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二次曲面的定义：若三元方程F(x,y,z)=0是一个三元二次方程，则所对应的空间曲面称为二次曲面。相应地三元一次方程A

x+By+Cz+D=0所表示的平面被称为一次曲面．第八节二次曲面了解空间曲面形状的两种常用方法：（1）截痕法用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌．1（2）伸缩变形法：平面图形的伸缩变形法图形C´由图形C沿y轴方向伸缩

倍而得到。问题1：如何确定C´的方程？结论1：将平面曲线C：F(x,y)=0沿y轴方向伸缩

倍而得到平面曲线C´，则C´的平面方程为：2结论1：将平面曲线C：F(x,y)=0沿y轴方向伸缩

倍而得到平面曲线C´，则C´的平面方程为：结论2：将平面曲线C：F(x,y)=0沿x轴方向伸缩

倍而得到平面曲线C´，则C´的平面方程为：结论3：将空间曲面C：F(x,y,z)=0沿y轴方向伸缩

倍而得到空间曲面C´，则C´的方程为：下面用上述两种方法研究一些特殊二次曲面的形状3（一）椭球面（1）将xoy面上的椭圆绕x轴旋转，所得旋转曲面称为旋转椭球面，其方程为（2）再将其沿z轴方向伸缩倍：即得当a=b=c时，椭球面即为球面：4椭球面也可由下面方法伸缩变形而来（1）将球面沿z轴方向伸缩倍：得旋转椭球面：（2）再将旋转椭球面沿y轴方向伸缩倍：即得椭球面：所以，球面是旋转椭球面的特殊情形，而后者又是椭球面的特殊情形。5（二）抛物面（1）椭圆抛物面由xoy面上的抛物线：绕z轴旋转，得一旋转抛物面：再将其沿y轴方向伸缩倍：即得椭圆抛物面：6（2）双曲抛物面（马鞍面）其图形不可由旋转曲面伸缩变形而来可用截痕法讨论其图形的形状。7（三）双曲面（1）单叶双曲面（2）双叶双曲面可由旋转单叶双曲面伸缩变形得到可由旋转双叶双曲面伸缩变形得到8（四）椭圆锥面圆锥面方程：将其在y轴方向上伸缩倍后的图形，其方程为即椭圆锥面的图形是由圆锥面C：在y轴方向上伸缩倍后而得到的又称二次锥面9（五）柱面椭圆柱面双曲柱面抛物柱面母线平行于z轴母线平行于z轴母线平行于z轴10小结:常见的二次曲面的方程及其图形（1）球面（2）椭球面（3）双曲面单叶双曲面双叶双曲面11（4）抛物面椭圆抛物面双曲抛物面

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