2023年福建省厦门市湖里区中考数学模拟试卷

第1页（共1页）2023年福建省厦门市湖里区中考数学模拟试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）在实数，﹣，0，2中，最小的数是（）A． B．﹣ C．0 D．22．（4分）直六棱柱如图所示，它的左视图是（）A． B． C． D．3．（4分）下列运算正确的是（）A．x2+x2＝x4 B．x2+x2＝2x2 C．x2+x2＝2x4 D．（x+y）2＝x2+y24．（4分）如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，点D在边BC的延长线上，则∠ACD为（）A．15° B．30° C．45° D．75°5．（4分）如图，在半圆O中，AB为直径，下列四个选项中所对的圆周角是（）A．∠BEC B．∠DCE C．∠ABC D．∠CDE6．（4分）如图，直线a，b被直线c所截，若a∥b，∠1＝50°，则∠2的大小是（）A．50° B．100° C．130° D．150°7．（4分）学校拟从9名同学中选出5名同学去参加厦门市汉字书写比赛，若要保证甲同学一定入选，则甲同学的成绩一定要超过这9名同学成绩的下列哪一个统计量（）A．众数 B．中位数 C．平均数 D．方差8．（4分）6月8日是世界海洋日，班级为组织海洋知识竞赛购买了奖品．其中水笔共花费30元，铅笔共花费40元，水笔比铅笔少10根，水笔单价是铅笔的1.5倍．若设铅笔的单价为x元，则可列方程为（）A． B． C． D．9．（4分）要使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α≤75°．如图，现有一个长3m的梯子，用这个梯子最高可以安全攀上的墙高是（）A．3sin75° B．3sin50° C．3tan75° D．3tan50°10．（4分）如图，矩形OABC中，点B（4，2），点A，C分别在x轴，y轴上，边AB，BC交函数的图象于点D，E，将矩形OABC沿DE折叠，点B的对应点F恰好落在x轴上，则k的值为（）A．2 B． C．3 D．二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分.11．（4分）计算：（﹣2）2＝；＝．12．（4分）初二合唱团有24个女生，16个男生．从中任意抽取1个学生是男生的概率为．13．（4分）在半径为5cm的圆中，所对的圆周角为30°，则的长为cm．14．（4分）小红同学在校运会的第一天下午先参加了200米的比赛，一小时后再参加了400米的比赛，摄影老师在同一个位置拍摄了她参加这两场比赛的照片（如图），其中她参加400米比赛的照片是（填“甲”或“乙”）．15．（4分）公元3世纪，我国古代数学家刘徽就能利用近似公式（其中a，r是有理数）得到二次根式的近似值．例如求的近似值的具体算法是：因，应用近似公式求得＝；再因，应用近似公式求得；…依此算法，所得的近似值会越来越精确．类似的，当取得近似值时，近似公式中的a＝，r＝．16．（4分）如图，已知△ACD中，AC＝CD，过A作CD的垂线交△ACD外接圆⊙O于点B，与CD交于点E，F为弦AB的中点，连接CO并延长分别交AB，⊙O于点G，H，连接BD．则下列结论正确的是.（写出所有正确结论的序号）①CH⊥AD；②点G与点H关于AD对称；③BD2+AD2＝CH2；④BD＝2EF．三、解答题：本题共9小题，共86分17．（8分）解不等式5x﹣2＞3x﹣6，并把解集表示在数轴上．18．（8分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在AC上，且AE＝CF．求证：BE＝DF．19．（8分）下面是某同学做分式化简的过程，请认真阅读并完成相应的任务：＝……第一步＝……第二步＝……第三步任务一：填空：以上化简步骤中，第步开始出现错误，错误的原因是；任务二：请对该分式进行正确的化简，并求当时分式的值．20．（8分）甲乙两个同学收集同一类型的纪念卡共45张，甲同学拿出其纪念卡的40%给班级共享后，剩下卡片的数量比乙同学还多11张，求甲乙同学的纪念卡数量．21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＜∠A．（1）以顶点C为圆心作⊙C，使得⊙C与AB相切于点D（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，⊙C交BC于点E，∠B＝30°，F是AB中点，连接EF．求证：EF与⊙C相切．22．（10分）某设计师结合数学知识设计一款沙发，沙发三视图如图一所示，将沙发侧面展示图简化后，得到图二所示图形．为了解沙发相关性能，设计师将图形放入平面直角坐标系，其中曲线AB是反比例函数的一段图象，线段BD是一次函数：的一段图象，点B（20，32），沙发腿DE⊥x轴．请你根据图形解决以下问题：（1）请求出反比例函数表达式和一次函数表达式（不要求写x的取值范围）；（2）过点A向x轴作垂线，交x轴于点F．已知CF＝4cm，DE＝40cm，tanα＝4，设计师想用一个长方体箱子将沙发放进去，则这个长方体箱子长、宽、高至少分别是多少？23．（10分）《皇帝内径》中提出“五谷为养，五果为助，五兽为益，五菜为充”的饮食原则说明追求饮食营养在我国具有悠久的历史，随着经济的发展，我国居民健康状况和营养水平不断改善，据科学研究显示，与膳食营养相关的问题对我国青少年健康的影响日益凸显．为调查学校食堂提供的早餐是否有利于学生的健康，小明和同学进行以下的研究：（一）调查得：学校食堂为初二学生（年龄14～15岁）提供的早餐食品包含：一盒250g的牛奶、一份100g的谷物食品和一个鸡蛋，其中鸡蛋、牛奶和谷物食品的部分营养成分见如表：鸡蛋（每100g）牛奶（每100g）谷物食品（每100g）能量（KJ）6032611310蛋白质（g）2538.1脂肪（g）8.63.64.5碳水化合物（g）244.558.1（二）小明从食堂提供的鸡蛋中抽取了100个，根据其单个鸡蛋的质量画出频数分布直方图，如图所示．（三）查阅资料得：国家卫生疾控局关于我国14～17岁青少年膳食营养参考摄入量如表所示．能量需要量（千卡/天）蛋白质摄入量（克/天）可接受的脂肪含量（克/天）男25007555.6﹣83.3女20006044.4﹣66.7国家卫生疾控局根据中国居民的饮食习惯，建议全天膳食营养摄取比例为：早餐占25%﹣30%，午餐占30%﹣40%，晚餐占30%﹣40%．已知1千卡约等于4.18KJ．（1）请计算出学校食堂提供的鸡蛋的单个平均质量；（2）根据以上数据进行计算，判断这份早餐是否符合初二学生（年龄14～15岁）的膳食营养需求？若不满足，说明理由，并请你给食堂的早餐提出改善建议．24．（12分）在平面直角坐标系中，正方形AOBC的边长为4，点A在y轴的正半轴上，点B在x轴的正半轴上，点D为边BC上一点，将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到线段AE，点E恰好落在x轴的负半轴上．（1）如图1，AD＝2，求点E的坐标；（2）如图2，点F为线段OB的中点，若点D与点E关于AF对称，DE与AF相交于点G，连结CG．①求∠AGC的正切值；②探究CG与AE的数量关系，并证明．25．（14分）已知抛物线y＝x2﹣2ax+b，顶点为A．（1）若抛物线与x轴有一个公共点，求a与b的数量关系；（2）抛物线经过点B，点B的横坐标为a﹣1．①若点（1，0）与点M在抛物线上，且a+b＝﹣1，点M的横坐标为m（m＞1），求△ABM的面积S（用m表示）；②平移函数y＝x2﹣2ax+b图象，使点A的对应点A′在x轴上，点B的对应点B′在y轴上，若直线l与平移后的抛物线L交于其对称轴右侧的P，Q两点，与抛物线L的对称轴交于点C，与x轴交于点D（d，0）．对任意的d＞1，的值是否改变，如果不变，求值；如果改变，说明理由．参考答案与试题解析一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）在实数，﹣，0，2中，最小的数是（）A． B．﹣ C．0 D．2【解答】解：∵﹣＜0＜＜2，∴在实数，﹣，0，2中，最小的数是﹣，故选：B．2．（4分）直六棱柱如图所示，它的左视图是（）A． B． C． D．【解答】解：从左边看，是一行两个相邻的矩形．故选：A．3．（4分）下列运算正确的是（）A．x2+x2＝x4 B．x2+x2＝2x2 C．x2+x2＝2x4 D．（x+y）2＝x2+y2【解答】解：∵x2+x2＝2x2，∴A选项的运算不正确，不符合题意；∵x2+x2＝2x2，∴B选项的运算正确，符合题意；∵x2+x2＝2x2，∴C选项的运算不正确，不符合题意；∵（x+y）2＝x2+2xy+y2，∴D选项的运算不正确，不符合题意．故选：B．4．（4分）如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，点D在边BC的延长线上，则∠ACD为（）A．15° B．30° C．45° D．75°【解答】解：∵∠A＝45°，∠B＝30°，∴∠ACD＝45°+30°＝75°，故选：D．5．（4分）如图，在半圆O中，AB为直径，下列四个选项中所对的圆周角是（）A．∠BEC B．∠DCE C．∠ABC D．∠CDE【解答】解：所对的圆周角是∠CDE与∠CAB．故选：D．6．（4分）如图，直线a，b被直线c所截，若a∥b，∠1＝50°，则∠2的大小是（）A．50° B．100° C．130° D．150°【解答】解：如图：∵a∥b，∴∠1＝∠3＝50°，∴∠2＝180°﹣∠3＝130°，故选：C．7．（4分）学校拟从9名同学中选出5名同学去参加厦门市汉字书写比赛，若要保证甲同学一定入选，则甲同学的成绩一定要超过这9名同学成绩的下列哪一个统计量（）A．众数 B．中位数 C．平均数 D．方差【解答】解：甲同学的成绩一定要超过这9名同学成绩的中位数，故选：B．8．（4分）6月8日是世界海洋日，班级为组织海洋知识竞赛购买了奖品．其中水笔共花费30元，铅笔共花费40元，水笔比铅笔少10根，水笔单价是铅笔的1.5倍．若设铅笔的单价为x元，则可列方程为（）A． B． C． D．【解答】解：若设铅笔的单价为x元，则水笔单价是1.5x元，根据题意可得：＝10．故选：A．9．（4分）要使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α≤75°．如图，现有一个长3m的梯子，用这个梯子最高可以安全攀上的墙高是（）A．3sin75° B．3sin50° C．3tan75° D．3tan50°【解答】解：在Rt△ABC中，sinB＝，则AC＝AB•sinB，∵sinB随∠B的增大而增大，50°≤α≤75°，∴当α＝75°时，AC最大，最大值为3sin75°m，故选：A．10．（4分）如图，矩形OABC中，点B（4，2），点A，C分别在x轴，y轴上，边AB，BC交函数的图象于点D，E，将矩形OABC沿DE折叠，点B的对应点F恰好落在x轴上，则k的值为（）A．2 B． C．3 D．【解答】解：过点D作DG⊥OC，垂足为G，如图所示．由题意知D（，2），E（4，），DG＝2．又∵△DEF与△DEB关于直线DE对称，点F恰好落在x轴上，∴DF＝DB，∠B＝∠DFE＝90°，∵∠DGF＝∠FCE＝90°，∠DFG+∠EFC＝90°，又∵∠EFC+∠FEC＝90°，∴∠GDF＝∠EFC，∴△DGF∽△FCE，∴，即，解得：CF＝1，∵EF2＝EC2+CF2，即（2﹣）2＝（）2+12，解得：k＝3．故选：C．二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分.11．（4分）计算：（﹣2）2＝4；＝．【解答】解：（﹣2）2＝4；；故答案为：4，．12．（4分）初二合唱团有24个女生，16个男生．从中任意抽取1个学生是男生的概率为．【解答】解：由题意可得，初二合唱团有24个女生，16个男生．从中任意抽取1个学生是男生的概率为＝＝，故答案为：．13．（4分）在半径为5cm的圆中，所对的圆周角为30°，则的长为cm．【解答】解：的长为＝（cm）．故答案为：．14．（4分）小红同学在校运会的第一天下午先参加了200米的比赛，一小时后再参加了400米的比赛，摄影老师在同一个位置拍摄了她参加这两场比赛的照片（如图），其中她参加400米比赛的照片是甲（填“甲”或“乙”）．【解答】解：∵太阳光线是平行光线，∴下午的影子随时间的变化，由短变长，∴她参加400米比赛的照片是甲．故答案为：甲．15．（4分）公元3世纪，我国古代数学家刘徽就能利用近似公式（其中a，r是有理数）得到二次根式的近似值．例如求的近似值的具体算法是：因，应用近似公式求得＝；再因，应用近似公式求得；…依此算法，所得的近似值会越来越精确．类似的，当取得近似值时，近似公式中的a＝或，r＝或．【解答】解：∵取得近似值，∴根据近似公式，可得，解得：或，∴a＝或，r＝或，故答案为：或，或．16．（4分）如图，已知△ACD中，AC＝CD，过A作CD的垂线交△ACD外接圆⊙O于点B，与CD交于点E，F为弦AB的中点，连接CO并延长分别交AB，⊙O于点G，H，连接BD．则下列结论正确的是①②④．.（写出所有正确结论的序号）①CH⊥AD；②点G与点H关于AD对称；③BD2+AD2＝CH2；④BD＝2EF．【解答】解：连接DH，设GH与AD交于点P，过O作OQ⊥CD于Q，连接OF，OA，OD，如图：∵AC＝CD，∴C在AD的垂直平分线上，∵OA＝OD，∴O在AD的垂直平分线上，∴OC是AD的垂直平分线，∴CH⊥AD，故①正确；∵AE⊥CD，∴∠BAD+∠ADC＝90°，∵CH为直径，∴∠CDH＝90°，∴∠HDP+∠ADC＝90°，∴∠DAB＝∠ADH，∴DH∥AG，∵CH⊥AD，AC＝CD，∴AP＝DP，∴△APG≌△DPH（ASA），∴GP＝PH，又∵GH⊥AD，∴G和H关于AD对称，故②正确；∵AC＝CD，∴∠ADC＝∠CHD，∵AE⊥CD，DH⊥CD，∴∠DAB＝∠DCH，∴BD＝DH，在Rt△CDH中，HD2+CD2＝CH2，∴BD2+CD2＝CH2，∵CD不一定与AD相等，故③错误；∵F是AB中点，∴OF⊥AB，∵OQ⊥CE，AE⊥CE，∴四边形OFEQ为矩形，∴OQ＝EF，∵DH⊥CD，∴OQ∥DH，∵O是CH的中点，∴OQ＝DH，∴EF＝BD，即BD＝2EF，故④正确；故答案为：①②④．三、解答题：本题共9小题，共86分17．（8分）解不等式5x﹣2＞3x﹣6，并把解集表示在数轴上．【解答】解：移项，得5x﹣3x＞﹣6+2，合并同类项，得2x＞﹣4，系数化为1，得x＞﹣2．将解集表示在数轴上如下：．18．（8分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在AC上，且AE＝CF．求证：BE＝DF．【解答】证明：如图，连接BD与对角线AC交于点O．∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD．∵AE＝CF，OA﹣AE＝OC﹣CF，∴OE＝OF．∴四边形BEDF是平行四边形，∴BE＝DF．19．（8分）下面是某同学做分式化简的过程，请认真阅读并完成相应的任务：＝……第一步＝……第二步＝……第三步任务一：填空：以上化简步骤中，第一步开始出现错误，错误的原因是通分错误；任务二：请对该分式进行正确的化简，并求当时分式的值．【解答】解：任务一：第一步开始出现错误，错误的原因是通分错误，故答案为：一；通分错误；任务二：原式＝（﹣）÷＝•＝，当x＝时，原式＝＝2+．20．（8分）甲乙两个同学收集同一类型的纪念卡共45张，甲同学拿出其纪念卡的40%给班级共享后，剩下卡片的数量比乙同学还多11张，求甲乙同学的纪念卡数量．【解答】解：设甲同学收集了x张纪念卡，乙同学收集了y张纪念卡，根据题意得：，解得：．答：甲同学收集了35张纪念卡，乙同学收集了10张纪念卡．21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＜∠A．（1）以顶点C为圆心作⊙C，使得⊙C与AB相切于点D（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，⊙C交BC于点E，∠B＝30°，F是AB中点，连接EF．求证：EF与⊙C相切．【解答】（1）解：如图，过点C作AB的垂线，交AB于点D，以点C为圆心，CD的长为半径画圆，则⊙C即为所求．（2）证明：连接CD，∵⊙C与AB相切于点D，∴CD⊥AB，∴∠BDC＝90°，∵∠B＝30°，∴BC＝2CD．∵CD＝CE，∴BC＝2CE，∴CE＝BE，即点E为BC的中点，∵F是AB中点，∴EF为△ABC的中位线，∴EF∥AC，∵∠C＝90°，∴∠FEC＝90°，∵CE为⊙C的半径，∴EF与⊙C相切．22．（10分）某设计师结合数学知识设计一款沙发，沙发三视图如图一所示，将沙发侧面展示图简化后，得到图二所示图形．为了解沙发相关性能，设计师将图形放入平面直角坐标系，其中曲线AB是反比例函数的一段图象，线段BD是一次函数：的一段图象，点B（20，32），沙发腿DE⊥x轴．请你根据图形解决以下问题：（1）请求出反比例函数表达式和一次函数表达式（不要求写x的取值范围）；（2）过点A向x轴作垂线，交x轴于点F．已知CF＝4cm，DE＝40cm，tanα＝4，设计师想用一个长方体箱子将沙发放进去，则这个长方体箱子长、宽、高至少分别是多少？【解答】解：（1）将B点坐标代入反比例函数表达式：k＝32×20＝640，∴反比例函数表达式为，代入一次函数表达式得：，解得b＝28，∴一次函数表达式为，（2）如图，作BM⊥x轴于M，∵tanα＝4，BM＝32cm，∴cm，∵CF＝4cm，∴MF＝MC+CF＝12cm，∵xB＝20，∴F（8，0），当x＝8时，y＝80，∴A（8，80），∴AF＝80cm，∵DE＝40cm，∴把y＝40代入一次函数表达式得x＝60，∴D（60，40），即长为60cm，∴EF＝OD﹣OF＝52cm，根据三视图可得：长方体箱子的长、宽、高至少应该是60cm、52cm、80cm．23．（10分）《皇帝内径》中提出“五谷为养，五果为助，五兽为益，五菜为充”的饮食原则说明追求饮食营养在我国具有悠久的历史，随着经济的发展，我国居民健康状况和营养水平不断改善，据科学研究显示，与膳食营养相关的问题对我国青少年健康的影响日益凸显．为调查学校食堂提供的早餐是否有利于学生的健康，小明和同学进行以下的研究：（一）调查得：学校食堂为初二学生（年龄14～15岁）提供的早餐食品包含：一盒250g的牛奶、一份100g的谷物食品和一个鸡蛋，其中鸡蛋、牛奶和谷物食品的部分营养成分见如表：鸡蛋（每100g）牛奶（每100g）谷物食品（每100g）能量（KJ）6032611310蛋白质（g）2538.1脂肪（g）8.63.64.5碳水化合物（g）244.558.1（二）小明从食堂提供的鸡蛋中抽取了100个，根据其单个鸡蛋的质量画出频数分布直方图，如图所示．（三）查阅资料得：国家卫生疾控局关于我国14～17岁青少年膳食营养参考摄入量如表所示．能量需要量（千卡/天）蛋白质摄入量（克/天）可接受的脂肪含量（克/天）男25007555.6﹣83.3女20006044.4﹣66.7国家卫生疾控局根据中国居民的饮食习惯，建议全天膳食营养摄取比例为：早餐占25%﹣30%，午餐占30%﹣40%，晚餐占30%﹣40%．已知1千卡约等于4.18KJ．（1）请计算出学校食堂提供的鸡蛋的单个平均质量；（2）根据以上数据进行计算，判断这份早餐是否符合初二学生（年龄14～15岁）的膳食营养需求？若不满足，说明理由，并请你给食堂的早餐提出改善建议．【解答】解：（1）根据单个鸡蛋的质量的频数分布直方图，可知：鸡蛋的单个平均质量＝[×（30+40）×10]÷100＝（350+1710+2420+520）÷100＝50（克），答：学校食堂提供的鸡蛋的单个平均质量为50克．（2）根据表1可知，早餐中：能量：603×+261×+1310×＝2264（kJ）；蛋白质：25×+3×+8.1×＝28.1（g）；脂肪：8.6×+4.5×＝17.8（g）；其中，能量：≈541.63（千卡），将表（三）中的表格数据乘25%，30%，可得早餐区间：男：能量为625﹣750；蛋白质为18.75﹣22.5；脂肪为13.9﹣24.99；女：能量为500﹣600；蛋白质为15﹣18；脂肪为11.1﹣20.01；对比数据可得：对于男生来说，能量摄入过低；对于初二学生来说，蛋白质摄入过高，∴不满足初二学生（年龄14～15岁）的膳食营养需求；建议是：适当减低少鸡蛋的食用量，增加牛奶的食用量，答：不满足初二学生（年龄14～15岁）的膳食营养需求；建议是：适当减少鸡蛋的食用量，增加牛奶的食用量．24．（12分）在平面直角坐标系中，正方形AOBC的边长为4，点A在y轴的正半轴上，点B在x轴的正半轴上，点D为边BC上一点，将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到线段AE，点E恰好落在x轴的负半轴上．（1）如图1，AD＝2，求点E的坐标；（2）如图2，点F为线段OB的中点，若点D与点E关于AF对称，DE与AF相交于点G，连结CG．①求∠AGC的正切值；②探究CG与AE的数量关系，并证明．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OC＝4，∠C＝∠AOB＝∠AOE＝90°，∵段AD绕点A顺时针旋转90°得到线段AE，∴AE＝AD＝2，∴OE＝＝，∴E（﹣2，0）；（2）①如图1，作GH⊥OA于H，交BC于Q，∴∠AHG＝∠GQD＝90°，∴∠GAH+∠AGH＝90°，∵点D与点E关于AF对称，∴AF⊥DE，AD＝AE，DG＝EG，∴∠AGH+∠DGQ＝90°，∴∠GAH＝∠DGQ，∵OA＝OC，∠AOE＝∠ACD＝90°，∴Rt△AOE≌Rt△ACD（HL），∴AE＝AD，∠CAD＝∠OA