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第9.3节反常二重积分与三重积分简介一、反常二重积分二、三重积分一、反常二重积分

二重积分的积分区域都是有界的，然而实际应用中有时会遇到积分区域无界（如全平面、半平面或有界区域的外部等）的二重积分，如概率论中计算二维正态分布的分布函数就是无界区域上二元函数的积分，我们称这样的二重积分为反常二重积分.解如图所示，设为圆心在原点，半径为的圆域，例1

设为全平面，讨论反常二重积分因此又因为当时，积分区域，所以事实上，例1的方法具有一般性，可以用于讨论无界区域上一般二元函数反常积分的收敛性，由此给出反常二重积分的定义.无限扩展到无界区域以任何形状、任何方式连续变在定义

若为平面上的无界区域函数，如图所示，如果用任意光滑的曲线中划出有界区域后，得到的二重积分都存在，且当曲线时，极限都存在且总取相同的值，则称此极限在无界区域上的反常二重积分，上的二元动使得区域为函数记作即这时称此反常二重积分收敛，发散.否则称反常二重积分例2

证明泊松积分，并进一步计算解

由于的原函数不能用初等函数表示，因此通过直接积分求极限的方法计算泊松积分.由例1得因此泊松积分令，则，于是注

是概率统计中非常重要的一种密度函数——标准正态分布随机变量的密度函数(如图所示)，由本例知它在实数轴的反常积分为1.xy例3

若二元函数计算反常二重积分因此根据二重积分的性质，只需计算积分区域在第一象限部分（如图所示）的二重积分即可.解由于被积函数仅在第一象限不为0，D1byay=xOD，于是时，这样当又因是无界区域，

故取有界闭区域，上的三元函数，并以将区域定义

设是空间有界闭区域任意分割成个小区域和分别表示第个小区域的体积和直径，.在每个小区域上任取一点，作和，当区域无限细分，即时，如果极限存在，在区域上可积，并称此极限为函数.且记则称函数二、三重积分1.三重积分的定义其中称为被积函数，称为积分表达式，称为体积元素，称为积分区域.W在区域上的三重积分，记作2.在空间直角坐标系下三重积分的计算边界的小区域不规则外其余有代表性的小区域均为长方体，其棱长可分别为在空间直角坐标系中，如果用平行于三个坐标平面的平面簇分割积分区域，得到的小区域除含，于是的体积元素可化，因此三重积分可表示为为求二重积分的值是将其转化为二次积分来计算,求三重积分的积分值也可将其转化为三次积分来计算.轴且穿过区域的直线与曲线相交不超过两个交点的积分区域间直角坐标系下如何将三重积分化为三次积分，具体方法下面以平行于为例，介绍在空的边界如下：同样作过此点平行于如图所示，将空间有界闭区域投影到坐标平面上，得到一个平面有界闭区域，在上任取一点轴的直线，边界曲线交点的和此直线与竖坐标自下而上依次为这样积分区域可表示为然后，计算在平面区域上的二重积分，即上积分得到在对积分时，先将暂时看成常数，而只看作是的函数，将它在区间的二元函数，记为关于再利用二重积分的计算公式便可求出若平面区域为型区域，如用不等式表示，则这样就将三重积分化成了三次积分，通过三次计算定积分求出

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