2015年中考数学压轴题及答案(三)

2015年中考数学压轴题汇编（三）

61.（12分）（2015•德州）已知抛物线y=-mx2+4x+2m与x轴交于点A（a,0）,B（p,0）,

且看+-2，

（1）求抛物线的解析式.

（2）抛物线的对称轴为I,与y轴的交点为C,顶点为D,点C关于I的对称点为E,是否

存在x轴上的点M,y轴上的点N,使四边形DNME的周长最小？若存在，请画出图形（保

留作图痕迹），并求出周长的最小值；若不存在，请说明理由.

（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边

考点：二次函数综合题.

分析：（1）利用根据与系数的关系得出a+p/,a即-2,进而代入求出m的值即可得出答

IT

案；

（2）利用轴对称求最短路线的方法，作点D关于y轴的对称点D',点E关于x轴

的对称点E',得出四边形DNME的周长最小为：D'E'+DE,进而利用勾股定理求

出即可；

（3）利用平行四边形的判定与性质结合P点纵坐标为±4,进而分别求出即可.

解答：解：（1）由题意可得：a,B是方程-mx2+4x+2m=0的两根，由根与系数的关系可得,

A

a+p—,ap=-2,

IT

*奇-2，

4

解得:m=l,

故抛物线解析式为：y=-X2+4X+2；

（2）存在x轴上的点M,y轴上的点N,使得四边形DNME的周长最小,

Vy=-X2+4X+2=-（x-2）2+6,

二抛物线的对称轴I为x=2,顶点D的坐标为：（2,6）,

又：抛物线与y轴交点C的坐标为：（0,2）,点E与点C关于I对称，

；.E点坐标为：（4,2）,

作点D关于y轴的对称点D，，点E关于x轴的对称点1,

则D'的坐标为；（-2,6）,E'坐标为：（4,-2）,

连接D'E',交x轴于M,交y轴于N,

止匕时，四边形DNME的周长最小为：D'E'+DE,如图1所示：

延长E'E,'D交于--点F,在RtZ\D'E'F中，D'F=6,E'F=8,

则D'E'F2+EZF2=V62+82=1°'

设对称轴I与CE交于点G,在RtADGE中，DG=4,EG=2,

DE^/DG2+EG2=V42+22=2^'

四边形DNME的周长最小值为：10+2收；

（3）如图2,P为抛物线上的点，过点P作PHJ_x轴，垂足为H,

若以点D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，则△PHQ丝ADGE,

；.PH=DG=4,

**•lyl-4>

当y=4时，-x?+4x+2=4,

解得：Xi=2+V2,X2=2-a,

当y=-4时，-X2+4X+2=-4,

解得：X3=2+710.X4=2-V10-__

故P点的坐标为；（2-&,4）,（2+V2-4）,（2-收，-4）,（2+V10，-4）.

图1

点评：此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理、利用轴对称求最短路线等知识，利

用数形结合以及分类讨论得出P点坐标是解题关键.

62.(12分)(2015•包头)已知抛物线y=x2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0)两点，与y

轴相交于点C,该抛物线的顶点为点D.

(1)求该抛物线的解析式及点D的坐标；

(2)连接AC,CD,BD,BC,设△AOC,ABOC,ABCD的面积分别为Si，S2和S3,用等式

表示之间的数量关系，并说明理由；

Si，S2>S3

(3)点M是线段AB上一•动点(不包括点A和点B),过点M作MN〃BC交AC于点N,连

接MC,是否存在点M使NAMN=NACM?若存花求出点M的坐标和此时刻直线MN的解

析式；若不存在，请说明理由.

考点：二次函数综合题.

分析：(1)利用待定系数法求出抛物线的解析式，用配方法把一般式化为顶点式求出点D

的坐标；

(2)根据点的坐标求出△AOC,△BOC的面积，利用勾股定理的逆定理判断4BCD为

直角三角形，求出其面积，计算即可得到答案；

(3)假设存在，设点M的坐标为(m,0),表示出MA的长，根据MN〃BC,得到

比例式求出AN,根据△AMNs^ACM,得到比例式求出m,得到点M的坐标，求出

BC的解析式，根据MN〃BC,设直线MN的解析式，求解即可.

解答：解：(1);抛物线y=x2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0)两点，

Jl-b+c=0

u9+3b+c=0

b=-2

解得4

c=-3

二抛物线的解析式为:y=x2-2x-3,

y=x2-2x-3=(x-1)2-4,

，点D的坐标为：(1,-4)；

(2)Si+S3=S2,

过点D作DE_Lx轴于点E,DFJ_y轴于F,

由题意得，CD=&,BD=2娓，BC=3&，

CD2+BC2=BD2,

/.△BCD是直角三角形，

SI」XOAXOC=2

22

19

S2=JLXOBXOC=^

22

S3,=—xCDxBC=3,

2

S1+S3二$2；

（3）存在点M使NAMN=NACM,

设点M的坐标为（m,0）,

；-l<m<3,

.*.MA=m+l,AC=A/10>

；MN〃BC,

•AM_AB|ipin+l_4

,频而'ANVio;

解得，AN=1^（m+1）,

4

VZAMN=ZACM,ZMAN=ZCAM,

/.△AMN^AACM,

.•&=M即（m+1）2=7T0*^S^（m+1）,

ACAM4

解得，mi—,rr）2=-1（舍去），

2

二点M的坐标为(20),

2

设BC的解析式为y=kx+b,把B(3,0),C(0,-3)代入得,

”解得k=l

b=-3'

则BC的解析式为y=x-3,又MN〃BC,

设直线MN的解析式为y=x+b,把点M的坐标为(垓，0)代入得,

b='f

直线MN的解析式为y=x-工

2

点评：本题考查的是二次函数的解析式的确定和相似三角形的判定和性质，灵活运用待定系

数法二次函数和一次函数求解析式是解题的关键，注意一元二次方程的解法和勾股定

理逆定理的运用.

63.（12分）（2015•恩施州）矩形AOCD绕顶点A（0,5）逆时针方向旋转,当旋转到如图

所示的位置时，边BE交边CD于M,且ME=2,CM=4.

（1）求AD的长；

（2）求阴影部分的面积和直线AM的解析式；

（3）求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；

（4）在抛物线上是否存在点P,使SAPAM=2^?若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明

2

理由.

考点：几何变换综合题.

专题：综合题.

分析：（1）作BP1AD于P,BQ1MC于Q,如图1,根据旋转的性质得AB=AO=5,BE=OC=AD,

ZABE=90°,利用等角的余角相等得/ABP=NMBQ,可证明Rt/XABPsRgMBQ得到

AP=BPAB,设BQ=PD=X,AP=y,则AD=x+y,所以BM=x+y-2,利用比例性质得到

MQBQBM

PB・MQ=xy,而PB-MQ=DQ-MQ=DM=1,利用完全平方公式和勾股定理得到52-y2

-2xy+（x+y-2）2-x2=l,解得x+y=7,贝BM=5,BE=BM+ME=7,所以AD=7；

（2）由AB=BM可判断RtZ\ABP丝RtZ\MBQ,则BQ=PD=7-AP,MQ=AP,利用勾股定

理得到（7-MQ）2+MQ2=52,解得MQ=4（舍去）或MQ=3,贝ljBQ=4,根据三角形面

积公式和梯形面积公式，利用S腌部分=S^ABQD-SABQM进行计算即可；然后利用待

定系数法求直线AM的解析式；

（3）先确定B（3,1）,然后利用待定系数法求抛物线的解析式；

（4）当点P在线段AM的下方的抛物线上时，作PK〃y轴交AM于K,如图2设P（x,

1X2-IX+5）,则K（X,-lx+5）,则KP=-1X2+-^X,根据三角形面积公式得到工・（-

3373212

12+4）.7=25,解得X1=3,X20,于是得到此时P点坐标为（3,1）、（25,义）；

32127749

再求出过点（3,1）与（至，&）的直线I的解析式为y=-L+口，则可得到直线I

74977

与y轴的交点A'的坐标为（0,凶），所以AA'=至，然后把直线AM向上平移名个

777

单位得到I',直线I'与抛物线的交点即为P点，由于A"（0,空），则直线I,的

7

12_7

-^x+b

解析式为再通过解方程组，

y=-°x+@2,得p点坐标.

77

y="-

7

解答：解：(1)作BP_LAD于P,BQJ.MC于Q,如图1,

•••矩形AOCD绕顶点A(0,5)逆时针方向旋转得到矩形ABEF,

.•.AB=AO=5,BE=OC=AD,ZABE=90°,

VZPBQ=90°,

/.ZABP=ZMBQ,

RtAABP^RtAMBQ,

.AP_BP_AB

-'MQBQBM'

设BQ=PD=x,AP=y,贝UAD=x+y,BM=x+y-2,

•y_PB_5

MQxx+y-2

PB・MQ=xy,

PB-MQ=DQ-MQ=DM=1,

:.(PB-MQ)2=1,即PB2-2PB*MQ+MQ2=1,

/.52-y2-2xy+(x+y-2)2-x2=l,解得x+y=7,

ABM=5,

.\BE=BM+ME=5+2=7,

AAD=7；

(2)VAB=BM,

:.RtAABP^RtAMBQ,

/.BQ=PD=7-AP,MQ=AP,

・.・BQ2+MQ2=BM2,

・・・(7-MQ)2+MQ2=52,解得MQ=4(舍去)或MQ=3,

，BQ=7-3=4,

・'・S阴影部分=5梯形ABQD-SABQM

=Ax(4+7)x4--1x4x3

22

=16；

设直线AM的解析式为y=kx+b,

r_1

把A(0,5),M(7,4)代入得[b=5,解得J忆一吊

17k+b=4]b=5

直线AM的解析式为y=-AX+5；

7

(3)设经过A、B、D三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,

：AP=MQ=3,BP=DQ=4,

AB(3,1),

而A(0,5),D(7,5),

9a+3b+c=l■

c=5，解得，

49a+7b+c=5

经过A、B、D三点的抛物线的解析式为y=1x2-1x+5；

33

（4）存在.

当点P在线段AM的下方的抛物线上时，作PK〃y轴交AM于K,如图2,

设p（x,—x2-—x+5）,贝ijK（x,-—x+5）,

337

KP=-lx+5-(Ax2-Ix+5)=-

—1X2+।46XY,

733321

,,,SaPAM=25,

2

(-Ax2+.l§x)•7哆

2321

此时点坐标为）、（里）,

整理得7x?-46X+75,解得Xi=3,x2=^,P（3,125,

7749

求出过点（3,1）与(25,里)的直线I的解析式为y=-Ax+lP,则直线|与y轴的

74977

交点A'的坐标为（0,迫），

7

AAA,=5-A23,

77

把直线AM向上平移至个单位得到I',则A"（0,空），则直线I'的解析式为y=

77

,lx+60

77

23+2V38623-27386

12_7ir

y=^x-zx+5x=7一x=7

解方程组《得，一，此时p点坐标

y=~—397-2V386397+2V386

749尸—49—

为（23+2夷就397-25瓦）或（空二包逐，397+2立酝）

749749

综上所述，点P的坐标为（3,1）、（义，里）、（23+2^386,空二返^）、

749749

(23-27386397+2V386)

749

点评：本题考查了几何变换综合题：熟练掌握旋转的性质、矩形的性质和三角形全等于相似

的判定与性质；会利用待定系数法求函数解析式：理解坐标与图形性质；会进行代数

式的变形.

64.(12分)(2015•鄂州)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=2x+2与x轴交于点A,

2

与y轴交于点C.抛物线y=ax?+bx+c的对称轴是x=-W且经过A、C两点，与x轴的另一交

2

点为点B.

(1)①直接写出点B的坐标；②求抛物线解析式.

(2)若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA,PC.求APAC的面积的最大值，

并求出此时点P的坐标.

(3)抛物线上是否存在点M,过点M作MN垂直X轴于点N,使得以点A、M、N为顶点

的三角形与AABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

考点：二次函数综合题.

分析：(1)①先求的直线y=Ax+2与x轴交点的坐标，然后利用抛物线的对称性可求得点B

的坐标；②设抛物线的解析式为y=y=a(x+4)(x-1),然后将点C的坐标代入即可求

得a的值；

(2)设点P、Q的横坐标为m,分别求得点P、Q的纵坐标,从而可得到线段PQ=-1m2

2

-2m,然后利用三角形的面积公式可求得SaPAc=』xPQx4,然后利用配方法可求得

2

△PAC的面积的最大值以及此时m的值，从而可求得点P的坐标；

(3)首先可证明△ABCSAACOS^CB。，然后分以下几种情况分类讨论即可：①当

M点与C点重合，即M(0,2)时，△MANsaBAC；②根据抛物线的对称性，当M

(-3,2)时，AMAN-AABC；④当点M在第四象限时，解题时，需要注意相似

三角形的对应关系.

解口：解：(1)①y=/x+2当x=。时，y=2,当y=0时，x=-4,

AC(0,2),A(-4,0),

由抛物线的对称性可知：点A与点B关于x=-'对称，

2

.,.点B的坐标为1,0).

②：抛物线y=ax2+bx+c过A(-4,0),B(1,0),

二可设抛物线解析式为y=a(x+4)(x-1),

又,抛物线过点C(0,2),

(2)设P(m,-Am2-—m+2).

22

过点P作PQlx轴交AC于点Q,

•*.Q(m,—m+2),

2

PQ=-Am2-—m+2-(—m+2)

222

12r

=--m-2m,

2

***SAPAC=—XPQX4,

2

=2PQ=-m2-4m=-(m+2)2+4,

...当m=-2时;APAC的面积有最大值是4,

此时P(-2,3).

(3)在RtZXAOC中，tan/CAO=l在RtZ\BOC中，tan/BCO」,

22

AZCAO=ZBCO,

；/BCO+NOBC=90°,

AZCAO+ZOBC=90°,

AZACB=90°,

△ABCsAACO^ACBO,

如下图：

③当点M在第四象限时，设M（n,-工？-至n+2）,则N（n,0）

22

MN—n2+—n-2,AN=n+4

22

当期，时、MN=AAN,即XA"-2」（n+4）

AN-22222

整理得:n2+2n-8=0

解得：ni=-4（舍），r）2=2

AM（2,-3）；

当即/时，MN=2AN,QP-ln2+-n-2=2（n+4）,

AN122

整理得:n2-n-20=0

解得：ni=-4（舍）,r>2=5,

AM（5,-18）.

综上所述：存在Mi（0,2）,M2（-3,2）,M3（2,-3）,M4（5,-18）,使得以

点A、M、N为顶点的三角形与AABC相似.

点评：本题主要考查的是二次函数与相似三角形的综合应用，难度较大，解答本题需要同学

们熟练掌握二次函数和相似三角形的相关性质.

65.(10分)(2015•娄底)如图，抛物线y=ax?+bx-至经过点A(1,0)和点B(5,0),与

3

y轴交于点C.

(1)求此抛物线的解析式；

(2)以点A为圆心，作与直线BC相切的OA,求。A的半径；

(3)在直线BC上方的抛物线上任取一点P,连接PB,PC,请问：APBC的面积是否存在

最大值？若存在，求出这个最大值的此时点P的坐标；若不存在，请说明理山.

考点：二次函数综合题.

分析：(1)把A、B两点分别代入抛物线解析可求得a和b,可求得抛物线解析式；

(2)过A作AD_LBC于点D,则AD为。A的半径，由条件可证明△ABDs/\CBO,利

用相似三角形的性质可求得AD的长，可求得半径；

(3)由待定系数法可求得直线BC解析式，过P作PQ〃y轴，交直线BC于点Q,交

x轴于点E,可设出P、Q的坐标，可表示出△PQC和△PQB的面积，可表示出4PBC

的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值，容易求得P点坐标.

解答：解：⑴：抛物线y=ax2+bx经过点A(1,0)和点B(5,0),

a+b--|=0

a=--1

把A、B两点坐标代入可得《，解得，J,

25a+5b-马=0

b=2

3

抛物线解析式为y=--ix2+2x-g

33

(2)过A作AD_LBC于点D,如图1,

•..(DA与BC相切，

AAD为。A的半径,

由(1)可知C(0,-2),且A(1,0),B(5,0),

3

A0B=5,AB=OB-0A=4,0C=-2,

3

在RtZsOBC中，由勾股定理可得BC={OC2+OB《）2+5点步,

•.•/ADB=NBOC=90。，/ABD=NCB。，

/.△ABD^ACBO,

...包叁，口吧1解得AD上运,

OCBC至W105

5I-

即。A的半径为名叵：

5

(3)VC(0,

3

；•可设直线BC解析式为y=kx-互

3

把B点坐标代入可求得k」，

3

直线BC的解析式为y=Ax-

过P作PQ〃y轴，交直线BC于点Q,交x轴于点E,如图2,

3333

/.PQ=（-AX2+2X--）-（―x--）=-Ax2+—x=-A（x--）2+—,

3333333212

•■•SAPBC=SAPCQ+SAPBQ—PQ#OE+APQ.BE=APQ（OE+BE）」PQ・OB0PQ=-王（x-也）

2222262

2f125

■..f

24

...当X苴时，SaPBC有最大值将，此时P点坐标为（93）,

22424

二当P点坐标为（2至）时，Z\PBC的面积有最大值.

24

点评：本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、切线的性质、相似三角形的判

定和性质、二次函数的性质等知识.在（1）中注意待定系数法的应用步骤，在（2）

中确定出。A的半径是解题的关键，在（3）中用P点坐标表示出APBC的面积是解题

的关键.本题考查知识点较多，计算量大，综合性较强.

66、(10分)(2015•陕西)在平面直角坐标系中，抛物线y=x?+5x+4的顶点为M,与x轴交

于A,B两点，与y轴交于C点.

(1)求点A,B,C的坐标；

2

(2)求抛物线y=x+5x+4关于坐标原点O对称的抛物线的函数表达式；

(3)设(2)中所求抛物线的顶点为W,与x轴交于A',B'两点，与y轴交于C'点，

在以A,B,C,M,A，,B',U,M'这八个点中的四个点为顶点的平行四边形中，求

其中一个不是菱形的平行四边形的面积.

考点：二次函数综合题.

分析：(1)令y=0,求出x的值；令x=0,求出y,即可解答；

(2)先求出A,B,C关于坐标原点0对称后的点为(4,0),(1,0),(0,-4),

再代入解析式，即可解答；

(3)取四点A,M,A',M',连接AM,MA',A'M',M'A,MM',由中

心对称性可知，MM'过点0,OA=OA',OM=OM',由此判定四边形AMA'M'为

平行四边形，又知AA'与MM'不垂直，从而平行四边形AMA'M'不是菱形，过

点M作MDJ_x轴于点D,求抛物线的顶点坐标M,根据

S,、工，，，=2S，，即可解答・

平行四边形AMAMAAMA

解答：解：(1)令y=0,得X2+5X+4=0,

♦♦Xj_=-4,X2=-1,

令x=0,得y=4,

AA(-4,0),B(-1,0),C(0,4).

(2)VA,B,C关于坐标原点O对称后的点为(4,0),(1,0),(0,-4),

所求抛物线的函数表达式为y=ax2+bx-4,

..、八、、,znfl6a+4b-4=0

将(4,0),(1,0)代入上式，得,

a+b-4=0

解得一1，

[b=5

/.y=-X2+5X-4.

(3)如图，取四点A,M,A',M',连接AM,MA',A'M',M'A,MM',

由中心对称性可知，MM'过点。，OA=OA',OM=OM',

二四边形AMA'M'为平行四边形，

又知AA'与MM'不垂直，

•••平行四边形AMA'M'不是菱形，

过点M作MD±x轴于点D,

八

51

・WX2+5X+4=（x+微）2、,

又：A（-4,0）,A'（4,0）

,q

/.AA,=8,MD*

4

1g

X平行四边形以M'

点评：本题考查了二次函数的性质与图象、中心对称、平行四边形的判定、菱形的判定，综

合性较强，解决本题的关键是根据中心对称，求出抛物线的解析式，在（3）中注意

菱形的判定与数形结合思想的应用.

67.（12分）（2015•西宁）如图，在平面直角坐标系xOy中，以M为顶点的抛物线与x轴

分别相交于B,C两点，抛物线上一点A的横坐标为2,连接AB,AC,正方形DEFG的一边

GF在线段BC上，点D,E在线段AB,AC上，AK，x轴于点K,交DE于点H,下表给出了

这条抛物线上部分点（x,y）的坐标值：

X...-204810

y...05950

（1）求出这条抛物线的解析式；

（2）求正方形DEFG的边长；

（3）请问在抛物线的对称轴上是否存在点P,在x轴上是否存在点Q,使得四边形ADQP

的周长最小？若存在，请求出P,Q两点的坐标;若不存在，请说明理由.

y八

JOL

考点：二次函数综合题.

分析：(1)利用已知表格中数据结合顶点式直接求出抛物线解析式即可：

(2)首先得出四边形HEFK为矩形，再利用△ADEs/^ABC,得出正方形DEFG的边长;

(3)首先求出AB所在直线解析式，进而得出D点坐标，再求出直线A'＞的解析

式得出Q'的坐标即可.

解答：解：(1)由图表可得：抛物线的顶点坐标为：(4,9),

设函数解析式为：y=a(x-4)2+9(axO),

把点(0,5)代入y=a(x-4)2+9,

解得：a=-X

4

.•.函数解析式为：(x-4)2+9；

4

(2)设正方形DEFG的边长为m,

：AK_Lx轴，

NAKC=90",

VZDEF=ZEFG=90°,

四边形HEFK为矩形，

.♦.HK=EF=m,

:点A在抛物线丫=-1(x-4)2+9上，横坐标为2,

4

：.y=-l(x-4)2+9=8,

4

.,.点A的坐标为：(2,8),

；.AK=8,.*.AH=AK-HK=8-m,

由题意可得：B(-2,0),C(10,0),

.♦.BC=12,

：DE〃BC,

/.△ADE^AABC,

.AH_DE

''AK^C'

-8-irin

12

5

正方形的边长为：

5

(3)存在，

理由：过顶点M作抛物线的对称轴直线I：x=4,

设点A关于直线I：x=4对称点为A',A'点的坐标为：(6,8),

•••设AB所在直线解析式为：y=kx+b,

J8=2k+b

10=-2k+b'

产

解得:

Ib=4

•••AB所在直线解析式为：y=2x+4,

：D在直线AB上，DG=^,

5

.♦.点D的纵坐标为：21

5

由2X+4*^,

5

解得:x3

5

，点D的坐标为：（2,圆），

55

设点D关于X轴对称点为D',则D'（2,-24）r

55

连接A，D'交对称轴于点P,交x轴于点Q,连接AP,DQ,

则四边形ADQP的周长最小，

设直线A'D'的解析式为：y=k'x+b',

'6k'+b'=8

…刍，+b，二-等

55

・・・直线A'

当x=4时,

当y=0时，

2

•••Q点坐标为：（20）.

点评：此题主要考查了二次函数综合以及待定系数法求一次函数解析式等知识，利用轴对称

得出四边形ADQP的周长最小时P的位置是解题关键.

68.(12分)(2015•自贡)如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(axO)的对称轴为直线x=-l,且

抛物线经过A(1,0),C(0,3)两点，与x轴交于点B.

(1)若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；

(2)在抛物线的对称轴x=-1上找点M,使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小,

求出点M的坐标；

(3)设点P为抛物线的对称轴x=-l上的一个动点，求使ABPC为直角三角形的点P的坐

标.

考点：二次函数综合题.

分析：(1)先把点A,C的坐标分别代入抛物线解析式得到a和b,c的关系式，再根据抛

物线的对称轴方程可得a和b的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a,b,c

的值即可得到抛物线解析式；把B、C两点的坐标代入直线y=mx+n,解方程组求出m

和n的值即可得到直线解析式；

(2)设直线BC与对称轴x=-1的交点为M,则此时MA+MC的值最小.把x=-1代

入直线y=x+3得y的值，即可求出点M坐标；

(3)设P(-1,t),又因为B(-3,0),C(0,3),所以可得BC2=18,PB2=(-1+3)

2+t2=4+t2,PC2=(-1)2+(t-3)2=t2-6t+10,再分三种情况分别讨论求出符合题意

t值即可求出点P的坐标.

解答：(_b

~2a

解：⑴依题意得：a+b+c=。,

,c=3

a=-1

解之得：，b=-2，

,c=3

抛物线解析式为y=-x2-2x+3

:对称轴为x=-1,且抛物线经过A(1,0),

.•.把B(-3,0)、C(0,3)分别代入直线y=mx+n,

得[一3"n=°,

[n=3

解之得」而1,

In=3

二直线y=mx+n的解析式为y=x+3；

（2）设直线BC与对称轴X=-1的交点为M,则此时MA+MC的值最小.

把x=-1代入直线y=x+3得，y=2,

AM（-1,2）,

即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（-1,2）；

(3)设P(-1,t),

又(-3,0),C(0,3),

/.BC2=18,PB2=(-1+3)2+t2=4+t2,PC2=(-1)2+(t-3)W-6t+10,

①若点B为直角顶点，则BC?+PB2=PC2即：18+4+t2=t2-6t+10解之得：t=-2；

②若点C为直角顶点，则BC2+PC2=PB2即：18+t2-6t+10=4+t2解之得：t=4,

③若点P为直角顶点，贝I」PB?+PC2=BC2即：4+t?+t2-6t+10=18解之得：於且且Z

2

t2-3一何

2_

综上所述P的坐标为（-1,-2）或（-1,4）或（-1,纪亚）或（3一旧）.

22

点评：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）

的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大，是一道不错的中考

压轴题.

69.（12分）（2015・资阳）已知直线y=kx+b（kwO）过点F（0,1）,与抛物线y'x*相交于

（1）如图1,当点C的横坐标为1时，求直线BC的解析式;

(2)在(1)的条件下，点M是直线BC上一动点，过点M作y轴的平行线，与抛物线交

于点D,是否存在这样的点M,使得以M、D、0、F为顶点的四边形为平行四边形？若存

在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)如图2,设B(m.n)(m<0),过点E(0.-1)的直线l〃x轴，BR_U于R,CS±I

于S,连接FR、FS.试判断ARFS的形状，并说明理由.

考点：二次函数综合题.

分析：(1)首先求出C的坐标，然后由C、F两点用待定系数法求解析式即可；

(2)因为DM〃OF,要使以M、D、。、F为顶点的四边形为平行四边形，贝ljDM=0F,

设M(x,--5x+l),则D(x,lx2),表示出DM,分类讨论列方程求解；

44

(3)根据勾股定理求出BR=BF,再由BR〃EF得到/RFE=NBFR,同理可得NEFS=/CFS,

所以NRFS=』NBFC=90°,所以aRFS是直角三角形.

2

解答：解：(1)因为点C在抛物线上，所以C(1,工)，

4

又•.•直线BC过C、F两点，

%=1

故得方程组：1

k+b『

解之，得｛4,

,b=l

所以直线BC的解析式为：y=-卫x+1；

4

(2)要使以M、D、0、F为顶点的四边形为平行四边形，则MD=0F,如图1所示,

设M(x,--x+1),则D(x,—X2),

44

；MD〃y轴，

.\MD=--x+1-Ax2,

44

由MD=0F,可得|-国+1-42|=1,

44

①当-卫x+1-工2=1时，

44

解得为=0(舍)或Xi=-3,

所以M(-3,小)，

4

②当—-x+1-Ax2,=-1时,

44

解得，x二3士疝,

2

所以ML-风17+3匹或乂（-3+a,--3可,

2828

综上所述，存在这样的点M,使以M、D、0、F为顶点的四边形为平行四边形，

M点坐标为（-3,我）或（士叵，17+3®或（-3+风1-3问

42828

（3）过点F作FTJ_BR于点T,如图2所示，

•.•点B（m,n）在抛物线上，

.2.

・・m=4n,

在RtZkBTF中,

BF=VBT2+TF2

=7（n-1）2+m2

=7(n+1)2,

Vn>0,

BF=n+l,

又：BR=n+l,

ABF=BR.

.,.ZBRF=ZBFR,

又；BR_U,EF±I,

：.BR〃EF,

/.ZBRF=ZRFE,

/.