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第八讲全微分一、全微分的定义二、全微分存在的必要条件三、全微分在近似计算中的应用1一元函数y=f(x)在点x0处的微分：其中2一、全微分的定义

设二元函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内有定义.当自变量x，y在点(x0,y0)的该邻域内分别取得增量和时，函数的全增量为3引例、设矩形金属薄板长为x，宽为y，则面积S=xy.薄板受热膨胀，长自x0增加，宽自y0增加，其面积相应增加全增量由三项组成.

比其余两项小得多.4所以全增量只是的函数.将增量分离出和的线性部分,再加上一项比高阶的无穷小.又因为x0，y0为常数，5定义8、6

设二元函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内有定义，如果z=f(x,y)在点(x0,y0)的全增量可表示为其中A，B与无关，是比高阶的无穷小，则称为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处的全微分，记作dz，即也称函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微.6

与一元函数类似，全微分dz是的线性函数，是比高阶的无穷小.当充分小时，可用全微分dz作为函数的全增量的近似值.7二、全微分存在的必要条件定理8.2

(全微分存在的必要条件)

如果函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微，则f(x,y)在该点的两个偏导数存在，并且A=fx(x0,y0),B=fy(x0,y0).与一元函数微分类似，规定自变量x，y的增量等于自变量的微分dx，dy，即.于是全微分又可写成这个可定理得到全微分的计算公式：8如果函数f(x,y)在开区域D内每一点处都可微，则称f(x,y)在域D内是可微的.这样，域D内任一点处的全微分为或写成9

如果函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一领域内偏导数存在，且在这一点处连续，则函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微。定理8.3(全微分存在的充分条件)

（了解）

注：函数可微则函数的偏导数一定存在；但函数的偏导数存在，函数不一定可微。10上面两个个定理可以完全推广到三元和三元以上的多元函数.如三元函数u=f(x,y,z)的全微分存在，则有11例1

求z=xy在点(2,3)处，关于的全增量与全微分.解12例2

求的全微分.解所以在点(x,y)处的全微分为：13例3

求在点(2,1)处的全微分.解：所以在点(2,1)处的全微分为14例4

求

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