高考数学复习：解析几何

第九编解析几何

§9.1直线的倾斜角与斜率

♦—自主学习—

基础自测

U筏直线I与X轴的交点是P,且倾斜角为a,若将此直线绕点P按逆时针方向旋转45°,得到直线的倾斜角

为a+45°,则a的范围为.

答案0。<«<135°

2.（2008•全国I文）曲线y=Y-2x+4在点（1,3）处的切线的倾斜角为.

答案45°

3.过点M（-2,m）,N（m,4）的直线的斜率等于1,则m的值为.

答案1

4.已知直线I的倾斜角为a,且0°Wa<135°,则直线I的斜率取值范围是.

答案（-8,-1）U[0,+8）

5.若直线I经过点（a-2,T）和（-a-2,1）且与经过点（-2,1）,斜率为-士的直线垂直，则实数a的值为.

3-----

答案卷

3

----典例剖析----------

例1若ae-,-L则直线2xcosa+3y+l=0的倾斜角的取值范围是.

2

例2（14分）已知直线l,:ax+2y+6=0和直线l2:x+（a-l）y+a-l=0,

（1）试判断L与L是否平行；

⑵1山2时,求a的值.

解（1）方法一当a=l时，l1；x+2y+6=0,

L:x=0,Il不平行于12;

当a=0时，li：y=-3,

L:x-yT=0,L不平行于12；2

分

当aWl且a#0时，两直线可化为

li：y=--x-3,l2:y=-^—A:-（a+1）,

2l-«

li/712<=>I2\-a.解得a=T,

一3工一(。+1)

5分

综上可知，a=-l时，L〃L,否则li与L不平行.6

分

方法二由AB「AB=O,得a(a-l)-1X2=0,

由ACCiWO,得aG-l)-1X6W0,2

分

fa(a-l)-lx2=0

4

[a(£72-l)-lx6^0

分

1Q2-^-2=0

Q9=a=T,5

[a(〃2-1)工6

分

故当a二T时，11〃L,否则I1与I2不平行.6

分

(2)方法一当a=l时，h:x+2y+6=0,l2：x=0,

I1与12不垂直，故a=l不成立.8

分

当aWl时，Ii：y=~—x-3,

2

14分

方法二由A,A2+B1B2=O,

7

得a+2(a-l)=0=>a=—.

3

14分

例3已知实数x,y满足y=x?-2x+2(TWxWl).

试求：山的最大值与最小值.

x+2

解由山的几何意义可知，它表示经过定点P

x+2

点(x,y)的直线的斜率k,

如图可知：kpA^kWkpB,

由已知可得：A(1,1),B(-1,5),

4

・•・一WkW8,

3

故祟的最大值为8,最小值为:

8•一知能迁移

1.直线xcosa+73y+2=0的倾斜角的取值范围是.

答案k-iuf—

-6」L6)

2.已知两条直线li：(3+m)x+4y=5-3m,l2：2x+(5+m)y=8.当m分别为何值时，h与

(1)相交？(2)平行？(3)垂直？

解m=-5时，显然，L与L相交；

当mW-5时:易得两直线L和L的斜率分别为

3+/77

k.=-

4

它们在y轴上的截距分别为乐子,它捻■

(1)由kHkz,得,

45+m

mW-7且m#T.

・••当mW—7且mW—1时，L与12相交.

3+m_2

(2)由得4.5+,n,m=-7.

pl工比，5-3m8

45+m

**•当m=-7时，11与12平行.

(3)由kgl,

17

・••当m二-■时，11与I?垂直.

3

3.若实数X,y满足等式(x-2)°+/=3,那么上的最大值为.

X

答案后

活页作业一

一、填空题

1.直线xcos6+y-l=0(<96R)的倾斜角的范围是.

答案o,fU:7，乃］

L4」［4)

2.(2009•姜堰中学高三综合练习)设直线ll：x-2y+2=0的倾斜角为a,,直线l2:tnx-y+4=0的倾斜角为a2，且

a2=g+90°,则m的值为.

答案-2

3.已知直线I经过A(2,1),B(1,m2)(mGR)两点，那么直线I的倾斜角的取值范围是.

答案0,?[介)

4.已知直线h：y=2x+3,直线Iz与h关于直线y=x对称，直线LUz,则I?的斜率为.

答案-2

5.若直线I沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来位置，那么直线I的

斜率是.

答案4

6.(2008•浙江理，11)已知a>0,若平面内三点A(1,-a),B(2,a2),C(3,a3)共线，则a=.

答案1+V2

7.已知点A(-2,4)、B(4,2),直线I过点P(0,-2)与线段AB相交，则直线I的斜率k的取值范围是.

答案(-8,-3]U[1,+8)

8.已知两点A(-1,-5),B(3,-2),若直线I的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，则I的斜率是.

答案1

二、解答题

9.已知线段PQ两端点的坐标分别为(-1,1)、(2,2),若直线I：x+my+nFO与线段PQ有交点，求m的取值

范围.

解方法一直线x+my+m=0恒过A(0,-1)点.

则———或——W~2,

m2m

21

--WmW—fl.mWO.

32

XVm-0时直线x+myE=0与线段PQ有交点,

/.所求m的取值范围是--WmW

32

方法二过P、Q两点的直线方程为

2-114

y-l=---(x+1),即y=—x+—,

2+133

代入x+my+m=O,

整理，得x=-N.

/n+3

由已知-1W-3LW2,

机+3

解得

32

10.已知直线11:x+my+6=0,L:(m-2)x+3y+2m=0,求m的值，使得:

(1)h与1相交;(2)h_Llz；(3)h〃l2；(4)h,卜重合.

解(D由已知lX3Wm(m-2),

即m2-2m-3^0,

解得mWT且mW3.

故当mX-1且mN3时，L与k相交.

(2)当1•(m-2)+m•3=0,即11)=,时，l,1l2.

2

(3)当一!一=丝片上，即m=T时，I.//L.

m-232m

即m=3时，11与I2重合.

11.己知A（0,3）、B（-1,0）、C（3,0）,求D点的坐标，使四边形ABCD为直角梯形（A、B、C、D按逆时

针方向排列）.

解设所求点D的坐标为（x,y）,如图所示，由于lw=3,kec=0,

**•k>B•kec=0#-1,

即AB与BC不垂直，故AB、BC都不可作为直角梯形的宜角边.

①若CD是直角梯形的直角边，则BC_LCD,AD1CD,

♦••kscX）,・・・CD的斜率不存在，从而有x=3.

又kAD二ko；,--=0,即y=3.

x

此时AB与CD不平行.

故所求点D的坐标为（3,3）.

②若AD是直角梯形的直角边，

则AD_LAB,AD±CD,

xx-3

由于ADJ_AB,)三•3=-1.

X

又AB〃CD,/.-^―=3.

x-3

18

x=一

解上述两式可得5

9

yS'

此时AD与BC不平行.

故所求点D的坐标为

综上可知，使ABCD为直角梯形的点D的坐标可以为（3,3）或

12.已知两点A(-1,2),B(m,3).

（1）求直线AB的方程;

⑵已知实数me_与一/一，求直线AB的倾斜角a的取值范围

解（1）当时，直线AB的方程为x=T,

当mK-1时，直线AB的方程为y-2=」一(x+1).

m+\

(2)①当m=T时，a-^-\

2

②当mWT时、m+1£-半,o)u(o同

/.k=—!—£(-8,-6]U-^-,+<x>,

m+\3

综合①②知'直线AB的倾斜角滉不，胃

§9.2直线的方程、直线的交点坐标与距离公式

――自主学习―—

Q基础自测

1.下列四个命题中真命题的序号是.

①经过定点P°(xo,y«)的直线都可以用方程y-y产k(x-x„)表示

②经过任意两个不同点Pi(xi,yj,Pz(x2,y?)的直线都可以用方程(y-y)(X2-x)=(x-x】)(y「y】)表示

③不经过原点的直线都可以用方程土+2=1表示

ab

④经过定点A(0,b)的直线都可以用方程y=kx+b表示

答案②

2.A,B是x轴上两点，点P的横坐标为2,且|PAhPB|,若直线PA的方程为x-y+l=0,则直线PB的方程

为.

答案x+y-5=0

3.(2008•全国II文)原点到直线x+2y-5=0的距离为.

答案后

4.过点P(-1,2)且方向向量为a=(-1,2)的直线方程为.

答案2x+y=0

5.•条直线经过点A(-2,2),并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1,则此直线的方程为.

答案x+2y-2=0或2x+y+2=0

----8•—典例剖析――----

例1求适合下列条件的直线方程：

(1)经过点P(3,2),且在两坐标轴上的截距相等；

(2)经过点A(-1,-3),倾斜角等于直线y=3x的倾斜角的2倍.

解(1)方法一设直线I在x,y轴上的截距均为a,

若a=0,即I过点(0,0)和(3,2),

I的方程为y=；x,即2x-3y=0.

若aWO,则设I的方程为土+2=1,

ah

32

VI过点(3,2),/.-+-=1,

・・・a=5,工I的方程为x万-5=0,

综上可知，直线I的方程为2x-3y=0或x+y-5=0.

方法二由题意知，所求宜线的斜率k存在且kWO,

设直线方程为y-2=k(x-3),

2

令y=0,得x=3--,令x=0,得y=2-3k,

k

21

由己知3-4二2-3k,解得卜=-1或卜=上,

k3

工直线I的方程为：

2

y-2=-(x-3)或y-2二三(x-3),

3

即x+y-5=0或2x-3y=0.

(2)由已知：设直线y=3x的倾斜角为a,

则所求直线的倾斜角为2a.

1-tan2a4

又直线经过点A(-1,-3),

因此所求直线方程为y+3=--(x+1),

4

即3x+4y+15=0.

例2过点P(2,1)的直线I交x轴、y轴正半轴于A、B两点，求使：

y

(1)Z^AOB面积最小时I的方程；\B

(2)|PA|•|PB|最小时I的方程.

解方法一设直线的方程为二+2=1(a>2,b>l),°

ab

71

由已知可得已+上=1.

ab

i'2r?i

(1)V2^-+-=1,.・.ab28.

Ntabab

••S/AAOB二一ab24.

2

当且仅当2二L=,，即a=4,b=2时，S/.A08取最小值4,此时直线I的方程为三+2=1,即x+2y-4=0.

ab242

7I

(2)由£+，=l,得ab-a-2b=0,

ab

变形得(a-2)(b-1)=2,

|PA•PB

=J(2_a)2+(1-0)2-J(2-0)2+(l-[)2

=7[(2-a)2+l].[(l-*)2+4]

当且仅当a-2=l,b-l=2,

即a=3,b=3时，PA•IPBI取最小值4.

此时直线I的方程为x+y-3=0.

方法二设直线I的方程为yT=k(x-2)(k<0),

则I与x轴、y轴正半轴分别交于

、B(0,l-2k).

(1)SAW»=Q(2—彳］(12k)

=；X4+(-4氏)+(―i)

>—(4+4)=4.

2

当且仅当-4k=-，，即k=-,时取最小值，此时直线I的方程为y-l=--(x-2),即x+2y-4=0.

k22

(2)|PA•|PB=^(j-)2+lg4k2

=9+4〃+82

当且仅当今=4k；即k=-l时取得最小值，此时直线I的方程为y-l=-(x-2),即x+y-3=0.

例3(14分)已知直线I过点P(3,1)且被两平行线l,:x+y+l=0,l2:x+y+6=0截得的线段长为5,求直线

I的方程.

解方法一若直线I的斜率不存在，

则直线I的方程为x=3,此时与L,I,的交点分别是

A(3,-4),B(3,-9),

截得的线段长AB|=|-4+9|=5,符合题意.4分

若直线I的斜率存在时，

则设直线I的方程为y=k(x-3)+l,

分别与直线h,L的方程联立，

由

[x+y+1=0

解得A(改二2,上竺].8分

(k+1k+1)

由匕方3)+1,解得B怦彳，皆)，

由两点间的距离公式，得

(3k-2f1-4*1-9*V”

[7丁总=25,

解得k=0,即所求直线方程为y=l.12分

综上可知，直线I的方程为x=3或y=l.14分

方法二设直线I与IbL分别相交于A(x“y),B(X2,yj,

+

则xi+yi+1-0,x2+y26=0,

两式相减，得(x「X2)+(y「y2)=5①6分

又区-乂2尸+刖》)2=25②

联立①②可得或

12分

⑶-丫2=0⑶->2=5

由上可知，直线I的倾斜角分别为0°和90°,

故所求的直线方程为x=3或y=L14分

例4求直线l,:y=2x+3关于直线I:y=x+l对称的直线L的方程.

知直线h与I的交点坐标为(-2,-1),

二设直线k的方程为y+l=k(x+2),

即kx-y+2k-l=0.

在直线I上任取一点(1,2),

由题设知点(1,2)到直线I,、L的距离相等,

由点到直线的距离公式得

|*-2+2*-1|_|2-2+3]

J[2+*2^22+(-1)2

解得k=L(k=2舍去)，

2

二直线12的方程为x-2y=o.

方法二设所求直线上一点P(x,y),

则在直线h上必存在一点Pi(xo,yo)与点P关于直线I对称.

由题设：直线PPi与直线I垂直，且线段PPi的中点

P(宁，号)在直线I上.

2ozZ_i

.x°~xel=，变形得[与=>-[

y+y0x+x0।1[yo=x+\

.2-2

代入直线li：y=2x+3,得x+l=2X(y-1)+3,

整理得x-2y=0.

所以所求直线方程为x-2y=0.

知能迁移一一♦

1.(1)求经过点A(-5,2)且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线方程；

a

(2)过点A(8,6)引三条直线h,h,1„它们的倾斜角之比为1：2：4,若直线L的方程是y=±x,求直

4

线I,,心的方程.

解(D①当直线I在x、y轴上的截距都为零时，

设所求的直线方程为y=kx,

将(-5,2)代入y=kx中,

得k=-2,此时，直线方程为y=-2x,

55

即2x+5y=0.

②当横截距、纵截距都不是零时,

设所求直线方程为二+2=1,

2aa

将(-5,2)代入所设方程，

解得a二—-,

2

此时，直线方程为x+2y+l=0.

综上所述，所求直线方程为x+2y+l=0或2x+5y=0.

(2)设直线k的倾斜角为a,则tana二士.

1-cosa

于是呜=—二一

sina33

5

2tana

tan2a-

1-tan-a

所以所求直线L的方程为y-6=1(x-8),

24

即乂-3丫+10=0,13的方程为y~6=—(x-8),

即24x-7yT50=0.

2.直线I经过点P(3,2)且与x,y轴的正半轴分别交于A、B两点，^OAB的面积为⑵求直线I的方程.

解方法一设直线I的方程为4+上=1(a>0,b>0),

ab

AA(a,0),B(0,b),

ab=24,

a=6,

32解得

—F—=1.b=4.

ab

.,•所求的直线方程为二+2=1,

64

即2x+3y-12=0.

方法二设直线I的方程为y-2=k(x-3),

令y=0,得直线I在x轴上的截距a=3-1,

令x=0,得直线I在y轴上的截距b=2-3k.

二(2-3k)=24.解得k=-1.

...所求直线方程为y-2=--(x-3).

3

即2x+3yT2=0.

3.已知三条直线h：2x-y+a=0(a>0)，直线lz：4x-2y-l=0和直线L：x+yT=O,且L与L的距离是5石.

(1)求a的值：

(2)能否找到点P,使得P点同时满足下列三个条件：

①P是第一象限的点;②P点到L的距离是P点到L的距离的,；③P点到L的距离与P点到I,的距离之

2

比是收：石.若能，求P点坐标;若不能，说明理由.

解⑴卜即为2一千。，

.♦.L与%的距离d=

Va>0,.,.a=3.

(2)假设存在这样的P点.

设点P(x“y°),若P点满足条件②，则P点在与h、％平行的直线I，：2x-y+C=0±,

|l|

且1£歹=11~c理+，即c=坦或C=卫，

万2百26

/.2x-yo+—=0或2x-y))+—=0；

o260

若p点满足条件③，由点到直线的距离公式色二普a=*x此"।，

y/5V5V2

即12x「y0+31—'Xo+yo_1j,

/.x()-2yo+4=0或3xo+2=0；

由于P点在第•象限，・・・3&+2:0不满足题意.

联立方程3。7。+畀。，

xo-2)，o+4=O

工0=-3,

解得|（舍去）.

）°=2,

由卜。7。+*0,解得卜=3

37

xo-2y（）+4=O,）'0=t7

1o

・,・假设成立，p\,总即为同时满足三个条件的点.

4.光线沿直线l「x-2y+5=0射入，遇直线l:3x-2y+7=0后反射，求反射光线所在的直线方程.

x-2y+5=0,

解方法一由

3x-2y+7=0.y'

x=-l.

得

y=2.

，反射点M的坐标为(-1,2).

又取直线x-2y+5=0上一点P(-5,0),设P关于直线I的对称点P'(xo,y°),由PP'J.|可知,kpp=」―

3x0+5

而PP'的中点Q的坐标为

Q点在I上，二3•①二^-2•也+7=0.

22

_2O__217

=Xn=------

由卜o+53得13

332

X?

~(O-5)-,0+7=0.)0T3

根据直线的两点式方程可得I的方程为

29x~2y+33=0.

方法二设直线x-2y+5=0上任意一点P(x«,y«)关于直线I的对称点为P'(x,y),

则也工-2,

XQ-X3

又PP'的中点。詈,甘弛)在I上,

・・.3Xj-2x2121+7=0,

22

二2

-x3

由

3x"J_(y+yo)+7=0

可得P点的坐标为

-5x+12y-42⑵+5y+28

xo=--------------------，y产-----------

1313

代入方程x-2y+5=0中，

化简得29x-2y+33=0,

即为所求反射光线所在的直线方程.

8•—活页作业一

一、填空题

1.过点(1,3)作直线1,若经过点(a,0)和(0,b),且adN*,beN*,则可作出的I的条数为.

答案2

2.已知直线I,的方向向量为a=(l,3),直线k的方向向量为b=(T,k),若直线L过点(0,5),且hJJ”则直

线I2的方程是.

答案x+3y-I5=0

3.若直线I与两直线y=l,x-y-7=0分别交于M,N两点，且MN的中点是P(l,-1),则直线I的斜率是.

答案4

4.直线x-2y+l=0关于直线x=l对称的直线方程是.

答案x+2y-3=0

5.经过点P(l,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，则直线的方程为.

答案2x+y_6=0

6.点(1,cos。)到直线xsin9+ycos6»-l=0的距离是工(0°W9W180。),那么9=

4

答案30°或150°

7.设的倾斜角为a,a「绕其上一点P沿逆时针方向旋转a角得直线I”L的纵截距为-2,I

绕P沿逆时针方向旋转/-a角得直线加x+2y-l=0,则L的方程为.

答案2x-y+8=0

8.若直线l:y=kx-l与直线x+y-l=0的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是.

答案(1,+8)

二、解答题

9.已知直线I与两坐标轴围成的三角形的面积为3,分别求满足下列条件的直线I的方程：

(1)过定点A(-3,4)；(2)斜率为

6

解(1)设直线I的方程是y=k(x+3)+4,它在x轴，y轴上的截距分别是-3,3k+4,

4

由已知，得(3k+4)(-+3)二±6,

k

解得k尸-2或k?=-刍.

33

直线I的方程为2x+3y-6=0或8x+3y+12=0.

(2)设直线I在v轴上的截距为b,则直线I的方程是尸，x+b,它在x轴上的截距是-6b,

6

由已知,得由6b・b|=6,/.b=±l.

・•・直线I的方程为x-6y+6=0或x-6y-6=0.

10.一条光线经过P(2,3)点，射在直线l:x+y+l=0上，反射后穿过Q(1,1).

(1)求光线的入射方程；

(2)求这条光线从P到Q的长度.

解(1)设点Q'(x'，y')为Q关于直线I的对称点且QQ'交I于M点，・・飞尸-1,，必二1.

・・・QQ'所在直线方程为y-l=l*(x-l)

即x-y-0.

由f+y+l=O,

(x-y=0,

解得I与QQ'的交点M的坐标为

又•；M为QQ'的中点,

1+f1

-------

2-----2

由此得，

\+y'1

----=—

,22

解之得卜=一2'.•.()'(-2,-2).

，=-2

设入射线与I交点N,且P,N,Q'共线.

则P(2,3),Q'(-2,-2),得入射线方程为

=,即5x-4y+2=0.

3+22+2

(2"门是QQ'的垂直平分线，因而|NQ|=NQ'

A|PN|+|NQ|=|PN|+NQ,|=PQ||

=J(3+2/+(2+2)2=屈,

即这条光线从P到Q的长度是向.

11.已知正方形的中心为直线2x-y+2=0,x+y+l=O的交点，正方形一边所在的直线方程为x+3y-5=0,求正方形

其他三边的方程.

解设与直线I：x+3y-5=0平行的边的直线方程为li:x+3y+c=0.

由12x-y+2=°得正方形的中心坐标p(_],0),

[x+y+1=0

由点P到两直线I,L的距离相等，

得c=7或c=-5(舍去)./.11：x+3y+7=0.

乂•・•正方形另两边所在直线与I垂直，

・••设另两边方程为3x-y+a=0,3x-y+b=0.

•・,正方形中心到四条边的距离相等，

-3+Q

五+十

.♦•另两条边所在的直线方程为3x-y+9=0,3x-y-3=0.

J.另三边所在的直线方程为3x-y+9=0,x+3y+7=0,3x-y-3=0.

12.过点P(3,0)作•直线，使它夹在两直线I,：2x-y-2=0与Qx+y+3=0之间的线段AB恰被点P平分，求

此直线的方程.

解方法一设点A(x,y)在11±,

由题意知，2，，点B(6-x,-y),

2x-y-2=O

解方程组

(6-x)+(-y)+3=0

，所求的直线方程为y=8(x-3),

即8x-y-24=0.

方法二设所求的直线方程为y=k(x-3),

3k-2

则心、解得广k-2

4k

1以

1^2

3k-3

XD=-----------

由焉:言解得k+\

-6k

VP(3,0)是线段AB的中点,

y*+yB=0,即4k+—=0

k-2k+T

/.k-8k=0,解得k=0或k=8.

又二当k二。时,XA=1,XB=-3,

此时以十坳=三=3,・》=0舍去,

22

・•・所求的直线方程为y=8(x-3),

即8x-y-24=0.

§9.3圆的方程

----…自主学习一•*♦

Ei基础自测

1.方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-l=0表示圆，则a的取值范围是.

.2

答案-2<a<-

3

2.圆好+/+2乂-4y+l=0关于直线2ax-by+2=0(a、beR)对称，则ab的取值范围是

答案（-8，；

3.过点A（1,-1）,B（-1,1）,且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是.

答案（x-1）2+（y-l）2=4

4.以点（2,-1）为圆心且与直线3x-4y+5=0相切的圆的方程为.

答案（x-2）>（y+1尸=9

5.直线y=ax+b通过第一、三、四象限，则圆（x+a）,（y+QJJ（r>0）的圆心位于第象限.

答案二

典例剖析—>

例1已知圆C的半径为2,圆心在x轴的正半轴匕直线3x+4y+4=0与圆C相切，则圆C的方程为.

22

答案x+y-4x=0

例2（14分）已知圆（+y’分-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P,Q两点，且OP_LOQ（。为坐标原点）,求该圆

的圆心

坐标及半径.

解方法一将x=3-2y,

代入方程x'+y'+x-6y+m=0,

得5y2-20y+12+m=0.

4分

设P(xi,y(),Q(X2,y。，则yi、门满足条件：

.12+m

yi+yk4,y】y尸一--.

6分

VOP±OQ,.'.XiXo+yiy?^.8

分

而Xi=3-2yt,X2=3-2y2.

/.xiXz=9-6(yi+y2)+4yiy2.

；.m=3,此时A>0,圆心坐标为,半径.■1.

14分

方法二如图所示，设弦PQ中点为M,

V0.M1PQ,・・・％也二2.

**•OiM的方程为:y-3-2(x+万)，

即：y=2x+4.

由方程组一+4

[x+2y-3=0

解得M的坐标为(T,2).

则以PQ为直径的圆可设为(x+l)2+(y-2)2=r2.

6分

•••OP_LOQ,...点0在以PQ为直径的圆上.

(0+1)2+(0-2)2=r2,即/=5,MQ三产.

在RtAO.MQ中,0O=0M/MQ：

«；+]『+(3-2)2+5=]+(-6；2-4，”

m=3.半径为；，圆心为(―5,3).

M分

方法三设过P、Q的圆系方程为xJ+y2+x-6y+m+2(x+2y-3)=0.

由OP_LOQ知，点0(0,0)在圆上.

m_3A=0,即m=3A.

3分

二圆的方程可化为

xL+y2+x-6y+32+2x+2Ay-3A=0

BPx2+(1+2)x+y2+2(X-3)y=0.

6分

；.圆心M(-一『3”),J

分

又圆在PQh.

/.--+2(3-2)-3=0,A2=1,；.m=3.

2

12分

.•.圆心为(-对，半径为:

14分

例3已知实数x、y满足方程x“yJ4x+l=0.

(1)求y-x的最大值和最小值；

(2)求/+/的最大值和最小值.

解(1)y-x可看作是直线y=x+b在v轴上的截距，当直线y=x+b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最

小值，此时？_丫q=6解得b=-2土石.

V2

所以y-x的最大值为-2+而，最小值为-2-n.

(2)/+-表示圆上的•点与原点距离的平方，由平面儿何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取

得最大值和最小值.

乂圆心到原点的距离为J(2-0)2+(o-o)2=2,

所以x//的最大值是(2+6)三7+4V3,

xR的最小值是(2-73)eG

知能迁移

1.(2008•山东文，11)若圆C的半径为1,圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和x轴都相切，则该圆的

标准方程是.

答案(x-2)2+(y-l)2=l

2.已知圆C：(x-1)?+(y-2)2=25及直线l:(2m+l)x+(m+l)y=7m+4(mCR).

(1)证明：不论m取什么实数，直线I与圆C恒相交；

(2)求直线I被圆C截得的弦长的最短长度及此时的直线方程.

(1)证明直线I可化为x+y-4+m(2x+y-7)=0,

即不论m取什么实数，它恒过两直线x+y-4=0与2x+y-7=O的交点.

两方程联立，解得交点为(3,1),

又有(3-1)2+(1-2)J5V25,.,.点(3,1)在圆内部，

二不论m为何实数，直线I与圆恒相交.

(2)解从(1)的结论和直线I过定点M(3,1)且与过此点的圆C的半径垂直时，I被圆所截的弦长|AB

22

最短，由垂径定理得|AB=2>jr-CM

=2725-[(3-1)2+(1-2)2]=4石.

此时，k,=--!—,从而k,=---J—=2.

kcM£-1

1-3

I的方程为y-l=2(x-3),即2x-y=5.

3.已知点P(x,y)是圆(x+ZV+yJl上任意一点.

(1)求P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值和最小值;

(2)求x-2y的最大值和最小值；

(3)求上二的最大值和最小值.

X-1

解(1)圆心C(-2,0)到直线3x+4y+12=0的距离为

|3x(-2)+4x0+12|_6

d------——.

方+425

...P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值为

d+r=—+1=—,最小值为d-r=&T=L

5555

(2)设t=x-2y,

则直线x-2y-t=0与圆(x+2)2+y2=l有公共点.

t,„»=后-2,t,„,.=-2-V5.

则直线kx-y-k+2=0与圆(x+2)2+y2=l有公共点,

----活页作业一----------

一、填空题

1.圆x2+y2-2x+4y+3=0的圆心到宜线x-y=l的距离为.

答案6

2.两条直线y=x+2a,y=2x+a的交点P在圆(xT)'+(y-l)J4的内部，则实数a的取值范围是.

答案-1<a<l

3.已知A(-2,0),B(0,2),C是圆x?+y2-2x=0上任意一点，则AABC面积的最大值是.

答案3+五

4.圆心在抛物线y2=2x上且与x轴和该抛物线的准线都相切的圆的方程是.

答案x'+y'-x±2y+-=0

4

5.若直线2ax-by+2=0(a>0,b>0)始终平分圆x2+y2+2x-4y+l=0的周长，则工+工的最小值是__________.

ab

答案4

6.从原点0向圆：x2+yJ6x+"=0作两条切线，切点分别为P、Q,则圆C上两切点P、Q间的劣弧长为______.

4

答案乃

7.(2008•四川理，14)已知直线I：x-y+4=0与圆C：(x-1)2+(