例3设乙三C（C为常数），证明limx〃=C

〃一>8

证因对任给£〉0,对于一切自然数〃，恒有1%一。1=1。一（71=0<£.所以，

hmxn=C.即：常数列的极限等于同一常数.

n->oo

注：用定义证数列极限存在时，关键是：对任意给定的£〉0,寻找N,但不必要求最小

的N.

8

例4证明limq"=0,其中lql<l.

n—>oo

证任给£>0,若q=0,则limq"=lim0=0;若0<lql<l,欲使lx“一Ol=lq"l<£,

«—>oon—>00

InpInp

必须〃lnlql<ln£，即〃>-----，故对任给£>0,若取N=------，则当〃〉N时，就有

Inlql|_lnIql_

I/-0l<a从而证得limq〃=0.

例5设xH>0,S.limxfl=a>0,求证limJx^=4a.

〃一>8〃—>8丫

证任给£>0,由

gm牛，区手

也+■\la

要使I-G1<£,即要IGl<4as,

,：limxn-a,.,.对£(；=&£>0,mN>0,当“>N时，\1<&£,

“Too

从而当〃〉N时，恒有I"7-4a\<£,故lim=-fa.

例6用数列极限定义证明lim-_-=-一

“T8l-3n3

5±a«_r1717

证由于=("21),只要-----<£，解得

l-3n(3)3(1-3〃)9n-39/1-3

171171

〃>±~+上.因此，对任给的£>0,取'=—+-，则〃>N时,

/39s3

<£成立,

1一3〃13)\

5+2n2

即lim

"->81-3n3

n-2

例7(E03)用数列极限定义证明lim-.......=1.

"78n+”+1

22

、T+工«-2,3+rtn+n2.o.n-2.

证由于---------1=--------<——=一(〃>3),要使—---------1<£,

n+n+1n+n+\n'nn+n+l

只要2<£，即”>2,因此，对任给的£>0,取N=2,当“〉N时，有

ns£」

〃2一2

-1<£,B|Jlim--------=1.

〃2+〃+1…00n+〃+1

9

IAI

例8(E04)证明：若limx“=A,则存在正整数N,当〃,N时，不等式|乙|〉——成

2

立.

证因limx“=A,由数列极限的£-N定义知，对任给的£>0,存在N>0,当

n->oo

n>N时，恒有Ix“一Al<£,由于II乙I一IA1区x“一AI,故〃〉N时，恒有

IAI

llx“I—IAIKe,从而有IAI—£<1演1<1AI+£，由此可见，只要取£=」,则当〃>N时,

2

IAI

恒有1招1>"」.证毕.

2

例9(E05)证明数列x“=(-1严是发散的

证设limx„=a,由定义，对于£=,，>0,使得当〃〉N时，恒有Ix“一al<L

22

即当〃〉N时，X.-+区间长度为1.而与无休止地反复取1,一1两个数，

不可能同时位于长度为1地区间.因此改数列是发散的.证毕.

注：此例同时也表明：有界数列不一定收敛.

课堂练习

1.设p>0,证明数列乙=1的极限是0.

n1

1.2.2函数极限

数列可看作自变量为正整数n的函数：X,=/(«),数列｛相｝的极限为a,即：当自变量

〃取正整数且无限增大(〃-oo)时，对应的函数值/(〃)无限接近数a.若将数列极限概念中

自变量〃和函数值/■(”)的特殊性撇开，可以由此引出函数极限的一般概念：在自变量x的

某个变化过程中，如果对应的函数值/(x)无限接近于某个确定的数4,则A就称为x在该

变化过程中函数/(x)的极限.显然，极限4是与自变量x的变化过程紧密相关，自变量的变

化过程不同，函数的极限就有不同的表现形式.本节分下列两种情况来讨论：

1、自变量趋于无穷大时函数的极限；

2、自变量趋于有限值时函数的极限.

内容要点

一、自变量趋于无穷大时函数的极限

二、自变量趋于有限值时函数的极限

三、左右极限的概念

四、函数极限的性质：唯一性有界性保号性

五、子序列的收敛性

10

例题选讲

自变量趋于无穷大时函数的极限

例1(EO1)证明lim—=0.

X->8X

masinx八sinx

证因为-----()=--<-占-,于是>0,可取X=-,则当忖>X时,

XXk£

恒有-----0<£,故lim-------=0.证毕.

XKT8X

例2(E02)用极限定义证明如冏=0.

证对于任意给定的£>0,要使

只要2y,即，>6(不妨设2就可以了.因此，对于任意给定的£>。,

£In2

取X=1,则当x>X时，-0<£恒成立.

In2V2J

所以妈出

注：同理可证：当0<q<l时，limg、=0.而当q>l时，limq1=Q.

XT+00XT-X

1—Y

例3证明lim——=—1.

XT8X+1

证由3-(-1)=二一(限制凶>1),现在，W£>0,令

X+1x+1\x\-1

7-T--<£=Ixl>—+l,|x|>1

|x|-lS

于是,若取X=2+1,则当国>X时，就有--(-1)<£即lim±N=-l.证毕.

£X+1KT8X+1

自变量趋于有限值时函数的极限

例4(E03)设y=2x—1,问5等于多少0寸，有：当k一4|<5时,卜―7卜0.1?

11

解欲使|y-7|<0.1,即

|y-7|=|(2x-l)-7|=|2x-8|=2|x-4|<0.1

,一4|<岑=0.05,

从而

即当3=0.05时，有：当,一4|<5时，卜一7|<0.1（如图）.

例5(E04)(l)证明limC=C(C为常数).

XT湎

证任给£〉0,任取5>0,当0<,一与|<5时，|/(x)-A|=\C-C\=0恒成立,

limC=C.

例5⑵证明limx=x().

XT*。

证:|/(工)一山=,一面|,任给£〉0,取S=&当0<|无一引<3=£时，

\f(x)-A\=\x-x0\<£成立，

/.limx=xQ.

XT/

2_[

例6(E05)证明lim^r―-=2.

XT】X-1

证函数在点x-1处没有定义，

r2_i

=-^7P-2=|x-l|,

2__i

任给£>o,要使|/(X)-A|<£,只要取s=£,则当0<k一1|<6时,就有^r~--2<3,

x—\

12

..x~

：.lim-----=2.

X-l

例7(E06)证明：当与>0时，limJ7=A.

证|/(x)-A\=|VX-=

任给£>0,要使|f(x)-H<£,只要|x-Xo|<扃£且》40，

取5=01皿｛々,^^7£｝则当0<卜-而|<方时，就有-<£,

/.lim>[x=Jx^.

XT/、

子序列的收敛性

例8验证lim且不存在.

x->0X

证lim-=lim—=lim(-1)=-1;lim—=lim—=lim1=1.

xT-0XXT-0XXT-0x->+0xx->+0Xx->+0

左右极限存在但不相等lim/(x)不存在.

XTO

左右极限的概念

例9(E07)设〃x)=f'求lim/U).

[X4-1,X<0ATo

解因为limf(x)=lim(一元+1)=1,lim/(x)=limx=0.

x->0-x->0-x->o+x->0+

即有limf(x)*limf(x),所以limf(%)不存在.

X->0-X70+XfO

~1-X,X<0

例10设/(x)=《2,八，求lim/(x).

X-+l,x>0a。

解x=0是函数的分段点，如下图.

xx

\-a'

例U(E08)设/(%)=----丁(。>0),求limf(x).

\+aio

解了(x)在x=0处没有定义，而

八ax

lim/(x)=lim——：---=-1

、TO+O.r->0+0

ax+\

13

1-a

lim/(x)=lim.-4

x->0-0x->0-01

\+ax

故lim/(x)不存在.

.r->0

课堂练习

1.判别下列极限是否存在，如果存在求出其值..

(I)lim2l/A;⑵lime”*；(3)由2"1

A->0XT8”->0

2.若/(x)>0,且lim/(x)=A问：能否保证有A>0的结论？试举例说明.

1.2.3无穷小与无穷大

没有任何问题可以像无穷那样深深地触动人

的感情，很少有别的观念能像无穷那样激励理智

产生富有成果的思想，然而也没有任何其它的概

念能像无穷那样需要加于阐明.

——大卫.希尔伯特

对无穷小的认识问题，可以远溯到古希腊，那时，阿基米德就曾用无限小量方法得到许

多重要的数学结果，但他认为无限小量方法存在着不合理的地方.直到1821年，柯西在他

的《分析教程》中才对无限小(即这里所说的无穷小)这一概念给出了明确的回答,而有关

无穷小的理论就是在柯西的理论基础上一发展起来的.

内容要点

一、无穷小的概念

二、无穷小的运算性质

有限个无穷小的代数和仍是无穷小

有界函数与无穷小的乘积是无穷小.

三、无穷大的概念

四、无穷小与无穷大的关系

例题选讲

无穷小的概念与无穷小的运算性质

例1根据定义证明：y=，sin—当xf0时为无穷小.

X

证V£>0,要使

X2sin--0=1x2Isin—<x2<£,

XX

14

只须lxl<J工，取6=右，则当0<lx—01<3时，恒有-sin——0<£,

X

1

/.limx92sin—=0.证毕.

x->0X

e….sinx

例2(E01)求hm----.

X—X

vsinx..1.

解因为lim----=hm--sinx

X—>0CJQA：—>ooX

而当xf8时，,是无穷小量，sinx是有界量(IsinxK1),

x

所以

1.sinx八

lim----=0.

18x

例3(E02)证明lim----=oo.

IX-1

证VM>0,要使>M,只要取S='，当0<lx—llv5=L

x-1'11MMM

时，就有」一〉M,所以lim」一=8.

X-l—1X—1

例4证明lim(ax-1)=+oo(a>1).

XT+X

xx]ogAM+[)

证X/M>0,取X=log〃(M+l),当x>X时，有a>a=a=M+1

从而lim(a'—1)=+8,即当x―>+8时，(a'—1)是正无穷大.

XT+<»

例5(E03)当xf0时，y=Lsin，是一个无界变量，但不是无穷大.

XX

证取xf0的两个子列：

X；=7；~■~^7，xk(%=1,2,…).

2k兀+兀!22k兀

则x；f0(&foo),x：f0(28),且y(£)=2Z乃+],故VM>0,水>0,

使y(x：)〉M,即y是无界的；但y(x；)=2brsin2A%=06=0,1,…)，所以

y=Lsin，不是无穷大.

XX

15

例6(E04)求lim———

5jr+5

解因为lim^^-=limf-+-4^=0

XT"'+5xfxX)

根据无穷小与无穷大的关系有

..X

lim-...........=oo.

38厂+5

课堂练习

lim".

1.求

—(I)?

2.(1)设XfX。时，g(x)是有界量,/(X)是无穷大量，证明:/(X)土g(x)是无穷

大量.

(2)设xf/时，Ig(x)I之例(M是一个正的常数)，/(x)是无穷大量，证明:

/(x)g(x)是无穷大量.

1.2.4极限运算法则

内谷要点

一、极限的四则运算：定理1推论1推论2

二、复合函数的极限运算法则：定理2

例题选讲

极限的四则运算

例l(E01)求lim(y-3x+5).

XT2

解lim(x2-3x+5)=limx1-lim3x+lim5=(limx)2-3limx+lim5=22-3-2+5=3

12.t—>2x—>2%—>2KT2X—>2x—>2

注：设/⑴=劭/+%―+…+%,则有

]

limf(x)=tz0(limx)〃+%(lim1)"一+…+%=a0Xg+a[XQ~+…+即=/(%()).

.fo

16

2x2-9

例2(E02)求limY~—

-

x-35X-7X-2

lim(2x2-9)

2*2-92-32-9

XT39

lim_2—_-2~

T5X2-7尤-2-lim(5x-7x-2)5-3-7-3-222

XT3

注：设“上端，且。a”。,则有

hmP(x).

——=p£(W).

limf(x)=/(x

与

x->Iim0(x)g(x0)

XT%

当。（x°）=0时，则商的法则不能应用.

..p.-1«r4■人%—i1

例3(E03)求hm「；--------

alx~+2x-3

解•.Tim，+2x—3)=0,商的法则不能用又・.Tim(4x—1)=3/0,

A->1XT1

v2+2x-304r-l

.•・噌F7r一厂。.由无穷大与无穷小的关系‘得赠不^”.

/2_]

例4(E04)求lim-------

7X2+2X-3

解Xf1时，分子和分母的极限都是零（9型）.先约去不为零的无穷小因子X

-1后再求

极限.

物―r吧筌UH曾霍（消去零因子法）/

2r3+3x2+5

例5(E05)计算lim—V--

x—7x+4x~-1

解X-8时，分子和分母的极限都是无穷大（巴型）.先用/去除分子分母,分出无穷

00

小，再求极限.

35

r\IQ2g2+dyrs

lim-=lim一(无穷小因子分出法)

2

is+4x-12417

/H---------------7-

XX

注：当即工0,4wo,根和〃为非负整数时，有

17

®,当〃=〃？

a^xm+axmH-----FQ%

lim---------!——}：------------<o,当〃>帆.

XT8hxn+4£+■・・+/?“

Qoo,当〃<m

无穷小因子分出法：以分母中自变量的最高次塞除分子和分母，以分出无穷小，然后再

求极限的方法.

4।、［的「+6『+5x+1

例6(E06)计算hm--------------------------.

is3x-2

解X-00时、分子分母均趋于00,此类极限也不能直接用极限运算法则，可把分子

分母同除以绝对值最大的项，再用极限运算法则.

].+6尸+5x+lvxx2x32

hm--------------------------=hrm----------------------=—

—003x-2-83_23

x

例7(E07)求lim(二+3+…+=

“TOO"n"

解本题考虑无穷多个无穷小之和.先变形再求极限

1+2d-----Fn

=lim

n->00n"T8n-"T821n2

例8计算lim上正出心婆二垣.

T(1-X)

解因分母的极限为0,故不能应用极限运算法则，而要先对函数做必要的变形，因分

子中含有根式，通常用根式有理化，然后约去分子分母中的公因子.

Hm(1-V^)(l-Vx)(l-Vx)

吧(1-x)3

lim______________(1-x)(D(l-x)______________

(i-x)3(i+Vx)(i+Vx+V?)(i+Vx+V?+V?)

lim---------------------==-------------=----.

(1+«)(1+F+v?)(1+Vx++V^)24

18

例9(E08)计算lim(sinJx+1-sinVx).

.v->+oo

解xT4-00时，sin而！与sin6的极限均不存在，但不能认为它们差的极限也

不存在，要先用三角公式变形：

..,.I二-1~\<-c.\lX+1--yfx-JX+1+y[x

hm(sniA/x+l-sinvx)=lim2sm-----------cos------------

22

1.C.1Jx+1+\I~X

=hm2sin------------cos-----------=0n.

xtr2(Jx+l+Jx)2

最后这一步用了“有界量与无穷小的乘积为无穷小”的结论.

例10计算卜.列极限:

财产sin片!

s、tanx

⑴limr(2)lim------

〃一>8n+1XTO